3。2 正规子群与商群

§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。

但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。

例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。

而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。

再比如，交换群的子群总满足上述性质。

设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。

由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群； ()C G G 。

{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。

定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。

例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。

证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。

例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。

证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2阶偶置换。

现44,x K S σ∀∈∀∈，则1x σσ-的阶为2且是偶置换，从而14x K σσ-∈，故44K S 。

由,H K K N H N ≤≤⇒≤，即子群具有传递性。

但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出HN 。

例如，由例3，44K S 。

现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是 交换群，显然有44B K 。

但是4B 不是4S 的正规子群，因为取4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。

上一章有：一个群的两个子群的乘积不一定是子群，但是下面 定理表明：两个正规子群的乘积还是正规子群。

1）设N G ，H G ≤，记{|,}NH nh n N h H =∈∈，则NH G ≤；（2）若N G ，H G ，则.NH G证明 （1）注意NH G NH HN ≤⇔=。

(,)nh NH n N h H ∀∈∈∈，由N G 有hN Nh =，故nh Nh hN HN ∈=⊆，从而NH HN ⊆。

同理可证HN NH ⊆。

所以NH HN =，NH G ≤。

（2）首先由（1）NH G ≤。

其次，a G ∀∈，有()()()()()()a NH aN H Na H N aH N Ha NH a =====，所以 .NH G设:f G G →是群G 到群G 的满同态，则（1）()NG f N G ⇒，即正规子群的像还是正规子群； （2）1()N G f N G -⇒，即正规子群的逆像还是正规子群。

证明 （1）设N G ，有上一节有()f N G ≤。

再(),,n f N a G ∀∈∀∈ 由f 满射有,,n N a G ∈∈ 使得(),()n f n a f a ==。

于是1111()()()()()()()ana f a f n f a f a f n f a f ana ----===。

由于N G ，所以1ana N -∈，从而1()ana f N -∈，即()f N G 。

（2）可类似证明，见上一节。

定义：设N G ≤，用G N 表示N 在G 中的全部陪集的集合（不分 左、右），即{|}G aH a G H =∈。

在G N 中定义运算如下：,,G aN bN N ∀∈ 规定 ((()aN bN ab N ⋅））=。

定理4. G N 关于上面定义的运算构成群，叫做G 对N 的商群。

其中，GN 的单位元为eN N =；11()aN a N --=。

例4. 设4{,,,}G K e a b c ==，取{,}N e a =，则可验证：NG （G 交换群），此时{}{,,,}{,},{,}G eN aN bN cN e a b c N ==。

{,}e a 是G N 的单位元，{,}{,}{,}e a b c b c =；{,}{,}{,}b c b c e a =。

例5. 设,n G S = ,n N A = 则{,}n n n n S A B A =，其中n B 是全体奇置换 的集合。

n A 是n n S A 的单位元，n n n A B B =，n n n B B A =注意，n B 可以写成(12).n n B A =注意：在商群G N 中，a G ∀∈，有()k k aN a N =；||(:)G G N N =；对有限群还有||||(:)||G G G N N N ==。

商群的应用 定理5 设G 是一个pn 阶的有限交换群，其中p 是素数，则G 有 p 阶元，从而G 有p 阶子群。

证明 对n 用数学归纳法。

当1n =时，G 是p 阶循环群，G 的非单位元都是p 阶元，定理成立。

假设定理对阶数为(1)pk k n ≤<的有限交换群成立，以下证对阶数 为pn 的有限交换群也成立。

a G ∀∈且a e ≠。

（1）若||p a ，令||a ps =，则||s a p =，s a G ∈，s a 是G 的一个p 阶元， 定理成立。

（2）若p 不整除||a ，记||a m =，则1,(,)1m m p ≠=。

由于||||a G ， 即|m pn ，所以|m n 。

令H a =<>，由G 交换群得H G ，且 ||||G n G p H H m ==。

此时G H 是一个(1)n pk k n m ≤=<阶的有限交 换群。

由归纳假设，G H 存在p 阶元，设为()bH b G ∈，||bH p =。

令||b r =，则()r r bH b H eH H ===，从而|p r 。

设r pt =，由 ||b r pt ==得||t b p =，t b 是G 的一个p 阶元，定理成立。

推论 pq (,p q 为互异素数)阶交换群必为循环群。

证明 设||G pq =，G 交换群。

由定理5，G 有p 阶元a 和q 阶元b 。

又因为,p q 为互异素数，且ab ba =，所以||||ab pq G ==，从而 G 是由ab 生成的循环群。

例如，623=⨯阶交换群只能是6阶循环群；1025=⨯阶交换群只 能是10阶循环群，…。

注意：推论对非交换群不成立。

例如3||623S ==⨯，3S 不是循环群.（1）哈密尔顿群：如果G 是一个非交换群，且G 的每个子群都是正规子群，则称G 是一个哈密尔顿群。

例6 四元数群{}81,,,,1,,,Q i j k i j k =----是哈密尔顿群。

证明 首先8Q 是非交换群。

其次由Lagrange 定理及其推论，可以找出8Q 的真子群只有{}1,1-，{}1,1,,i i --，{}1,1,,j j --，{}1,1,,k k --。

其中{}1,1-显然是8Q 的正规子群。

对{}1,1,,N i i =--，不难检验{}1,,,,1,,,x i j k i j k ∀∈----， xN Nx =恒成立，所以{}1,1,,i i --是 8Q 的正规子群。

同理，{}1,1,,j j --，{}1,1,,k k --也是8Q 的正规子群。

从而8Q 是哈密尔顿群。

注意：1，2，3，5，7阶群都是循环群，因而是交换群，从而都 不是哈密尔顿群。

再由上一节例3和习题，4阶和6阶群也都不 是哈密尔顿群。

因此，例4表明，四元数群8Q （8阶）是阶数最小的哈密尔顿群。

（2）单群：阶数大于1且只有平凡正规子群的群称为单群（交换非交换都可以）。

例如，素数阶的群一定是单群。

另外，由例3得交错群4A 不是 单群，因为44K A 。

而23,A A （1阶，3阶）显然是单群。

又当 5n ≥时，可以证明n A 都是单群（证明略）。

这样，4A 是所有交 错群中唯一的非单群。

另外还可以证明：当3n ≥且4n ≠时，n S 的正规子群只有{(1)}， n A 和它自己n S ，这样n S 几乎是单群（仅有一个非平凡正规子群）。

单群可以分为交换单群和非交换单群两大类。

其中有限交换 单群的结构非常简单，即有限交换群G 是单群当且仅当它是素数阶的循环群。

证明 首先，素数阶的循环群一定是单群。

反之，设G 是一个有限交换单群且||1G n =>。

a G ∀∈且a e ≠， 若||a n <，由于G 是交换群，所以由a 生成的子群a <>是G 的 一个非平凡正规子群，这与G 是单群矛盾。

因此必有||a n =， 这样G 是一个n 阶循环群。

再由循环群的子群定理，n 必为素数。

（否则，n 的每个正因子都对应一个真子群，与G 是单群矛盾）。

这样G 只能是素数阶的循环群。

非交换单群的确定远比交换单群复杂。