勾股定理(4)
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全勾股定理是数学中的一个基本定理，它能够解决关于直角三角形的各种问题。
具体地说，勾股定理指出，在一个直角三角形中，三边的平方和等于斜边的平方。
这个定理可以用一个简单的公式来表示：a²+b²=c²。
在勾股定理的基础上，可以推导出一些相关的公式。
以下是一些与勾股定理相关的公式：1.正弦定理：正弦定理是三角形中的重要定理，它描述了三角形的边长与角度之间的关系。
正弦定理可以表示为以下公式之一：a/sinA = b/sinB = c/sinC或者sinA/a = sinB/b = sinC/c2.余弦定理：余弦定理是三角形中的另一个重要定理，它描述了三角形的边长与角度之间的余弦关系。
余弦定理可以表示为以下公式之一：a² = b² + c² - 2bc*cosA或者b² = a² + c² - 2ac*cosB或者c² = a² + b² - 2ab*cosC3.正切定理：正切定理是三角形中的另一个定理，它描述了三角形的角与边长之间的正切关系。
正切定理可以表示为以下公式之一：tanA = a/b或者tanB = b/a4.二等分线定理：二等分线定理描述了三角形中的两个内角的二等分线和第三个角之间的关系。
它可以表示为以下公式之一：a/c=b/d或者(b+c)/(a+d)=(b/a)5.垂直平分线定理：垂直平分线定理描述了三角形中的两个内角的垂直平分线和第三个角之间的关系。
它可以表示为以下公式之一：a/c=b/d或者(a+b)/(c+d)=(a/c)以上是一些与勾股定理相关的公式，它们可以用来解决各种三角形的问题。
掌握这些公式可以帮助我们更好地理解和应用勾股定理，解决各种与直角三角形相关的数学问题。
勾股定理
板块一 勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba勾股定理3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
板块一、勾股定理【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ； （2）如果68a b ==，，则c = ； （3）如果512a b ==，，则c = ； （4）如果1520a b ==，，则c = .【例3】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【例4】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．【例5】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例6】 已知直角三角形两边x ，y 的长满足240x -，则第三边长为______________．【例7】 一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20【例8】 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为【例9】 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定CA【例10】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例11】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【例12】 若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为【例13】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例14】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C到旗杆底部B 的距离为CBA【例15】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例16】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例17】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例18】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例19】 设,,,a b c d 都是正数。
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全勾股定理是数学中最基本的定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边的关系。
而勾三股四定理，则是一种推广的勾股定理，它描述了三个直角三角形的边长之间的比例关系。
以下是勾三股四定理的三个公式及其推导过程。
一、第一个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB^2=BC×AC这个公式可以通过勾股定理的推导得出。
根据勾股定理，有AC^2=AB^2+BC^2带入角C=90°，则有AB^2=AC^2-BC^2即AB^2=BC×AC。
二、第二个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠A=90°，则有AC^2=AB×BC这个公式可以通过将公式一中的AB和BC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和BC互换，得到AC^2=AB×BC。
三、第三个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠B=90°，则有BC^2=AB×AC这个公式可以通过将公式一中的AB和AC互换得出。
即将AB^2=BC×AC两边的AB和AC互换，得到BC^2=AB×AC。
ABCB，C在直角三角形ABC中，根据勾三股四定理公式一的推导过程，可以得到AB^2=BC×A C。
同理，根据勾三股四定理公式二和公式三的推导过程，可以得到AC^2=AB×BC以及BC^2=AB×AC。
勾三股四定理公式在解决问题时非常实用，它可以帮助我们在已知两条边后，快速求解剩余边的长度。
举个例子，假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm，我们需要求解AB的长度。
根据勾三股四定理公式一，我们有AB^2=BC×AC代入已知值，即可得到AB^2 = 12cm × 5cm计算得到AB^2 = 60 cm^2再开平方根，即可得到AB的长度，约为7.746cm。
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全1.基本形式：在直角三角形中，设直角边分别为a，b，斜边为c，则有：c²=a²+b²。
这是最基本的勾股定理形式，也是最常见的应用形式。
根据该定理，我们可以利用已知的两条边求解第三条边的长度。
2.次对边形式：在直角三角形中，设直角边为a，斜边为c，另一边为b，则有：b²=c²-a²。
这个形式是基本形式的变形，通过给出直角边和斜边，求解另一直角边的长度。
3.正弦定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
正弦定理是三角形中的重要定理，可以用来求解三角形中的边长和角度。
它表示每个角的对边与正弦值的比例是相等的。
4.余弦定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：c² = a² + b² - 2abcos(C)。
余弦定理是另一个用于求解三角形中的边长和角度的重要定理。
它表示边的平方等于两边平方和减去两边的乘积与其夹角余弦的乘积。
5.正切定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：tan(A) = a/b，tan(B) = b/a。
正切定理表示两角的正切值相等，可以用来求解三角形中的角度。
6.角平分线定理：在任意三角形中，设三角形的内角A，内角的角平分线与边的交点与另一边的交点分别为B和C，则有：AB/AC=BD/DC。
角平分线定理表示角平分线与两边的比例相等，可以用来求解三角形中的边的比例。
7.海伦公式：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，半周长为s，则有：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
海伦公式是用来计算任意三角形面积的公式，通过已知三边长度和半周长，可以求解三角形的面积。
以上是勾股定理及相关公式的简要介绍。
这些定理及公式在解决直角三角形和任意三角形的问题时非常有用，可以通过简单的数值运算求得所需的结果。
典中点勾股定理专训4巧用勾股定理判定直角的六种方法
典中点勾股定理专训4 巧用勾股定理判定直角的六种方法◐名师点金◑说明垂直的方法：1.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条.2.等腰三角形中“三线合一”.3.直角三角形的判定.在几何中,我们常常先说明垂直,再利用垂直的性质来解相关问题。
典例剖析：某校把一块三角形的废地开辟为植物园,如图,测得AC=80m,BC=60m,AB=100m 。
(1)若人口E 在边AB 上,且与A,B 的距离相等.求从入口E 到出口C 的最短路线的长(提示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半);(2)若线段CD 是一条水渠,且点D 在边AB 上,点D 距点A 多远时,水渠最短?解题秘方:解实际生活中的问题,需先将实际问题通过建立数学模型转化为数学问题,再利用数学知识进行解答.本题中:已知△ABC 中,AC=80m,BC=60m ，AB=100m 。
(1)若AE=EB,求CE 的长； (2)若CD ⊥AB,求AD 的长。
方法1：利用三边的数量关系证明直角1.如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为BC 上一点,且CE=41BC ，求证:∠AFE 是直角.方法2：利用转化为三角形法构造直角三角形2.如图,在四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3，BC=4，CD=12，AD=13.求ABCD S 四边形.方法3：利用倍长中线法构造直角三角形3.如图,在△ABC 中,D 为边BC 的中点,AB=5,AD=6,AC=13.求证AB ⊥AD方法4：利用化分散为集中法构造直角三角形4.如图,在等腰直角三角形ABC 的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b 为边长的三角形的形状。
方法5：利用“三线合一”法构造直角三角形5. 如图,在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,M,N 分别为AC,BC 上的点,且DM ⊥DN.求证:22CN CM 2AB ）（+=方法6：利用轴对称的性质构造直角三角形6.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC 折叠,使点B 恰好落在边AC 上,与点B'重合,AM 为折痕,则MB'的长为多少?。
勾股定理知识点总结
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角 三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2， 则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
练习：
1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2, 则（ A ） A.a边所对的角是直角 B.b边所对的角是直角 C.c边所对的角是直角 D.△ABC不是直角三角形
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜 边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图， 避免遗漏另一种情况。
6.方程思想
例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
勾股定理
A1
B2
C3
D4
2．如图，数轴上点A所表示的数为a， 则a的值是（ ）
3. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使
AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，
且EF＝3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
4．如图，矩形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的
二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示 的正方形.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所 示的正方形.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成 直角梯形.
三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为 的线段.
纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落
在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）
30 B．32 C．34
D．16
5.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12， 则△ABC的周长为（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
6．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置 的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正 方形的面积是S1,S2,S3,S4则S1+S2+S3+S4______．
勾 股定理
一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c， 那么a2+b2=c2. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. 2.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，
根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将 数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 3.理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2.
勾股定理
OA2
OA3
OA4
OA5
OA6
OA7
OA8
例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么 的值为（）
2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
4．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（ ）
它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.
类型之四：勾股定理的应用
（一）求边长
例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
.
（二）求面积
例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）
①观察图1－1.
（2）写出各数都大于30的两组商高数．
10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．
11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是.
勾股定理(4)
蚂蚁 A C 蜂蜜
3 13
针对训练 2、如图是一个棱长为3cm正方体盒子，在盒子下 底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点的食 物，需爬行的最短路程是多少？
D
B
A A
C C
针对训练 3、已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm， 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那 么沿哪条路最近,最短的路程是多少?
边 l
针对训练 1、如图，从点 A 0， 发出的一束光，经 x轴反 2 射，过点 B 4， ，则这束光从点 A到点B 所经过 3 路径的长为 ．
y A O D C E B
.
x
例题选讲 例2、课本P81第8题
. .
B
10
A
6
针对训练 1、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相 对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__cm．
D’ Dˊ Aˊ B’ Bˊ
Cˊ B’
D A C
B
B
作业讲评
13m
5m
2m
C D
B
E
A
《全品》P31课时十八
1、B; 2、D; 3、A ; B; 6、B
7、 2 ； 8、7；
4、D;
5、
31 9、 ； 10、2 2
作业：
1、《全品》课时作业19；
2、练习卷；
3、预习课本P73-76，完成练习（暗线A）。
勾股定理（4） 距离最短问题
例题选讲 例1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张 村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距 离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km． （1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？ （2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元， 为使铺设水管费用 B 最节省，请求出最 A 节省的铺设水管的 费用为多少元？ 河
勾股定理必背10个公式
勾股定理必背10个公式勾股定理是数学中非常重要的定理，它描述了直角三角形中两条边的关系。
在学习勾股定理时，掌握一些相关的公式可以方便我们求解各种三角形的边长和角度。
以下是十个与勾股定理相关的公式。
1.勾股定理（直角三角形的边长关系）：如果一个三角形的两条边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，且满足a²+b²=c²，则称这个三角形为直角三角形。
2.边长比例公式：在一个直角三角形中，如果两边的长度分别为a和b，而斜边的长度为c，则有以下比例关系（其中m和n为正整数）：a:b=m:na:c=n:mb:c=n:m3.余弦定理：在一个三角形中，如果三边的长度分别为a、b和c，而夹角A对应边a，夹角B对应边b，夹角C对应边c，则有以下关系：a² = b² + c² - 2bc cos Ab² = a² + c² - 2ac cos Bc² = a² + b² - 2ab cos C4.正弦定理：在一个三角形中，如果三边的长度分别为a、b和c，而夹角A对应边a，夹角B对应边b，夹角C对应边c，则有以下关系：sin A/a = sin B/b = sin C/c5.余切定理：在一个三角形中，如果三边的长度分别为a、b和c，而夹角A对应边a，夹角B对应边b，夹角C对应边c，则有以下关系：cot A = (b² + c² - a²)/(4Δ), 其中Δ为三角形的面积6.加法定理：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin Bcos(A ± B) = cos A cos B - sin A sin B7.二倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²Atan2A = 2tanA/(1-tan²A)8.三倍角公式：sin3A = 3sinA - 4sin³Acos3A = 4cos³A - 3cosAtan3A = (3tanA - tan³A)/(1 - 3tan²A)9.半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA)/2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA)/2]tan(A/2) = sinA/(1 + cosA)10.平滑公式：sin(A + B)sin(A - B) = sin²A - sin²Bcos(A + B)cos(A - B) = cos²A - sin²Btan(A + B)tan(A - B) = (tanA + tanB)/(1 - tanA tanB)这些公式对于求解各种与勾股定理相关的三角形问题非常有用。
勾股定理
第四讲 勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。
例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。
《勾股定理》模型(四)——风吹树折模型
《勾股定理》模型（四）——风吹树折模型“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺）【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x ）尺.由勾股定理得 x2＋32=（10—x ）2，解得 x= 4.55.答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x ，通过勾股定理建立方程，求出答案.典例1☆☆☆☆☆由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8 m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是（ ）A.8mB.10 mC.16 mD.18 m【答案】C【解析】如图，根据勾股定理得 AB==10（m ），所以大树的高度是 10＋6=16（m ）.故选 C.模型讲解典例秒杀典例2 ☆☆☆☆☆如图，已知一根长8m 的竹竿在离地面3 m 处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部______m.【答案】4【解析】设竹竿顶部距离底部 x m ，则 32＋x ²=（8-3）2，解得 x ＝ 4.故竹竿顶部距离底部 4 m.1（★★☆☆☆）如图，一旗杆在离地面6 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 m 处，则旗杆折断之前的高度是 _______ m.2.（★★★☆☆）一阵大风把一棵高为9m 的树在离地 4 m 的 B 处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m 的 D 处，一头高1m 的小马正在吃草，小马有危险吗?为什么?1. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”题意是∶一根竹子原高1丈 小试牛刀直击中考（1丈=10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答∶折断处离地面_______尺高。
人教版勾股定理(4)
②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米
至C，请同学们算一算，梯子底端滑动的距
离的近似值是多少呢？（结果保留两位小
A
数）
C
O
BD
13
例3：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题。这 个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的 中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的 顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 尺？
4
B
a
c
C
b
A
c2 =a2 +b2
a= c2 -b2 b= c2 -a2
c= b2 +a2
5
做一做
1、求出下列直角三角形中未知的边。
B
A
10 6
C
A
8
C
2
30°
45°
2
①在解决上述问题时，每个直角三角形需要知道几个条件呢？
②直角三角形哪条边最长？
6
2、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长。
勾股定理
第二课时
1
目 Contents 录
01 旧知回顾 02 学习目标
03 新知探究
04 随堂练习
05 课堂小结
2
勾股定理：直角三角形两直角边 长的平方和等于斜边长的平方。
如果在Rt△ABC中，∠C=90°，
那么 a2 b2 =c2。
B
a
c
C bA
3
1、能利用勾股定理解决实际问题。 2、理解立体图形中两点距离最短问题。
S3
S2
S1
17
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知：a=5，b=12，求c。 （1）已知：b=6，c=10，求a。 （2）已知：a=7，c=25，求b。
勾股定理
勾股定理一、知识概述1、勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，即勾2＋股2=弦2．（2）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理，它为我们利用计算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径．（3）勾股定理的证明常用面积法证明，读者可根据下图的几种拼图方式，用面积证明勾股定理．（4）勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥斯定理，它有着悠久的历史，蕴涵着丰富的文化价值．勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”．勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边）的三边关系，即c 2=a 2＋b 2．它的变形为c 2－a 2=b 2或c 2－b 2=a 2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm ，4cm ，求第三边长． 因为该题没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论． 当两直角边分别为3cm ，4cm 时，由勾股定理有斜边为=5cm ；当斜边为4cm ，一直角边为3cm 时，则另一直角边为．故第三边为5cm 或cm ．2、直角三角形的几个性质 （1）两锐角互余； （2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a ）等于斜边的一半，三边长的关系为a ，，2a ；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a ）三边长的关系为a ，a ，；（5）面积等于两直角边乘积的一半． 3、勾股数组①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、专题讲解：专题1 已知两边，求第三边（222a b c +=）例1（1）在直角△ABC 中， ∠C=90°，a=5，b=12，则c= 。
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全
勾3股4定理公式大全如下：
勾股定理公式：a2+b2=c2，其中a、b为直角边，c为斜边。
这个公式描述了直角三角形的一个重要性质，被广泛应用于各种实际问题中。
如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数公式：a=m2−n2，b=2mn，c=m2+n2(m>n，m，n∈N)。
如果一组数可以满足上述公式，那么这组数就被称为勾股数。
例如，3、4、5就是一组勾股数。
在利用勾股定理时，需要注意以下几点：
1.确认三角形是否为直角三角形。
只有当三角形有一个角为90°时，才能
使用勾股定理。
2.计算时要注意数据的准确性，避免误差。
3.在实际应用中，要注意结合实际问题进行考虑，例如在物理学中需要考
虑重力、速度等因素的影响。
4第四节 勾股数
商高方程的本原解的一个重要应用
推论
单位圆周上坐标都是有理数的点(称为有理点), 总可以写成 2ab a b a b 2ab ( 2 , ) 或 ( , ) a b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 的形式, 其中a与b是不全为零的整数.
2
2
2
2
这给出了求单位圆周上有理点的一般方法。
2 则l1 2 n1
2 m1 ,且(l1, n1 )
1, 由定理2，a, b Z ,(a, b) 1 m1 (a 2 b2 ),
使：l1 2ab,
n1 (a 2 b2 ), m1 (a 2 b2 )
或l1 (a 2 b2 ), n1 2ab,
应 用 举 例
例 1 求x y z 中0 z 30的所有互质的解.
解 : 由z a 2 b 2 30, a b 0, 得a 5. 又a , b一奇一偶, 故可枚举出所有a , b互质的解如下 : a 5 4 b 2 3 x 20 24 8 12 4 y 21 7 15 5 3 z 29 25 17 13 5 或： x 21 7 15 5 3 y 20 24 8 12 4 z 29 25 17 13 5
应 用 举 例
例 1 求x y z 中0 z 30的所有互质的解.
分析 : 由定理2，商高方程的解为： x 2ab, y a 2 b2 , a b 0, (a, b) 1, z a 2 b2 , a, b 一奇一偶.
2 2 2
而条件已知0 z 30，故由此出发， 枚举出所有可能的a, b，即得全部解。 z a 2 b2 30, a b 0, a 5, 又a, b一奇一偶，故有： a 5, b 4(但52 42 30), 2; a 4, b 3,1; a 3, b 2; a 2, b 1.
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勾股定理
各位专家领导，上午好：今天我说课的课题是《勾股定理》一、教材分析：（一）本节内容在全书和章节的地位这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（华东版），八年级第十九章第二节“勾股定理”第一课时。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形相关性质的基础上实行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它能够解决直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很大。
教材在编写时注意培养学生的动手操作水平和观察分析问题的水平；通过实际分析，拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于准确的实行使用。
（二）三维教学目标：1.【知识与水平目标】⒈理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活使用勾股定理及其计算；⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的水平。
2. 【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
3.【情感态度与价值观】通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（三）教学重点、难点：【教学重点】勾股定理的证明与使用【教学难点】用面积法等方法证明勾股定理【难点成因】对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和使用数学的思想意识，但学生在这个方面的可预见性和耐挫折水平并不是很成熟，从而形成困难。
【突破措施】：⒈创设情景，激发思维：创设生动、启发性的问题情景，激发学生的问题冲突，让学生在感到“有趣”、“有意思”的状态下进入学习过程；⒉自主探索，敢于猜想：充分让自己动手操作，大胆猜想数学问题的结论，老师是整个活动的组织者，更是一位参入者，学生之间相互交流、协作，从而形成生动的课堂环境；⒊张扬个性，展示风采：实行“小组合作制”，各小组中自己推荐一人担任“发言人”，一人担任“书记员”，在讨论结束后，由小组的“发言人”汇报本小组的讨论结果，并可上台利用“多媒体视频展示台”展示本组的优秀作品，其他小组给予评价。
这样既保证讨论的有效性，也调动了学生的学习积极性。
二、教法与学法分析【教法分析】数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，所以在教学中，不但要使学生“知其然”，而且还要使学生“知其所以然”。
针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课可选择“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般的提出问题。
引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代精神。
基本的教学程序是“创设情景-动手操作-归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业”六个方面。
【学法分析】新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，所以教师要有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主探索，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与水平，使学生真正成为学习的主人。
三、教学过程设计（一）创设情景多媒体课件演示FLASH小动画片：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。
学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了。
这种以实际问题作为切入点导入新课，不但自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”。
（二）动手操作⒈课件出示课本P99图19.2.1：观察图中用阴影画出的三个正方形，你从中能够得出什么结论？学生可能考虑到各种不同的思考方法，老师要给予肯定,并鼓励学生用语言实行描述，引导学生发现SP+SQ=SR（此时让小组“发言人”发言），从而让学生通过正方形的面积之间的关系发现：对于等腰直角三角形，其两直角边的平方和等于斜边的平方，即当∠C=90°，AC=BC时，则AC2+BC2=AB2。
这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达水平，体会数形结合的思想。
⒉紧接着让学生思考：上述是在等腰直角三角形中的情况，那么在一般情况下的直角三角形中，是否也存有这个结论呢？于是再利用多媒体投影出P100图19.2.2（一般直角三角形）。
学生能够同样求出正方形P和Q的面积，仅仅求正方形R的面积有一些困难，这时可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，再剪一剪、拼一拼，通过小组合作、交流后，学生就能够发现：对于一般的以整数为边长的直角三角形也存有两直角边的平方和等于斜边的平方。
通过学生的动手操作、合作交流，来获取知识，这样设计有利于突破难点，也让学生体会到观察、猜想、归纳的数学思想及学习过程，提升学生的分析问题和解决问题的水平。
⒊再问：当边长不为整数的直角三角形是否也存有这个结论呢？投影例题：一个边长分别为1.5，3.6，3.9这种含有小数的直角三角形，让学生计算。
这样设计的目的是让学生体会到“从特殊到一般”的情形，这样归纳的结论更具有一般性。
（三）归纳验证【归纳】通过动手操作、合作交流，探索边长为整数的等腰直角三角形到一般的直角三角形，再到边长为小数的直角三角形的两直角边与斜边的关系，让学生在整个学习过程中感受学数学的乐趣，，使学生学会“文字语言”与“数
学语言”这两种表达方式，各小组“发言人”的积极表现，整堂课充分发挥学生的主体作用，真正获取知识，解决问题。
【验证】先后三次验证“勾股定理”这个结论，期间学生动手实行了画图、剪图、拼图，还有测量、计算等活动，使学生从中体会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，而且这个过程也有利于培养学生严谨、科学的学习态度。
（四）问题解决⒈让学生解决开始上课前所提出的问题，前后呼应，让学生体会到成功的快乐。
⒉自学课本P101例1，然后完成P102练习。
（五）课堂小结
1.小组成员从内容、数学思想方法、获取知识的途径实行小结，后由“发言人”汇报，小组间要互相比一比，看看哪一个小组表现最佳。
2.教师用多媒体介绍“勾股定理史话”①《周髀算径》：西周的商高（公元一千多年前）发现了“勾三股四弦五”这个规律。
②康熙数学专著《勾股图解》有五种求解直角三角形的方法，积求勾股法是其独创。
目的是对学生实行爱国主义教育，激励学生奋发向上。
（六）布置作业课本P104习题19.2中的第1.2.3题。
目的一方面是巩固“勾股定理”，另一方面是让学生进一步体会定理与实际生活的联系。
以上内容，我仅从“说教材”，“说学情”、“说教法”、“说学法”、“说教学过程”上来说明这堂课“教什么”和“怎么教”，也阐述了“为什么这样教”，希望各位专家领导对本次说课提出宝贵的意见，谢谢！。