常见幂的大小比较技巧及幂的运算误区
十大方法玩转指对幂比较大小
十大方法玩转指对幂比较大小指数对幂比较大小是高中数学中一个非常重要的概念，在学习指数对幂比较大小时，学生可以使用以下十种方法来更好地理解和掌握这个概念。
1.化简幂的指数：使用指数的基本性质，将幂的指数化简为最简形式。
例如，将2^3与2^(2+1)比较时，将2^(2+1)化简为2^2*2^1，然后进行比较。
2.应用指数的运算法则：利用指数的运算法则，如乘法法则和乘方法则，对幂进行化简。
例如，将2^3与(2^2)^2比较时，可以利用乘法法则将(2^2)^2化简为2^4，然后进行比较。
3.求幂的值：计算出幂的具体数值，然后进行比较。
例如，将2^3与8比较时，可以计算出2^3=8，然后进行比较。
4.比较幂的指数：比较幂的指数大小，而不必计算具体数值。
例如，比较2^3与2^4时可以直接说2^4的指数更大。
5.利用幂的递增性质：利用幂的递增性质，即相同底数的幂，指数越大幂越大。
例如，比较2^3与2^4时可以直接说2^4更大。
6.利用幂的递减性质：利用幂的递减性质，即相同底数的幂，指数越小幂越小。
例如，比较2^3与2^2时可以直接说2^3更大。
7. 利用对数函数的性质：利用对数函数的性质，将幂转化为对数进行比较。
例如，比较2^3与2^4时可以利用对数函数将其转化为比较log₂(2^3)与log₂(2^4)，然后进行比较。
8.通过图像比较大小：通过绘制幂函数的图像，比较不同指数下的幂函数在数轴上的位置，进而比较幂的大小。
例如，比较2^3与2^4可以通过绘制y=2^3和y=2^4的图像，并观察图像在数轴上的位置来比较大小。
9.利用数学推理和证明：根据指数的性质和规律，运用数学推理和证明方法来比较幂的大小。
例如，通过数学归纳法证明对于任意正整数n，2^n>n。
通过以上十种方法的学习和应用，学生可以更好地理解和掌握指数对幂比较大小的方法和技巧，从而在解决相关的问题时能够灵活运用这些方法，提高数学解题的效率和准确性。
与幂有关的比较大小问题
与幂有关的比较大小问题江苏 孙翠梅在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能，这时该如何比较呢？下面举例介绍几种常用的比较幂的大小的方法．一、比较幂的大小方法一：指数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．例1 已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A a ＞b ＞cB a ＞c ＞bC a ＜b ＜cD b ＞c ＞a 解：因为3181a =＝431(3)＝1243，4127b =＝341(3)＝1233，619c =＝261(3)＝1223， 因为124＞123＞122，所以1243＞1233＞1223，即a ＞b ＞c ，故选A ．方法二：底数比较法利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．例2 503、404、305的大小关系是（ ） A 503＜404＜305 B 305＜503＜404 C 305＜404＜503 D 404＜305＜503解：因为503＝510(3)＝10243，404＝410(4)＝10256，305＝310(5)＝10125，而125＜243＜256，所以10125＜10243＜10256，即305＜503＜404，故选B ．方法三：作商比较法当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．例3 已知P ＝999999，Q ＝990119，那么P 、Q 的大小关系是（ ） A P ＞Q B P ＝Q C P ＜Q D 无法比较 解：因为P Q ＝999999×909911＝999(911)9⨯×909911＝99999119⨯×909911＝1， 所以P ＝Q ，故选B ．二、比较指数大小例4 已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，那么a 、b 、c 间的大小关系是（ ）A a ＋b ＞cB 2b ＜a ＋cC 2b ＝a ＋cD 2a ＜b ＋c 解：因为2a ＝3，2b ＝6＝2×3，2c ＝12＝22×3，而2(23)⨯＝23(23)⨯⨯，所以2(2)b ＝22a c ⋅，即22b ＝2a c +．所以2b ＝a ＋c ，故选C ．三、比较底数大小例5 已知a 、b 、c 、d 均为正数，且2a ＝2，3b ＝3，4c ＝4，5d ＝5，那么a 、b 、c 、d 中最大的数是（ ）A aB bC cD d分析：直接比较四个数的大小较繁琐，可两个两个的比较确定最大的数．解：因为236()a a =＝32＝8，326()b b =＝23＝9， 所以6a ＜6b ，于是a ＜b ．因为3412()b b =＝43＝81，4312()c c =＝34＝64， 所以12b ＞12c ，于是b ＞c ．因为3515()b b =＝53＝243，5315()d d =＝35＝125， 所以15b ＞15d ，于是b ＞d ．综合知，b 是最大的数，故选B ．。
苏科版七下数学-第8章幂的运算-四策略比较幂值大小
四策略比较幂值大小王 燕一、化同底，后比较例1比较48与64的大小．解析：由于两个幂的底数8和4都可以化成以2为底数的幂，所以先把这两个幂化为同底数，得434128(2)2==，626124(2)2==，所以4684=． 点评：同底数幂的大小比较法则要注意底数的特征．如果底数是小于1的正数，则指数大的反而小；如果底数为1，则不论指数大小如何，幂都相等；如果底数大于1，则底数大的幂也大．二、化同指，后比较例2 已知553a =，444b =，335c =，试比较a 、b 、c 的大小． 解析：因为55511113(3)243a ===，44411114(4)256b ===，333115(5)c ===11125，所以111111125243256<<．所以c a b <<. 点评：指数相同的幂的大小比较法则要注意底数的特征．当底数为正数时，底数大的幂也大；如果底数为负数，则要具体问题具体分析．三、先计算，后比较例3 已知52a =，43b =，34c =，比较a 、b 、c 的大小．解析：给出的三个幂不难计算，因此，可以先计算，再比较．通过计算得32a =，81b =，64c =，所以a c b <<．点评：计算后再比较大小是最常见的方法，有计算器时还以借助计算器进行计算．四、先放缩，后比较例4 比较3663和4533的大小．解析：从直观上比较它们的大小，可考虑对3663进行放大，对4533进行缩小，化为同底数后再比较．如果以2为底数进行比较，得3663621663(2)2<=，4554522533(2)2>=．而21622522<，故36456333<．点评：运用放缩比较大小要注意放缩的幅度，应尽可能与原数的大小接近，不能过大或过小．对直观上判断大小，但又无法通过运算准确说明的题，可按下述方法进行：对大的数要缩小，对小的数要放大，这样的缩放才有效．。
幂的运算的技巧
幂的运算的技巧
幂的运算有以下几个常用的技巧：
1. 幂的相加：如果有两个幂相加，即a^m + a^n，其中m和n是整数，且m > n，则可以将a^m + a^n转换为a^n * (a^(m-n) + 1)。
这个技巧可以用来简化幂的加法运算。
2. 幂的乘法：如果有两个幂相乘，即a^m * a^n，其中m和n是整数，则可以将a^m * a^n转换为a^(m+n)。
这个技巧可以用来简化幂的乘法运算。
3. 幂的乘方：如果有一个幂的乘方，即(a^m)^n，其中m和n是整数，则可以将(a^m)^n转换为a^(m*n)。
这个技巧可以用来简化幂的乘方运算。
4. 幂的分数指数：如果有一个幂的指数是分数，即a^(m/n)，其中m和n是整数且n不等于0，则可以将a^(m/n)转换为(a^m)^(1/n) 或者(a^(1/n))^m。
这个技巧可以用来计算幂的分数指数。
5. 负幂的倒数：如果有一个负幂，即a^(-m)，其中m是正整数，则可以将a^(-m)转换为1/(a^m)。
这个技巧可以用来计算负幂的倒数。
这些技巧可以帮助简化幂的运算，使得计算更加高效和简便。
“六法”比较指数幂大小
“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1 比较12(322)-+与23(21)-的大小． 解：∵22322(21)(21)-+=+=-，∴11222(322)[(21)]21---+=-=-．又∵0211<-<，∴函数(21)x y =-在定义域R 上是减函数．∴2321(21)-<-，即2132(322)(21)-+<-． 评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2 比较0.7a 与0.8a的大小．解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小． 解：∵1313004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭，∴13134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭． 评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４ 比较a b a b 与b aa b （0a b >>）的大小． 解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 又∵0a b >>，∴1a b>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b>．∴a b b a a b a b >． 评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a -+与n n a a -+的大小．解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a-->． 又∵1n a >，1m a-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．（2）当01a <<时，∵1m n a-<，即10m n a --<． 又∵0m n >>，∴1n a <，1m a->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．综上所述，m m n n a a a a --+>+．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．6．分类讨论法例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系，又要讨论底数a 与１的大小关系．解：（１）令22212x x +>+，得1x >，或1x <-．①当1a >时，由22212x x +>+，从而有22212x x a a ++>；②当01a <<时，22212xx a a ++<． （2）令22212x x +=+，得1x =±，22212x x a a ++=．（3）令22212x x +<+，得11x -<<．①当1a >时，由22212x x +<+，从而有22212x x a a ++<；②当01a <<时，22212x x a a ++>．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。
常见幂的大小比较技巧及幂的运算之误区
＝(3m)2÷(32n)2×3＝(3m)2÷(9n)2×3
＝812÷7292×3
＝3×
1 9
2
＝3×
1 27
＝
1 81
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第14章 整式的乘法与因式分解
双休作业(七) 2 常见幂的大小比较技巧及幂的运算之误区
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Ⅰ.幂的大小比较的技巧
技巧 1 比较幂的大小
方法1 指数比较法
1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的
大小关系是( A )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
A．－x6
B．x6
C．x5
D．－x5
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10．计算：
(1)(－a2)3 ＝－a6 (2)(－a3)2 ＝a6 (3)[(－a)2]3 ＝(a2)3＝a6 (4)a·(－a)2·(－a)7 ＝a·a2·(－a7)＝－a10.
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误区 3·2a2＝6a6
A．a
B．b
C．c
D．d
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Ⅱ.幂的运算之误区 误区 1 混淆运算法则
6．下列四个算式中，正确的有( B )
①2a3－a3＝1；②(－xy2)·(－3x3y)＝3x4y3；
③(x3)3·x＝x10；④2a2b3·2a2b3＝4a2b3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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7．先化简，再求值：x(x＋2)－(x＋1)(x－1)，
其中x＝－
1. 2
解：原式＝x2＋2x－x2＋1＝2x＋1.
当x＝－
1 2
幂运算总结及方法归纳
幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：●在运用 a m ? a n a m n（ m 、 n 为正整数）， a m a n a m n（a 0， m 、 n 为正整数且 m ＞ n ）， (a m ) n a mn（ m 、 n 为正整数）， (ab) n a n b n（ n 为正整数）， a 01(a 0) ，a n1（ a 0 ，n为正整数）时，要特别注意各式子成a n立的条件。
◆上述各式子中的底数字母不不过表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。
换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。
◆注意上述各式的逆向应用。
如计算2004 4 2005，可先逆用同底数幂的乘法法则将42005 写成42004 4 ，再逆用积的乘方法则计算0.25 200442004(0.25 4) 2004120041，由此不难获得结果为1。
◆经过对式子的变形，进一步领悟转变的数学思想方法。
仿佛底数幂的乘法就是将乘法运算转变为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转变为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转变为指数的乘法运算等。
◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步意会“经过观察、猜想、考据与发现法规、规律” 这一重要的数学研究的方法，学习并领会从特别到一般的归纳推理的数学思想方法。
一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：a m a n a m n m、n为正整数2、同底数幂的乘法可推行到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m a n a p a m m p (m、 n、 p为正整数 )注意点：（1）同底数幂的乘法中，第一要找出同样的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数 .（2）在进行同底数幂的乘法运算时，假如底数不一样，先想法将其转变为同样的底数，再按法规进行计算 .例题：例 1：计算列以下各题（1）a3 a4；（ 2） b b2b324；（ 3）cc c简单练习：一、选择题1.以下计算正确的选项是 ( )A.ａ2+ａ3=ａ5B.ａ2·ａ3=ａ5m+2m=5m D.ａ2+ａ2=2ａ42.以下计算错误的选项是 ( )A.5 ｘ2- ｘ2=4ｘ2B.ａm+ａm=2ａm m+2m=5m D. ｘ·ｘ2m-1=ｘ 2m3.以下四个算式中①ａ333②ｘ336325·ａ=2ａ+ｘ =ｘ③ｂ·ｂ·ｂ=ｂ④p2+p2+p2=3p2正确的有 ( )个个个个4.以下各题中，计算结果写成底数为10 的幂的形式，此中正确的选项是()A.100 × 102=103× 1010=103C.100 × 103=105×1000=104二、填空题1.ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。
幂函数大小比较方法
幂函数大小比较方法幂函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学中常用的一种函数形式。
在比较不同幂函数的大小时，我们可以通过一些方法和规则来进行判断和推导。
本文将以幂函数大小比较方法为标题，介绍一些常用的方法和技巧。
一、正整数指数的幂函数大小比较当幂函数中的指数为正整数时，可以通过比较底数的大小来确定函数的大小关系。
如果底数相同，指数越大，则幂函数的值越大。
例如，比较函数f(x) = 2^x和g(x) = 2^(x+1)，可以发现当x为正整数时，f(x)的值始终小于g(x)的值。
二、负整数指数的幂函数大小比较当幂函数中的指数为负整数时，可以通过比较底数的大小以及指数的绝对值来确定函数的大小关系。
如果底数相同，指数的绝对值越大，则幂函数的值越小。
例如，比较函数f(x) = 2^(-x)和g(x) = 2^(-x-1)，可以发现当x为正整数时，f(x)的值始终大于g(x)的值。
三、小数指数的幂函数大小比较当幂函数中的指数为小数时，可以通过取对数将其转化为指数为整数的形式，进而进行比较。
例如，比较函数f(x) = 2^x和g(x) = 2^(x+0.5)，可以取对数得到log2(f(x)) = x和log2(g(x)) = x+0.5，可以发现当x为正整数时，f(x)的值始终小于g(x)的值。
四、幂函数和多项式函数的大小比较当比较幂函数和多项式函数的大小时，可以通过比较它们的增长速度来确定大小关系。
一般情况下，多项式函数的增长速度要快于幂函数。
例如，比较函数f(x) = x^2和g(x) = 2^x，可以发现当x趋向于无穷大时，g(x)的值增长得更快，因此g(x)的值始终大于f(x)的值。
五、幂函数和指数函数的大小比较当比较幂函数和指数函数的大小时，可以通过比较它们的增长速度来确定大小关系。
一般情况下，指数函数的增长速度要快于幂函数。
例如，比较函数f(x) = x^2和g(x) = e^x，可以发现当x趋向于无穷大时，g(x)的值增长得更快，因此g(x)的值始终大于f(x)的值。
八年级上阶段方法技巧训练：常见幂的大小比较技巧及幂的运算
专训2
常见幂的大小比较技巧
及幂的运算之误区
1. 对于幂，由于它包含底数、指数、幂三种量， 因此比较大小的类型有：比较幂的大小，比较 指数的大小，比较底数的大小． 2. 幂的相关运算法则种类较多，彼此之间极易混
淆，易错易误点较多，主要表现在混淆运算法
则，符号辨别不清，忽略指数“1”等．
因为350＝(35)10＝24310，440＝(44)10＝25610，530＝ (53)10＝12510，而125<243<256，所以
12510<24310<25610，即530＜350＜440，故选B.本题
采用的是底数比较法．将比较大小的各个幂的指 数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确 定出幂的大小．
方法3
作商比较法
999 3．已知P＝ 99 ，Q＝ 9
关系是( B ) A．P＞Q C．P＜Q
119 ，那么P，Q的大小 90 9
B．P＝Q D．无法比较
因为
P 999 990 (9 11)9 990 99 119 990 99 9 9 9 99 99 Q 9 11 9 11 9 11
1．幂的大小比较的技巧
技巧
方法1
1
比较幂的大小
指数比较法
1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的
大小关系是( A ) A．a＞b＞c C．a＜b＜c B．a＞c＞b D．b＞c＞a
因为a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123， c＝961＝(32)61＝3122，而124>123>122，所以
误区
＝33x•3 2y
十大方法玩转指对幂比较大小(解析版)
“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。
幂函数值比较大小的4种方法
幂函数值比较大小的4种方法幂函数是一种常见的函数形式，其一般表示为y = x^n，其中x为自变量，n为幂次。
在实际问题中，我们经常需要比较不同幂函数的大小关系。
下面将介绍四种比较不同幂函数大小的方法。
首先，我们可以通过观察幂函数的幂次来比较它们的大小关系。
当幂次n为正数时，随着自变量x的增大，幂函数y = x^n的值也会增大，因此幂次较大的幂函数通常比幂次较小的幂函数值更大。
当幂次n为负数时，随着自变量x的增大，幂函数y = x^n的值会减小，因此幂次较小的幂函数通常比幂次较大的幂函数值更大。
因此，通过观察幂次的大小关系，我们可以初步判断幂函数的大小关系。
其次，我们可以通过求导的方法比较幂函数的大小关系。
对幂函数y = x^n求导，可以得到导数dy/dx = nx^(n-1)。
通过求导后的导数值，我们可以判断幂函数在不同自变量取值下的增减情况，从而比较幂函数的大小关系。
一般来说，导数值大的幂函数在相同自变量取值下的函数值也会更大。
第三种方法是通过幂函数的极限值来比较大小关系。
对幂函数y = x^n，当x趋近于正无穷大时，幂函数的值也会趋近于无穷大。
因此，幂次较大的幂函数在正无穷大的情况下通常比幂次较小的幂函数值更大。
当x趋近于负无穷大时，幂函数的值则会趋近于0。
因此，幂次较小的幂函数在负无穷大的情况下通常比幂次较大的幂函数值更大。
通过比较幂函数的极限值，我们可以判断幂函数的大小关系。
最后，我们可以通过幂函数的函数图像来比较大小关系。
通过绘制幂函数的函数图像，我们可以直观地看出幂函数的增减情况，从而比较幂函数的大小关系。
一般来说，幂次较大的幂函数在同一自变量取值范围内的函数值更大，函数图像的增长幅度更大。
综上所述，我们可以通过观察幂函数的幂次、求导、极限值和函数图像来比较幂函数的大小关系。
不同的比较方法在不同情况下都有其适用的优势，可以根据具体问题的要求选择合适的比较方法。
通过这些方法，我们可以更准确地比较不同幂函数的大小关系，从而更好地解决实际问题。
幂的运算易错点
幂的运算易错点
幂的运算是数学中常见的运算，但由于计算时易错，需要注意以下几个点：
1.幂的运算顺序：幂的运算是从右往左进行的，即先计算右边的幂，再计算左边的幂。
2.负数的幂：当底数为负数时，指数必须为整数，否则结果将无意义。
3.零的幂：任何数的零次幂都为1，但0的任何正整数次幂都是0。
4.幂的乘方：幂的乘方是将幂的底数相乘，指数相加的操作，即a^(b+c)=a^b * a^c。
5.幂的除方：幂的除方是将幂的底数相除，指数相减的操作，即a^(b-c)=a^b / a^c。
以上是幂的运算易错点，需要注意避免在计算中出现错误。
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轻松搞定幂的问题
轻松搞定幂的问题
类型1 直接运用幂的公式运算
类型2 比较幂的大小
1、化不同指数的幂为同指数的幂
要比较幂的大小，若能将它们转化为相同指数的幂，只要比较底数就可以比较幂的大小。
2、化不同底数的幂为同底数的幂
要比较几个幂的大小，若能将底数转化为相同的底数，再比较指数即可比较几个数的大小。
类型3 确定幂的个位数字
确定幂的个位数字，可先计算出幂的指数为1、2、3、4······的值，观察个位数字的规律，然后利用它们的规律确定幂的个位数字。
类型4 求未知幂的值
关于含条件式的求幂值问题，一般是将所求幂转化为由已知幂来表示。
以下部分为答案，做完可以对照一下！。
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专训2 常见幂的大小比较技巧及幂的运算误区
名师点金：
1.对于幂，由于它包含底数、指数、幂三种量，因此比较大小的类型有：比较幂的大小，比较指数的大小，比较底数的大小．
2．幂的相关运算法则种类较多，彼此之间极易混淆，易错易误点较多，主要表现在混淆运算法则，符号辨别不清，忽略指数“1”等．
1.幂的大小比较的技巧
比较幂的大小
指数比较法方法11．已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＞c ＞a
底数比较法
方法22．350，440，530的大小关系是( )
A ．350＜440＜530
B ．530＜350＜440
C ．530＜440＜350
D ．440＜530＜350
作商比较法
方法33．已知P ＝，Q ＝，那么P ，Q 的大小关系是( )999999119
990A ．P ＞Q B ．P ＝Q
C ．P ＜Q
D ．无法比较
比较指数的大小
4．已知x a ＝3，x b ＝6，x c ＝12，那么下列关系正确的是( )
A ．a ＋b ＞c
B ．2b ＜a ＋c
C ．2b ＝a ＋c
D ．2a ＜b ＋c
比较底数的大小
5．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且a 2＝2，b 3＝3，c 4＝4，d 5＝5，那么a ，b ，c ，d 中最大的数是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
2．幂的运算之误区
混淆运算法则
6．下列计算正确的是( )
A ．a 2＋a 3＝a 5
B ．a 2·a 3＝a 5
C ．(a 2)3＝a 5
D ．a 3÷a 2＝a 5
7．下列运算中，结果是a 6的是( )
A ．a 2·a 3
B ．a 12÷a 2
C ．(a 3)3
D ．(－a)6
8．计算(2a)3的结果是( )
A ．6a
B ．8a
C ．2a 3
D ．8a 3
9．计算：
(1)(a 3)2＋a 5；
(2)a 4·a 4＋(a 2)4＋(－4a 4)2.
符号辨别不清
10．计算的结果是( )(－12ab 2)
3 A .a 3b 6 B .a 3b 5 C ．－a 3b 5 D ．－a 3b 618181818
11．计算－[(－a)3]2的结果是________．
12．计算：
(1)(－a 2)3； (2)(－a 3)2；
(3)[(－a)2]3; (4)a·(－a)2·(－a)7.
忽略指数“1”
13．下列算式中，正确的是( )
A．3a3·2a2＝6a6B．2x3·4x5＝8x8
C．3x·3x4＝9x4D．5y7·5y7＝10y14
不能灵活运用整体思想
14．化简：
(1)(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y)；
(2)(a－b)9÷(b－a)4÷(a－b)3.
不能灵活运用转化思想
15．(1)若3x＋2y－3＝0，求27x·9y的值；
(2)已知3m＝6，9n＝2，求32m－4n＋1的值．
答案
1．A 点拨：因为a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61＝3122，而124>123>122，所以3124>3123>3122，即a>b>c，故选A.本题采用的是指数比较法．将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．2．B 点拨：因为350＝(35)10＝24310，440＝(44)10＝25610，530＝(53)10＝12510，而125<243<256，所以12510<24310<25610，即530＜350＜440，故选B.本题采用的是底数比较法．将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大
小．
3．B 点拨：因为＝×＝×＝×＝1，所以P ＝Q ，P Q 999999990119（9×11）999999011999×119999
990
119故选B .本题采用的是作商比较法．当a>0，b>0时，利用“若>1，则a>b ；若＝1，则a a b a b
＝b ；若<1，则a<b ”比较．a b
4．C 点拨：因为x a ＝3，x b ＝6＝2×3，x c ＝12＝22×3，
而(2×3)2＝3×(22×3)，
所以(x b )2＝x a ·x c ，即x 2b ＝x a ＋c .所以2b ＝a ＋c.故选C .
5．B 点拨：直接比较四个数的大小较烦琐，可两个两个地比较，确定最大的数．因为(a 2)3＝a 6＝23＝8，(b 3)2＝b 6＝32＝9，
所以a 6<b 6.所以a<b.
因为(b 3)4＝b 12＝34＝81，(c 4)3＝c 12＝43＝64，
所以b 12>c 12.所以b ＞c.
因为(b 3)5＝b 15＝35＝243，(d 5)3＝d 15＝53＝125，
所以b 15>d 15.所以b>d.综上可知，b 是最大的数，故选B .
6．B 7.D 8.D
9．解：(1)(a 3)2＋a 5＝a 6＋a 5.
(2)a 4·a 4＋(a 2)4＋(－4a 4)2
＝a 8＋a 8＋16a 8
＝18a 8.
10．D 11.－a 6
12．解：(1)(－a 2)3＝－a 6.
(2)(－a 3)2＝a 6.
(3)[(－a)2]3＝a 6.
(4)a·(－a)2·(－a)7＝a·a 2·(－a 7)＝－a 10.
13．B
14．解：(1)原式＝(x ＋y)5÷(x ＋y)2÷(x ＋y)＝(x ＋y)2.
(2)原式＝(a －b)9÷(a －b)4÷(a －b)3＝(a －b)2.
15．解：(1)27x ·9y ＝(33)x ·(32)y
＝33x·32y
＝33x＋2y，
因为3x＋2y－3＝0，
所以3x＋2y＝3.
所以原式＝33＝27. (2)32m－4n＋1＝32m÷34n×31＝(3m)2÷(32n)2×3
＝(3m)2÷(9n)2×3
＝36÷4×3
＝27.。