优化问题-离散模型(本科)

1 2
其中 d j = [( x k − x j ) 2 + ( y k − y j ) 2 ] ( k = 0,1,2,L)
( x 0 , y 0 ) 为初始点，通常取为 ( x j , y j )( j = 1,2,L, n) 的 为初始点，
加权重心： 加权重心：
x0 =
∑β
j =1 n j =1
0.030 0.040 0.040 0.020 0.020 0.025 0.035 0.030
25 15 30 25 25 20 10 20
要求确定工厂（ 要求确定工厂（源）应建在何处，使得从工厂向 应建在何处， 十个零售店运货的总运费最小
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
Baidu Nhomakorabea
建立模型
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
电厂选址：一座新的发电厂（变电所） 电厂选址：一座新的发电厂（变电所）要向 一特定地区供电，如何选择发电厂的最优地址。 一特定地区供电，如何选择发电厂的最优地址。 图书馆选址 ：某市要造一个新的图书馆 或其它民用设施，为某一特定地区服务， 或其它民用设施，为某一特定地区服务， 试为该图书馆选择最优地址等等
（2）min f ( x ) s .t . x ∈ D x j 为整数（ j = 1 ,L , n） 为整数（
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
0- 规划模型（布尔规划模型） 4. 0-1规划模型（布尔规划模型） （1） min
f ( x ) = ∑cj xj
j =1 n
n a x = b (i = 1,..., m ) i ∑ ij j s .t . j =1 x j ∈ { 0 , 1 } ( j = 1,..., n)
现有设施：终点，新设施： 现有设施：终点，新设施：源
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
2. 选址问题的类型
（1） 从新设施的个数来分
单源选址问题： 单源选址问题：单设施选址问题 多源选址问题： 多源选址问题：多设施选址问题 选址—分配问题 选址 分配问题
（2）从设施（源）的可能位置来分 从设施（
优化问题优化问题-离散模型
华东理工大学 鲁习文 xwlu@ecust.edu.cn
一. 几个常见的离散优化模型 二.非线性整数规划模型-选址模型 非线性整数规划模型混合整数规划模型 整数规划模型三. 混合整数规划模型-工厂选址问题 四. 0-1规划（布尔规划)-课程表问题 0- 规划（布尔规划)
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
j
不管规模多大的单源选址问题 ，求解都 十分容易。 十分容易。
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
4. 多源连续型选址问题
问题的提出： 问题的提出：
一般形式：将已知设施（位置）称为“终点” 一般形式：将已知设施（位置）称为“终点” 已知： 已知：① 各个终点的位置 ( x j , y j )( j = 1,2,L, n) ② 各个终点的需要量 w j ( j = 1,2,L, n) ③ 有关区域内的运价 β j ( j = 1,2,L, n) 确定： 新设施） 确定：① 源（新设施）的个数 ② 各个源的位置
min f ( x ) = ∑ c j x j
j =1
n
a x = b (i = 1,..., m ) i ∑ ij j s .t . j =1 x j ≥ 0 且 x j ∈ Z ( j = 1,..., n)
n
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
2. 运输模型
min f ( x ) = ∑ ∑ c ij x ij
i =1 j =1 m n
n x = a (i = 1 ,2 ,..., m ) i ∑ ij j =1 m s .t . ∑ x ij = b j ( j = 1 ,2 ,..., n ) i =1 x ij ≥ 0 且 x ij ∈ Z (i = 1 ,..., m ; j = 1 ,..., n )
（2）min f ( x )
x ∈ D s .t . 为整数（ x j ∈ { 0 , 1 } 为整数（ j = 1 , L , n ）
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
5. 混合整数规划模型 （1） min
f ( x ) = ∑cj xj
j =1 n
n a x = b (i = 1,L , m ) i ∑ ij j j =1 s .t . x j ∈ {0 , 1} j ∈ I ⊂ {1,2,L , n}
y * = 51 .755
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
发生改变， • 若单位运价 β 发生改变，例如 β1 : 0.025 → 0.050 则 x* = 54.062 * C = 248.25 * β 9 : 0.035 → 0.070 y = 57.212
（2）min
f(x)
x ∈ D s .t . x j ∈ {0 , 1} 为 整数 j ∈ I ⊂ {1,2, L , n}
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
二.非线性整数规划模型 选址模型
1. 引言 2. 选址问题的类型 3. 单源连续型选址问题的模型及求解 4. 多源连续型选址问题 5. 推广与讨论
一. 几个常见的离散优化模型
1. 线性整数规划模型（整数规划） 线性整数规划模型（整数规划） 2. 运输模型 3. 非线性整数规划模型 0- 规划模型（布尔规划模型） 4. 0-1规划模型（布尔规划模型） 5. 混合整数规划模型
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
线性整数规划模型（整数规划） 1. 线性整数规划模型（整数规划）
( x, y ) = 需建工厂（仓库）的位置坐标。 需建工厂（仓库）的位置坐标。
min C ( x, y ) = ∑ β j w j [( x − x j ) 2 + ( y − y j ) ]
j =1 n 1 2 2
( A)
模型求解 模型求解
∂C ( x * , y * ) =0 关于上述问题的求解已有研究： 关于上述问题的求解已有研究： ∂x ⇔ * * ∂C ( x * , y * ) 定理： 问题（ ） 定理：( x , y ) 为 问题（A）的最优 =0 ∂y
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
1. 引
言
我们要考虑的最优选址问题的主要是指： 我们要考虑的最优选址问题的主要是指： 已知一些现有设施的位置， 已知一些现有设施的位置，要求确定一个或 几个新设施的地址。 几个新设施的地址。
这类问题很实际意义， 这类问题很实际意义，例如 仓库选址： 仓库选址：给定一个公司的生产工厂和 用户的位置， 用户的位置，为一个新仓库 选择一个最优地址。 选择一个最优地址。
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
和分配问题， 和分配问题，然后对源的不同数目进行 考察，再从中选取最好的，即使这样做， 考察，再从中选取最好的，即使这样做， 精确求解也很困难，尽管如此， 精确求解也很困难，尽管如此，目前有 些启发式算法。 些启发式算法。 建立数学模型 在建立模型之前， 在建立模型之前，还是以前述例子来说明 现在要建m个工厂（仓库）来为10 10个零售点服 现在要建m个工厂（仓库）来为10个零售点服 为了方便起见，对建模做如下假设： 务，为了方便起见，对建模做如下假设：
n
j
wjxj
j
∑β
y0 =
∑β
j =1 n j =1
n
j
wjyj
j
wj
∑β
wj
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
已有研究表明采用上述迭代方法能迅速收敛 于最优解 ( x * , y* ) 。将该方法应用于上述问题 即可求出其近似最优解（迭代7 即可求出其近似最优解（迭代7次）
1 （10，40） ， ） 2 （50，100） ， ）
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
3. （20，80） ， ） 4. （60，20） ， ） 5. （90，70） ， ） 6. （50，10） ， ） 7. （60，40） ， ） 8. （70，70） ， ） 9. （30，10） ， ） 10.（40，90） （ ， ）
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
因为
n ∂C =∑ ∂x j =1
β j wj (x − x j )
[( x − x j ) + ( y − y j ) ]
2 2 1 2
=∑
j =1
n
β j wj (x − x j )
dj
n ∂C =∑ ∂y j =1
β j wj ( y − y j )
n β j wj (x − x j ) =0 ∑ dj j =1 n β w (y − y ) j ∑ j j =0 dj j =1 ∑
n
j =1
β jw jx j / d β jw j / d
j
j
∑ ∑
n j =1 n
n
j =1
β jw j y j / d β jw j / d
x = 58.065 * y = 62.900
*
C = C ( x , y ) = 215.790
* * *
讨论： 若零售店的需求量发生改变， 讨论：• 若零售店的需求量发生改变，例如 w1 : 10 → 30 则 x = 50 .246 C = 276 .76
* *
w9 : 10 → 30
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
将终点（已知设施）划分给各个源（ ③ 将终点（已知设施）划分给各个源（新 设施） 设施）的情况 各个源（新设施） ④ 各个源（新设施）的容量 例如：某地区变压器的选址与分配问题） （例如：某地区变压器的选址与分配问题） 这个问题不再容易，可以说相当棘手， 注：• 这个问题不再容易，可以说相当棘手， 这是因为既要求出源的个数和位置还要 对终点进行分配。 对终点进行分配。 可以先假定源的个数已知，再求最优选址。 • 可以先假定源的个数已知，再求最优选址。
连续型选址问题 离散型选址问题
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
（3） 从新设施的个数和位置分
单源连续型选址问题 多源连续型选址问题 单源离散型选址问题 多元离散型选址问题
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
3.单源连续型选址问题 单源连续型选址问题
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
3. 非线性整数规划模型
（1） min f ( x ) g i ( x ) ≥ 0 i = 1 ,L，m s .t . h j ( x ) = 0 j = 1 ,L，l x j 为整数 ( j = 1 ,L，n )
这里 x = ( x1 , x 2 ,L , x n )T
j
j
∑
j =1
形式上解出 x 和 y，这提示我们有如下的迭代算法
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
x k +1 =
∑β
j =1 n j =1
n
j
wjxj /dj
k
k
∑ β jw j / d j
k
y k +1 =
∑β
j =1 n j =1
n
j
wj yj /d j
k
k
∑ β jw j / d j
[( x − x j ) 2 + ( y − y j ) 2 ]
1 2
=∑
j =1
n
β j wj ( y − y j )
dj
这里 d j
= [(x − xj )2 + ( y − y j ) ]
1 2 2
, 所以
2006年上海市数学建模竞赛培训讲座：2006.09.09
x = 解此方程组可得： 解此方程组可得： y =
问题的提出： 问题的提出：
某公司要建立一个产品加工厂为十家零售店服务 提供产品），已有下列基本数据： ），已有下列基本数据 （提供产品），已有下列基本数据： 店号 位置 (x j , y j ) 单位货物通过单 需求量 位距离的运价 ( β j ) ( w j ) 0.025 10 0.030 20