高中数学必修5导学案 第二章 数列

§2.1数列的概念与简单表示法(1)学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.学习过程一、课前准备（预习教材P 28 ~ P 30 ，找出疑惑之处） 复习1：函数，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？复习2：函数y =7x +9，当x 依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：数列的概念⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？3. 数列的一般形式：123,,,,,n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第 项.4.数列的分类：1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.5．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用 一个式子 来表示，那么 这个公式 就叫做这个数列的通项公式.※ 典型例题例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴1，－12，13，－14；⑵1，0，1，0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴12，45，910，1617；⑵1，－1，1，－1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？例2已知数列2，74，2，…的通项公式为2nan bacn+=，求这个数列的第四项和第五项.变式：已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.※动手试试练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：⑴1，13，15，17；⑵1，2，3，2 .练2. 写出数列2{}n n-的第20项，第n＋1项.三、总结提升※学习小结1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；2. 会用通项公式写出数列的任意一项.※知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.思考：设()f n＝1＋12＋13＋…＋131n-（n∈*N）那么(1)()f n f n+-等于（）A.132n+B.11331n n++C.113132n n+++D.11133132n n n++++学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列四个数中，哪个是数列{(1)}n n+中的一项（）.A. 380B. 392C. 321D. 2323. 在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48.4.数列(1)2{(1)}n n--的第4项是.5. 写出数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯的一个通项公式.课后作业1. 写出数列｛2n｝的前5项.2. （1）写出数列2212-，2313-，2414-，2515-的一个通项公式为.（2）已知数列3，7，11，15，19，…那么311是这个数列的第项.§2.1数列的概念与简单表示法(2)学习目标1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.学习过程一、课前准备（预习教材P 31 ~ P 34 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2：数列如何分类？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：数列的表示方法问题：全体正偶数按从小到大的顺序构成数列：2，4，6， (2)1. 通项公式法：试试：上面数列中n a 与项数n 之间关系的一个通项公式是 .2 .列表法：试试：上面数列中n a 与项数n 之间关系用列表法如何表示？n 1 2 3 …… n …… n a246……2n……3.图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．4. 递推公式法： 递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.反思：所有数列都能有四种表示方法吗？※ 典型例题例1 设数列{}n a 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式：已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想通项公式n a .小结：由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.例2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+， 那么2007a =（ ）. A. 2003×2004 B. 2004×2005 C. 2007×2006 D. 22004变式：已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+，求n a .小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试练1. 已知数列{}n a 满足11a =，223a =，且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-= （2n ≥），求34,a a .练2.（2005年湖南）已知数列{}n a 满足10a =，1331n n n a a a +-=+ （*n N ∈），则20a =（ ）.A ．0 B.－3 C.3 D.32练3. 在数列{}n a 中，12a =，1766a =，通项公式是项数n 的一次函数. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 88是否是数列{}n a 中的项.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列的表示方法；2. 数列的递推公式.※ 知识拓展n 刀最多能将比萨饼切成几块？意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多少块？n 刀呢？解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第n 刀最多与前n －1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n 刀的切痕最多被前n －1刀分成n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n 刀切下去最多能使饼增加n 块. 记刀数为1时，饼的块数最多为1a ，……，刀数为n 时，饼的块数最多为n a ，所以n a =1n a n -+. 由此可求得n a =1+2)1(+n n .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测1. 已知数列130n n a a +--=，则数列{}n a 是（ ）.A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列2. 数列{}n a 中，2293n a n n =-++，则此数列最大项的值是（ ）.A. 3B. 13C. 1318D. 123. 数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =（ ）. A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 4. 已知数列{}n a 满足113a =，1(1)2n n n a a -=- （n ≥2），则5a = .5. 已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ≥2），则6a = .课后作业1. 数列{}n a 中，1a ＝0，1n a +＝n a ＋(2n －1) (n ∈N )，写出前五项，并归纳出通项公式.2. 数列{}n a 满足11a =，12()2nn n a a n N a +=∈+，写出前5项，并猜想通项公式n a .§2.2等差数列（1）学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.学习过程一、课前准备（预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处） 复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？ ① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10366新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 前 一项的 差 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 公差 ， 常用字母 d 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =探究任务二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： 21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 典型例题例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数.※ 动手试试练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+.2. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ；⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a =，627a =，求d ；⑷已知d ＝－13，78a =，求1a .§2.2等差数列（2）学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.学习过程一、课前准备（预习教材P 39 ~ P 40，找出疑惑之处） 复习1：什么叫等差数列？复习2：等差数列的通项公式是什么？二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中， 若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a = ，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则 m n p qa a a a +=+，可以使得计算简化. ※ 动手试试练1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？三、总结提升 ※ 学习小结1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.※ 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即： （1）1n n a a d +-=； （2）(0)n a pn q p =+≠； （3）2n S an bn =+.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（ ）.A. 99B. 49.5C. 48D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（ ）. A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=，则56a a +＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .课后作业1. 若 12530a a a +++= ， 671080a a a +++= ， 求111215a a a +++ .2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.§2.3 等差数列的前n 项和(1)学习目标1. 掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.学习过程一、课前准备（预习教材P 42 ~ P 44，找出疑惑之处）复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？复习2：等差数列有哪些性质？二、新课导学 ※ 学习探究探究：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S反思：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，；⑵114.50.715a d n ===，，.小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： .※ 典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.A. 12B. 24C. 36D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .课后作业1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .§2.3 等差数列的前n 项和(2)学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习过程一、课前准备（预习教材P 45 ~ P 46，找出疑惑之处）复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课导学 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 典型例题例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法. （1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 动手试试练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝； 2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（ ）. A. 2n a n = B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？§2.4等比数列（1）学习目标1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程一、课前准备（预习教材P 48 ~ P 51，找出疑惑之处） 复习1：等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式n a = ， 等差数列的性质有：二、新课导学 ※ 学习探究观察：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…思考以上四个数列有什么共同特征？新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n aa -= （q ≠0）2. 等比数列的通项公式： 21a a = ； 3211()a a q a q q a === ； 24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：※ 典型例题例1 （1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式11n n a a q -=.例2 已知数列{n a }中，lg 35n a n =+ ，试用定义证明数列{n a }是等比数列.小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n ，1n na a +是一个不为0的常数就行了.※ 动手试试练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项n a 与m a 的关系.※ 知识拓展在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列； ⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列； ⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列； ⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列； ⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在{}n a 为等比数列，112a =，224a =，则3a =（ ）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，这个数列的项数n ＝（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列a ，a （1－a ），2(1)a a -，…是等比数列，则实数a 的取值范围是（ ）. A. a ≠1 B. a ≠0且a ≠1 C. a ≠0 D. a ≠0或a ≠14. 设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，公比为2，则123422a a a a ++＝ .5. 在等比数列{}n a 中，4652a a a =-，则公比q ＝ .课后作业在等比数列{}n a 中， ⑴ 427a =，q ＝－3，求7a ；⑵ 218a =，48a =，求1a 和q ；⑶ 44a =，76a =，求9a ；⑷ 514215,6a a a a -=-=，求3a .§2.4等比数列（2）学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.学习过程一、课前准备（预习教材P 51 ~ P 54，找出疑惑之处）复习1：等比数列的通项公式n a = = . 公比q 满足的条件是复习2：等差数列有何性质？二、新课导学 ※ 学习探究问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G bG ab G a G=⇒=⇒=新知1：等比中项定义如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）.试试：数4和6的等比中项是 .问题2：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = .※ 典型例题例1已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.例 自选1 自选2 n a 23()3n ⨯n b152n --⨯n n a b 1410()3n --⨯{}n n a b 是否等比 是变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{nna b }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.例2在等比数列{n a }中，已知47512a a =- ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式：在等比数列{n a }中，已知7125a a = ，则891011a a a a = .※ 动手试试练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.A. 三边之比为3：4：5B. 三边之比为1：3：3C. 较小锐角的正弦为512-D. 较大锐角的正弦为512-练2. 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比中项定义；2. 等比数列的性质.※ 知识拓展公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：1. 数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则{}n n a b，{}n n ab 也等比. 2. 若*m N ∈，则n m n m a a q -= . 当m =1时，便得到等比数列的通项公式. 3. 若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则m n k l a a a a = .4. 若{}n a 各项为正，c >0，则{l o g }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）.A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x （ ） A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，569a a = ，则log 31a + log 32a +…+ log 310a = .课后作业1. 在{}n a 为等比数列中，1964a a = ，3720a a +=，求11a 的值.2. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.§2.5等比数列的前n 项和(1)学习目标1. 掌握等比数列的前n 项和公式；2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.学习过程一、课前准备（预习教材P 55 ~ P 56，找出疑惑之处）复习1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？复习2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务： 等比数列的前n 项和故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0，公式的推导方法一：则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ①或n S = ②当q =1时，n S =公式的推导方法二：由等比数列的定义，32121n n a a a q a a a -==== ， 有231121n n n n na a a S a q a a a S a -+++-==+++- ，即1n n nS a q S a -=-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）公式的推导方法三：n S =123n a a a a +++＝11231()n a q a a a a -++++ ＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.※ 典型例题 例1已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?※ 动手试试练1. 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及练2. 一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m ）三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a aaq aq q q .3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：1n naq a +=；（2）中项法：212n n n a a a ++= .4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.A. 11n a a --B. 111n a a +--C. 211n a a+-- D. 以上都不对2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）.A. 30B. 60C. 80D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ）.A. 102B. 202C. 1D. 6024. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ .课后作业1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及2. 在等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +== ，求6S .§2.5等比数列的前n 项和(2)学习目标1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.学习过程一、课前准备（预习教材P 57 ~ P 62，找出疑惑之处） 复习1：等比数列的前n 项和公式.当1q ≠时，n S = ＝ 当q =1时，n S =复习2：等比数列的通项公式. n a = = .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++ ， 1n S -=1231n a a a a -++++ （n ≥2），∴ 1n n S S --= ， 当n ＝1时，1S = .反思：等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？※ 典型例题例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.例2 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .※ 动手试试练1. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n .三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和与通项关系；2. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -也成为等比数列.※ 知识拓展1. 等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；2. 等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）.A. 21B. 12C. 18D. 242. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）.A. 11B. 10C. 12D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是（ ）.A. 922-B. 821-C. 822-D. 721-4. 在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .5. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .课后作业1. 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .2. 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和；。