2012年中考数学复习 第三章函数及其图象 第14课 二次函数及其图象课件

解析：根据图象可知： ①a＜0，c＞0，∴ac＜0，正确；
1 ②∵顶点坐标横坐标等于 ，∴－ b ＝ 1 ，∴a＋b＝0正确； 2
2a 2 4ac－b 4a
2
③∵顶点坐标纵坐标为1，∴
＝1，∴4ac－b2＝4a，正确；
④当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，错误．
正确的有3个．故选C.
题型分类 深度剖析
x2－11x＋10＝0，解之得x1＝1，x2＝10.
∴当x＝1时，50＋x＝51；当x＝10时，50＋x＝60. ∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润
不低于2200元. (或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的
.
抛物线的对称轴是直线x＝ －2a ，抛物线的顶点
是
2 4ac－b b － ， 2a 4a
.
4．图象的平移：
[难点正本 疑点清形式的转化
根据定义可知，二次函数需满足两个条件：①a≠0，②x的最高 次数为2.一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)， 则解析式可以写成交点式y＝a(x－x1) (x－x2 ) .
c＝1, a＋b＋c＝3, 9a＋3b＋c＝2. ∴y＝－
5 6
c＝1.
[6分]
x2＋17 x＋1.
6
(3)①当点A运动到点 F 时，t＝1， 当0<t≤1时，如图1， ∵∠OFA＝∠GFB′， tan∠OFA＝ OA＝ 1 ，
OF
∴tan∠GFB′＝ ∴GB′＝ S△FB′G＝
2
5 t，
2 GB′ ＝
选B.
题型三
利用二次函数解决实际应用题
【例3】 我市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每 间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费 提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元， 则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去． (1)设每间包房收费提高x(元)，则每间包房的收入为y1(元)，但会 减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； (2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每
第14课 二次函数及其图象
要点梳理
1．定义：形如函数 y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数， 叫做二次函数．
2
且a≠0)
2．利用配方，可以把二次函数y＝ax2＋bc＋c表示成 y＝a
b 2 4ac－b x＋ ＋ 2a 4a
.
3．图象与性质：
二次函数的图象是抛物线，当 a＞0 时抛物线的开口 向上 ，这 时当 x≤－
知能迁移3
某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月
可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖 10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为 正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最 大的月利润是多少元？
知能迁移1
已知二次函数y＝－x2＋bx＋c图象如图所示，它与x
轴交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)． (1)求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式； (2)根据图象，写出函数的值y为正数时，自变量x的取值范围． －1－b＋c＝0, 解：(1)由题意，得 c＝3, b＝2, 解之得 ∴y＝－x2＋2x＋3. c＝3, (2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解之得x1＝－1，x2＝3. 当y>0时，x的取值范围是－1<x<3.
题型二
利用二次函数的性质解答
【例2】 已知点A(1,1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函 数的图象的顶点坐标． 解：(1)∵点A(1,1)在抛物线y＝x2－2ax＋b上， ∴1＝1－2a＋b，b＝2a. (2)∵抛物线y＝x2－2ax＋2a与x轴只有一个交点， ∴△＝(－2a)2－4×1×2a＝0， ∴4a2－8a＝0,4a(a－2)＝0， ∵a≠0，∴a－2＝0，a＝2. ∴y＝x2－4x＋4＝(x－2)2，顶点坐标为(2,0)．
(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时 停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积． 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)C(3,2)，D(1,3)． a＝－5 , 解得
6 17 b＝ , 6
[2分]
(2)设抛物线为y＝ax2＋bx＋c，抛物线过(0,1)，(3,2)，(1,3)，
b 2a b
时，y的值随x的增大而 减小 ；当 x≥－ 2a 时，
b － 2a
y的值随x的增大而 增大 ；当x＝
时，y有 最小值 .
b 2a
当 a<0 时抛物线开口 向下 ，这时当 x≤－ 的增大而 增大 ；当 x≥－ 当x＝
b － 2a
时，y的值随x 减小 ；
时，y有 最大值
b 2a 时，y的值随x的增大而 2 4ac－b 4a b
基础自测
1．(2011· 北京)抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( A ) A．(3,－4) C．(－3,－4) B. (3,4) D．(－3,4)
解析：y＝x2－6x＋5＝(x2－6x＋9)－4＝(x－3)2－4， 则抛物线顶点坐标为(3,－4)．
2．(2011· 乐山)将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛 物线的解析式是( A ) A．y＝－(x＋2)2 C．y＝－(x－2)2 B．y＝－x2＋2 D．y＝－x2－2
(2)∵x＝－ 2 ＝－ 1 ，
2 2×2 ∴y＝2×－1 2＋2×－1－4＝ 1 －1－4＝－4 1， 2 2 2 2 1 1 ∴顶点坐标为 － ，－4 . 2 2
探究提高 根据不同条件，选择不同设法． (1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a、b、c 的值． (2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程，函数最值，则设所 求二次函数为顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)，将已知条件代入， 求出待定系数． (3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点 式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，可求出a值．
利润不低于2200元)．
题型四
结合几何图形的函数综合题 【例4】 如图，已知直线y＝－ 1 x＋1交坐标轴于A，B两点，以线 2 段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线
另一个交点为E. (1)请直接写出点C、D的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)若正方形以每秒个单位长度的 速度沿射线AB下滑，直至顶点D 落在x轴上时停止．设正方形落 在x轴下方部分的面积为S，求S 关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利 润不低于2200元？
解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)
＝－10x2＋110x＋2100(0<x≤15，且x为整数)．
(2)y＝－10(x－5.5)2＋2402.5. ∵a＝－10<0，
探究提高 某点在函数图象上，该点的横坐标、纵坐标满足函数解析式． 函数y＝x2－2ax＋b的图象与x轴只有一个公共点，可知关于x的 方程x2－2ax＋b＝0有两个相等的实数根，根据此两个条件可列 出关于a、b的二元一次方程，解之即得函数的解析式．
知能迁移2
(1)抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是( B．直线x＝－1 D．直线x＝3
FB′
GB′ 1 ＝ ， 5t
2
图1
2 1 FB′×GB′＝
× 1 t× 5 ＝t25 ；
4．(2011· 威海)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，
自变量x的取值范围是(
A．－1＜x＜3 B．x＜－1
)A
C．x＞3
D．x＜－3或x＞3 解析：如图，可知x＝－1或3时，
y＝0；当－1<x<3时，y<0.
5．(2011· 孝感)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴正半轴 1 相交，其顶点坐标为 ( ,1) ，下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0； 2 2＝4a；④a＋b＋c＜0.其中正确的个数是( ③4ac－b ) C A. 1 C．3 B. 2 D．4
将解析式y＝ax2＋bx＋c通过配方法可化成顶点式y＝a(x＋h)2＋k；
将顶点式、交点式展开，合并同类项后，即可化成一般式y＝ax2＋ bx＋c.
在已知抛物线上三个点的坐标时，我们通常设一般式，然后将
三个点的坐标分别代入关系式中，解方程组，求出各系数，以确 定函数关系式；在已知拋物线顶点坐标时，我们通常设顶点式，
解析：抛物线y＝－x2向左平移2个单位，得y＝－(x＋2)2.
3．(2011· 重庆)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系 中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( D ) A．a>0 C．c＜0 B. b＜0 D．a＋b＋c>0
解析：当x＝1时，对应的点(1 , y)在
第一象限内，y＝a＋b＋c>0.
bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看做0，求
自变量x的值．学习这部分知识，可以类比一次函数与一元一次方 程的关系．