八年级数学第2届“希望杯”第1试试题

山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第2届“希望杯”第1试
试题
一、选择题:（每题1分，共15分）
1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP 的长是[ ]
A ．2;
B ．3;
C ．4;
D ．5
2．方程x 2-5x+6=0的两个根是[ ]
A ．1，6 ;
B ．2，3;
C ．2，3;
D ．1，6
3．已知△ABC 是等腰三角形，则[ ]
A ．AB=AC;
B ．AB=BC;
C ．AB=AC 或AB=BC;
D ．AB=AC 或AB=BC 或AC=BC 4.a=22345(13)4,,113(5)34b c ---==--+,则a,b,c 的大小关系是[ ] A ．a ＞b ＞c B ．a=b=c C ．a=c ＞b D ．a=b ＞c
5.若a ≠b,则(b-a)a b -等于[ ]
A.33()a b -;
B.33()a b ---;
C.33()a b --;
D.33()b a --
6．已知x ，y 都是正整数，那么三边是x ，y 和10的三角形有[ ]
A ．3个
B ．4个;
C ．5个
D ．无数多个
7．两条直线相交所成的各角中， [ ]
A ．必有一个钝角;
B ．必有一个锐角;
C ．必有一个不是钝角;
D ．必有两个锐角
8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]
A ．一个是锐角另一个是钝角;
B ．都是钝角;
C ．都是直角;
D ．必有一个角是直角
9．方程x 2+|x|+1=0有[ ]个实数根．
A ．4;
B ．2;
C ．1;
D ．0
10．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]
A ．26;
B ．28;
C ．36;
D ．38
11．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ]
A ．179;
B ．181;
C ．183;
D ．185
12.如果231,x x >+那么323(2)(3)x x +-+等于[ ]
A ．2x+5
B ．2x-5;
C ．1
D ．1
13．方程2x 5+x 4-20x 3-10x 2+2x+1=0有一个实数根是 [ ]
A.53+;
B.52+;
C.32+;
D.53-
14．当a ＜-1时，方程(a 3+1)x 2+(a 2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]
(1)B
O
A ．两负根;
B ．一正根、一负根且负根的绝对值大
C ．一正根、一负根且负根的绝对值小;
D ．没有实数根
15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地．
A ． 二人同时;
B ．甲先;
C ．乙先;
D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先
二、填空题:（每题1分，共15分）
1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度．
2.有理化分母:5757
-+=______________. 3.方程10x x ++=的解是x=________.
4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．
5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．
6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a b c
+=__. 7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．
8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．
9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．
(2) (3) (4)
10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条．
11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度．
12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．
13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．
14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．
15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．
答案与提示
一、选择题
提示：
1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．
2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．
3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．
4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．
6．∵x=y ＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．
7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．
8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,
即α=90°．故选(D)．
9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．
即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的
倍数．故取(A)．
11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．
即 11(2n+11)=1991．
解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．
∴选(A)．
13．原方程可化为
(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．
即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．
即 x4-10x2+1=0．故取(C)．
14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有
15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有
∴t1＜t2，即甲先．
另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为
从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．
二、填空题
提示：
1．设所求角为α，则有
(180°-α)-(90°-α)=90°．
4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)
=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)
=(x+y)(x2+xy+y2)
5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．
即k2-9=0．即k=±3．
又，要有实数根，必须有△≥0．
即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．
显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．
6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．
7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是
9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有
∠B=30°．
10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．
另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，
11．如图28．
∠F=∠1+∠A+∠2．
又：△ADC≌△CEB．
∴∠1=∠3．
∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．
12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=
∠EAB=30°．
又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．
在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．
而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．
13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，
AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，
有AD＞2．∴2＜AD＜7．
14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则
x1+x2=-p① x1x2=q②
由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从
而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．
若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．
∴方程的根是-1和-2．。