信号与系统——信号的正交函数分解
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3 连续信号的正交分解1-2
t2 t1
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E
信号与系统第三章 连续信号的正交分解
f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1
若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。
信号与系统1.5信号的分解
t1 t1
[f f (0)u(t)
t1 t1
(t1
)
f (t1 t1
t1
)]u(t
t1
)t1
取 t1 0 的极限：
f (t)
f (0)u(t)
0
df (t1 dt1
)u
(t
t1
)dt1
说明：将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广， 在第二章将由此引出卷积积分的概念，并进一步研 究它的应用。
t0 T t0
fA2(t) dt
（二）偶分量与奇分量
对任何实信号而言：
f
(t)
fe (t)
fo (t)
fe (t) fo (t)
: 偶分量 : 奇分量
fe t fe t e: even
fo t fo t
o: odd
fe (t)
1 2
f
(t)
f
(t)
fo (t)
1
2
f
(t)
f
(t)
（四）实部分量与虚部分量
瞬时值为复数的信号可分解为实、虚部两个部分之和。
f (t) fr (t) jfi (t)
共轭复函数 f *(t) fr (t) jfi (t)
fr (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
jfi (t)
1 2
f
(t)
f
* (t )
实际产生的信号都是实信号，但是在信号分析中可以
f (t) f (t1)u(t t1) u(t t1 t1）
t1
令t1 0
t1
f (t1)
u(t
t1
)
u(t t1
信号与系统_第三章连续信号的正交分解_ppt课件
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12
t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r
t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1
f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12
t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r
t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1
f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§4.1 信号分解为正交函数
完备正交函数集。 称此函数集为完备正交函数集 称此函数集为完备正交函数集。 例如： 例如： 三角函数集 {1，cos(n t)，sin(n t)，n=1,2,…} ， ， ， 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ， 是两组典型的在区间(t 典型的在区间 +T)(T=2π/Ω)上的 上的完备 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备 正交函数集。 正交函数集。
•本章以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号， 本章以正弦信号 虚指数信号e 为基本信号， 本章以正弦信号和 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 不同频率 或虚指数信号之和。 或虚指数信号之和。 频域分析。 •分析系统的独立变量是频率，故称频域分析。 分析系统的独立变量是频率 故称频域分析 分析系统的独立变量是频率，
▲ ■ 第 2页
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 年 法国数学家傅里叶 在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论” 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 理论基础。 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •Poisson、Guass等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 、 等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 进入20世纪以后 进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 的理论研究和工程实际应用中， 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中 具有很多的优点。 具有很多的优点。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力 “
信号与系统王明泉第三章习题解答
（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量 和 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果 和 为相互正交的单位矢量，则 和 就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量 能满足 。在二维矢量空间中的任一矢量 可以精确地用两个正交矢量 和 的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、 的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、 的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号 如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将 向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足 ，当 为偶数时， ， ；当 为奇数时， ， ，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即 。式中， ， 。研究表明， 越大， 越小，当 时， 。
信号系统 第四章总结
第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数 （一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。
若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。
复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。
则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。
2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。
≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。
3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。
4、完备正交函数集举例： ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a02+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
4.1+信号的正交分解
1.5
11Biblioteka 0.50.50
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
• 如何去除工频干扰？
4.1 正交函数集的概念
正交函数 :
设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数 若： 则
t2
t1
f1 (t ) f 2* (t )dt 0
e jn0t , n 0,1, 2
4.1 正交函数集的概念 对于三角正交函数集或复指数正交函数集，在正交
区间（ t 0 ，t0 T ）内，以下等式成立：
0 m n t0 cos n0t cos m0tdt T m n 2 0 m n t0 T t0 sin n0t sin m0tdt T m n 2
f1(t)与f2(t)正交
4.1 正交函数集的概念
例：两个函数 f1(t) 与 f2(t) 波形如图所示，试判断它们在 区间（
, ）是否正交 (
f1(t )
1
0 )。
f2(t)
1
0
t
0
t
4.1 正交函数集的概念
例：试判断在区间（0，
2
0
）内，
1.sin 0t和 cos 0t是否正交； 2.cos n0t和 cos m0t是否正交(m, n Z ); 3.e jn0t 和e jm0t 是否正交(m, n Z )。
信号与系统概念公式总结
信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f j i dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义：如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第3章
An cos(nt n )
Fne jnt
n 1
n
F0 2 Fn cos(nt n )
其中：
n 1
an
2 T
t0 T t0
fT (t )cosntdt
bn
2 T
t0 T t0
fT (t )sin ntdt
n0,1,2...
1
n1,2...
Fn
T
t0 T t0
fT (t)e jnt dt
fT (t)sin ntdt
A0 a0 An an2 bn2
n 1,2...
n
arctg
bn an
说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。
2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍
和正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：
a0 A0 直流分量cost, sin t 基波分量 22
fT (t)
Fne jnt
F e j (nt n ) n
F0
2 Fn cos(nt n )
n
n
n1
各谐波分量的角频率nΩ 是基波角频率Ω的n倍且有不同的
振幅和相位，均有傅立叶系数 Fn Fn e jn 反映出来。
为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅
及相位随w变化的曲线称其为频谱图。
的模
最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的
模最小，此时V1和V2正交。
2.矢量分解
在平面空间里，相互正交的矢量
V1和V2构成一个正交矢量集，而且为
完备的正交矢量集。平面空间中的任
一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即：
V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中：
3 连续信号的正交分解3
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.3 信号表示为傅立叶级数
• a0/2,an,bn都是分量系数 都是分量系数 • a0/2是函数 /2是函数 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 f(t)在该区间内的平均值,称为直流分量。 在该区间内的平均值 直流分量 合成一个角频 • n=1时，即a1cos t+b1sin t合成一个角频 n=1时 =2π/T的正弦分量 称为基波分量 的正弦分量， 基波分量； 率为 =2π/T的正弦分量，称为基波分量； • N〉1时，ancos t+bnsin t合成一个角频 率为n 的正弦分量，称为f(t) f(t)的 率为n 的正弦分量，称为f(t)的n次谐波 分量; 分量; • 称为基波频率，n 称为谐波频率。 称为基波频率 基波频率， 称为谐波频率 谐波频率。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
bn an
§3.3 信 ∫ =
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt cos 2 ( nΩt ) dt
∫ ∫
t1 + T
2 = T 2 = T
∫ ∫
t1 +T
t1
f (t ) cos( nΩt ) dt
t1
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt sin 2 ( nΩt ) dt
t1 + T
t1 +T
t1
f (t ) sin( nΩt ) dt
t1
2 n = 0时， a0 = T
∫
t1 + T
t1
f (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
第3章 连续信号的正交分解.ppt
其中，系数
cr
V Vr Vr Vr
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3.2.2 信号的正交分解
1、正交函数——设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个 函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表 f1(t)，其误差函数为
fe (t) f1(t) c12 f2 (t)
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
1. 频谱与周期的关系
T= 10τ 1
2
4
6
T= 20τ
1
2
4
6
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 频带宽度与脉宽的关系
1
1
T
τ
0.5
T
τ
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。 当V1=V2 时， c12=1
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 矢量的正交分解
平面矢量的正交分解
c2V2
V
V c1V1 c2V2
V2 2
o
1
V1
c1V1
c1
V
c os1
V1
V V1 V1 V1
c2
2
a0 T
T 0
f
(t)dt
2 T
T 2 0
dt
T T dtΒιβλιοθήκη 0 2 2an T
信号与系统第3章正交函数集
2
1 { T2 T2 T1 T1
f
2(t)dt
T2 T1
n i1
ai2 fi2(t)dt
T2 2 f (t) n
T1
i1
ai
fi (t)dt}
(2)
(ai )
1{ T2 T1
2a T2
T1
i
fi2(t)dt
T2 2 f
T1
(t) fi (t)dt} 0有：
T2
T1
2ai
fi2
(t)dt
T2 T1
2
f
(t)
fi
(t
)dt
ai
f T2
T1 T2
T1
(t) fi (t)dt fi 2 (t)dt
T2 T1
f (t) fi (t)dt Ki
第十九页，编辑于星期六：十六点 十二分。
如果 F 中的函数为复函数
则有：
ai
T2
T1 T2
T1
f (t) fi*(t)dt fi (t) fi*(t)dt
ai
fi
(t)]2
dt
2 1 T2 T1
T2 T1
{
f
2
(t)
[
n i1
ai
fi
(t)]2
2
f
(t)
n i1
ai
fi
(t)}dt
2
1 { T2 T2 T1 T1
f 2(t)dt
T2 T1
[
n i1
ai
fi
(t)]2
dt
T2 T1
2
f
(t)
n i1
ai
fi (t)dt}
信号第3章 正交分解
可证: a n a n 偶函数 A n An
bn bn 奇函数 n n
10
第三章 连续信号的正交分解
11
第三章 连续信号的正交分解
• 实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波， 而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差
a0 ak coskt bk sinkt n (t ) f (t ) 2 k 1
周期T不变，脉冲宽度变化
T 4
1 4
An 2
解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。
0
f (t )
T 4
t
T 4
0
T 4
T 2
T
t
f(t)= f(-t) f(t)= - f(t+T/2)
26
第三章 连续信号的正交分解 3.4 周期信号的频谱
A0 f (t ) An cos( nt n ) 2 n 1 A0 a0
• 频谱图
Cr
t2
r 1
t1
1 t2 2 kr g ( t ) dt r
t1
f (t ) g r (t )dt
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
2 Cr由 Cr Cr
n 1 t2 2 [ f (t ) C j g j (t )] dt 0求得 t j 1 t 2 t1 1
第三章 连续信号的正交分解 • 信号分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
信号与系统课件--§4.1 信号分解为正交函数
j 1
▲ ■ 第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t ) Ci i (t )
i 1
1 Ci Ki
t
t2
1
f (t ) i (t ) d t
Ki
t2 t1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t Ci2 K i
i 1
▲ ■ 第 8页
t2
t2
所以系数
Ci
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
(t ) d t
2 i
1 Ki
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
▲ ■ 第 6页
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
n t2 1 2 [ f (t ) d t C 2 K j ] 0 j t 2 t1 t1 j 1 2
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
§4.1 信号分解为正交函数
• 矢量正交与正交分解 • 信号正交与正交函数集
• 信号的正交分解
■
第 1页
一、矢量正交与正交分解
• 矢量正交的定义： 指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)的内积为0。 3 即 T
▲ ■ 第 4页
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
▲ ■ 第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t ) Ci i (t )
i 1
1 Ci Ki
t
t2
1
f (t ) i (t ) d t
Ki
t2 t1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t Ci2 K i
i 1
▲ ■ 第 8页
t2
t2
所以系数
Ci
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
t2 t1
(t ) d t
2 i
1 Ki
t2 t1
f (t ) i (t ) d t
▲ ■ 第 6页
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
n t2 1 2 [ f (t ) d t C 2 K j ] 0 j t 2 t1 t1 j 1 2
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
§4.1 信号分解为正交函数
• 矢量正交与正交分解 • 信号正交与正交函数集
• 信号的正交分解
■
第 1页
一、矢量正交与正交分解
• 矢量正交的定义： 指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)的内积为0。 3 即 T
▲ ■ 第 4页
三、信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
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cr
t2 t1
f(t)gr(t)dt
tt12gr(t)gr(t)dt
,
gr(t)为gr(t)的 共 轭
X
§6.3 信号的正交函数分解
•矢量的正交分解 •正交函数 •正交函数集 •复变函数的正交特性
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
2
信号分解的目的
第 页
将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号 的特性。
简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。
n
et ei t
i0
ei t
H
ri t
rt
t2 t1
f1(t)f2(t)dt
0
X
6
三．正交函数集
第
页
任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：
n
f( t) c 1 g 1 ( t) c 2 g 2 ( t) c r g r ( t) c n g n ( t)c r g r ( t)
原函数
近似函数
r 1
g1t,g2t grt相互
基底函数 r =0,1,2,...n
•空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 •一个三维空间矢量 V xiy jzh ，必须用三个正交 的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：
V x i y j,V e z h 0
X
5
二．正交函数
第
页
在 t1 区 t t2 内 间， f1 t用 f2 信 t表号 示，
误差
f1(t)c12f2(t)
若在 t1 ,t2 内 区 ， 间 g 复 rt r 1 ,变 2 , ,n 满 函足 数
tt1 2gi(t)gi*(t)dtg i(t)g ,i(t)K i
tt 1 2 g i(t)g * j(t)d tg i (t)g ,j(t)0 i j
则此复变函数集为正交函数集。
用 g r(t) ,(r 0 ,1 ,2 ,n )表 f(t)求 示 , 系数
误差矢量
c 1 V 2 V 1 cV o 1 V s 2 )(
c 1系 2V 数1 cV V o 2 1 V s 2 ) (V 1 V 2 c V 2 V V o 2 1 V s 2 ) (V V 1 2 V V 2 2
V1V20
即 c120
两矢量正交
X
4
正交分解
第 页
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量，
正
交
cr
： tt12 f ( t ) gt 2 2
t1
r
g (
r
t
( )
t) d
d t
t
tt12gi(t)gj(t)dt K 0i,,
ij ij
t2 t1
f
(t
)g
r
(t)
d
t
Kr
g1t,g2t grt正交函数 集 f ( t ), g r ( t ) g r ( t ), g r ( t ) X
H
et
H
n
e i t
n
ri t
i0
i0
X
3
一．矢量的正交分解
第
页
V1用V2表示 方， 式不是唯一的：
V1
V 1c1V 2V e1 c2V2Ve2 c1V 22Ve
Ve1
Ve2 Ve
V2
c 2V 2 c 12V 2 c 1V 2
怎样分解，能得到最小的误差分量？
VeV2
V 1c1V 22Ve
7
分解原则是误差函数方均值最小
第 页
2
fe2(t)
t1
1 t2
[t2
t1
f
(t
)
n r1
cr
gr
(t
)]2
d
t
fe
误差信号能量
误差信号功率
令 C 2 10 , C 2 20 , , C 2 r0 , , C 2 n0 可cr表 得达
X
8
理解
第
页
cr
t2 t1
f(t)gr(t)dt t2g2r(t)dt
2fe 2(t)t21 t1tt1 2f(t)c1f2 2t 2d t
为 求 2最 使 小 c12 ,必 的需 d dc 122 使 0,求系得 数
c1
2
t2 t1
f1(t)
f2(t)dt
tt12f22(t)dt
f1(t),f2(t f2(t),f2(t
若c120，则f1(t),f2(t)称 为 正 交 函 数 ， 满 足
T f1(t) f2(t)dt0
• 对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定 满足正交。
• 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号。
X
10
四.复变函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的正交特性
第
页
两 复 变 函 t1,数 t2内 在 相 区 互 间 正 交 的 条
tt1 2f1(t)f2 (t)d ttt1 2f2(t)f1 (t)d t0
t2 t1
f(t)gr(t)dt
Kr
t1
•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。
• c1,c2, 是c相n 互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。
•正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函
数集是正交函数。
X
9
总结
第 页
• 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0，即：