工程数学试卷及答案

一，单选题

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( B )。

A. 全部击中.

B. 至少有一发击中.

C. 必然击中

D. 击中3发

2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( C )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)

D. D(XY)=D(X)D(Y)

3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ D ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨

⎧-=x x x f 。 B. 其它

2

||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x f

C. 0

021)(2

2

2)(<≥⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπ

σ D. 其它0

0)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，

4．设随机变量X ～)4,

(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,

}5{2+≥=μY P P , 则有（ A ）

A. 对于任意的μ, P 1=P 2

B. 对于任意的μ, P 1 < P 2

C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2

D. 对于任意的μ, P 1 > P 2

5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ A ）

A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)

二、填空题

6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 9 。

7．设A= ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000

002~011101110x ，则x = 1 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作

的概率为1–(1–P)3 。

9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A

x x x f <<⎩⎨

⎧=00

2)(，则概率

=≥)2

1

(X P 3/4 。

10．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为

其它当0

,00),()43(>>⎩

⎨

⎧=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 12 。 三、计算题 11．求函数t

e

t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：

t

e d t ββπωωβω-+∞

=+⎰2cos 0

22 解答：函数f(t)的付氏变换为：

F (w )=dt e dt e

dt e

e

e

t j t

j t

j t t ⎰⎰⎰+∞

--+∞

+--+∞

∞

---+==ℜ0

)(0

)(|||

|][ϖβϖβϖββ

=

2

2

211ϖ

ββ

ϖβϖβ+=-++j j 由付氏积分公式有

f(t)=[1

-ℜF(w )]=

ϖϖπ

ϖd e F t

j ⎰

+∞

∞

-)(21

=

ϖϖϖϖββ

π

d t j t ⎰+∞

∞

-++)sin (cos 221

22 ==

ϖϖ

βϖπβ

ϖϖϖ

ββπ

d t

d t ⎰⎰+∞

+∞∞-+=+0222

2cos 2cos 221

所以

t

e d t ββπωωβω-+∞

=+⎰2cos 0

22 12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干

扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2

收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求

（1）收报台收到信号“1”的概率；

（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。 解答:

设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” (1)由全概率公式 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) =0.8x 0.6+0.1 x0.4=0.52 (2)由贝叶斯公式 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) =0.8x 0.6/0.52=12/13 13．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是

其它0

,00),()42(>>⎩

⎨

⎧=+-y x ce y x f y x 求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说出理由。

解答:

(1) 由联合概率密度的性质有

⎰⎰+∞

∞-+∞

∞-=1),(dy y x f dx

即

⎰⎰+∞

+-+∞

=0)

42(0

1dy ce

dx y x

从而 c =8

(2)⎰⎰

≥=

=

≥y

x dxdy y x f Y X P ),()(⎰⎰=+-+∞

x

y x dy e dx 0

)

42(0

3

2

8 (3) 当x >0时， ⎰⎰∞

∞

-∞

-+-===

2)42(28),()(x y x X e dy e dy y x f x f

当x <=0时, 0)(=x f X

同理有 其它0

4)(4>⎩⎨⎧=-y e y f y Y