高中数学学案：三角函数在实际问题中的应用

高中数学学案：三角函数在实际问题中的应用

1. 会利用三角函数的概念和性质以及解三角形等知识解决有关三角函数的实际问题．

2. 能灵活利用代数、几何知识建立三角函数模型,综合利用三角函数、不等式等知识解决实际问题

1. 阅读：必修5第18～20页；必修4第41～44 页,第116～117 页,第122页．

2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？②实际应用中常用的术语,如仰角、俯角、方位角、坡度、方向角,你清楚含义吗？

3. 践习：在教材空白处,完成必修4 第116 页例5、第122页例5；完成必修5第18～19页例2、例4,第20页练习第4题,第21页习题第6、7、8题.

基础诊断

1. 海面上有A,B,C三个灯塔,AB＝10 n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成

75°视角,则BC＝n mile.

解析：由题意得在△ABC中,AB＝10,A＝60°,B＝75°,所以C＝45°.由正弦定理可得BC

sin A＝

AB

sin C,即BC＝AB

sin C·sin A＝5 6.

2. 如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个测点C,D,测得∠BCD ＝30°,∠BDC＝120°,CD＝10m,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB＝__30__m.

解析：在△BCD中,由正弦定理得

BC

sin∠BDC＝

CD

sin∠CBD

,即BC＝

10

sin30°·sin120°＝10 3.在

Rt△ABC中,AB＝BC·tan∠ACB＝103×3＝30,故AB＝30m.

3. 如图,一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10：00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,且与它相距2n mile,则此船的航速是__32__n mile/h.

解析：由题可知,∠S ＝75°－30°＝45°,由正弦定理可得BS sin 30°＝AB

sin S ,即AB ＝16.又因为此船航行了0.5h ,所以此船的航速为16÷0.5＝32(nmile /h ).

4. 如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B 间的距离,李宁同学首先选定了与A,B 不共线的一点C,然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A,B,C 所对的边分别记为a,b,c)：

①测量A,C,b ；②测量a,b,C ；③测量A,B,a.

则一定能确定A,B 间距离的所有方案为①②③．(填序号)

解析：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B 两点间的距离；对于②直接利用余弦定理即可确定A,B 两点间的距离．

范例导航

考向❶ 距离、高度问题

例1 如图,点M 在A 城的南偏西19°的方向上,现有一辆汽车在点B 处沿公路向A 城直线行驶,公路的走向是A 城的南偏东41°.开始时,汽车B 到M 的距离为9km ,汽车前进6km 到达点C 时,到M 的距离缩短了4km .

(1) 求△BCM 的面积S ；

(2) 汽车还要行驶多远才能到达A 城.

解析：(1) 在△BCM 中,BM ＝9,MC ＝5,BC ＝6.由余弦定理得cos ∠BCM ＝

BC 2＋MC 2－MB 2

2×BC ×MC

＝－13,

则sin ∠BCM ＝223,所以S ＝12MC·BC·sin ∠MCB ＝12×5×6×22

3＝102(km 2)．

(2) 由条件得∠MAC ＝π

3.

由(1)得cos ∠BCM ＝－13,sin ∠BCM ＝22

3则

cos ∠ACM ＝cos (π－∠BCM)＝－cos ∠BCM ＝13,sin ∠ACM ＝22

3,

所以sin ∠AMC ＝sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫π－∠ACM －π3

＝sin (2π

3－∠ACM)

＝32cos ∠ACM ＋1

2sin ∠ACM ＝

3＋22

6

. 在△AMC 中,由正弦定理得AC sin ∠AMC ＝MC

sin ∠MAC ,则AC ＝MC·sin ∠AMC sin ∠MAC ＝

15＋1069(km )．

故汽车还要行驶15＋106

9

km 才能到达A 城．

如图,一栋建筑物AB 的高为(30－103) m ,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的点M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶A,塔顶C 的仰角分别是15°和60°,在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°,则通信塔CD 的高为__60__m .

解析：在Rt △ABM 中,AM ＝AB

sin 15°·sin 90°＝30－103sin 15°＝206,过点A 作AN ⊥CD,垂足为点N,在Rt △ACN 中,因为∠CAN ＝30°,

所以∠ACN ＝60°.

又在Rt △CMD 中,∠CMD ＝60°, 所以∠MCD ＝30°,所以∠ACM ＝30°. 在△AMC 中,∠AMC ＝105°, 所以AC sin 105°＝AM sin ∠ACM ＝206sin 30°,

所以AC ＝60＋203,CN ＝30＋103,

所以CD ＝DN ＋CN ＝AB ＋CN ＝30－103＋30＋103＝60(m ).

【注】 本例训练将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,求距离或高度实际就是选定或确定要创建的三角形,选择正弦定理还是余弦定理解三角形的边长. 考向❷ 角度问题

例2 如图,两座建筑物AB,CD 的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它的高度分别是9m 和15m ,从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角∠CAD ＝45°.

(1) 求BC 的长度；

(2) 在线段BC 上取一点P(点P 与点B,C 不重合),从点P 看这两座建筑物的视角为∠APB ＝α,∠DPC ＝β,问当点P 在何处时,α＋β最小？

解析：(1) 过点A 作AE ⊥CD,垂足为E,则CE ＝9,DE ＝6,设BC ＝x,则tan ∠CAD ＝tan (∠CAE ＋∠DAE)＝tan ∠CAE ＋tan ∠DAE

1－tan ∠CAE·tan ∠DAE

＝

9x ＋6x 1－9x ·6x

＝1, 化简得x

2－

15x －54＝0,