第七章 参数估计
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的 分布
**给定置信度1－ ，可查t 分布表确定临界值t / 2 (n 1)
从而总体均值的置信区间为：
（x t / 2
S n1 n
， x t / 2
S n1 n
）
其中，Sn1 (x) 即为抽样平均误差
n
t / 2
S n1 n
x
即为抽样允许误差
上式也可表示为： x x
x
x
例题应用
2.抽样估计的精确度：用置信区间的大小即抽样极
限/允许误差来表示
3.抽样估计的置信度与精确度的矛盾关系
在样本容量和其他条件一定的情况下，
若希望抽样估计有较高的可靠度，则必须扩大置信区 间，即必须降低估计的精确度
若希望抽样估计有较高的精确度，即置信区间范围缩 小，则必须降低估计的把握度
即：抽样估计要求的把握度越高，则抽样允许误差越 大，精确度越低；反之则相反
**思考：在抽样调查中，如何同时提高抽样估计的精 确度和把握度？
区间估计的应用
（一）总体均值的区间估计
1.总体方差已知时
当 X ~ N( ，2 )时，来自该总体的简单随机样本x1 , x2 , , xn
的样本均值服从数学期望为 、方差 2 为的正态分布，将样本均值统计 量 x 标准化，得到 Z 统计量
也即所估计的区间包含总体参数真实值的可能性大小，
一般以1- 表示。其中 表示显著性水平，即某一小
概率事件发生的临界水平 置信度通常采用三个标准：
（1）显著性水平=0.05，即1- =0.95
（2）显著性水平=0.01，即1- =0.99 （3）显著性水平=0.001，即1- =0.999
（二）抽样估计的置信度与精确度 **
解题过程（一）
已知： n =25， =0.05
样本均值
x 1 2 3 6 5 8 7 8 9 1 5(小时) 25
样本方差
s2 (1- 5) 2 2 (3 - 5)2 6 (5 - 5)2 8 (7 - 5)2 8 (9 - 5) 2 1 25 -1
=4.33
（1）查 t 分布表知 =0.05时，临界t值 / 2 (n 1)
2.063 9，因此，
抽样平均误差 (x) Sn1 4.33 0.416
n
25
t0.025=(25 1)
抽样允许ຫໍສະໝຸດ Baidu差
x
t / 2
S n 1 n
2.0639
0.416
0.859
解题过程（二）
（2）总体均值置信度为95%的置信区间为：
（
x t / 2
S n1 n
， x t / 2
解：点估计法是用样本指标直接作为总体指标的代表 值，所以，全部电子元件的平均耐用时间即为4 340小 时；总体合格率为98%
7.2 区间估计
（一）区间估计的概念
根据样本统计量以一定的可靠程度去估计总体参数 值所在的范围或区间，是抽样估计的主要方法
（二）抽样估计的置信度与精确度
1.置信度：表示区间估计的可靠程度或把握程度，
Z x ~ N (0,1) / n
根据区间估计的定义，在给定的显著性水平 下，总体均值 在
1- 的置信度下的置信区间为：
（
x Z /2 n
，x Z / 2
n
），即x x
x
x
其中， (x)
误差 n
即抽样平均误差 ，Z / 2
n
x
即抽样允许
1.总体方差已知时总体均值的区间估计
x
x
=（
，
30.38）30.2 0.1764 30.2 0.1764
）= （30.02，
即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在
30.02厘米到30.38厘米之间
2.总体方差未知时总体均值的区间估计
**总体方差 2 未知，可以以样本方差S 2 代替，但新的统
计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为n －1 t
1- =0.95
解题过程
（1）抽样平均误差
(x) 0.45 0.09
n 25
查标准正态分布表可知在 =0.05时，Z / 2 =1.96，所以，
抽（样2允）许总误体差均值的x 置 Z信 /区2 间n 为 1：.96 0.09 0.1764
（
x Z /2
n
，x Z / 2
n
）(=x , x )
[例7-4] 从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取25 名调查每周收看电视的时间，分组资料见下表：
每周看电视时间(小时) 2 以下 2—4 4—6 6—8 8—10 合计
学生人数(人) 2 6 8 8 1 25
要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计该市全体高中生每周平均看电视时间的置 信区间（给定的显著性水平为0.05）
第七章 参数估计
7.1 点估计 7.2 区间估计
一、点估计
（一）概念
1.点估计
设总体随机变量的分布函数已知，但它的一个或多 个参数未知，若从总体中抽取一组样本观察值，以该 组数据来估计总体参数，就称为参数的点估计
例如，在全部产品中，抽取100件进行仔细检 查，得到平均重量x=1002克，合格率p=98%， 我们直接推断全部产品的平均重量X=1002克， 合格率P=98%。
例题应用
[例7-3] 某厂生产的零件长度服从正态分布，从该 厂生产的零件中随机抽取25件，测得它们的平均长 度为30.2厘米。已知总体标准差 =0.45厘米 要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计零件平均长度的可能范围（ =0.05）
已知： X ~，N( )，0.452=30.2，x =25， n
一、点估计
（二）矩估计法的评价
优点： 一、 计算简便直观，一般不考虑抽样误差和可靠程
度 二、适用于对估计准确与可靠程度要求不高的情况
局限性： 一、它要求总体矩存在 二、不能充分利用估计时已掌握的有关总体分布的
信息
（三）应用例题
[例7-1] 某厂对所生产的电子元件抽取5%进行抽样调查， 计算出样本的平均耐用时间为4 340小时，样本合格率 为98%。根据矩估计法原理，估计该厂所生产的电子 元件的平均耐用时间和合格率。
一、点估计
（一）概念
2.矩估计
矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得总 体有关参数的估计量的方法。矩是指以期望值为基础 定义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等
由于区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一 个绝对可靠的范围。就是说，推断全及指标在这个范 围内只有一定的把握程度。用数学的语言讲，就是有 一定的概率。
**给定置信度1－ ，可查t 分布表确定临界值t / 2 (n 1)
从而总体均值的置信区间为：
（x t / 2
S n1 n
， x t / 2
S n1 n
）
其中，Sn1 (x) 即为抽样平均误差
n
t / 2
S n1 n
x
即为抽样允许误差
上式也可表示为： x x
x
x
例题应用
2.抽样估计的精确度：用置信区间的大小即抽样极
限/允许误差来表示
3.抽样估计的置信度与精确度的矛盾关系
在样本容量和其他条件一定的情况下，
若希望抽样估计有较高的可靠度，则必须扩大置信区 间，即必须降低估计的精确度
若希望抽样估计有较高的精确度，即置信区间范围缩 小，则必须降低估计的把握度
即：抽样估计要求的把握度越高，则抽样允许误差越 大，精确度越低；反之则相反
**思考：在抽样调查中，如何同时提高抽样估计的精 确度和把握度？
区间估计的应用
（一）总体均值的区间估计
1.总体方差已知时
当 X ~ N( ，2 )时，来自该总体的简单随机样本x1 , x2 , , xn
的样本均值服从数学期望为 、方差 2 为的正态分布，将样本均值统计 量 x 标准化，得到 Z 统计量
也即所估计的区间包含总体参数真实值的可能性大小，
一般以1- 表示。其中 表示显著性水平，即某一小
概率事件发生的临界水平 置信度通常采用三个标准：
（1）显著性水平=0.05，即1- =0.95
（2）显著性水平=0.01，即1- =0.99 （3）显著性水平=0.001，即1- =0.999
（二）抽样估计的置信度与精确度 **
解题过程（一）
已知： n =25， =0.05
样本均值
x 1 2 3 6 5 8 7 8 9 1 5(小时) 25
样本方差
s2 (1- 5) 2 2 (3 - 5)2 6 (5 - 5)2 8 (7 - 5)2 8 (9 - 5) 2 1 25 -1
=4.33
（1）查 t 分布表知 =0.05时，临界t值 / 2 (n 1)
2.063 9，因此，
抽样平均误差 (x) Sn1 4.33 0.416
n
25
t0.025=(25 1)
抽样允许ຫໍສະໝຸດ Baidu差
x
t / 2
S n 1 n
2.0639
0.416
0.859
解题过程（二）
（2）总体均值置信度为95%的置信区间为：
（
x t / 2
S n1 n
， x t / 2
解：点估计法是用样本指标直接作为总体指标的代表 值，所以，全部电子元件的平均耐用时间即为4 340小 时；总体合格率为98%
7.2 区间估计
（一）区间估计的概念
根据样本统计量以一定的可靠程度去估计总体参数 值所在的范围或区间，是抽样估计的主要方法
（二）抽样估计的置信度与精确度
1.置信度：表示区间估计的可靠程度或把握程度，
Z x ~ N (0,1) / n
根据区间估计的定义，在给定的显著性水平 下，总体均值 在
1- 的置信度下的置信区间为：
（
x Z /2 n
，x Z / 2
n
），即x x
x
x
其中， (x)
误差 n
即抽样平均误差 ，Z / 2
n
x
即抽样允许
1.总体方差已知时总体均值的区间估计
x
x
=（
，
30.38）30.2 0.1764 30.2 0.1764
）= （30.02，
即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在
30.02厘米到30.38厘米之间
2.总体方差未知时总体均值的区间估计
**总体方差 2 未知，可以以样本方差S 2 代替，但新的统
计量不服从标准正态分布，而是服从自由度为n －1 t
1- =0.95
解题过程
（1）抽样平均误差
(x) 0.45 0.09
n 25
查标准正态分布表可知在 =0.05时，Z / 2 =1.96，所以，
抽（样2允）许总误体差均值的x 置 Z信 /区2 间n 为 1：.96 0.09 0.1764
（
x Z /2
n
，x Z / 2
n
）(=x , x )
[例7-4] 从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取25 名调查每周收看电视的时间，分组资料见下表：
每周看电视时间(小时) 2 以下 2—4 4—6 6—8 8—10 合计
学生人数(人) 2 6 8 8 1 25
要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计该市全体高中生每周平均看电视时间的置 信区间（给定的显著性水平为0.05）
第七章 参数估计
7.1 点估计 7.2 区间估计
一、点估计
（一）概念
1.点估计
设总体随机变量的分布函数已知，但它的一个或多 个参数未知，若从总体中抽取一组样本观察值，以该 组数据来估计总体参数，就称为参数的点估计
例如，在全部产品中，抽取100件进行仔细检 查，得到平均重量x=1002克，合格率p=98%， 我们直接推断全部产品的平均重量X=1002克， 合格率P=98%。
例题应用
[例7-3] 某厂生产的零件长度服从正态分布，从该 厂生产的零件中随机抽取25件，测得它们的平均长 度为30.2厘米。已知总体标准差 =0.45厘米 要求：（1）计算抽样平均误差和抽样允许误差
（2）估计零件平均长度的可能范围（ =0.05）
已知： X ~，N( )，0.452=30.2，x =25， n
一、点估计
（二）矩估计法的评价
优点： 一、 计算简便直观，一般不考虑抽样误差和可靠程
度 二、适用于对估计准确与可靠程度要求不高的情况
局限性： 一、它要求总体矩存在 二、不能充分利用估计时已掌握的有关总体分布的
信息
（三）应用例题
[例7-1] 某厂对所生产的电子元件抽取5%进行抽样调查， 计算出样本的平均耐用时间为4 340小时，样本合格率 为98%。根据矩估计法原理，估计该厂所生产的电子 元件的平均耐用时间和合格率。
一、点估计
（一）概念
2.矩估计
矩估计法是用样本的矩去估计总体的矩，从而获得总 体有关参数的估计量的方法。矩是指以期望值为基础 定义的数字特征，如数学期望、方差、协方差等
由于区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一 个绝对可靠的范围。就是说，推断全及指标在这个范 围内只有一定的把握程度。用数学的语言讲，就是有 一定的概率。