理论力学虚位移原理

k
i = 1,2,L, n
位移满足约束条件和 位移满足约束条件和初始条件 约束条件
虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（ 虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（产生位 移的动力）和初始条件，仅仅满足约束条件的位移。 约束条件的位移 移的动力）和初始条件，仅仅满足约束条件的位移。 与实位移的物理意义比较，虚位移是一种假设的、可能产生的 位移。两者的共同点是：在一定的条件下（定常、完整约束） 在一定的条件下（ 在一定的条件下 定常、完整约束） 实位移必是虚位移中的一组。 实位移必是虚位移中的一组。 虚位移与时间无关，对应k个自由度的质点系统，质点位置矢径
自由度和广义坐标
自由度：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变 量的个数。
对于n个自由质点组成的质点系，可用3n个直角坐标（xi ，yi，zi） i=1，2，3…n，描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整 个系统有3n个自由度。 对于n个质点组成的非自由质点系，设其有S个约束方程，表明描 述质点系位形的3n个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的k个 参数表示质点系的位形，而
2、内力做功 内力的特点：成对出现，大小相等，方向相反 设两个质点M1， M2 相互作用力F12 ，F21 F12 = − F21 则有 元功
d ′W = F12 • dr1 + F21 • dr2
Z F 12 r1 r2 M1 r12 M2 F21
= F12 • (dr1 − dr2 ) = F12 • d (r1 − r2 ) = F12 • dr12
δ rB
2
δrD
δθ
A
D
δ rC = 4δ rD sin θ
θ
δrC
C
AB=BC=AC=O1B=O2C=OA=a,求：此瞬时OE的虚位移与O1B 虚位移之间的关系。 E A C O2
δϕOE
O
60°
B
δϕO B
1
O1
虚速度法：根据约束，确定 δ r B ，δ rC
方向如图 的方向如图
于是刚体ABC的速度瞬心在 p 点。确定 δ r A
xE = 2l cosθ + l cos ϕ = 3l cosθ y E = 2l sin θ − l sin ϕ = l sin θ
δ x E = − 3 l sin θδθ δ y E = 3 l cos θδθ
xC = 2l cosθ + 2l cos ϕ = 4l cosθ yC = 0
自由度数 k = 3 × 2 − 1 = 5
广义坐标， 广义坐标，取
x1 , y1 , z1 , ϕ ,θ
一般地，具有 个质点的系统中每一个质点用矢径表示为 一般地，具有n个质点的系统中每一个质点用矢径表示为
ri = ri (q1 , q2 , K , qk )
i = 1,2,K , n
即为选定的k个广义坐标 即为选定的 个广义坐标
δ x C = − 4 l sin θδθ δ y C = 0
负号表示θ角增加时，虚位移方向与坐标方向相反。
各点虚位移关系，如D点虚位移与C点虚位移的关系
δ x D = − l sin θδθ δ y D = l cos θδθ δ x C = − 4 l sin θδθ δ y C = 0
ϕ2
X
质点的直角坐标:
x1 = l1 cos ϕ1 y1 = l1 sin ϕ1
ϕ1 , ϕ 2
x2 = l1 cos ϕ1 + l2 cos(ϕ1 + ϕ 2 ) y2 = l1 sin ϕ1 + l2 sin(ϕ1 + ϕ 2 )
实位移与虚位移
实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。 实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。 设一个具有k个自由度的，由n个质点组成的的质点系统，每一个 质点由矢径 ri 表示其位置，而ri可以用广义坐标表示如下：
B
xD = l cosθ y D = l sin θ
xB = 2l cosθ y B = 2l sin θ
θ =ϕ
xE = 2l cosθ + l cos ϕ = 3l cosθ y E = 2l sin θ − l sin ϕ = l sin θ
xC = 2l cosθ + 2l cos ϕ = 4l cosθ yC = 0
ri = ri (q1 , q2 ,K, qk , t )
i = 1,2, L, n
在t时刻，外力作用下，经历无限小时间间隔∆t 质点系中每一 个质点产生微小位移dri（i=1，2，…，n）。显然，表示系统位形 的广义坐标也将产生一组微小增量 dqj （j=1，2，…，k）。 称为 系统广义实位移。满足条件 系统广义实位移 （1） （2） dri = ∑ dr ∂ri dq j + i j =1 ∂q dt j
约束方程
Y
M 1 : x12 + y12 = l12
z1 = 0
M 2 : ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = l
2 2 2 2
ϕ1
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
z2 = 0
系统自由度 k = 3 × 2 − 4 = 2 取广义坐标
Y xB B
xA
A yA
ϕ
yB
O
平面一般运动，3自由度，广义坐标： 定轴转动，单自由度，广义坐标：
X
xA , yA ,ϕ
ϕ
约束与约束方程
对物体运动的限制称为约束。用数学方程表示，称为约束方程 约束方程。 对物体运动的限制称为约束 约束方程 滑块—滑道 约束方程 y
y=0
质点被限制在某曲面上运动，约束方程为该曲面方程
D
E
A
θ
ϕ
C X
求变分
xD = l cosθ y D = l sin θ xB = 2l cosθ y B = 2l sin θ
δ x D = − l sin θδθ δ y D = l cos θδθ δ x B = − 2 l sin θδθ δ y B = 2 l cos θδθ
其中
q1 , q2 , K , qk
表示每个质点的直角坐标
xi = xi (q1 , q2 , K , qk ) yi = yi (q1 , q2 , K, qk )
z i = z i ( q1 , q2 , K , qk )
注意，一般情况下， 的函数。 注意，一般情况下，广义坐标是时间 t 的函数。
虚位移原理用于建立约束系统的平衡条件 虚位移原理用于建立约束系统的平衡条件 约束系统
质点系的位形、 质点系的位形、约束方程及分类
质点系中全部质点空间位置的坐标描述， 质点系中全部质点空间位置的坐标描述，称为该质 点系的位形。 点系的位形。 质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定， 质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定， 也可以由与质点系自由度对应的广义坐标确定 自由度对应的广义坐标确定。 也可以由与质点系自由度对应的广义坐标确定。
几何约束：只限制质点的几何位置的约束。 几何约束 运动约束：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。 运动约束 定常约束：约束条件与时间无关，即约束方程中不显含时间t。 定常约束 非定常约束：约束条件与时间有关，即约束方程中显含时间t。 非定常约束 完整约束：包括几何约束和可化成几何约束的运动约束。 完整约束 非完整约束：不可化成几何约束的运动约束。 非完整约束 理想约束：约束力做功恒等于零的约束。 理想约束：约束力做功恒等于零的约束。
r
r + dr
• B
Y
W = ∫ ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )
AB
X
特殊力系做功的计算 1、汇交力系合力做功 合力主矢 FR = ∑ Fi
W = ∫ FR • dr = ∫ ∑ Fi • dr = ∑ ∫ Fi • dr = ∑ Wi
AB AB AB
合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和
1 δ x D = δ xC 4
1 δ y D = − cot θδ x C 4
B
Y
D
E
A
θ
C X
（2）虚速度法
各点虚位移方向如图 速度投影定理
δrB cos( − 2θ ) = δrC cos θ
2
δrD = lδθ
δrB = 2lδθ
π
δrB
B
δ rC = δ rB
δ rD =
E
sin 2θ = 2δ rB sin θ cos θ
ri = ri (q1 , q2 , K, qk )
虚位移表示如下：
∂ ri δ ri = ∑ δq j j =1 ∂ q j
k
i = 1,2, L, n
i = 1,2,L , n
显然，虚位移与时间无关。
确定系统中质点间虚位移的关系
如前所述，具有k个自由度的，由n个质点组成的质点系统， 质点间的位置关系不是完全独立的，因此，每一个质点的虚位移 并不完全独立。把每一个质点的虚位移用独立的广义坐标表示， 分析中通常需要建立非独立的质点虚位移之间的关系 建立非独立的质点虚位移之间的关系，方法如下： 建立非独立的质点虚位移之间的关系 1、虚速度法 虚速度法：方法等同于“平面运动刚体上两点间的速度关系 平面运动刚体上两点间的速度关系”。 虚速度法 平面运动刚体上两点间的速度关系 把“点的虚位移”视为“点的速度”，应用“基点法”、“速度 投影定理”和“速度瞬心法”以及“复合运动速度关系”，确定 两点间的虚位移关系。
e δrA
δrA E