2011年福建农林大学高数B2试题A与答案

《高等数学B2》试题A 与答案

一、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号，每小题3分，共18分）

1．将zOx 面上的曲线22

1x z -=绕x 轴旋转一周所得到的曲面是（ ）

（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （D ）抛物面

2．偏导数00(,)x f x y 与00(,)y f x y 都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续的（ ）

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件

（C ）充分且必要条件 （D ）非充分且非必要条件

3．函数y z x =在点(,1)e 的全微分(,1)e dz =（ ） （A ）dx dy + （B ）dx edy + （C ）edx dy + （D ）edx edy +

4．若区域22:1D x y +≤

，则

D f d σ=⎰⎰（ ） （A ）102()f d π

ρρρ⎰ （B ）104()f d πρρρ⎰ （C ）1202()f d π

ρρ⎰ （D ）104()f d πρρ⎰ 5．若级数111(1)n p n n

∞-=-∑条件收敛，则正数p 的取值范围是（ ） （A ）01p <≤ （B ）01p << （C ）1p ≥

（D ）1p > 6．设级数11(1)

2n n n u ∞-=-=∑，2115n n u ∞-==∑，则1n n u ∞

==∑（ ） （A ）3 （B ）7 （C ）8 （D ）9

二、填空题（每小题3分，共12分）

1．设向量(2,1,2)a = ，(4,1,10)b =- ，且b a λ- 与a 垂直，则λ=___________．

2

．设2(,)(f x y x y =+-(,1)x f x =_________． 3．若()u x y z =+，x z z e +=，则2u x y

∂=∂∂ ．

4．若区域22:1D x y +≤，则(sin 1)D x d σ+=⎰⎰_______ ___ ．

三、计算题（每小题8分，共64分）

1．一平面过两点(1,1,1)A 和(0,1,1)B -且与已知平面0x y z ++=垂直，求其方程．

2．设函数()y

z xy xf x =+，其中f 可导，求z x ∂∂，z y ∂∂，并验证z z x y xy z x y

∂∂+=+∂∂． 3．设函数(,)z f x y =由232x z z e y -=+所确定，求3?z z x y

∂∂+=∂∂ 4．求函数33(,)3f x y x xy y =-+的极值．

5．求二次积分

2220y x dx e dy -⎰⎰． 6．求二重积分22D

x y d x y σ++⎰⎰，其中D 由221x y +≤及1x y +≥确定． 7．判别级数12sin

3n n n π∞=∑是否收敛．

8

．求幂级数n

n ∞

=的收敛域（要考虑端点）． 四、证明题（共6分） 把函数1()1x f x x

+=

-，2()x g x e =展开成x 的幂级数，并证明： 当01x <<时，211x x e x +>-．

答案：

一、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．B ． 2．D ． 3．B ． 4．A ． 5．A ． 6．C ．

二、填空题（每小题3分，共12分）

1．3． 2．2x ． 3．1． 4．π．

三、计算题（每小题8分，共64分）

1．20x y z --=．

2．略．

3．2．

4．(0,0)f 不是极值；极小值(1,1)1f =-．

5．41(1)2

e --． 6．22π

-．

7．收敛．

8．[0,2)．

四、证明题（共6分）

提示：23()1222f x x x x =++++ ，（01x <<）；

2

3

2322()122!3!

g x x x x =++++ ，（x -∞<<+∞）．