高中数学总结归纳 等比数列的性质及应用

等比数列的性质及应用
与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．
一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为n
S '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2
n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．
例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．
解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22
233610812
n n n S S S ''∴==='． 故该数列前3n 项的和为10848156+=．
例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ． 解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，
即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．
2
302040302010
()150S S S S S S +∴=+=-． 二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，
且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，
有t k
p m n r a a a a a a =···…···…． 例3 在等比数列{}n a 中，若9912
3992a a a a =···…·，求50a ． 解：1992
9849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912
399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．
三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为m
q （m 为等距离的项数之差）． 例4 在等比数列{}n a 中，若12
341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···． 解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．
设112
341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．
10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。