空间距离(一)PPT课件

3
在 Rt△PCG 中，CG= 3 AC=3 2 ，PC=2。
H
4
CH= CG PC 6 2 6 11
CG 2 PC2 22 11
D
∴B 到平面 PEF 的距离为1 CH= 2 11
C
3
11
F
G
A
E
B
解 E、法F2分：例别连是3结：AEBP正、、方AFPD、形的B中DA点、B，ACC、DE的F，边EF长与为BD4分，别E交、ACF于分H、别O是，在正方形 ABCD 中，
∴PG⊥EF。∴EF⊥平面 PCG。
A过 C点作到PG面的P垂E线FC的H，距交离PG的于 H3，倍有。EF⊥CH。
∴CH⊥（平2面）PE求F，点CHB的到长即平为面点 PCE到F平面的P距EF离的距。离
又∵AE=EB
P
∴B 到平面 PEF 的距离等于 A 到平面 PEF 的距离。也等于 C 到平面 PEF 距离的 1 ，
由于 Rt△HKO 和 Rt△HCP 有一个公共角，故△HKD∽△HCP。
∴OK= OH PC 2 2 2 11
D
HP
22 11
H
C
即点 B 到平面 PEF 的距离是 2 11 。 F
11
G
O
A E
B
方法总结： （空间距离转化为点面距离）
1、找出或作出垂线段、2、证明其符合定义、3、 归结为几何计算或解三角形。
D
A
O
C
B
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行的平面 的距离，叫做这条直线到平面的距离。
l

例1 如图，已知正三角形 ABC的边长为 6cm，点 O 到 ABC各顶点的距离都是 4cm，求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解：设H为点O在平面ABC内的射影，延 长AH，交BC于E，则
例 2：直角 ABC 在平面 内，点 P 在平面 外， 若 P 到直角顶点 A 的距离为 8，到两条直角 边的距离均为 5 2 ，求 P 到平面 的距离。
P
E
C
O
A
D
B
例 2如：图：直过角P 作PAOBC平在面平于 面O，连内结 A，O，点 P 在平面 外，
过 O 作 OD AB 于 D，OE AC 于 E，连结 PD、
距 离 (一）
试问:那条线段最短？
F1
F2
距离的概念：
图形F1内的任一点与图形F2内的任 一点距离中的最小值叫做图形F1与图 形F2的距离。
1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离
P
A B
练习：
1已知线段AB不在平面内，A、B两点到平面 的距离分别是1和3，那么线段AB的中点到 平面的距离是 2 。
在 RtPAO中
PO= PA2 AO2 6
故点 P 到平面 的距离为 6
E
C
O
A
D
B
例 3：正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，PC 面 ABCD，PC=2。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。
（2）求点 B 到平面 PEF 的距离。
OA OB OC ,
HA HB HC ,
即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中，
BE 1 BC 3 , BH BE 2 3 ,
2
cos 30
A
OH OB2 BH 2 42 (2 3)2 2 (cm) ,
O
C
H
E
B
即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.
4.利用空间向量方法求点面距离。先确定平面的 法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面 的法向量上的射影长。
P0
n
P
练习
5.如图，已知在长方体ABCD－A’B’C’D’ 中，棱AA’=5，AB=12，求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D A'
C' B'
D A
C
E B
B M A
B'
M'
A'
练习
2.已知四面体ABCD，AB＝AC＝AD＝6， BC＝3，CD＝4，BD＝5，求点A到平面 BCD的距离。
A
B
O
D
C
3.如图，AB 是⊙O的直径， PA⊥平面 ⊙O，C为圆
周上一点，若 AB＝5，AC ＝2，求B到 平面PAC的距 离。
4.如图，已知P为△ABC外一点，PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，求P点 到平面ABC的距离。
∴ 作EOFK⊥⊥（PCP2H）交则求PEHF点⊥于平点B面K到，PH平由C两面个∴平平P面E面F垂P直E的F的⊥距性平质离面定。P理HC作。OK⊥PH。
交 PH 于点 K，由两个平Biblioteka 垂直的性质定理知 OK⊥平面 PEF
P
那么线段 OK 的长就是点 B 到平面 PEF 的距离 ∵正方形的边长为 4
PC=2 ∴AC= 4 2 ，HO= 2 ，PH= 22
若 PE，P由到三垂直线定角理顶得 P点D AAB的，P距E 离AC为。 8，到两条直角
边的 距PD离=P均E=5为2 5 2∴，OD求=OEP 到平面 的距离。
BAC=90°∴四边形 ADOE 是正方形
PA=8 ∴AD= 82 (5 2)2 14
P
AO= 14 2 2 7
D
F
A
E
B
X
Z P
Y C
解法 1：例连3结：PG正，方PC⊥形平A面BACBCDD，的C边E=C长F，为而4C，E、EC、F 是F 分别是
A斜BPE、、APFD在的平面中A点BC，D 上P的C射影面。ABCD，PC=2。
∴PE=PF。 在等腰三角形 PEF 中，∵G 是 EF 的中点。
（1）求证：C 点到平面 PEF 的距离等于
A∴BEF、//BAD，DH的为中AO点的，中点PC 面 ABCD，PC=2。
∵EF 平面 PEF，BD 平面 PEF。
∴BD//（平面1）PE求F，证则 ：B 到C平点面的到距平离就面是PBEDF上的任一距点离到平等面于PEF 的距离，于是只需求点 O
到平面 PEF 的距离。
A∵ B点D⊥到AC面， ∴PEEFF⊥的HC距∵离PC的⊥ 平3 面倍A。BCD