第四章 贝塞尔函数

k 0
k 0
k 0
m2
C0 (c 1) cxc C1c (c 1)xc1 Ck (c k 1) (c k)xck k 2
C0cxc C1(c 1)xc1 Ck (c k)xck k 2
v2C0 xc v2C1xc1 v2 Ck xck Ck2 xck
k 2
k 2
C0 (c2 v2 ) xc C1[(c 1)2 v2 ]xc1 [Ck (c k 1) (c k) Ck (c k) v2Ck Ck2 ]xck k 2
取：k(x) 1、q (x) 0、 (x) 1
d2y dx2
y
0
亥姆霍兹方程
取：k(x) x、q (x) m2 、 (x) x
x
d dx
x
dy dx
m2 x
y xy
0
参数形式的 贝塞尔方程
=1
d dx
x
dy dx
m2 x
y xy
0
贝塞尔方程
取： k(x) 1 x2、q 0、 1
1837年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置， 第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早 被测定的恒星视差之一。
一、几个微分方程的引入
深圳大学电子科学与技术学院
三维波动方程：
2
t 2
a 2
2
x2
2
y 2
2
z 2
a22
三维热传导方程： t
a 2
2
x2
2
y 2
深圳大学电子科学与技术学院
第四章：贝塞尔函数
深圳大学电子科学与技术学院
本章提要:
• 几个微分方程的引入 • 伽马函数的基本知识 • 贝塞尔方程的求解 • 贝塞尔函数的基本性质 • 贝塞尔函数应用举例
深圳大学电子科学与技术学院
参考了孙秀泉教授的课件
深圳大学电子科学与技术学院
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外， 在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们 以19世纪德国天文学家 F.W.Bessel 的姓氏命名，他 在1824年第一次描述过它们。
(2n)! 22n n!
n
1 2
1
(2n 1)! 22n1 n!
三、贝塞尔方程的求解
深圳大学电子科学与技术学院
x2
d2y dx2
x
dy dx
（x2
2）y
0
(x 0)
阶贝塞尔方程
变系数的二阶线性常微分方程，其解称为贝塞尔函数
y'' 1 x
y'
x2 2
x2
y
0
不能在x=0附近展开成幂级数，因为x=0是它的 正则奇点
贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了 实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用 于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还 编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研 究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决 物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也 做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德 莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星 更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的 《波恩巡天星表》。
k=0
d r 2 dR 2R 0
dr dr
球贝塞尔方程
k=0
欧拉方程
深圳大学电子科学与技术学院
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
s
m2
in 2
)
0
x cos y(x) ( )
连带勒让德方程：
d dx
(1
x2)
dy dx
( 2
m2 1 x2
)y
0
m=0
勒让德方程：
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
c v
将c=v代入(2)，得C1=0
先考虑c=v情况，代入(3)，得
Ck
Ck2 k(k 2v)
(k 2)
(4)
C3
C32 3(3 2v)
C1 3(3 2v)
0
C1 C3 C5 C7 0
C2
C22 2(2 2v)
(m
v)
一个特解为
y
Ck xck
k 0
C0
m0
(1)m 22m m!(1 v)(2 v)(3 v)
(m v)
x2mv
C0为任意常数，通常取
C0
2v
1 (1
v)
深圳大学电子科学与技术学院
(m v)(m v 1) (2 v)(1 v)(1 v) (m v 1)
C2m
(1)m
22m m
!
C0 (1 v)(2 v)(3 v)L
(m 1 v)(m v)
2v
1 (1
v)
(1)m
22m m
!
1 (1 v)(2 v)(3 v)L
(m 1 v)(m v)
2(2mv) m
!
(1)m (1 v)(1 v)(2 v)(3 v)L
(m 1 v)(m v)
(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
v阶贝塞尔方程的通解： y AJv (x) BYv (x) 如果v不是整数，其通解还可表示为
y AJ v (x) BJ v (x)
深圳大学电子科学与技术学院
贝塞尔函数的图象
第二类贝塞尔函数的图象 贝塞尔、牛曼函数的图象
深圳大学电子科学与技术学院
深圳大学电子科学与技术学院
深圳大学电子科学与技术学院
Jv (x)和Jv (x)称为第一类贝塞尔函数
深圳大学电子科学与技术学院
当 v 为正整数或零时， (m 1 n) (m n)!，故有
J
n
(
x)
m0
m
(1)m !(m n)
!
x 2
2mn
(n 0,1,2, )
(1)m
Jn (x) m0 m ! (m 1 n)
x
2mn
2
(n 0,1, 2,L )
例 求方程 x2 y( x) x y( x) (2 x2 n2 ) y( x) 0 的 通 解 ， 这 里 参 数 0。
解 作变换z x，则原方程可以变成
z2
d2y dz2
z
dy dz
(z2
n2 ) y
0
x2
d2y d x2
x
d d
y x
(x2
n2 ) y
0
看出它是关于 z 的 n 阶贝塞尔方程，其通解 为
2
eu2 du
2 0
0
0
1 2
2
2 eu2 du 2 ev2 dv
0
0
4
0
e( x2 y2 )dxdy
0
r2 x2 y2
dxdy rdrd
1 2 2
4
0
e( x2 y2 )dxdy
0
2
4
0
er2 rdrd
r0
2
4
0
1 er2 2
0
d
其它结论 n
1 2
d dx
(1
x
2
)
dy dx
2
y
0
柱坐标下：
z
r
x
深圳大学电子科学与技术学院
x cos
y
sin
y
z z
2u k 2u 0
1
(
u )
1
2
2u
2
2u z2
k 2u
0
u(,, z) R()()Z(z)
深圳大学电子科学与技术学院
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
z 2
a22
分离变量： (r,t) u(r)T (t)
对u(r)，
得到： 2u k 2u （0 亥姆霍兹方程）
球坐标下：
z
r
x
深圳大学电子科学与技术学院
x r sin cos
y
r
sin
sin
y z r cos
2u k 2u 0
1 r2
r
r 2
u r
1
r 2 sin
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
深圳大学电子科学与技术学院
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
dr dr
C0 22 (1 v)
深圳大学电子科学与技术学院
C4
C42 4(4 2v)
C2 4(4 2v)
C0 242!(1 v)(2
v)
C6
C62 6(6 2v)
C4 6(6 2v)
263!(1
C0 v)(2
v)(3 v)
C2m
(1)m
C0 22m m!(1 v)(2 v)(3
v)
d dx
(1
x2
)
dy dx
y
0
勒让德方程
二、伽马函数的基本知识
深圳大学电子科学与技术学院
定义：
(x) ett x1dt (x 0)
0
基本性质： (x 1) x(x)
Biblioteka Baidu
证明： (x 1） ett x11dt t xd (et ) t xet x ett x1dt x(x） 0
整数阶贝 塞尔函数
经过证明，有 Jn (x) (1)n Jn (x) Jn (x)和Jn (x)是线性相关的
定义Yv (x)
Jv (x) cosv sin v
Jv (x)
其中v不是整数
Yv (x)
lim
J (x) cos sin
J (x)
当v是整数时
深圳大学电子科学与技术学院
Yv称为第二类v阶贝塞尔函数（也称诺伊曼或牛曼函 数），与Jv(x)是线性无关的
C0 (c2 v2 ) xc C1[(c 1)2 v2 ]xc1 {Ck [(c k )2 v2 ] Ck2}xck 0 k 2
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
深圳大学电子科学与技术学院
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
因此级数y1的收敛区间为 (-,+) 在x=0时，
Jv (0) 1 (v 0) Jv (0) 0 (v 0)
深圳大学电子科学与技术学院
再考虑c=-v情况，得到
y2
Jv (x)
m0
(1)m m !(m 1
v)
x 2
2mv
贝塞尔方程的通解为：
y AJ v (x) BJ v (x)
其中v为实数（不是整数），A、B为待定系数
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2
m2
y0
另一途径：
d dx
k(x)
d d
y x
q
(
x)
y
(x)
y
0
,
(a x b)
深圳大学电子科学与技术学院
Sturm-Liouville（ 施 图姆-刘维尔）型方程
对于变系数方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)
都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有
广义幂级数解 y Ck xck k 0
(C0 0)
Ck是展开系数， c是待定常数
深圳大学电子科学与技术学院
y(x) xc (C0 C1x C2 x2 Ck xk ) Ck xck k 0
k 0
k 0
k 0
Ck (c k 1) (c k)xck Ck (c k)xck v2 Ck xck S 0
k 0
k 0
k 0
S Ck xck2 Cm2 xcm
k 0
m2
(m k 2)
深圳大学电子科学与技术学院
Ck (c k 1) (c k)xck Ck (c k)xck v2 Ck xck Cm2 xcm
J
v
(
x)
m0
m
!
(1)m (m 1
v)
x 2
2mv
v阶第一类 贝塞尔函数
深圳大学电子科学与技术学院
令
y1
Jv
(x)
um
m0
(x)
m0
m
(1)m !(m 1
v)
x 2
2mv
对于任意x(-,+)，
lim
um1 ( x)
x
2
lim
1
0
m um (x) 2 m (m 1)(m 1 v)
y A Jn (z) BYn (z)
所以原方程的通解为
y( x) A Jn ( x) BYn ( x)
其中，A、B 为任意常数，n 为任意实数。
y(x) Ck (c k)xck1 k 0
y(x) Ck (c k 1) (c k)xck2 k 0
代入贝塞尔方程
x2
d2y dx2
x
dy dx
（x2
v2）y
0
x2 Ck (c k 1) (c k)xck2 x Ck (c k)xck1 (x2 v2 ) Ck xck 0
深圳大学电子科学与技术学院
德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年7 月22日生于 明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业 余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年 任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。
0
0
0
(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
深圳大学电子科学与技术学院
求证： 1 2
(x) ett x1dt
令t=u2
0
1
ett 1
2dt
eu2
(u2 )1
2d (u2 )