9.8章定积分考研专题
考研定积分知识点总结
一、定积分的定义和性质1. 定积分的概念定积分是微积分学中的重要概念，它是对函数在一个区间上的积分值进行求解的操作。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则我们可以通过定积分的形式来求解函数f(x)在区间[a,b]上的积分值，即∫(a to b) f(x)dx。
这里，∫表示积分符号，a和b分别表示区间的起点和终点，f(x)表示要求解的函数，dx表示积分变量，并代表着在区间[a,b]上x的变化范围。
因此，定积分的求解可以看做是对函数在一个区间上的积分值进行求解的过程。
2. 定积分的性质定积分具有一系列的性质，这些性质在定积分的求解中起着重要的作用。
主要的性质包括线性性、可加性、积性、保号性、保序性等。
具体来说，线性性指的是定积分的线性组合仍然可以进行积分求解；可加性指的是如果一个区间可以分解成若干个子区间，那么对应的积分值也可以进行求和；积性指的是如果一个函数是另一个函数的乘积，那么对应的积分值也可以进行相乘；保号性指的是如果函数在区间上恒大于等于零（小于等于零），那么对应的积分值也恒大于等于零（小于等于零）；保序性指的是如果函数在区间上恒大于等于另一个函数（小于等于另一个函数），那么对应的积分值也恒大于等于（小于等于）另一个函数在相同区间上的积分值。
这些性质在定积分的具体求解中是非常有用的，可以帮助我们简化求解的过程，提高计算的效率。
二、定积分的计算1. 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括定积分的定义法、不定积分法、分部积分法、换元积分法和定积分的几何意义。
其中，定积分的定义法是直接根据定积分的定义进行求解；不定积分法是将定积分转化成不定积分，通过求解不定积分再将得到的结果代入原来的定积分式中，从而得到最终的定积分值；分部积分法是将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式对各项进行积分求解；换元积分法是通过变量代换的方法将被积函数进行转化，然后再进行积分求解；定积分的几何意义则是利用定积分代表曲线下面积的特性来进行求解。
考研定积分详解
例6. 设
解法1:
f (x )
3
1 f (e ) 3
解法2: 对已知等式两边求导, 得
f (e ) f ( u) d u f (1)
1
e
e 1
f ( u)d u f (e ) f (1)
1 0
x dx
12
p
例2. 用定积分表示极限:
n 1 i i 1 解: 原式 lim sin(π ) lim sin(π ) n n n n i 1 n n i 1
n 1
1 0
sinπ x d x
o
1 n
2 n
n 1 n
1
x
1 n 1 iπ π 1 1 n n i i π 1π 1 π ( sin ) f sin 另解 : 原式 lim f sin x d x lim ( x )d x f ( xlim ) C [0,1] 定理： n π n n n in n 0n π 0 n i 1 1 i 1 n 1 1 n i 1 f ( x )d x f( ) 或者 lim π ( n1) π π x n n o n 2π 0 i 1 n n n
0
7
b
4.定积分的性质 (性质中涉及到的定积分均存在) (1) 线性性： [k1 f ( x) k2g( x)]dx k1 f ( x)dx k2 g( x )dx
(2) 可加性： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (3) (4) 若 f ( x ) g( x ), 则 f ( x )dx g( x )dx . (a b)
曲边梯形的面积;
定积分求解方式更新丨10分钟掌握高数上定积分求解问题(考研、期末复习均可以用)
定积分求解方式更新丨10分钟掌握高数上定积分求解问题（考研、期末复习均可以用）最近一直没有时间更新知识点，今天抽了点空，继续往下写点东西下面是之前更新的内容，请自取10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册导数及微分问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高等数学上册函数图像绘制问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握中值定理相关问题（考研、期末复习均可以用）10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）码字不易，观看后的同学请给个赞+关注如果有考研或是期末复习方面问题的话可以随时留言或者私信【答学百科】，更多期末复习资料更多更新内容也可以点击下方链接加入社群--------------分割线---------------正式进入定积分前，先简单说下什么是定积分吧：定积分就是函数 f(x) 与 x=a，x=b 及 x 轴所围成的区域对应的曲面面积，若曲面面积位于x 轴下方，则对应的积分值为负基于以上的描述，下方具体开始讲解一、定积分的定义上述介绍了定积分表示的几何意义，下面利用极限的形式看下定积分的定义：设 y=f(x) 在 [a,b] 上有界①设 a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b ，则[a,b]=[x_{0},x_{1}]\cup[x_{1},x_{2}]\cup...\cup[x_{n-1},x_{n}] ，其中 \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}(i=1,2,3...)②取 \xi_{i}=\in[x_{i-1},x_{i}] ，则“面积”为f(\xi_{1})\Delta x_{1}+f(\xi_{2})\Deltax_{2}+...+f(\xi_{n})\Deltax_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}③取 \lambda=max(\Delta x_{1},\Delta x_{2}...\Deltax_{n}) ，若 \lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 存在，则称f(x) 在[a,b]上可积分，记为 \int_{a}^{b}f(x)dx ，即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}注：有的同学会发现一个问题，为何要多引入一个 \lambda 值，令 n\rightarrow\infty 时不就可以了么下面简单看个图像如果仅仅是n\rightarrow\infty，那在区间内进行分段时，完全可以在 [a,c](c<b) 段上进行 \Delta x_{1}-\Deltax_{n-1} 的划分，然后把最后一段 \Delta x_{n} 留给 [c,b] 区段上，这种情况下该段的条形面积f(\xi_{n})\Deltax_{n} 的值就不会等于曲线与数轴之间围成的面积了，所以如果仅仅是n\rightarrow\infty的条件，累计的值并不等于积分值注：（1）极限 \lim_{\lambda \rightarrow0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}} 是否存在，与区间的分法和 \xi 的取值无关（ \xi 一般取区间的左右端点）（2）函数 f(x) 在 [a,b] 上有界是函数可积的必要条件，而非充分条件（3）利用定积分可以求解极限题目，之前在讲解极限以及每日一题的时候有提到过相关的原理和操作，下面有链接，此处不再重复：10分钟掌握高等数学上册函数极限求解问题（考研、期末复习均可以用）大学数学每日一题——微积分1208二、定积分的性质1、 \int_{a}^{a}f(x)dx=0 ，\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx2、若 f(x) 可积，\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x) dx3、若 f(x) 可积且f(x)\geq0，则\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0 ；若 f(x) 不恒等于 0 时，\int_{a}^{b}f(x)dx>04、若 f(x),g(x) 可积>f(x)\geq g(x)，\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx ，若 f(x) 不恒等于 g(x) 时， \int_{a}^{b}f(x)dx>\int_{a}^{b}g(x)dx5、若 f(x) 可积，则 \left| \int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int_{a}^{b}\left| f(x) \right|dx6、设f(x) 可积，且 m\leq f(x)\leq M ，则 m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq (b-a)M7、积分中值定理设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 \xi\in[a,b] 使得\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)注：积分中值定理是针对闭区间的定理，当然也有针对开区间的中值定理，下面进行证明例题：设 f(x) 在 [a,b] 上连续，求证存在 \xi\in(a,b)使得 \int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)解答：设 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt ， F'(x)=f(x) ，根据拉格朗日中值定理可知：存在 \xi\in(a,b)，使得\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi) ，即：\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{a}f(x)dx}{b-a}=f(\xi) ，即\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)大家在进行解题的时候应该注意题目要求的是证明开区间还是闭区间内的中值定理8、柯西不等式f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续，则(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^{2}\leq\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx \int_{a}^{b}g^{2}(x)dx以上8个性质在证明题中均可以直接使用三、定积分求解方法定积分的求解中涉及方法较多，最常见的是牛顿莱布尼兹公式，通过求出原函数来进行求解，除了牛顿，定积分的求解还涉及到很多不需要求解出原函数，而是通过定积分的特殊性质即可求解的情况，下列具体讲解：1、牛顿--莱布尼兹公式设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)牛顿莱布尼兹公式是求解定积分最基本的方法，其基础是不定积分，忘记的同学请自取：10分钟掌握高数上不定积分问题（考研、期末复习均可以用）例题：求解 \int_{0}^{1}xe^xdx解答：\int_{0}^{1}xe^xdx=\int_{0}^{1}xde^x=[xe^{x}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=e-[e^x]_{0}^{1}=12、定积分的特殊性质（1）对称区间上函数的定积分性质设函数f(x) 在 [-a,a] 上连续，则 \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx特别的，当 f(x) 为奇函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=0 ；当 f(x) 为偶函数时， \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx例题：求解 \int_{-1}^{1}\frac{x}{1+sin^2x}dx解答：设被积函数 f(x)=\frac{x}{1+sin^2x} ，f(-x)=\frac{-x}{1+sin^2x}=-f(x) ，由关系式可知，被积函数为奇函数，故该积分为0例题：求解 \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}dx解答：该积分为对称区间上的积分，所以可以直接用公式：\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)+f(-x)dx\int_{0}^{\pi/2}\frac{sin^2x}{1+e^x}+\frac{sin^2x}{1+e^{-x}}dx\int_{0}^{\pi/2}sin^2xdx=\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}上述题目两道题目如果用牛顿莱布尼兹公式求解的话着实很难求出原函数，且耗费时间较多，没有必要（2）三角函数定积分性质设 f(x) 在 [0,1] 上连续，则a、\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_{0}^{\pi/2}f(cosx)dxb、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\fra c{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{2}{3} （ n 为奇数）c、\int_{0}^{\pi/2}sin^nxdx=\int_{0}^{\pi/2}cos^nxdx=\fra c{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}...\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} （ n 为偶数）d、\int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dxe、\int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f( sinx)dx=\pi\int_{0}^{\pi/2}f(sinx)dx以上几个式子的证明过程不在此处进行详说，基本上都是用到二类换元法和分布积分法进行求解的，有兴趣的小伙伴可以自己尝试求解下（3）定积分的特殊性质设 f(x) 是以 T 为周期的可积分函数，则a、 \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dxb、\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx（4）特殊函数积分这里重点说一个大部分人经常遇到的一个积分，即\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx初学者遇到该问题时往往会想把原函数给求解出来，但是实际上这个函数是无法求解出原函数的（或者说在高等数学的范畴中是不要求求解出原函数的）没有原函数是不是代表该题目无法解答呢，实际上不是的，该积分题目其实求解的方法还是蛮多样的，接下来介绍两种方法，涉及到二重积分和概率论的解答思路a、利用二重积分进行解答：I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dyI^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{+\infty}re^{-r^2}dr=\piI=\sqrt{\pi}b、利用概率论中标准正态分布解法进行解答：标准正态分布概率密度函数如下：f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^2}{2}} ，根据概率密度函数的在正负无穷上积分等于1的性质可得\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1令 x=\sqrt{2}t ，原式变为 \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2}dt=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-t^2}dt=1=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}四、变限积分求导法则设 f(x) 在 [a,b] 上连续，则(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt)'=f(\varphi(x))\var phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)特别的档 \varphi(x)=x,\psi(x)=0 时，(\int_{a}^{x}f(t)dt)'=f(x)例题1：设 f(x) 在 [a,b] 上连续， F(x)=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt ，求解 F'(x)解答：F(x)=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dtF'(x)=xf(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt-xf(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt例题2：设 f(x) 在 [a,b] 上连续，F(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt ，求解 F'(x)解析：题设中的被积函数含有 x,t ，有的同学拿到后会直接利用公式进行求导，即F'(x)=f(0) （常数）但是细想觉得求导后应该为一个函数表达式，不应该为一个常数的确，上述的求法是错误的，正确的解答方法应该将被积函数的 x,t进行分离，分离开后再进行导数计算解答：x-t=k ，当 t=x 时， k=0 ；当 t=0时， k=x ； dt=-dkF(x)=\int_{0}^{x}f(x-t)dt=-\int_{x}^{0}f(k)dk=\int_{0}^{x}f(k)dkF'(x)=f(x)例题3：设 f(x)=\int_{1}^{x}e^{t^2}dt ，求\int_{0}^{1}x^2f(x)dx解答：\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)d(\frac{1}{3}x^3)=\frac{1}{3}x^3f(x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3f'(x)dx=-\int_{0}^{1}\frac{1}{3}x^3e^{x^2}dx=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^2e^{x^2}dx^2=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xe^{x}dx=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}xde^{x}=-\frac{1}{6}xe^x|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{1}{6}e^xdx=-\frac{1}{6}五、广义积分广义积分是相对于正常积分所提出来的一个积分概念，即对于积分上下限为无穷大，或是积分限内含有第二类间断点的积分1、积分区域无穷大的广义积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx,\int_{-\infty}^{0}f(x)dx,\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx以上三个积分均为积分区域无穷大的广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散敛散性判别法：设 \lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当 k>1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\leq1 时极限成立，该广义积分发散例题：求解\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx解答：设\lim_{x \rightarrow \infty}{x^kf(x)dx}=\lim_{x\rightarrow \infty}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出 k 的取值为 k\leq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分2、积分区间上存在无穷断点的广义积分\int_{a}^{b}f(x)dx函数 f(x) 在 x=a 的左邻域或 x=b 的右邻域或 x=a，x=b 的左右邻域内无界，则该积分称之为广义积分，当该积分的极限存在时，则说明该广义积分收敛，否则称其为发散敛散性判别法：（1）设 f(x) 在x=a 的左邻域无界，且\lim_{x\rightarrow a^+}{(x-a)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散（2）设 f(x) 在x=b 的右邻域无界，且\lim_{x\rightarrow b^-}{(b-x)^kf(x)dx}=M （ M 为常数），则当k<1 时极限成立，该广义积分收敛；当 k\geq1 时极限成立，该广义积分发散例题：求解\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx解答：被积函数在x=0 处为无界函数，所以设极限 \lim_{x\rightarrow 0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow0}{x^k\frac{1}{x}}=M ，为使该极限成立，可推出k 的取值为 k\geq1 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分3、积分区间内部存在无穷间断点\int_{a}^{b}f(x)dx被积函数在 x=c(a<c<b) 的去心邻域内无界，则\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x) dx ，此处必须将 c 点进行分离考虑，当两个式子的积分极限都存在时方能判断整个式子的极限存在例题：求解\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx错误解法：\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=-\frac{1}{x}|_{-1}^{1}=-2 ，该做法错误的地方是未考虑到 x=0 为函数的无穷断点，直接跳过了断点进行积分正确做法：\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx，将分离后的两个积分进行单独考虑\int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}}dx 在 x=0 处是无界的，所以考虑 \lim_{x \rightarrow0}{x^kf(x)dx}=\lim_{x \rightarrow0}{x^k\frac{1}{x^2}}=M ,为使该极限成立，可推出k 的取值为 k\geq2 ，所以根据收敛判别式可知该积分为发散积分同理可知\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}}dx 也是发散积分，所以判断该积分为发散积分六、定积分的应用1、面积（1）设 D 由 y=f(x)\geq0 ， x=a 及 x=b（b>a）围成，则D 的面积为 S=\int_{a}^{b}f(x)dx（2）设 D 由 y=f(x) ， y=g(x) ， x=a 及 x=b（b>a）围成，则 D 的面积为 S=\int_{a}^{b}\left| f(x)-g(x)\right|dx（3）极坐标法的面积 D 求解公式为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta ；当曲线由 r=r_{1}(\theta), r=r_{2}(\theta) 组成，则面积S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[r_{2}^{2}(\theta)-r_{1}^{2}(\theta)]d\theta（4）旋转曲面的面积函数 f(x) 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体侧面的面为S=2\pi\int_{a}^{b}\left| f(x)\right|\sqrt{1+f'^2(x)}dx备注：以上均是利用 y=f(x) 的函数进行面积求解，有的题目未直接给出 y=f(x) 的关系式，而是给出了参数方程的形式（ x=\varphi(t),y=\psi(t) ），可以直接将上述式子中的f(x),x,dx 等函数进行替换即可2、体积（1）y=f(x)绕 x 轴旋转后的体积：V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx（2）y=f(x)绕 y 轴旋转后的体积：V=2\pi\int_{a}^{b}\left| x \right|\left| f(x)\right|dx3、长度（1）设 L:y=f(x)(a\leq x\leq b) ，则曲线长度为l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^2(x)}dx（2）设 L:x=\varphi(t),y=\psi(t)(\alpha\leq t\leq\beta) ，则曲线长度为l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)} dt（3）设 L:r=r(\theta)(\alpha\leq x\leq \beta) ，则曲线长度为l=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)} d\theta例题1：求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 x=3旋转一周所成的几何体的体积解答：利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则 dv=2\pi(3-x)(4-x^2)dx ，则 V=\int_{-2}^{2}2\pi(3-x)(4-x^2)dx=64\pi例题2：求由曲线 y=4-x^2 与 x 轴围成的部分绕直线 y=-3旋转一周所成的几何体的体积解答：利用微元法进行求解：取 [x,x+dx]\subset[-2,2] ，则dv=[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx ，则 V=\int_{-2}^{2}[\pi(y+3)^2-\pi(-3)^2]dx=\int_{-2}^{2}[\pi(7-x)^2-\pi(-3)^2]dx=\int_{-2}^{2}40\pi+\pi x^2dx=2\int_{0}^{2}40\pi+\pi x^2dx=\frac{496}{3}\pi。
考研专题第2讲 定积分模块
例如：11年 国二 15题 10分
例如：20年 国二（3）4分
二、变限函数求导
• 2.3 变限函数与求解函数方程（简单的积分方程）
例如：16年 国三（16）10分
练习：设函数
f
(x)
在
(0，+)
内可导，f
(1)=
5 2
，且对所有 x,t (0, )
ln(1
k) n
一、定积分概念与性质
• 1.1 补充
一、定积分的概念与性质
例如：20年 国三（3）4分
一、定积分概念与性质
• 1.2 性质
一个常识、两个规定、六个性质； 几个重要不等式
一、定积分概念与性质
• 1.2 性质
例如：14年 国三 （19题）10分
二、变限函数求导
• 2.1 变限函数求导 • 总原则：被积函数中不能含有 x
2 0
f (x)dx
的值.
二、变限函数求导
• 2.2 极限、无穷小比较重（洛必达法则）涉及变限函数
例如：14年 国二（15）10分
x
t 2
1
et
1
t
dt
求极限 lim 1
x+
x2
ln
1
1 x
例如：17年 国二（15）10分
x
求极限 lim 0
x tetdt
x0+
x3
二、变限函数求导
例如：15年 国二（11）4分
d x sin(x t)2 dt
dx 0
练习：设 F (x) x tn1 f (xn tn )dt 其中函数f (x)有导数，且 f (0) 0 0
考研定积分经典例题(完美讲析)
年考研定积分经典例题(完美讲析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：定积分常见问题一、关于含“变上限积分”的问题3241(1)()1x x dt F x t =+⎰例、求下列导数324sin (2)()1x x x F x dtt=+⎰220(3)()()xF x tf x t dt =-⎰2例、求下列极限2221(1)lim(1)x t xx t e dt x -→∞+⎰求 2204()(2)lim,()(0)0,(0)2xx tf x t dtf x f f x→-'==⎰求连续，3例1(1)()()()sin f x f tx dt f x x x =+⎰求连续函数，使之满足1ln 1(2)()0()()1xt f x dt x f x f t x =>++⎰、设，其中，求 ()()3213()0(),1()8,()3f x f x xg x g t dt x f x >=-⎰（）设在可微。
其反函数为且求二、定积分计算的有关问题411(1)(1)dx x x +⎰例、（常见形式积分）4(2)1cos 2xdx x π+⎰ 1214arcsin (3).(1)xdx x x -⎰ 2224(4)(0)aax a dx a x ->⎰ln 220(5)1xe dx --⎰ 220(6)adx x a x+-⎰例2、（分段函数，绝对值函数）[(1)()b a xdx a b <⎰ 0,02(2)(),()(),2x l kx x f x x f t dt l c x l ⎧≤≤⎪⎪=Φ=⎨⎪≤≤⎪⎩⎰、设求 10(3)t t x dt -⎰sin ,02(4).()(),(0)0(),()0,2xx x f t g x t dt x x f x x g x x ππ⎧≤<⎪⎪-≥≥==⎨⎪≥⎪⎩⎰其中当时，而例3（对称区间上积分）11(1)(1sin )()x x x e e dx --++⎰()122212(2)sin ln 1ln (1)x x x xx dx -⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦⎰ 244sin (3)1x xdx eππ--+⎰ ()4[]()()baf x dx f xg x +⎰例、形如的积分42ln(9)(1)ln(9)ln(3)x dx x x --++⎰sin 2sin cos 0(2)xx x e dxe e π+⎰ 2(3),1()dxtgx πλ+⎰例5、（由三角有理式与其他初等函数通过四则成复合而成的函数的积分）22022001.(sin )(cos ))2.(sin )(sin )21331,24223.sin cos ,1342,1253n nf x dx f x dx xf x dx f x dxn n n n n xdx xdx n n n n n ππππππππ==--⎧⋅⋅⋅⎪⎪-==⎨--⎪⋅⋅⎪-⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰常用结论，为正偶自然数为大于的正奇数，2(sin )(1)(sin )(cos )f x dx f x f x π+⎰3233(sin )(sin )(cos )x dx x x π+⎰101020sin cos (2)4sin cos x x dx x x π---⎰、 2(3)ln sin xdx π⎰320sin (4)1cos x x dx x π+⎰ 2220sin (5),sin cos n n n n x x I dx n N x x π+=∈+⎰计算 640(6)sin cos x x xdxπ⎰[]2(7)(),,()()sin ,()1cos xf x f x f x xdx f x x ππππ--=++⎰设在上连续且满足求1210011(8)(1)x dx --⎰求 0(9)1sin 2n xdx π+⎰2sin (10)()sin ,().x t xF x e tdt F x A B C D π+=⎰则是（）正常数负常数恒为零不是常数例6 利用适当变量代换计算积分4(1)ln(1)tgx dx π+⎰ 120ln(1)(2)1x dx x ++⎰ 200(3)sin n x xdx π⎰ 20(4)(1)(1)dxx x α+∞++⎰求例7（其它）22(1)()[0,]()cos ()()2f x f x x x f t dt f x ππ=+⎰、设在上连续，且，求212(2)()()2()()f x x x f x dx f x dx f x =-+⎰⎰设，求120(3)()()arcsin(1),(01),()y y x y x x x y x dx '==-≤≤⎰设满足求22011(4)()(2)arctan ,(1)1,()2x f x tf x t dt x f f x dx -==⎰⎰、设连续，且满足求的值2200cos sin cos (5),,(2)1x x xdx A dx x x ππ=++⎰⎰已知：求220(6)()ln(12cos )(),()F a a x a dx F a F a π=-+-⎰设，求(2)(),()a xay a y f x edy f x dx --=⎰⎰(7)、设求1(8)(1)m n x x dx -⎰例8、计算下列广义积分（基本题）2(1),1dxx +∞-∞+⎰ 211(2),1(ln )e dx x x -⎰ 2ln (3),1xdx x+∞+⎰51(4)(1)(5)dxx x --+⎰1(5)cos(ln ),x dx ⎰例90(1)0)pt te dt p p +∞->⎰（是常数，且2(2).(1)xx xe dx e +∞--+⎰例10、计算下列广义积分（广义积分变量代换例）3(1)2dxx x -⎰23202ln(1)(2)(1)x x dx x +∞++⎰22200200.cos sin (1)(1)1sin sin (2),()2x x xdx A A dx x x x x dx dxx x π+∞+∞+∞+∞++=⎰⎰⎰⎰例11已知广义积分收敛于，试用表示广义积分的值已知求 经典例题例1 求33322321lim(2)n n n n n →∞+++．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n∆=，然后把2111n n n =⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n →∞+++=333112lim ()n n n n nn →∞+++=13034xdx =⎰．例2 2202x x dx -⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -⎰=2π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则222x x dx -⎰=2221sin cos t tdt ππ--⎰=2221sin cos t tdt π-⎰=2202cos tdt π⎰=2π 例3 比较12x e dx ⎰，212x e dx ⎰，12(1)x dx +⎰．解法1 在[1,2]上，有2x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．解法2 在[1,2]上，有2xx e e ≤．由泰勒中值定理212!xe e x x ξ=++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．例4 估计定积分22xxe dx -⎰的值．解 设 2()xxf x e -=, 因为 2()(21)xxf x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12x =, 而 0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -≤≤∈,从而2122422xxee dx e --≤≤⎰,所以21024222x xe edx e ---≤≤-⎰.例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim ()()bn an g x f x dx →∞⎰．解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则()b nam g x dx ⎰()()b n ag x f x dx ≤⎰()bn aM g x dx ≤⎰．由于lim lim 1n n n n m M →∞→∞==，故lim ()()bn an g x f x dx →∞⎰=()bag x dx ⎰．例6求sin lim n pnn xdx x+→∞⎰, ,p n 为自然数． 解法1 利用积分中值定理 设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξξ+=⋅⎰, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xξξξ+→∞→∞=⋅=⎰．解法2 利用积分不等式 因为sin sin 1lnn pn p n p nn n x x n pdx dx dx x x x n++++≤≤=⎰⎰⎰, 而limln0n n pn→∞+=,所以 sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰． 例7 求10lim 1nn x dx x→∞+⎰．解法1 由积分中值定理()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰可知101n x dx x +⎰=111n x dx ξ+⎰，01ξ≤≤．又11lim lim01n n n x dx n →∞→∞==+⎰且11121ξ≤≤+， 故10lim 01n n x dx x→∞=+⎰． 解法2 因为01x ≤≤，故有01nn x x x≤≤+．于是可得110001nn x dx x dx x ≤≤+⎰⎰．又由于110()1n x dx n n =→→∞+⎰． 因此10lim 1nn x dx x→∞+⎰=0． 例8 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3414()(0)f x dx f =⎰．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=．证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得3413(0)4()4()(1)()4f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中3[,1][0,1]4ξ∈⊂．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使得()0f c '=．证毕．例9 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=-⎰． 解 （1）()f x '=422x x xe e ---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例11 函数11()(3)(0)x F x dt x t=->⎰的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x '=-，令()0F x '<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．例12 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：x (,0)-∞ 0 (0,1) 1(1,)+∞ ()f x ' - 0 ＋ 0 －故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．解 由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=''===-．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n →∞→∞-'=⋅==-． 例14 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x→-⋅-=304(2)lim 1cos x x x →-⋅-=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数a 与b ，使等式2201lim1sin x x t dt x b x a t→=-+⎰成立． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t →-+⎰=220lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x→→⋅-+201lim 11cos x x b x a →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2012lim 11cos x x x a a→==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求． 例16 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim()34x x f x x xg x x x →→⋅=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ． 解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到 sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++． 例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰．证法1 令()F x =()()2xxaa a x tf t dt f t dt +-⎰⎰，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--⎰=1()()22xax a f x f t dt --⎰≥1()()22x a x a f x f x dt --⎰=()()22x a x a f x f x ---0=． 故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而()F b =()()2bba a ab xf x dx f x dx +-⎰⎰0≥．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22baa b a b x f x f dx ++--⎰0≥． 即()()2baa b x f x dx +-⎰()()22b a a b a b x f dx ++≥-⎰=()()22b a a b a bf x dx ++-⎰=0．故()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰． 例18 计算21||x dx -⎰．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 21||x dx -⎰＝021()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x在0x =处间断且在被积区间内无界.例19 计算220max{,}x x dx ⎰．分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩． 解 23212221201011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰例20 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．解 （1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]x t t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．例22 计算2112211x x dx x-++-⎰．由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解2112211x x dx x-++-⎰=211112221111x x dx dx xx--++-+-⎰⎰．由于22211x x+-是偶函数，而211xx+-是奇函数，有112011x dx x-=+-⎰, 于是2112211x x dx x -++-⎰=2102411x dx x +-⎰=22120(11)4x x dx x --⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=⎰, 故211122444411x x dx dx x ππ-+=-⋅=-+-⎰⎰．例23 计算3412ln (1ln )e edx x x x -⎰．解3412ln (1ln )e e dx x x x -⎰=34(ln )ln (1ln )e ed x x x -⎰=34122(ln )ln 1(ln )e ed x x x -⎰=341222(ln )1(ln )e ed x x -⎰=3412[2arcsin(ln )]e e x =6π． 例24 计算40sin 1sin xdx x π+⎰．解 40sin 1sin x dx x π+⎰=420sin (1sin )1sin x x dx xπ--⎰=244200sin tan cos xdx xdx x ππ-⎰⎰ =244200cos (sec 1)cos d x x dx x ππ---⎰⎰ =44001[][tan ]cos x x x ππ--=224π-+． 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试． 例25 计算2202ax ax x dx -⎰，其中0a >．解2202ax ax x dx -⎰=2220()ax a x a dx --⎰，令sin x a a t -=，则2202ax ax x dx -⎰=3222(1sin )cos at tdt ππ-+⎰=3222cos 0atdt π+⎰=32a π．注 若定积分中的被积函数含有22a x -，一般令sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算022adxx a x+-⎰，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则22adx x a x +-⎰2cos sin cos tdt t tπ=+⎰201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t π++-=+⎰ 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t t π'+=++⎰[]201ln |sin cos |2t t t π=++=4π． 解法2 令sin x a t =，则22adx x a x +-⎰=2cos sin cos tdt t tπ+⎰．又令2t u π=-，则有20cos sin cos t dt t t π+⎰=20sin sin cos u du u u π+⎰．所以，22adxx a x +-⎰=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t tt t ππ+++⎰⎰=2012dt π⎰=4π．注 如果先计算不定积分22dxx a x+-⎰，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 513x x x e e dx e -+⎰．解 设1x u e =-，2ln(1)x u =+，221udx du u =+，则 ln 513x x x e e dx e -+⎰=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰22222200442244u u du du u u +-=++⎰⎰2221284du du u =-=+⎰⎰4π-． 例28 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解 由于220()xtf x t dt -⎰=2221()2x f x t dt-⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰，故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x⋅=2()xf x ． 错误解答220()x d tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx π⎰．解30sin x xdx π⎰30(cos )xd x π=-⎰3300[(cos )](cos )x x x dx ππ=⋅---⎰30cos 6xdx ππ=-+⎰326π=-． 例30 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．解120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x -++-⎰11ln 2ln324=-． 例31 计算20sin x e xdx π⎰．解 由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰， （1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰， （2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例32 计算10arcsin x xdx ⎰．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21021421x dx x π=--⎰． （1） 令sin x t =，则2121x dx x-⎰2202sin sin 1sin t d t tπ=-⎰220sin cos cos ttdt tπ=⋅⎰220sin tdt π=⎰ 201cos22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=． （2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π． 例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．解 由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰0()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例34（97研） 设函数()f x 连续，1()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()limx f x A x→=（A 为常数）， 求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性．分析 求()x ϕ'不能直接求，因为10()f xt dt ⎰中含有()x ϕ的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ϕ'，最后用函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性． 解 由0()limx f x A x→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0ϕ=．当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x=，则()()xf u du x xϕ=⎰，从而02()()()(0)xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰．又因为02()()(0)()limlimlim22xx x x f u du x f x A x x x ϕϕ→→→-===-⎰，即(0)ϕ'=2A．所以 ()x ϕ'=02()(),0,02x xf x f u du x x Ax ⎧-⎪≠⎪⎨⎪=⎪⎩⎰． 由于22000()()()()lim ()limlim lim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x ϕ→→→→-'==-⎰⎰=(0)2A ϕ'=． 从而知()x ϕ'在0x =处连续．注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误： （1）直接求出2()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰，而没有利用定义去求(0)ϕ'，就得到结论(0)ϕ'不存在或(0)ϕ'无定义，从而得出()x ϕ'在0x =处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x ϕ→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ϕ→→'+-''==又由0()limx f x A x→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现的0lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．例35（00研） 设函数()f x 在[0,]π上连续，且()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰．试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =⎰，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，则有(0)0,()0F F π==．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx ππππ==+⎰⎰⎰()sin 0F x xdx π==⎰，由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得()sin F x xdx π⎰=()sin (0)F ξξπ⋅-．故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=． 于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，使得12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．证法2 由已知条件0()0f x dx π=⎰及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f πξπ=-=⎰，1(0,)ξπ∈，则有1()0f ξ=．若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0()0f x dx π=⎰知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内异号，不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由()cos 0f x xdx π=⎰，0()0f x dx π=⎰，以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：100()(cos cos )f x x dx πξ=-⎰=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπξξξ-+-⎰⎰0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得 12()()0.f f ξξ==例36 计算2043dxx x +∞++⎰．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32． 例37 计算322(1)2dx x x x +∞--⎰．解 322(1)2dx x x x+∞--⎰223223sec tan 1sec sec tan (1)(1)1dxx d x x ππθθθθθθ+∞=-=---⎰⎰233cos 12d ππθθ==-⎰． 例38 计算42(2)(4)dx x x --⎰．分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32(2)(4)dx x x --⎰和43(2)(4)dx x x --⎰均收敛时，原反常积分才是收敛的．解 由于32(2)(4)dx x x --⎰=32lim (2)(4)aa dx x x +→--⎰=322(3)lim 1(3)aa d x x +→---⎰=32lim[arcsin(3)]a a x +→-=2π． 43(2)(4)dx x x --⎰=34lim (2)(4)bb dx x x -→--⎰=324(3)lim 1(3)bb d x x -→---⎰=34lim[arcsin(3)]b b x -→-=2π． 所以42(2)(4)dx x x --⎰22πππ=+=．例39 计算05(1)dx x x +∞+⎰．分析 此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点． 解 令x t =，则有5(1)dx x x +∞+⎰＝50222(1)tdt t t +∞+⎰＝50222(1)dt t +∞+⎰，再令tan t θ=，于是可得5022(1)dt t +∞+⎰＝25022tan (tan 1)d πθθ+⎰＝2250sec sec d πθθθ⎰＝230sec d πθθ⎰ ＝32cos d πθθ⎰＝220(1sin )cos d πθθθ-⎰＝220(1sin )sin d πθθ-⎰＝3/21[sin sin ]3πθθ-＝23． 例40 计算214211x dx x -++⎰． 解 由于221114222222111()11112()d x xx x dx dx x x x x x ---+-+==+++-⎰⎰⎰，可令1t x x=-，则当2x =-时，22t =-；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有210142202211()()11112()2()d x d x x x x dx x x x x x----+=+++-+-⎰⎰⎰02222()22d t dtt t +∞--∞=+++⎰⎰ 21(arctan )22π=+ ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．分析 若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量． 解 选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -． 于是所求面积为211(2)3A y y dy =-⎰=52． 例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．解 抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有图5－21S =2222(8)2y y dy ---⎰=24488cos 3d ππθθ--⎰=423π+，218S A π=-=463π-，于是12S S =423463ππ+-=3292ππ+-． 例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．分析 心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可． 解 求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3(,)23π±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d πππθθθθ++⎰⎰=54π． 3πθ=3cos ρθ=3211-xoy121-2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-2x y =1y =3y x =o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-1cos ρθ=+例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-⎰=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c-++-+．由于dA dc =2164c c-+=24(4)c c --，令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dA dc<，而当4c >时0dAdc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+． 例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解 如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为221y b a x =--．图5－5则体积元素为dV =2221()y y dx ππ-=224b a x dx π-．于是所求旋转体的体积为 V =224aab a x dx π--⎰=228ab a x dx π-⎰=284a b ππ⋅=222a b π．注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46（03研） 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6ln y x=ln y x=y xo12311y xe=(0,)b o()(0)x y b a b a +-=>>xy1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c计算，如图5－6所示．解 （1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-． 由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积10()12y eA e ey dy =-=-⎰． （2）切线1y x e =与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为2113V e π=，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰．因此，所求体积为212(5123)6V V V e e π=-=-+．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解 选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x ，得等边三角形的面积为图5－7()A x =23(22)4x =23x ． 于是所求体积为 V =2()A x dx ⎰=223xdx ⎰=43．例48（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问： （1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米） 分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解 （1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以xyzo22y x=2x =12211022x k k W kxdx x a ===⎰，2122222211()()22x x k kW kxdx x x x a ==-=-⎰．由21W rW =得22221x x ra -=，即 222(1)x r a =+，3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+⎰．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下231x a r r =++（m ）． （2）问题是要求lim n n x →∞，为此先用归纳法证明：11n n x a r r +=+++．假设11n n x r r a -=+++，则12211()2n nx n n n x k W kxdx x x +++==-⎰2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++． 由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而 11n n x r r a +=+++.于是111lim lim 11n n n n r a x a r r++→∞→∞-==--． 若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下()1a m r-．例49 有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．解 建立如图5－8所示的坐标系，选取x 为积分变量．则过点(0,3)A ，(10,1)B 的直线方程为135y x =-+．于是闸门上对应小区间[,]x x dx +的窄条所承受的水压力为2dF xy gdxρ=．故闸门所受水压力为F =10012(3)5g x x dx ρ-+⎰=5003g ρ，其中ρ为水密度，g 为重力加速度．图5－8o xyx dx+x(0,3)A (10,1)B。
定积分 考研真题
定积分考研真题定积分（Definite Integral）是微积分中的重要概念之一，其在数学研究和实际应用中都具有广泛的意义。
本文将围绕考研真题展开讨论，并重点介绍定积分的定义、性质及相关定理。
1. 定积分的定义考虑函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分问题。
我们将[a, b]等分为n个小区间，长度为Δx。
则每个小区间上的函数值分别为f(xi)，其中xi为该区间内的某一点。
将每个小区间上的函数值乘以小区间的长度Δx，得到面积的近似值。
当Δx趋近于0时，所得到的近似值逼近于曲线下的真实面积。
对于函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，可以用极限的方式表示为：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx其中，∫代表积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示x的微元素，分隔符号|用于表示积分区间的起点和终点。
2. 定积分的性质（1）线性性质：对于任意的函数f(x)和g(x)，以及常数a、b，有以下性质成立：∫[a,b] (a·f(x) + b·g(x))dx = a · ∫[a,b] f(x)dx + b · ∫[a,b] g(x)dx（2）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, c]上的定积分，其中a ≤c ≤ b，有以下性质成立：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx（3）保号性：若在闭区间[a, b]上，有f(x) ≤ g(x)成立，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx3. 定积分的计算方法（1）换元法：当被积函数中存在复杂的乘积或复合函数形式时，可以通过变量代换的方法简化计算。
例如，将∫[a,b] f(g(x))g'(x)dx转化为∫[α,β] f(u)du，其中u=g(x)，du=g'(x)dx。
定积分定义考研题库
定积分定义考研题库定积分定义考研题库定积分是高等数学中的一个重要概念，也是考研数学中的热门考点之一。
在考研数学中，定积分的定义题是经常出现的题型。
本文将从不同角度出发，对定积分的定义考研题库进行分析和解答。
一、基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是反映函数在一定区间上面积的度量。
在数学上，我们通常将定积分表示为∫abf(x)dx，其中f(x)为被积函数，a和b 为积分的上下限。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是函数曲线与x轴所围成的面积。
当被积函数f(x)为非负函数时，定积分表示曲线上方的面积；当被积函数f(x)为负函数时，定积分表示曲线下方的面积。
三、定积分的定义定积分的定义可以从黎曼和的角度来理解。
对于一个函数f(x)，我们可以将其在区间[a, b]上进行分割，得到若干个小区间。
在每个小区间上，我们可以选择一个代表点，然后计算出该点的函数值与小区间长度的乘积。
将所有小区间上的乘积相加，就得到了定积分的近似值。
当我们将小区间的长度趋近于零时，这个近似值就会趋近于定积分的准确值。
四、定积分的性质定积分具有一系列的性质，这些性质在解题过程中经常被用到。
其中包括定积分的线性性质、定积分的区间可加性、定积分的保号性等。
这些性质可以帮助我们简化计算，提高解题效率。
五、定积分的计算方法在实际计算定积分时，我们可以利用一些常用的计算方法。
其中包括换元法、分部积分法、瑕积分的计算等。
这些方法在解题过程中起到了重要的作用，可以帮助我们解决一些复杂的定积分计算问题。
六、定积分的应用定积分在实际生活中有着广泛的应用。
它可以用于计算曲线长度、曲线与x轴所围成的面积、物体的质量、质心等。
在物理学、经济学、工程学等领域中，定积分都有着重要的应用价值。
七、定积分的推广除了黎曼和，定积分还有其他的推广形式，如黎曼-斯蒂尔杰斯和、勒贝格积分等。
这些推广形式在理论研究和实际应用中都具有重要的地位，对于深入理解定积分的性质和应用有着重要的意义。
考研高等数学重要知识点解析定积分的应用
考研高等数学重要知识点解析定积分的应用开城研究生训练营，引导学生，服务学生！高等数学考研重点知识点分析:定积分考研即将到来，不到50天，考研复习将进入冲刺阶段考生基本上已经了解了高分的总数，也许许多考点只是粗略的回顾，并不深入。
没关系。
这里的研究生入学考试导师帮助考生分析定积分的应用命题规则，并对定积分的应用进行深入分析。
定积分的应用主要是基于微分单元法，而微分单元法是基于定积分的定义。
因此，划分、逼近、总结和取极限是计算某些几何量和物理量的指导思想多年来，定积分及其应用在真问题的研究中有多种形式。
它们可以以客观问题的形式或问题的解决方式出现。
他们经常结合其他知识点来考察，如极限、导数、微分中值定理、极值等知识点来给出问题。
在这部分中，需要掌握用微元法计算的平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体体积和侧向面积，以及已知的立体体积、功、重力、压力、质心和平行截面面积的质心。
对于三个，只需要计算平面图形的面积和旋转体的体积。
其中，旋转体体积的求解和微积分在几何中的应用与最大值问题相结合是常见试题的关键类型，应得到大多数考生的充分重视。
对于定积分的应用，首先需要掌握微元法在过去的几年里，有大量真正的研究生入学考试([微博)的试题使用微元法求解方程，而微元法的巧妙应用是写作试题的教师青睐的知识点之一。
然而，由于微元法本身思维的飞跃，灵活有效的方法只有通过充分的练习才能真正实现。
本文将功能图像与微元方法的相应核心类型相结合，总结出三种常见的微元方法:，第1页，共1页开城研究生训练营，指导学生，服务学生！2。
煎饼第2页共2页启成研究生入学考试训练营，指导学生，为他们服务！第3页，共3页开城考研训练营，指导学生，服务学生！第4页第4页第4页开城研究生训练营，指导学生，为他们服务！第5页共5页开城考研训练营指导学生并为他们服务！通过以上三个例子谈了一点对微元法特点的认识这种方法的灵活应用只能通过自助解决问题的经验来实现，因为表面上有些逻辑不符合常规思维，但这也许就是为什么研究生入学考试老师喜欢微元方法的原因。
定积分考研题库
定积分考研题库定积分考研题库在考研数学中，定积分是一个重要的概念和工具。
定积分题库中的题目涵盖了各种类型的题目，考察了学生对定积分的理解和应用能力。
本文将从不同角度探讨定积分考研题库。
一、基本概念题定积分的基本概念题主要考察学生对定积分定义的理解和记忆。
这类题目通常要求计算给定函数在给定区间上的定积分。
例如，计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分。
这类题目考察学生对定积分定义的熟悉程度和计算能力。
二、定积分的性质题定积分的性质题主要考察学生对定积分性质的理解和运用能力。
这类题目通常要求证明或计算一些定积分的性质。
例如，证明定积分的线性性质，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。
这类题目考察学生对定积分性质的掌握程度和证明能力。
三、定积分的应用题定积分的应用题是定积分考研题库中的重点，也是考察学生对定积分应用能力的核心。
这类题目通常要求学生利用定积分计算一些几何或物理问题。
例如，计算曲线y=x^2和y=2x的交点处的面积。
这类题目考察学生对定积分应用的理解和解决实际问题的能力。
四、定积分的变量替换题定积分的变量替换题是考察学生对定积分变量替换方法的掌握和应用能力的重要题型。
这类题目通常要求学生通过变量替换将一个复杂的定积分转化为一个简单的定积分。
例如，计算∫[-1,1]√(1-x^2)dx，可以通过变量替换x=sinθ将其转化为∫[-π/2,π/2]cos^2θdθ，进而求解。
这类题目考察学生对定积分变量替换方法的熟练程度和灵活运用能力。
五、定积分的数值计算题定积分的数值计算题是考察学生对定积分数值计算方法的掌握和运用能力的重要题型。
这类题目通常要求学生利用数值积分方法（如梯形法则、辛普森法则等）计算给定函数在给定区间上的定积分的近似值。
例如，利用梯形法则计算∫[0,1]x^2dx的近似值。
这类题目考察学生对定积分数值计算方法的理解和应用能力。
考研积分知识点总结
考研积分知识点总结一、定积分1、定义：设f(x)在区间[a,b]上有界，将[a,b]分成n份，每份的长度为Δx，然后在每份上取一点ξi，令Δx→0时，若极限存在，记为∫abf(x)dx2、性质：（1）可加性：∫ab[f(x)+g(x)]dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx（2）常数性质：∫abcf(x)dx=c∫abf(x)dx（3）区间可加性：∫abf(x)dx+∫bdf(x)dx=∫acf(x)dx（4）绝对值不等式：|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx3、微元法：设f(x)在[a,b]上有界，则∫abf(x)dx可看成是多个矩形的面积的和，通过微元法可得到∫abf(x)dx的表达式，即∫abf(x)dx=limΔx→0∑f(ξi)Δx二、不定积分1、定义：设f(x)在区间I上有定义，则函数F(x)称为f(x)在I上的原函数，即F’(x)=f(x)。
不定积分是指对于f(x)进行积分操作，得到一个原函数F(x)，表示为∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为任意常数。
2、性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx（2）微分求积分关系：若F’(x)=f(x)，则∫F’(x)dx=F(x)+C3、换元法：（1）第一类换元法：若积分中含有复合函数，并且确实有合适的简化形式，可以采用第一类换元法，设u=g(x)，则du=g’(x)dx，∫f(g(x))g’(x)dx=∫f(u)du（2）第二类换元法：当上述第一类换元法不适用时，可以采用第二类换元法，通过变换积分上限和下限的方式，将积分变为已知的形式。
设u=g(x)，则x=h(u)，∫f(x)dx=∫f(h(u))h’(u)du三、区间无穷积分1、无穷远处的积分：（1）定积分的上限或下限为无穷时，这种积分称为无界积分。
（2）若∫abf(x)dx存在且极限为∞或-∞，则∫abf(x)dx称为绝对收敛。
定积分（历年考研真题）
定积分（历年考研真题）第六章定积分（历年考研真题）1、222d 2x x x x-+=+?。
2、设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则⽅程1()d d 0()x x abf t t t f t +=?在开区间(,)a b 内的根有（）(A)0个. (B)1个. (C)2个. (D)⽆穷多个. 3、设函数()f x 有导数，且1(0)0,()()d x n n nf F x tf x t t -==-?。
证明：20()1lim(0)2nx F x f xn→'=。
4、已知曲线(0)y a =>与曲线lny =00(,)x y 处有公切线，求（1）常数a 及切点00(,)x y ；（2）两曲线与x 轴围成的平⾯图形的⾯积。
5、设1lim d ax a tx x te t x -∞→∞+??，则常数a = 。
6、下列⼴义积分发散的是（） (A)111d sin x x-?. (B)1x -?. (C)2ed xx +∞-?. (D)221d ln x x x+∞?.7、设(),()f x g x 在区间[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满⾜条件()()f x f x A +-=（A 为常数），()g x 为偶函数。
（1）证明0()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=?；（2）利⽤（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-8、计算2ed (1e )x xx x -+∞-+?。
9、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()b af x x f b b a=-?。
求证：在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()0f ξ'=。
10、设1321()()d 1f x xf x x x=++?，则1()d f x x =? 。
11、设(),()f x x ?在点0x =的某邻域内连续，且当0x →时，()f x 是()x ?的⾼阶⽆穷⼩。
《定积分》全章复习与巩固_知识讲解
《定积分》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一：定积分的概念 定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =L ξ，作和式：11()()nnn i i i i baS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰L （称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定定积分的背景——面积和路程问题定积分的概念定积分的意义及性质定积分的计算及意义 定积分 微积分基本定理平面图形的面积定积分的简单应用简单几何体的体积积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)x dx+⎰与32(1)x dx+⎰的值就不同．要点二：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x≤时，由()y f x=、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分()dbaf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d()b ba aS f x x f x S=-=-=-⎰⎰，即()dbaf x x S=-⎰，如图（b）．（2）当()f x在区间[a，b]上有正有负时，积分()dbaf x x⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x轴上方面积取正号，x轴下方面积取负号）．在如图（c）所示的图象中，定积分132()dbaf x x S S S=+-⎰．要点三：定积分的运算性质性质1：()d()b ba ak f x x k f x kS==⎰⎰；性质2：[()g()]d()g()db b ba a af x x x f x x x±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。
考研数学专题 利用定积分的几何意义求和式极限
前言： 在本专题之前，应该初步掌握定积分的定义及其几何意义，详细内容见同济
版教材相关内容，此处不再赘述。在此基础上，通过几道经典的题目来进一步熟 练掌握利用定积分的定义来求相对简单的和式的极限。最后，在上述基础上熟练 掌握利用“夹逼准则+定积分的定义”的方法计算早年考研数学中曾出现过的所 谓的“复杂和式的极限”。
（A）
lim
n
n k 1
g
4k 4n
1
1 2n
（B）
lim
n
2n k 1
g
2k 2n
1
1 n
（C）
lim
n
2n k 1
g
k 1 2n
1 n
（D）
lim
n
n k 1
g
4k 4n
1
1 n
四． 总结 本专题介绍的内容是定积分内容当中相当重要的问题，该问题的核心在于深
刻理解定积分的定义与其几何含义。并且能够进行恰当的放缩。而且可以考虑到 夹逼准则和定积分的综合运用。这是考研数学中的一个重点内容，也是一个难点 内容。但只要认真思考，仔细体会，一定能有所突破。
这道题目应该深刻体会和式的极限与定积分之间的转化并且熟悉定积分
的几何意义。
解：
lim ln
n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n 2 n
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
)
2
lim
n
1 n
(ln
1
定积分的性质
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
性质3
定积分的性质
积分中值定理
若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上也可积.
证 因 f , g 在[a,b]上可积，故在[a,b]上都有界，
即M 0, x [a,b], f (x) M , g(x) M .
则
b
b
f ( x)dx g( x)dx.
a
a
证 设 F ( x) g( x) f ( x) 0, x [a, b], 则
b
b
b
0 a F ( x)dx a g( x)dx a f ( x)dx,
即
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质4
f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b),
f 在 [a, c] 与 [c, b] 上都可积. 并且
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
积分中值定理
性质1
若 f 在 [a,b] 上可积， k 为常数, 则 k f 在[a, b]
上也可积，且
b
k f (x)d x k
b
f (x)d x.
a
a
证 记
J
b
f (x)d x.
由 f 在 [a, b] 上可积, 故
考研定积分的各种类型～题型总结
1
x 1 − x2 dx.
√
x
1 − x2
1 −x2
x dx
√ 1 − x2
1 −x2
d(1−x2) = −2x dx
√ x 1 − x2 dx =
√ 1
−
x2
(xdx)
=
−
1 2
√ 1
−
x2
d(1
−
x2)
=
−
1 2
u1/2 du
= − 1 × 2 u3/2
+C
u=1−x2
23
u=1−x2
=
−
1 3
a < 0, b2 − 4ac > 0 a cos t d(a sin t) = a2 cos2 t dt
a2 =
a2 1 + cos 2t dt =
t + sin 2t
a2 + C = (t + sin t cos t) + C
2
2
2
2
=
a2 2
arcsin
x a
+
x 2
√ a2
−
x2
+
C.
11
17
√2x − 1 dx, 1 − x2
√ 2x + 3 dx, −x2 + 6x − 8
(4)
ax
9.
dx 1+ex
.
dx 1 + ex =
exdx ex + e2x =
d(ex) ex + e2x
=
du
u + u2
(
u=ex
(2)
).
2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题
2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题【2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题】对于考研高等数学一定积分的应用历年真题的解析与讨论首先，我们先来回顾一下高等数学一定积分的基本概念和相关定理。
一定积分是定积分的另一种称呼，是定义在一个区间上的连续函数的积分。
而定积分的求解可以通过反求导的方式进行，即通过原函数的求解来得到。
接下来，我们重点关注2024年考研高等数学一定积分的应用历年真题。
以下是一些典型的历年真题，我们将结合这些题目进行详细的讨论和解析。
[题目一]计算定积分\[I=\int_{0}^{1} \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3}{dx}\]解答：首先，我们观察到被积函数中存在(x+1)和(x+2)两种形式，因此可以尝试使用分部积分法来解答这个题目。
令\[u = (x+1)^2, dv = \frac{1}{{(x+2)^3}}dx\]则\[du = 2(x+1)dx, v = -\frac{1}{2(x+2)^2}\]根据分部积分公式，\[I = \left[(x+1)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2(x+2)^2}\right)\right]_0^1 -\int_{0}^{1} (2(x+1) \cdot \left(-\frac{1}{2(x+2)^2}\right))dx\]化简得\[I = -\frac{1}{8} - \left[-\frac{1}{2(x+2)}\right]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{1}{(x+2)^2}dx\]继续求解，得\[I = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \left[-\frac{1}{x+2}\right]_0^1\]最后得到\[I = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{24}\][题目二]已知函数f(x)在区间[0,1]上可导，且满足f(0)=0，f(1)=1。
2023考研数学高数重要知识点：定积分的计算技巧
2023考研数学高数重要知识点：定积分的计算技巧2023考研数学高数重要知识点：定积分的计算技巧数学高数是考研数学中的一个重要科目，而定积分是高数中的重要概念之一，掌握定积分的计算方法和技巧对于考研的成功至关重要。
一、定积分的概念定积分可以理解为在一个区间内，被函数$f(x)$和$x$轴所夹的曲边梯形的面积，即：$\int_{a}^{b}f(x)dx$其中，$a$和$b$表示积分区间的两个端点，$f(x)$表示被积函数。
二、基本的计算技巧1. 基本积分公式在进行定积分的计算时，首先需要掌握积分的基本公式，例如：$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$C$为常数。
$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$，其中$C$为常数。
$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$，其中$C$为常数。
2. 变量代换法当被积函数形式较为复杂时，可以采用变量代换法进行计算。
例如，对于以下的函数：$\int \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}dx$可以通过变量代换$x=\tan\theta$，将被积函数转换为：$\int \cos^2\theta d\theta$这个积分可以通过利用基本积分公式进行计算。
3. 分部积分法当被积函数可以表示为两个函数的乘积时，可以采用分部积分法进行计算。
其中一种常用的分部积分公式为：$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$例如，对于以下的积分：$\int xe^xdx$可以设$u(x)=x$，$v'(x)=e^x$，则有：$\int xe^xdx=x\cdot e^x-\int e^xdx=x\cdot e^x-e^x+C$其中，$C$为常数。
三、高级计算技巧1. 使用对称性当被积函数具有一些对称性质时，可以采用对称性来简化计算。
考研数学专题-定积分综合训练(1)含答案与解析
考研数学专题-定积分综合训练（1）一、单项选择题1．若函数()f x 在区间],[b a 上可积，则成立的是( ).()()()()()()()()bbbba aa abbbbaaaaA f x dx f x dxB f x dx f x dxCf x dx f x dxDf x dx f x dx≤≥==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．积分42(1sin )x dx ππ--=⎰( ).2468A B C D ππππ233.(),()x t x F x e dt F x 设则'==⎰( ).23322323222323x x x x x x t t A e eB e eC xe x eD te t e----14.()f x f dx 设为连续函数，则=⎰( ).1111112()2()()()22A uf u duB uf u duCf u du Df u du --⎰⎰⎰⎰ 5．设函数()f x 为定义在(),-∞+∞上的奇函数且可导，则奇函数是( ).[]0sin ()sin ()(sin )sin ()xxxA f x Bt f t dtCf t dtDt f t dt'⋅+⎰⎰⎰6.下列广义积分中发散的是( ).111211dx dx ABCDx x +∞-⎰⎰7．若函数()f x 为连续函数，0>a ,则积分2111(1)()aaf t dt t t-+=⎰( ). 110A BC aD a218.(),()0x x x f x f x dx e x 设则-≥⎧==⎨<⎩⎰( ).1133A B C e D ee-+∞二、填空题111.-=⎰定积分_____________.22.1,1Adx A x +∞-∞==+⎰设则_____________. 13.()()2(),()f x f x x f t dt f x =+=⎰设是连续函数，且则_____________.214.sin 2x dx π-=⎰_____________. 5．020()()()lim1lim xx x f at dtf x f x xx →→==⎰若连续，且，求 ____________.6. 设12(2)(),n xf x dx xf x dx ''=⎰⎰则n =____________.7．32x t de dt dx-=____________. 8.,1x x y e y e x -===曲线和直线所围图形的面积为____________. 三、计算题1． ⎰-2102arcsin 1xdx x x 2．dx e x ⎰-2ln 013． dx e x f x xx x f x ⎰-⎩⎨⎧≤<≤≤=31)1(,21101)(求设4．dx x x ⎰+∞++12)1()1ln( 5. dx x x x ⎰+1021arctan 6. .),()1()(2内的最大值与最小值在求+∞-∞-=⎰-dx e t x f x t⎰=⎩⎨⎧≤<≤≤=-xxdt t f x F x xx e x f 0)()(21210)(.7的表达式。
关于定积分计算考研真题
关于定积分计算考研真题关于定积分计算考研真题考研数学中，定积分计算是一个常见的考点。
在解题过程中，我们需要熟练掌握定积分的计算方法和技巧。
本文将通过分析一道考研真题，来探讨定积分计算的相关知识。
考研数学真题中，经常出现类似于以下的问题：已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，求$\int_a^b f(x)dx$的值。
首先，我们需要明确定积分的定义。
定积分是用来计算曲线与坐标轴之间的面积的。
在解题时，我们可以通过求解定积分来求得函数在给定区间上的面积。
接下来，我们来看一道具体的考研真题：已知函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)$满足$f(x)+f\left(\frac{1}{2}-x\right)=1$，求$\int_0^1 f(x)dx$的值。
首先，我们观察到$f(x)+f\left(\frac{1}{2}-x\right)=1$，这是一个函数关系式。
我们可以将其转化为定积分的形式。
通过变量替换，令$t=\frac{1}{2}-x$，则$x=\frac{1}{2}-t$。
将$x$的取值范围$[0,1]$代入，得到$t$的取值范围为$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$。
将$t$代入原函数关系式，得到$f\left(\frac{1}{2}-t\right)+f(t)=1$。
将两个函数相加，得到$f(t)+f\left(\frac{1}{2}-t\right)+f\left(\frac{1}{2}-t\right)+f(t)=2$。
我们可以将其化简为$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [f(t)+f\left(\frac{1}{2}-t\right)]dt=2$。
接下来，我们将原函数关系式中的$f(x)$提取出来，得到$f(x)=1-f\left(\frac{1}{2}-x\right)$。
将其代入上式，得到$\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} [1-f\left(\frac{1}{2}-t\right)+f\left(\frac{1}{2}-t\right)]dt=2$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
/ 2 f (cosx)dx(参见华上p230#7(1))
0
0
法三可推广：
计算 / 2
sin n x
dx或 / 2
cosn x dx
0 sin n x cosn x
0 sin n x cosn x
练习：4
(
sin
x
cos
x
)
2
dx
(东南大学01四(1)8分)
0 sin x cos x
1 2
[1
(sin x cosx)' sin x cosx
]dx
1 2
(x
ln
|
sin
x
c os x
|)
C
所以： / 2 sin x dx 0 sin x cos x
1 2
(x
ln
|
sin
x
c os x
|)
|0
/2
/
4
法三： / 2 sin x dx 0 sin x cosx
C
1
f (x)dx
1(3x2 2C)dx 1 2C
0
0
C 1,
则 2 1
f (x)dx
2 (3x 2
1
2)dx (x3
2x) |12 5
例6 定积分的计算 n x | sin x | dx，其中n为正整数 0 (武汉理工04一（2）10分）
法一：
1
0
2x x2 dx 1 0
1
(x
1)2 dxx
1
sin t
0
c os2
tdt
2
(
t 2
sin 2t 4
)
|0
2
4
法二：
1
2x x2 dx
1
(2 x)
x dx, 令
x t,
0
0
2x
2x
则x 2t 2 ,2 x 2 , dx 4t dt
而F ( y)在[0，1]内单调递减，所以其在[0，1]内
的最小值为mx[0,1] F ( y)
F (1)
1 6
当y (1,)时，F ' ( y) y3 3 , F " ( y) 3 0
3y3
y4
所以F ' (3 3) 0, 且3 3为函数F( y)在区间(1,)内
分析：此题涉及到被积函数取绝对值， 应考虑先去绝对值，将积分区间进行分段。
解：n x | sin x | dx n (1)k1 k x sin xdx
0
(k 1)
k 1
n
(1)k1 (sin
x
x
c os x)
|k
(k 1)
k 1
n
(2k 1) n2。
唯一的极小值点。
mx(1,) F ( y)
F (3
3)
1 33 9
1 2
33 3
1 1 3 3 1? 33 9 2 3 6
而 1 13 3 3 313 3 33 9 2 3 9 2 3
43 3 1 1 43 3 2 9 26 9 3
23 3 3 24 27成立。 所以函数F( y)在区间[0,)上的最小值为
dx1 x
x t1
t
2(t 1)dt
2 2 (t 2 3t 4 2)dt
1
t
( 2t 3 3
3t 2
8t
4 ln
|t
|) |12
11 3
4 ln
2
例3 定积分的计算 x sin x dx (浙江理工大学09二
0 1 cos2 x （5）5分;重大01三（1）6分；哈工大01一（1）5分；杭州电子
4 0
( s in sin
x x
cosx )2dx c os x
4 0
sin x cosx (sin x cosx)2 d (sin
x
c os x)
1
4 (sin x cosx)d
0
sin x cosx
sin sin
x x
cosx cosx
2
2
2
所以： 2
sin x dx
0 sin x cosx
[1 ln(1 (tan x )2 ) arctan(tanx )
2
2
2
1 ln | (tan x )2
2
2
2
tan
x 2
1
|]02
4
法二：
sin x dx sin x cosx
1 2
(sin x cosx) (sin x cosx)dx sin x cosx
/ 2
x /2t
cost
/2
dt
c os x
dx
0 cost sin t 0 cosx sin x
/ 2
sin x
dx
0 sin x cosx
1 [ / 2
sin x
/2
dx
cosx dx]
2 0 sin x cosx 0 cosx sin x
F( y)
1
x2
x(1 yx)dx (
0
2
yx3 3
)
|10
1 2
y 3
当y 1时，1 yx 0(0 x 1 ),1 yx 0(x 1 )
y
y
1/ y
1
F ( y) x(1 yx)dx x(1 yx)dx
0
1/ y
x2 (
F(3 3) 43 3 1 92
例8 定积分的计算
已知[ 1 arctan( 2
2
tan
x)]'
1
1 sin 2
x
,
求积分I
1 0 1 sin2 x dx
(上海大学01一（3）6分）
解：用N L公式：
I
0
1
1 sin 2
x
dx
[
1 arctan( 2
2 tan x)]0
工业学院03一（2）6分；华上p230 #7(2))
此题需要利用教材华上p230 #7(2)的结论。 其方法是利用换元法进行变换。
解： x sin x dxx t ( t) sin t dt
0 1 cos2 x
0 1 cos2 t
0
1
sin t cos2
2t
sin x dx
sin x cosx
1 t2
2dt
2t 1 t 2 1 t 2
1t2 1t2
2t
2t 1
t
2
2dt 1 t2
(t 1
4t 2)(t 1
dt 2) 1 t2
t 1
(1 t2
1 2
t
1 1
1 1 2 2 t 1
1 t2
1 t2
(1 t 2 )2
1 2x x2 dx 1 2t
4t dt
0
0 1 t 2 (1 t 2 )2
1
8
t2
dt 8 1 t 2 11 dt
0 (1 t 2 )3
0 (1 t 2 )3
1
8
1
0 (1 t 2 )2
1
dt 8
t
dt
t sin t 0 1 cos2 t dt
0
1
sin x cos2
x
dx
x sin x 0 1 cos2 x dx
0
1
x
sin x c os2
x
dx
2
sin x 0 1 cos2 x dx
2
0
1
1 c os2
解法一：先求不定积分
sin x dx sin x cosx
1)用三角有理函数的不定积分方法；
2)用三角函数的关系进行变换。
法一：令 tan x t,则sin x
2t
1t2
, cos x
.
2
1 t2
1 t2
dx 2dt (参见华上p194 (8) ~ (10)), 于是： 1 t2
1
/ 2 sin x cosxdx 1
/2
dx / 4
2 0 sin x cosx 2 0
注：
法一利用三角函数有理式的不定积分一般步骤，
思路简单但计算量太大；
法二利用了双弦函数的导数间关系，构思巧妙；
法三则利用了定积分的性质：
/ 2 f (sin x)dx
k 1
例7 定积分的计算
设F( y)
1
|
x
yx2
|
dx,
y