9.8章定积分考研专题

F( y)
1
x2
x(1 yx)dx (
0
2

yx3 3
)
|10

1 2

y 3
当y 1时，1 yx 0(0 x 1 ),1 yx 0(x 1 )
y
y
1/ y
1
F ( y) x(1 yx)dx x(1 yx)dx
0
1/ y

x2 (
t
dt

t sin t 0 1 cos2 t dt

0
1
sin x cos2
x
dx

x sin x 0 1 cos2 x dx

0
1
x
sin x c os2
x
dx


2
sin x 0 1 cos2 x dx
2
0
1
1 c os2
x
d (c osx)



2
arc tan(c osx)
|0

2
4
例4 定积分的计算 1 2x x2 dx (西师02一（4）4分） 0
此题考查根式函数的积分； 法一：将根式内部配方后用三角代换； 法二：采用根式代换方法：将根式写成
ax b 形式,并令 ax b t
cx d
1 t2
1 t2
(1 t 2 )2
1 2x x2 dx 1 2t
4t dt
0
0 1 t 2 (1 t 2 )2
1
8
t2
dt 8 1 t 2 11 dt
0 (1 t 2 )3
0 (1 t 2 )3
1
8
1
0 (1 t 2 )2
1
dt 8

1 2

[1
(sin x cosx)' sin x cosx
]dx

1 2
(x

ln
|
sin
x

c os x
|)

C
所以： / 2 sin x dx 0 sin x cos x

1 2
(x

ln
|
sin
x

c os x
|)
|0
/2


/
4
法三： / 2 sin x dx 0 sin x cosx
法一：
1
0
2x x2 dx 1 0
1
(x
1)2 dxx
1
sin t
0
c os2
tdt
2

(
t 2

sin 2t 4
)
|0
2


4
法二：
1
2x x2 dx
1
(2 x)
x dx, 令
x t,
0
0
2x
2x
则x 2t 2 ,2 x 2 , dx 4t dt
v( ) v 1 sin 2 x
2
2
lim [ u( )
1 arctan( 2
2 tan x)] |u0
2
lim [ v( )
1 arctan( 2
2 tan x)] |v
2
1 lim [ arctan( 2 tan u)]
唯一的极小值点。
mx(1,) F ( y)

F (3
3)

1 33 9

1 2

33 3
1 1 3 3 1? 33 9 2 3 6
而 1 13 3 3 313 3 33 9 2 3 9 2 3
43 3 1 1 43 3 2 9 26 9 3
23 3 3 24 27成立。 所以函数F( y)在区间[0,)上的最小值为
(t 1)2 ln t |12

2 (t 1)2 dt 1t
ln 2
2 (t 2 1)dt
1
t

ln
2 (1 t2 2
2t
ln
|t
|)12

1 2
练习
1 1 x dx。(西师00三（1）6分）
01 x
1 1 x
2 1 (t 1)2
0 1
解法一：先求不定积分
sin x dx sin x cosx
1)用三角有理函数的不定积分方法；
2)用三角函数的关系进行变换。
法一：令 tan x t,则sin x
2t
1t2
, cos x
.
2
1 t2
1 t2
dx 2dt (参见华上p194 (8) ~ (10)), 于是： 1 t2
F(3 3) 43 3 1 92
例8 定积分的计算
已知[ 1 arctan( 2
2
tan
x)]'

1
1 sin 2
x
,
求积分I
1 0 1 sin2 x dx
(上海大学01一（3）6分）
解：用N L公式：
I
0
1
1 sin 2
x
dx

[
1 arctan( 2
2 tan x)]0
2012数学分析2第九章定积分考研专题
典型例习题与考研题----------一元函数积分学

例1 定积分的计算 2
sin x dx
0 sin x cos x
(重庆大学03二(3)10分，华上p229 # 4(2))
定积分计算的一般方法 法一：先求原函数（不定积分），再用N L公式； 法二：利用定积分的性质进行计算。
C
1
f (x)dx
1(3x2 2C)dx 1 2C
0
0
C 1,
则 2 1
f (x)dx
2 (3x 2
1
2)dx (x3
2x) |12 5
例6 定积分的计算 n x | sin x | dx，其中n为正整数 0 (武汉理工04一（2）10分）
cx d
例4 定积分的计算 1 2x x2 dx (西师02一（4）4分） 0
法三：用欧拉变换， 如果二次项系数小于0，令
ax2 bx c xt c (c 0) 如果二次项系数大于0，令
ax2 bx c ax t(参见华上p195 ~ 198)
例4 定积分的计算 1 2x x2 dx (西师02一（4）4分） 0
/ 2 f (cosx)dx(参见华上p230#7(1))
0
0
法三可推广：
计算 / 2
sin n x
dx或 / 2
cosn x dx
0 sin n x cosn x
0 sin n x cosn x

练习：4
(
sin
x

cos
x
)
பைடு நூலகம்
2
dx
(东南大学01四(1)8分)
0 sin x cos x
而F ( y)在[0，1]内单调递减，所以其在[0，1]内
的最小值为mx[0,1] F ( y)

F (1)

1 6
当y (1,)时，F ' ( y) y3 3 , F " ( y) 3 0
3y3
y4
所以F ' (3 3) 0, 且3 3为函数F( y)在区间(1,)内
工业学院03一（2）6分；华上p230 #7(2))
此题需要利用教材华上p230 #7(2)的结论。 其方法是利用换元法进行变换。
解： x sin x dxx t ( t) sin t dt
0 1 cos2 x
0 1 cos2 t

0
1
sin t cos2
2t
sin x dx
sin x cosx
1 t2
2dt
2t 1 t 2 1 t 2
1t2 1t2


2t
2t 1
t
2
2dt 1 t2
(t 1
4t 2)(t 1
dt 2) 1 t2

t 1
(1 t2

1 2
t
1 1
1 1 2 2 t 1
1


1
dx dx 0
2 1 sin 2 x
0 1 sin 2 x
02
2
解：I
1 0 1 sin 2 x dx

0
/2
1
1 sin 2
x
dx


/21
1 sin
2
x
dx
u1
1
lim
dx lim
dx
u( ) 0 1 sin 2 x
2

yx 3
3
)
|10/
y
( x2 2

yx 3
3
)
|11 /
y
1 1 [(1 y) ( 1 1 )] 2y2 3y2 2 3 2y2 3y2
1 1 y 3y2 2 3

所以：F
(
y)


1 y 23 11
y

3y 2 2 3
y [0,1] y (1,)
4 0
( s in sin
x x

cosx )2dx c os x


4 0
sin x cosx (sin x cosx)2 d (sin
x

c os x)

1
4 (sin x cosx)d
0
sin x cosx

sin sin
x x
cosx cosx
k 1
例7 定积分的计算
设F( y)
1
|
x

yx2
|
dx,
y
[0,
),
0
求F ( y)的最小值。(重庆大学98二13分）
分析：此题同样需要去绝对值， 所不同的是需要考虑变量y的范围。
解：F( y)
1
|
x

yx 2
|
dx

1
x | 1 yx | dx
0
0
当0 y 1时，1 yx 0
0
上述解法是错误的。理由在于题目所给导数关系
在x 处不成立，故不能直接利用N L公式。
2
例8 定积分的计算
已知[ 1 arctan( 2
2
tan
x)]'

1
1 sin2
x
,
求积分I
1 0 1 sin2 x dx
(上海大学01一（3）6分）
从另一方面也可看出，因为：
1
1
1
1
/ 2 sin x cosxdx 1
/2
dx / 4
2 0 sin x cosx 2 0
注：
法一利用三角函数有理式的不定积分一般步骤，
思路简单但计算量太大；
法二利用了双弦函数的导数间关系，构思巧妙；
法三则利用了定积分的性质：
/ 2 f (sin x)dx
/ 2
x /2t
cost
/2
dt
c os x
dx
0 cost sin t 0 cosx sin x
/ 2

sin x
dx
0 sin x cosx
1 [ / 2
sin x
/2
dx
cosx dx]
2 0 sin x cosx 0 cosx sin x
1
dt
0 (1 t 2 )3
???
太难！！！
例5 定积分的计算 (西师02一（6）4分）
设f (x) 3x2 2 1 f (x)dx,则 2 f (x)dx _________
0
1
此题需要先明确函数表达式。令 1 f (x)dx C， 0
对f (x) 3x2 2 1 f (x)dx两边积分得到： 0
)dt 2
1 ln(1 t 2 ) arctant 1 ln | t 1 2 |
2
2
1 ln | t 1 2 | C 2
1 ln(1 (tan x )2 ) arctan(tanx )
2
2
2
1 ln | (tan x )2 2 tan x 1 | C
2
2
2

所以： 2
sin x dx
0 sin x cosx
[1 ln(1 (tan x )2 ) arctan(tanx )
2
2
2
1 ln | (tan x )2
2
2

2
tan
x 2

1

|]02


4
法二：
sin x dx sin x cosx

1 2

(sin x cosx) (sin x cosx)dx sin x cosx
分析：此题涉及到被积函数取绝对值， 应考虑先去绝对值，将积分区间进行分段。
解：n x | sin x | dx n (1)k1 k x sin xdx
0
(k 1)
k 1
n

(1)k1 (sin
x

x
c os x)
|k
(k 1)
k 1
n
(2k 1) n2。
|0 / 4

4 0
cosx sin xdx sin x cosx
2
24
例2
定积分的计算
1
ln(1
x)dx (山东大学96一(5))
0
解：令1 x t,则x (t 1)2 ,
1 ln(1
x )dx 2 ln td (t 1)2
0
1
换元的同时记住 要换积分限。
dx1 x
x t1
t
2(t 1)dt
2 2 (t 2 3t 4 2)dt
1
t

( 2t 3 3
3t 2
8t
4 ln
|t
|) |12
11 3
4 ln
2
例3 定积分的计算 x sin x dx (浙江理工大学09二
0 1 cos2 x （5）5分;重大01三（1）6分；哈工大01一（1）5分；杭州电子