3。2 正规子群与商群

§3.2 正规子群与商群

对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。

但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。 例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当

a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，

(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，

(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，

所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。

再比如，交换群的子群总满足上述性质。

设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。

由前面，3A 是3S 的正规子群：3

3.A S

交换群的子群都是正规子群； ()C G G 。

{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。

定理1. 设N G ≤，则 1,N

G a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈

例1 证明n n A S 。

例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，

(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。

证明：,X G A N ∀∈∀∈，则

111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。

例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。

证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2

阶偶置换。现44,x K S σ∀∈∀∈，则1x σσ-的阶为2且是偶置换，

从而14x K σσ-∈，故44K S 。

由,H K K N H N ≤≤⇒≤，即子群具有传递性。

但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出H

N 。 例如，由例3，4

4K S 。现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是 交换群，显然有44B K 。但是4B 不是4S 的正规子群，因为取

4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。

上一章有：一个群的两个子群的乘积不一定是子群，但是下面 定理表明：两个正规子群的乘积还是正规子群。

1）设N G ，H G ≤，记{|,}NH nh n N h H =∈∈，则NH G ≤；

（2）若N G ，H G ，则.NH G

证明 （1）注意NH G NH HN ≤⇔=。

(,)nh NH n N h H ∀∈∈∈，由N G 有hN Nh =，故

nh Nh hN HN ∈=⊆，从而NH HN ⊆。

同理可证HN NH ⊆。所以NH HN =，NH G ≤。

（2）首先由（1）NH G ≤。其次，a G ∀∈，有

()()()()()()a NH aN H Na H N aH N Ha NH a =====，

所以 .NH G

设:f G G →是群G 到群G 的满同态，则

（1）()N

G f N G ⇒，即正规子群的像还是正规子群； （2）1()N G f N G -⇒，即正规子群的逆像还是正规子群。 证明 （1）设N G ，有上一节有()f N G ≤。再(),,n f N a G ∀∈∀∈ 由f 满射有,,n N a G ∈∈ 使得(),()n f n a f a ==。于是

1111()()()()()()()ana f a f n f a f a f n f a f ana ----===。

由于N G ，所以1ana N -∈，从而1

()ana f N -∈，即()f N G 。

（2）可类似证明，见上一节。

定义：设N G ≤，用G N 表示N 在G 中的全部陪集的集合（不分 左、右），即

{|}G aH a G H =∈。 在G N 中定义运算如下：

,,G aN bN N ∀∈ 规定 ((()aN bN ab N ⋅）

）=。

定理4. G N 关于上面定义的运算构成群，叫做G 对N 的商群。

其中，G

N 的单位元为eN N =；11()aN a N --=。

例4. 设4{,,,}G K e a b c ==，取{,}N e a =，则可验证：N

G （G 交换群），此时

{}{,,,}{,},{,}G eN aN bN cN e a b c N ==。

{,}e a 是G N 的单位元，{,}{,}{,}e a b c b c =；{,}{,}{,}b c b c e a =。

例5. 设,n G S = ,n N A = 则

{,}n n n n S A B A =，其中n B 是全体奇置换 的集合。n A 是n n S A 的单位元，n n n A B B =，n n n B B A =

注意，n B 可以写成(12).n n B A =

注意：在商群G N 中，a G ∀∈，有()k k aN a N =；||(:)G G N N =；