第六章 一阶电路
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电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
第6章 一阶电路
iL(0)= 0
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
C + U0– L L L
L L
+ uL–
iL(0)=I0
+ uL–
I0
第6章 一阶电路
6- 3
例：求电路初始值 iL(0+)，uL(0+)。
t=0
R3
R3
IS 5A
R1 20
K b 30 iL + uL L R2 – 15
a
IS 5A
R1 20
30
iL(0-)
+
uL(0-)
t RC
代入初始条件 uC(0) = U0， uC (0) K e 最终得
K U0
uC ( t ) U 0 e
t RC
t≥0
uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。
第6章 一阶电路
6- 4
1. 响应的形式
t≥0 由电容VCR、KVL可得响应
R
i(t)
+ u1(t) – + uC(0) –
第6章 一阶电路
6-1
§6-1 分解方法在动态电路分析中的应用
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) i(t) + uOC(t) – C i(t) iSC(t) + uC(t) – R0 + uC(t) – C
N
+ uC(t) –
G0
C
第6章 一阶电路
6-1
利用戴维南定理或诺顿定理，可将单口含源电阻 网络 N 化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路。
i(t) + uR0(t)– i(t) + uC(t) – C
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
第 六 章 一 阶 电 路
t0
uV (0+)= - 10000V
造成
V 损坏。
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t ) y(0 )e
t
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路
= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
1 uC (0 ) uC (0 ) C
结论
1 0 ( )d uC (0 ) C
0
uC (0 )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL
+
u
L
-
1 t i L u( )d L 1 0 1 t i L u( )d u( ))d L L 0
§6-3 电路的初始条件
一. 关于 t = 0+与t = 0-
换路在 t=0时刻进行
00+ t = 0 的前一瞬间 t = 0 的后一瞬间
二. 换路定律
i
+ uc -
C
1 t uC ( t ) i ( )d C 1 0 1 t i ( )d i ( )d C C 0 1 t uC (0 ) i ( )d C 0
3
U0 e -3
5
U0 e -5 0.007 U0
uc U 0 e
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
0.135 U0 0.05 U0
工程上认为 , 经过 3 - 5 , 过渡过程结束。
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
电路分析第六章 一阶电路
放电结束，电路达到稳态。 放电结束，电路达到稳态。
6
2. 电路的微分方程及其求解 设响应为 uc(t) Q uc− u R = 0
i C + uc + R uR -
duc uR =R i = − RC t ≥ 0, u c (0) = U 0 dt du c ∴ RC + uc = 0 ，≥ 0 （齐次微 t dt 分方程） 分方程） 及 u c (0 ) = U 0
14
根据公式得到
uC (t ) = U 0e
− t
τ
= 6e −20t V
t
(t ≥ 0)
duC U0 − τ iC (t ) = C =− e dt R 6 e −20t mA =− 10 ×103 = −0.6e −20t mA
(t > 0)
电阻中的电流i 可以用与 可以用与i 同样数值的电流源代替 电阻中的电流 R(t)可以用与 C(t)同样数值的电流源代替 电容， 电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
12
电路如图(a)所示 已知电容电压u 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电压 C(0-)=6V。 。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 闭合开关， 的电容电压和电容电流。 闭合开关 的电容电压和电容电流
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
13
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 等效于一个电阻 其电阻值为
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3
6
2. 电路的微分方程及其求解 设响应为 uc(t) Q uc− u R = 0
i C + uc + R uR -
duc uR =R i = − RC t ≥ 0, u c (0) = U 0 dt du c ∴ RC + uc = 0 ，≥ 0 （齐次微 t dt 分方程） 分方程） 及 u c (0 ) = U 0
14
根据公式得到
uC (t ) = U 0e
− t
τ
= 6e −20t V
t
(t ≥ 0)
duC U0 − τ iC (t ) = C =− e dt R 6 e −20t mA =− 10 ×103 = −0.6e −20t mA
(t > 0)
电阻中的电流i 可以用与 可以用与i 同样数值的电流源代替 电阻中的电流 R(t)可以用与 C(t)同样数值的电流源代替 电容， 电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
12
电路如图(a)所示 已知电容电压u 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电压 C(0-)=6V。 。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 闭合开关， 的电容电压和电容电流。 闭合开关 的电容电压和电容电流
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
13
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 等效于一个电阻 其电阻值为
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3
第六章 一阶电路
（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感 ）电感的储能只与当时的电流值有关， 表 明 电流不能跃变，反映了储能不能跃变； 电流不能跃变，反映了储能不能跃变； （2）电感储存的能量一定大于或等于零。 ）电感储存的能量一定大于或等于零。
电感的串联
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + LN
电感元件VCR的积分关系： 的积分关系： 电感元件 的积分关系 1 0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ ) dξ + ∫ u (ξ ) d ξ L −∞ L 0
1 t = i(0) + ∫ u(ξ )dξ L 0
式中，i(0) 称为初始电流； 称为初始电流； 式中， 后一项是在t=0以后电感上形成的电流， 后一项是在 以后电感上形成的电流，它体 以后电感上形成的电流 现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 现了在 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流， 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于 该时刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压 该时刻的电压值，还取决于 即与电压过去的全部历史有关。 值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有 记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件 记忆元件。 “记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
1 t u(t ) = u(0) + ∫ i(ξ )dξ C 0
有限时， 当i有限时，电容电压不能突变， 有限时 电容电压不能突变，
注意
而是连续变化的。 而是连续变化的。
duc (t ) 能突变， ∵ 若uc(t)能突变，则 ic (t ) = c 能突变 dt
这与“ 为有限值” 这与“ ic(t)为有限值”的前提相矛盾。 为有限值 的前提相矛盾。 ∞，
电感的串联
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + LN
电感元件VCR的积分关系： 的积分关系： 电感元件 的积分关系 1 0 1 t i (t ) = ∫ u (ξ ) dξ + ∫ u (ξ ) d ξ L −∞ L 0
1 t = i(0) + ∫ u(ξ )dξ L 0
式中，i(0) 称为初始电流； 称为初始电流； 式中， 后一项是在t=0以后电感上形成的电流， 后一项是在 以后电感上形成的电流，它体 以后电感上形成的电流 现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 现了在 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流， 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于 该时刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压 该时刻的电压值，还取决于 即与电压过去的全部历史有关。 值，即与电压过去的全部历史有关。可见电感有 记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件 记忆元件。 “记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
1 t u(t ) = u(0) + ∫ i(ξ )dξ C 0
有限时， 当i有限时，电容电压不能突变， 有限时 电容电压不能突变，
注意
而是连续变化的。 而是连续变化的。
duc (t ) 能突变， ∵ 若uc(t)能突变，则 ic (t ) = c 能突变 dt
这与“ 为有限值” 这与“ ic(t)为有限值”的前提相矛盾。 为有限值 的前提相矛盾。 ∞，
电路分析基础第六章(李瀚荪)
t
t
t0
t U S uC 1 解二： iC [U S U S (1 e )] R R t US e , t0 R
二、RL电路的零状态响应 t=0
iR
R IS
iL
L
+ uL _
已知：iL(0_ ) = 0，求 iL(t) , uL(t) , t 0 解：１. 定性分析
1. 定性分析
① t＜ 0 —充电 ② t = 0 —换路
③ t≥0 —放电
2. 定量分析
建立图(b)电路的一阶微分方程
u R uC 0
齐次方程通解： 根据初始条件 其解为：
duC RC uC 0 dt
uC (t ) Ke
uC (0 ) Ke
t RC
st
1 S=－ RC
= 18e- 2500tV 18e- 2500t 6 ? 4 9
(t ? 0) 3e- 2500t A(t > 0)
uC (t ) 6 i1 (t ) = ? R 3+ 6
例3： 已知i (0 +) = 2A 求：i(t) , u(t) , t ≥ 0 3
i
0.5u
1
4H
+ u
_
u 3i (0.5u i) 1
t
6e 20 t V
( t 0)
duC U 0 t 6 20 t iC ( t ) C e e dt R 10 103 0.6e 20 t m A ( t 0)
电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电
流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
引例：求图示电路的一阶微分方程。
t
t0
t U S uC 1 解二： iC [U S U S (1 e )] R R t US e , t0 R
二、RL电路的零状态响应 t=0
iR
R IS
iL
L
+ uL _
已知：iL(0_ ) = 0，求 iL(t) , uL(t) , t 0 解：１. 定性分析
1. 定性分析
① t＜ 0 —充电 ② t = 0 —换路
③ t≥0 —放电
2. 定量分析
建立图(b)电路的一阶微分方程
u R uC 0
齐次方程通解： 根据初始条件 其解为：
duC RC uC 0 dt
uC (t ) Ke
uC (0 ) Ke
t RC
st
1 S=－ RC
= 18e- 2500tV 18e- 2500t 6 ? 4 9
(t ? 0) 3e- 2500t A(t > 0)
uC (t ) 6 i1 (t ) = ? R 3+ 6
例3： 已知i (0 +) = 2A 求：i(t) , u(t) , t ≥ 0 3
i
0.5u
1
4H
+ u
_
u 3i (0.5u i) 1
t
6e 20 t V
( t 0)
duC U 0 t 6 20 t iC ( t ) C e e dt R 10 103 0.6e 20 t m A ( t 0)
电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电
流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
引例：求图示电路的一阶微分方程。
《电路分析基础》第六章一阶电路
《电路分析基础》第六章一阶电路一阶电路是电路分析中最简单的一种电路，由一个电感或一个电容和一个电压源或电流源组成。
一阶电路是电子工程中非常常见的一种电路，它的特点是响应时间快，稳定性好。
一阶电路主要包括RC电路和RL电路两种类型。
RC电路由一个电阻和一个电容组成，RL电路由一个电阻和一个电感组成。
在分析一阶电路之前，我们首先要了解一些电路的基本概念。
电阻是电路中最基本的元件，用来限制电流的大小。
电容是储存电荷的元件，可以在电路中积累能量，并且具有储能的功能。
电感是储存磁场能量的元件，类似于电容，但储存的是磁场能量。
在一阶电路中，电阻、电容和电感之间存在着不同的关系。
在RC电路中，电压和电流之间的关系是指数关系，电压的变化速度随着时间的增加而减小。
而在RL电路中，电压和电流之间的关系是线性关系，电压的变化速度与时间无关。
一阶电路的分析主要通过微分方程的方法进行。
对于RC电路，我们可以通过二阶微分方程来描述电压和电流的关系，即I(t) = C*dV(t)/dt + V(t)/R。
对于RL电路，我们可以通过一阶微分方程来描述电压和电流的关系，即V(t) = L* dI(t)/dt + I(t)*R。
在分析一阶电路时，我们经常需要查看电路的响应时间和稳定性。
响应时间是指电路在接受输入信号后所需要的时间来达到稳定状态。
稳定性是指当电路处于稳态时，对输入信号的响应是否保持稳定。
对于RC电路和RL电路，我们可以通过解微分方程得到它们的解析解。
对于RC电路，我们可以得到V(t)=V0*(1-e^(-t/RC))的解析解，其中V0是初始电压，R是电阻，C是电容。
对于RL电路，我们可以得到I(t)=I0*(1-e^(-t/RL))的解析解，其中I0是初始电流，R是电阻，L是电感。
通过分析一阶电路的响应时间和稳定性，我们可以更好地理解电路的工作原理，并且可以根据需求来设计出合理的电路。
一阶电路是电子工程中非常重要的一部分，它是电路分析的基础，也是电子产品设计的基础。
第六章 一阶电路
第六章 一阶电路§6-1 动态电路的方程及其初始条件§6-2一阶电路的零输入响应（一）教学目标1． 了解产生过渡过程的电路及原因，2． 掌握“稳态”与“暂态”的概念与分析方法的区别， 3． 掌握换路定理，应用于一阶电路初始值的计算；4． 掌握一阶电路的概念，零输入响应的概念以及求解方法。
（二）教学难点1． 本课程以往的内容全部是稳态电路的分析，本章首先要使学生建立电路中存在“过渡过程（暂态）”的思想及掌握其产生原因（包括外部原因与内部原因）。
2． 一阶电路初始值计算的分析核心为换路定理，学生必须掌握这一分析思路。
3． 一阶电路零输入响应的物理实质为储能元件的放电过程，其响应曲线为按指数衰减的形式。
4． 时间常数反映了电路零输入响应的衰减快慢，它与电路的元件组成有关。
（三）教学思路1． 首先，以自然界中火车的启停需要过渡时间段加减速作类比，强化学生关于特定电路在状态发生改变时同样存在“过渡过程”概念的理解，并引出电路过渡过程的研究变量。
2． 通过对换路和换路定理概念及物理意义的解释，明确电路过渡过程初始值的计算依据。
3． 零输入响应的分析先从定性角度让学生明白其物理实质，然后借助数学方法推导出其数学表达式。
课程内容中物理意义的分析比起定量分析更加重要。
（四）教学内容和要点一、“稳态”与 “暂态”的概念: 产生过渡过程的电路及原因?无过渡过程 I 电阻电路I电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。
过渡过程产生的原因1. 内因：电路内部含有储能元件L 、M 、C2. 外因：电路结构发生变化稳态暂态换路发生很长时间换路刚发生i L 、u C 随时间变化代数方程组描述电路微分方程组描述电路I L 、U C 不变)(LC I U 、稳态分析和暂态分析的区别tCu 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为：2021cu idt u W tC ==⎰因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。
第6章 一阶电路
Ke −5τ
变化规律的核心部分
变化规律的核心部分 ② 是指数函数
f ( t ) = Ke
− t RC
此处K 此处K=Us。其中RC乘积的量纲为时间， 其中RC乘积的量纲为时间 乘积的量纲为时间， 令 τ = RC ，称为时间常数。 τ决定uc变化的快 称为时间常数。 慢。 f(t)
K
f (t ) = Ke
R +
解
(t) c δ
-
u(t)
s(t) = (1A)R(1− e τ )ε(t)
ds (t ) h (t ) = dt t − d τ = R ε (t ) − e ε (t ) dt t t − 1 −τ τ = R δ (t ) − δ (t ) e + e ε (t ) τ 1 −τ τ = R e ε (t ) = e ε (t ) τ C 1
§2-2 零输入响应
（2）如何获悉uc(0)或iL(0)? 如何获悉u (0)或 （a）根据t≤0时的电路计算； 根据t≤0时的电路计算 时的电路计算； （b）作为已知条件给出，不必追究其来源。 作为已知条件给出，不必追究其来源。
(3)
例题 4Ω
求iL(t) 、uL(t)及i(t)，t≥0？ t≥0？
例如 t ≥ 0时，，(t) = 5V uS 可记为 此时无需再标示t 此时无需再标示t≥0 。
uS (t) = 5ε (t) ，
延时(delayed)单位阶跃函数 延时(delayed)单位阶跃函数
ε (t)
1
0 ε(t − t0 ) = 1
t < t0 t > t0
0
t0
t
ε(t-t0) 连同ε(t) ，可以用数学形式表明分段常量 ε(t
第6章一阶电路(first-ordercircuit)
放电时间长
t
t
uc U0e
0
U0 U0 e -1 U0 0.368 U0
2
3
U0 e -2
U0 e -3
0.135 U0 0.05 U0
5
U0 e -5 0.007 U0
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
工程上认为, 经过 3－5, 过渡过程结束。
uc I0
t1时刻曲线的斜率等于
duC dt
守恒
结
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
论
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
4、换路定律
qc (0+) = qc (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
L (0+)= L (0－) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
特点：
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变 化过程称为电路的过渡过程。
例 电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t=0）
i
i US / R2
i US (R1 R2 )
t
0
过渡期为零
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
S
uC
–
S未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
A=U0
t
uc U0e RC t 0
i
uC R
U0 R
e
t RC
I0e
t RC
t0
或
i C duC dt
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2.uc(t)、iL(t)的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升，τ 越 小上升越快。 ３求出uc(t)、iL(t)，根据置换定理，电容用电压值为uc(t)的电 压源置换，电感用电流值为iL(t)的电流源置换，在置换后的电路 中求其他电压电流。 4.一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大а 倍，零状 态响应也扩大а 倍，如有多个电压源作用，也可用叠加定理来求零 状态响应。
求一阶电路零输入 响应uc(t)、iL(t) 可不列微分方程， 直接用结论。
例1 电路如图所示，已知uc(0)=15V,求uc(t),i(t) t≥0
例2 求图示电路中i(t),t≥0,已知uc(0)=6V
小结
1.一阶电路的零输入响应
2.一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢由时间 常数τ 决定，τ 越小，衰减越快。 3.求出uc(t)或iL(t)再根据置换定理，用电压为uc(t)的电压源置
第六章 一阶电路
1.分解方法在动态电路分析中的应用 2.一阶微分方程求解 3.零输入响应 4.零状态响应 5.叠加定理在线性动态电路中的应用 6.三要素法 7.阶跃函数和阶跃响应 8.分段常量信号作用下一阶电路的求解
第七章 一阶电路
§7-1 分解方法在动态电路分析中的应用
§7-2 一阶微分方程求解
uc(0.1s)
元件小结 元 件 t=0+ t=∞
§7-7 阶跃函数和阶跃响应 §7-8 分段常量信号作用下一阶电路的求 解
一.阶跃函数 １.单位阶跃函数
2.延时单位阶跃函数
二.用单位阶跃函数表示电源接入
三.阶跃信号、阶跃响应 1.阶跃信号
2.阶跃响应 单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应，用Ｓ(t） 表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为Ｓ(t-t0)。
四.分段常量信号作用下一阶电路的求解
1.把分段常量信号分 解为若干个阶跃信号 之和，各阶跃信号分 量单独作用于电路， 由叠加定理求出电路 的零状态响应。如果 初始状态不为零，再 加上零输入响应。
2.把分段常量信号作 用于电路的时间分为 若干个子区间，每一 区间内输入信号为一 常量。用三要素法求 每一子区间的响应， 即按时间分段求解。 在求解过程中，注意 每一子区+)
1.先求uc(0-)、iL(0-)
2.做t=0+时等效电路 C—用电压值等于uc(0+)的电压源置换
L—用电流值等于iL(0+)的电流源置换
3.在t=0+的等效电路中求各初始值 二.求稳态值f(∞) 在t=∞的电路中求： C—开路 L—短路 三.求时间常数τ 求动态元件两端看进去戴维南等效电阻： RC电路：τ =R0C RL电路：τ =L/R0
2. 写清解题过程。
uc的零输入响应
uc的零状态响应
§7-6 三要素法
直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的，它们的变化无 非四种情况。
１ ２
§7-6 三要素法
直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的，它们的变化无 非四种情况。
３ 三个参数（三要素） 对于一阶电路，恒定输入下的响应只要 求出这三个要素，就可画出它的波形并 写出表示式，这就是三要素法。
例1 已知：is(t)作用于电路，uc(0)=0
求：uc(t)
t≥0
例1 已知：is(t)作用于电路，uc(0)=0
求：uc(t)
t≥0
第六章 习题
6-6，6-8，6-21，6-22，6-
27，
6-32, 6-33, 6-36, 6-39, 6-
48
要求：1. 画电路图，标注方向；
§7-3 零输入响应
一.RC电路
换路：电路中电源的接入、消失或变动及元件参数和电路结构的变 化都称为换路。
换路定律：
uc(0+)=uc(0-）
iL(0+)=iL(0-)
1.物理分析
2.数学分析
上 页 图 示
工程上认为t=4τ 时，电路已达稳态。
二.RL电路
一阶电路的零输入响应
1.物理分析
2.数学分析
二.RL电路
恒定输入下一阶电路的零状态响应
例1 求图示电路的i1(t)、iL(t)(t≥0),已知iL(0)=0
例2 求图示电路中uc(t)(t≥0),已知uc(0)=0 解：
小结
1.恒定输入下一阶电路的零状态响应
换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感，在置换后的电路中 求其他电压电流。 4.一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，叫固有响应， s=-1/τ 叫固有频率。
5.线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，即初始状态 增大а 倍，零输入响应也增大а 倍。
§7-4 零状态响应
一.RC电路
5.如果是非直流激励或非渐进稳定电路，则需列微分方程求解
§7-5 叠加定理在线性动态电路中的应用
解：
完全响应=零输入响应+零状态响应
完全响应=过渡状态+稳定状态
例 各电源在t=0时接入，uc(0)=1V,求 i(t) t≥0
用戴维南定理求解 uoc=1+10=11V R0=1Ω
例1 求图示电路中1K电阻的电流
（2）求i(∞)
(3)求τ
用叠加定理求iL(t)
例2 图示电路中开关在t=0时闭合，且设t=0-时电路已处于稳态，
在t=100ms时又打开，求uab，并绘波形图。
解∶ t=0-时，电路已处于稳态， 电容 开路
t=100ms时又打开，需求