高三数学数列的概念测试题doc
高三数学数列试题答案及解析
高三数学数列试题答案及解析1.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为________【答案】【解析】由题意，，，所以，则时，，两式相减得，，也适合此式，故.【考点】新定义与数列的通项公式.2.已知数列的通项公式an＝ (n∈N*)，求数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为a10，最小项为a9【解析】∵an ＝1＋，∴当n≤9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10≤n≤30时，a n 随着n的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a10，最小项为a9.3.（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的的值.（Ⅲ）记，是否存在实数M，使得对一切恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由。
【答案】，2/9【解析】19. 解：（Ⅰ）当时，，由，得．当时，，，∴，即．∴．∴是以为首项，为公比的等比数列．故．………………6分（Ⅱ），，………………8分………10分解方程，得………………12分（2）解法一：，由错误!不能通过编辑域代码创建对象。
，当，又故存在实数M，使得对一切M的最小值为2/9。
4.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如题15图所示的数表，其中的第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为则_____________.【答案】【解析】略5.设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】在等差数列中，成等差数列。
因为，，所以。
故选Ｂ。
【考点】等差数列的性质点评：在等差数列中，成等差数列。
6.（本小题满分14分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为。
（1）求数列的通项公式；（2）证明：。
【答案】（1）；（2）证明见解析。
【解析】（1）设直线：，联立得：，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即。
高中数学试题含答案-课时规范练28 数列的概念
课时规范练28数列的概念基础巩固组1.已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的()A.第19项B.第20项C.第21项D.第22项2.记S n为数列{a n}的前n项和.“任意正整数n,均有a n>0”是“数列{S n}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)已知数列{a n}满足a n+1=1-1a n(n∈N*),且a1=2,则()A.a3=-1B.a2 019=12C.S6=3D.2S2 019=2 0194.(2020河北保定高三期末)在数列{a n}中,若a1=1,a2=3,a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则该数列的前100项之和是() A.18 B.8 C.5 D.25.(多选)已知数列{a n}:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,若b n=1a n·a n+1,设数列{b n}的前n项和为S n,则()A.a n=n2B.a n=nC.S n=4nn+1D.S n=5nn+16.(2020湖南益阳高三期末)已知{a n}是等差数列,且满足:对∀n∈N*,a n+a n+1=2n,则数列{a n}的通项公式a n=() A.n B.n-1C.n-12D.n+127.已知数列{a n}的首项a1=21,且满足(2n-5)a n+1=(2n-3)a n+4n2-16n+15,则数列{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a88.已知每项均大于零的数列{a n},首项a1=1且前n项和S n满足S n√S n-1-S n-1√S n=2√S n S n-1(n∈N*且n≥2),则a81=()A.638B.639C.640D.6419.设S n为数列{a n}的前n项和,且a1=4,a n+1=S n,n∈N*,则S4=.10.在数列{a n}中,a1=2,a n+1n+1=a nn+ln1+1n,则a n=.11.已知数列{a n}的通项公式为a n=n+13n-16(n∈N*),则数列{a n}的最小项是第项.12.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=4a n+3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n}的通项公式;公众号：一枚试卷君(2)证明:a n+1+1a n+1=4.综合提升组13.(2020广东中山期末)设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,{S n+na n}为常数列,则a n=()A.13n-1B.2 n(n+1)C.1(n+1)(n+2)D.5-2n314.(2020安徽江淮十校第三次联考)已知数列{a n}满足a n+1-a nn =2,a1=20,则a nn的最小值为()A.4√5B.4√5-1C.8D.915.(多选)(2020江西赣州教育发展联盟2月联考)已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2),a1=14,则下列说法正确的是()A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列D.数列1S n为递增数列创新应用组16.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=a,a n+1=S n+3n,若a n+1≥a n对∀n∈N*成立,则实数a的取值范围是.17.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{a n}的前n项和S n=f(n)(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设c n=1-4a n (n∈N*),定义所有满足c m·c m+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{c n}的变号数,求数列{c n}的变号数.参考答案课时规范练28 数列的概念1.C 数列√5,√11,√17,√23,√29,…,中的各项可变形为√5,√5+6,√5+2×6,√5+3×6,√5+4×6,…,所以通项公式为a n =√5+6(n -1)=√6n -1,令√6n -1=5√5,得n=21.2.A ∵a n >0,∴数列{S n }是递增数列,∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件.如数列{a n }为-1,1,3,5,7,9,…,显然数列{S n }是递增数列,但是a n 不一定大于零,还有可能小于零, ∴数列{S n }是递增数列不能推出a n >0.∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件. ∴“任意正整数n ,均有a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件.3.ACD 数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1-1a n(n ∈N *),可得a 2=12,a 3=-1,a 4=2,a 5=12,…,所以a n+3=a n ,数列的周期为3,a 2 019=a 672×3+3=a 3=-1,S 6=3,S 2 019=2 0192. 4.C ∵a 1=1,a 2=3,a n +2=a n +1-a n (n ∈N *),∴a 3=3-1=2, a 4=2-3=-1, a 5=-1-2=-3, a 6=-3+1=-2, a 7=-2+3=1, a 8=1+2=3, a 9=3-1=2, …∴{a n }是周期为6的周期数列,∴S 100=S 16×6+4=16×(1+3+2-1-3-2)+(1+3+2-1)=5.故选C. 5.AC 由题意得a n =1n+1+2n+1+…+nn+1=1+2+3+…+nn+1=n2,∴b n =1n 2·n+12=4n (n+1)=41n −1n+1,∴数列{b n }的前n 项和S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =41-12+12−13+13−14+…+1n −1n+1=41-1n+1=4nn+1.故选AC.6.C 由a n +a n+1=2n ,得a n+1+a n+2=2n+2,两式相减得a n+2-a n =2=2d ,∴d=1,又a n +a n +d=2n ,∴a n =n-12.故选C .7.A ∵4n 2-16n+15=(2n-3)(2n-5),∴(2n-5)a n+1=(2n-3)a n +(2n-3)(2n-5), 等式两边同时除以(2n-3)(2n-5),可得a n+12n -3=a n2n -5+1, 可设b n =a n 2n -5,则b n+1=an+12n -3, ∴b n+1=b n +1,即b n+1-b n =1.∵b 1=a 12×1-5=21-3=-7, ∴数列{b n }是以-7为首项,1为公差的等差数列. ∴b n =-7+(n-1)×1=n-8,n ∈N *.∴a n =(n-8)(2n-5)=2n 2-21n+40.可把a n 看成关于n 的二次函数,则根据二次函数的性质,可知其对称轴n=10.52=5.25. ∴当n=5时,a n 取得最小值.故选A .8.C 已知S n √S n -1-S n-1√S n =2√S n S n -1,数列{a n }的每项均大于零,故等号两边同时除以√S n S n -1,可得√S n −√S n -1=2,∴{√S n }是以1为首项,2为公差的等差数列,故√S n =2n-1,S n =(2n-1)2,∴a 81=S 81-S 80=1612-1592=640.故选C .9.32 因为S n 为数列{a n }的前n 项和,且a 1=4,a n+1=S n ,n ∈N *, ① 则当n ≥2时,a n =S n-1, ②由①-②得a n+1-a n =a n ,∴an+1a n=2,则数列{a n }是从第二项起,公比为2的等比数列,又a 2=S 1=4,∴a n =4·2n-2=2n (n ≥2),故a n ={4(n =1),2n (n ≥2).所以S 4=a 5=25=32.10.2n+n ln n 由题意得a n+1n+1−a n n =ln(n+1)-ln n ,a n n −an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). ∴a 22−a 11=ln 2-ln 1,a 33−a22=ln 3-ln 2,…,a n n−an -1n -1=ln n-ln(n-1)(n ≥2). 累加得a n n −a 11=ln n ,又a 1=2,∴a nn =2+ln n (n ≥2),当n=1时,a 1=2,上式成立,故a n =2n+n ln n. 11.5 a n =n+13n -16=131+193n -16.当n>5时,a n >0,且单调递减, 当n ≤5时,a n <0,且单调递减. ∴当n=5时,a n 最小.12.(1)解 a 1=3,a 2=15,a 3=63,a 4=255.因为a 1=41-1,a 2=42-1,a 3=43-1,a 4=44-1,…, 所以归纳得a n =4n -1. (2)证明 因为a n +1=4a n +3,所以a n+1+1a n +1=4a n +3+1a n +1=4(a n +1)a n +1=4. 13.B ∵数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,∴S 1+1×a 1=1+1=2.∵{S n +na n }为常数列,∴S n +na n =2.当n ≥2时,S n-1+(n-1)a n-1=2,∴(n+1)a n =(n-1)a n-1,从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=13·24·35·…·n -1n+1,∴a n =2n (n+1)(n ≥2),当n=1时上式成立,∴a n =2n (n+1).故选B . 14.C 由a n +1-a n =2n ,知a 2-a 1=2×1,a 3-a 2=2×2,…,a n -a n -1=2(n-1),n ≥2.以上各式相加得a n -a 1=n 2-n ,n ≥2,所以a n =n 2-n+20,n ≥2, 当n=1时,a 1=20符合上式,所以a n n =n+20n-1,n ∈N *, 所以当n ≤4时,a n n单调递减,当n ≥5时,a n n单调递增.因为a 44=a55=8,所以ann 的最小值为8.故选C .15.AD 由题意,可知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0),且满足a n +4S n-1S n =0(n ≥2),则S n -S n-1=-4S n-1S n (n ≥2),即1S n−1S n -1=4(n ≥2).又因为a 1=14,所以1S 1=4,所以数列1S n是以4为首项,4为公差的等差数列,所以数列1S n为递增数列,且1S n=4+(n-1)×4=4n ,则S n =14n .又因为当n ≥2时,a n =S n -S n-1=14n −14(n -1)=-14n (n -1),a 1=14,所以数列{a n }的通项公式为a n ={14,n =1,-14n (n -1),n ≥2.故选AD. 16.[-9,+∞) 据题意,得a n+1=S n+1-S n =S n +3n ,∴S n+1=2S n +3n ,∴S n+1-3n+1=2(S n -3n ).又S 1-31=a-3,∴数列{S n -3n }是以a-3为首项,2为公比的等比数列,∴S n -3n =(a-3)·2n-1即S n =3n +(a-3)·2n-1.当n=1时,a 1=a ;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3n +(a-3)×2n-1-3n-1-(a-3)×2n-2=2×3n-1+(a-3)×2n-2,∴a n+1-a n =4×3n-1+(a-3)×2n-2.又当n ≥2时,a n+1≥a n 恒成立,∴a ≥3-12×(32)n -2对∀n ∈N *,且n ≥2成立,∴a ≥-9.又a 2=a 1+3,∴a 2≥a 1成立.综上,所求实数a 的取值范围是[-9,+∞).17.解 (1)依题意,得Δ=a 2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f (x )=x 2-4x+4. 所以S n =n 2-4n+4. 当n=1时,a 1=S 1=1-4+4=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n-5.所以数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =1,2n -5,n ≥2.(2)由题意得c n ={-3,n =1,1-42n -5,n ≥2.由c n =1-42n -5可知,当n ≥5时,恒有c n >0. 又因为c 1=-3,c 2=5,c 3=-3, c 4=-13,c 5=15,即c 1·c 2<0,c 2·c 3<0,c 4·c 5<0, 所以数列{c n }的变号数为3.。
人教A版数学高三数列的概念与简单表示法精选试卷练习(含答案)3
a2 a5 a8 93 ，若对任意 n N* ，都有 Sn Sk 成立，则 k 的值为 (
)
试卷第 1页，总 8页
A． 22
B． 21
C． 20
D．19
6．已知函数
f
x
(3
{ a
x
6
a
)
x
3,(x (x 7)
7)
，若数列
an
满足
an
f
(n), (n N )
，且
对任意的正整数 m, n, (m n) 都有 (m n)(am an ) 0 成立，那么实数 a 的取值范围
则 an ____________.
25．已知数列
an
满足
a1
2 ， an1
1
1 an
，则 a2019
_____.
26．已知数列 3,33,333,3333，…则通项 an _________.
27．已知数列{
an
}对任意的
n∈N*，都有
an
∈N*，且
an1
=
3an 1，an为奇数
an 2
ai a2i 100 的 i 的最小值为______．
34．数列{an} 中，若 a1 3 ， an1 an ( n N* )，则数列{an} 的通项公式 an _____.
35．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；1， 1,2,3,5,8,13， ，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样
的一列数所组成的数列
ห้องสมุดไป่ตู้
an
为“斐波那契数列”.那么 a12
a22
a32
a42
高三数学一轮复习 数列(解析版)
数 学D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10.16．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．16.12 [解析] 由题易知a 8＝11－a 7＝2，得a 7＝12；a 7＝11－a 6＝12，得a 6＝－1；a 6＝11－a 5＝－1，得a 5＝2，于是可知数列{a n }具有周期性，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.D2 等差数列及等差数列前n 项和 2．[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．142．B [解析] 由题意，得a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，解得d ＝1，所以a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.5．[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－125．D [解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，且S 1，S 2，S 4成等比数列，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1，所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 13．[2014·江西卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．13.⎝⎛⎭⎫－1，－78 [解析] 由题可知a 8>0且a 9<0，即7＋7d >0且7＋8d <0，所以－1<d <－78. 9．[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d ＞0 B ．d ＜0 C ．a 1d ＞0 D ．a 1d ＜09．D [解析] 令b n ＝2a 1a n ，因为数列{2a 1a n }为递减数列，所以 b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n＝2a 1(a n＋1－a n )＝2a 1d <1，所以a 1d <0.17．[2014·全国卷] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．17．解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是所以a n ＋1－a 1＝n 2， 即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式a n ＝n 2－2n ＋2. 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C.n （n ＋1）2D.n （n －1）25．A [解析] 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2， 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎨⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .19．解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1－43， 所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.19．[2014·浙江卷] 已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 19．解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 16．、[2014·重庆卷] 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2×4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q＝23(4n－1)．D3 等比数列及等比数列前n 项和12．[2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．图1-312.14 [解析] 在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.17．，[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．13．5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.7．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．7．4 [解析] 由等比数列的定义可得，a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，即a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2.又a n ＞0，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，故a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 8．[2014·全国卷] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．648．C [解析] 设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a （1－q 2）1－q＝3，a （1－q 4）1－q ＝15，解得q 2＝4，a1－q ＝－1，所以S 6＝a （1－q 6）1－q＝(－1)(1－43)＝63. 5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C.n （n ＋1）2D.n （n －1）25．A [解析] 由题意，得a 2，a 2＋4，a 2＋12成等比数列，即(a 2＋4)2＝a 2(a 2＋12)，解得a 2＝4，即a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋1)．19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎨⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.20．、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .20．解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0， 所以s <t . 16．、[2014·重庆卷] 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .16．解：(1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0， 所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2×4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q＝23(4n－1)．D4 数列求和 15．、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1，所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.16．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 16.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2， 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 19．，，[2014·山东卷] 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1）2，记T m ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .19．解：(1)由题意知，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知，b n ＝a n （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ×(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)， 所以当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2， 当n 为奇数时， T n ＝T n －1＋(－b n ) ＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎨⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.D5 单元综合18．[2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋ (3)－n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19．[2014·广东卷] 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）<13.19．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )， 化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4， 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 20．[2014·江苏卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈)，证明：{a n }是“H 数列”．(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值． (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈)成立．20．解： (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知得，S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”，因此d 的值为－1.(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”．同理可证{c n }也是“H 数列”． 所以对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．17．、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．17．解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2.而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． 18．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．18．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)． 故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x ，a ＜0，所以由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]时的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4时取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意． 综上有，a ＝－10. 19．、、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .19．解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1－43， 所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.。
数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)
所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
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命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
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，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
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4．(易错题)若数列
— 7—
4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法 、图象法和 9 解析法 ．
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常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有 关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项 对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
高三数学复习之数列的概念
课后巩固案（前一课）1.=+i i )23( .2.已知复数()225i z +=，则z 的虚部为 . 3.若复数i mi z +-=21是纯虚数，则实数m 的值是 . 4．若()R b a bi a ibi ∈+=-+,13，则=+b a . 5.已知复数,yi x z +=且32=-z ，则xy 的最大值为 6.设C z ∈,若2z 为纯虚数,求z 在复平面上对应的点的轨迹方程。
数列的概念课前预习案:1.理解数列的概念，掌握数列的几种简单表示法（列表、图像、通项公式）2.理解数列的前n 项和n S 与通项n a 之间的关系3.了解数列是一种特殊的函数，发现数列规律找出可能的通项公式知识梳理1. 数列的概念:按照 排列的一列数称为数列;数列中的 都叫作这个数列的项.2. 数列的通项公式:如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用 来表示,那么 叫作这个数列的通项公式.3. 数列的分类:①按项数：项数 的数列叫作有穷数列;项数 的数列叫作无穷数列. ②按单调性：递增数列:任意*∈N n ， 递减数列：任意*∈N n ，常数列：任意*∈N n ，4. n S 与n a 的关系:n a a a a Sn ++++= 321，⎩⎨⎧≥==21n n a n 5. 数列是特殊的函数:在数列{}n a 中,对于每一个正整数n 都有一个数n a 与之对应,因此,数列可以看成定义域为 ,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数)(x f y =,如果)3,2,1)(( =i i f 有意义,那么我们可以得到一个数列 ),(,),2()1(n f f f ，(强调有序性)三、预习检测1.已知数列{}n a 的通项公式为()n n n a 31-=,那么该数列的首项为 .2.已知数列{}n a 的通项公式为321++=n n a n ,那么=4a ,=6a 3.数列 ，，，，7654320的通项公式可以是=n a 4.32是数列{}n n 42+中的第 项.5.对于任意正整数n ,都有58)(2+-=n n n f ，则)(n f 的最小值为 .课上学习案目标1 数列的通项公式例1 若数列{}n a 的通项公式是()()321+-=n a n n ,求1074a a a ++的值。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)23 数列的基本知识与概念 (含详解)
专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67B ．68C ．134D ．167例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法题型三：数列的最大（小）项例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2D ．3例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）． A ．35 2331n n +- B ．36 2331n n -+ C ．37 2331n n -+ D ．38 2331n n +-例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9例23．将正整数排列如下： 1 2 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575C ．D ．12例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ） A ．134B ．5C ．6D ．132例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]40,25-- B ．[]40,0- C ．[]25,25- D ．[]25,0-【过关测试】一、单选题 1．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））函数()f x 定义如下表，数列{}()N n x n ∈满足02x =，且对任意的自然数n 均有()1n n x f x +=，则2022x =（ ）2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为{}n a ，其前n 项和为n S ，给出以下结论：①22122n a n n -=-；②182是数列{}n a 中的项；③21210a =；④当n 为偶数时，()2122n n n S S S n n *++-+=+∈N ．其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④3．（2022·河南·模拟预测（理））观察数组()2,2，()3,4，()4,8，()5,16，()6,32，…，根据规律，可得第8个数组为（ ） A ．()9,128 B ．()10,128 C ．()9,256D ．()10,2564．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()()11120n n a a +-++=，112a =，则数列{}n a 的前2022项积为（ ） A ．16-B ．23C ．6-D ．325．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 满足()1112,21*+-==∈-n n n a a a n N a ，则2022=a （ ）A ．13B ．1C ．2D ．526．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n=+，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()2**2,5,,1,5,.n n tn n n a t n n n ⎧-+≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N 且数列{}n a 是单调递增数列，则t 的取值范围是（ ） A ．919,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()5,+∞D ．(]1,48．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{nan }中数值最小的项是（ ） A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项D ．第5项9．（2022·上海普陀·二模）数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-10．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题11．（2022·河北·衡水第一中学高三阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是180C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-12．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足1112,012,1321,12n n n n n a a a a a a +⎧⎪⎪==⎨⎪-<<⎪⎩，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．13B ．2C ．23D ．4513．（2022·全国·高三专题练习）下列四个选项中，不正确的是（ ）A ．数列2345,,,3456，⋯的一个通项公式是1n n a n =+ B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，1-，1，1-，⋯与数列1-，1，1-，1，⋯是同一数列D ．数列11,24，⋯，12n是递增数列14．（2022·全国·高三专题练习）已知n S 是{}n a 的前n 项和，12a =，()1112n n a n a -=-≥，则下列选项错误的是（ ） A ．20212a = B ．20211012S =C ．331321n n n a a a ++⋅⋅=D ．{}n a 是以3为周期的周期数列15．（2022·全国·高三专题练习）若数列{an }满足112,2712,62n n n n n a a a a a +⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，123a =，则数列{an }中的项的值可能为（ ） A ．19B ．16C ．13D ．4316．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．317．（2022·全国·高三专题练习（文））南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”.如图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{}220,,s ts t s t Z +≤<∈且中所有的数从小到大排列的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，…，则下列结论正确的是（ ）A ．第四行的数是17，18，20，24B ．()11232-+=⋅n n n aC ．()11221n n a n ++=+ D ．10016640a =18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯19．（2022·河北·石家庄实验中学高三开学考试）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ） A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为222n a n =D ．此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-20．（2022·福建漳州·三模）已知数列{n a }的前n 项和为211n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）．A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．122n a nD ．数列{}n S 的最大项为5S 和6S21．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=（1，2，4，5，7，8与9互质），则（ ）A ．若n 为质数，则()1n n ϕ=-B ．数列(){}n ϕ单调递增C ．数列()2nn ϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前5项和等于72 D ．数列(){}3nϕ为等比数列三、填空题22．（2022·北京·人大附中模拟预测）能说明命题“若无穷数列{}n a 满足()111,2,3,n na n a +>=，则{}n a 为递增数列”为假命题的数列{}n a 的通项公式可以为n a =__________．23．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）写出一个符合下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 是无穷数列；②{}n a 是单调递减数列；③20n a -<<.这个数列的通项可以是__________.24．（2022·海南·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的数列{}n a 的通项公式：n a =__________．①10n n a a +<；②数列{}n a 是单调递减数列；③数列{}2nn a 是一个等比数列．25．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．26．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ .27．（2022·山西·模拟预测（理））数列{}n a 中，已知11a =，20a >，()*21n n n a a a n ++=-∈N ，则2022a 的取值范围是___________.28．（2022·四川成都·三模（理））已知数列{}n a 满足13a =，122n n n a a a ++=，则2022a 的值为______．29．（2022·全国·模拟预测）在数列{}n a 中，11a =，1,231,nnn n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，则1232021a a a a ++++=___．专题23 数列的基本知识与概念【考点预测】1．数列的概念（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{}12n ⋯，，，）为定义域的函数()n a f n =当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类（1）按照项数有限和无限分：（2）按单调性来分：111()n n n nn n a a a a a a C +++≥⎧⎪≥⎪⎨==⎪⎪⎩递增数列：递减数列： ，常数列：常数摆动数列 3．数列的两种常用的表示方法（1）通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．（2）递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【方法技巧与总结】（1）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，则1112n n n S n a S S n n N *-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ ， ， ，注意：根据n S 求n a 时，不要忽视对1n =的验证．（2）在数列{}n a 中，若n a 最大，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩ ， 若n a 最小，则11.n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩【题型归纳目录】 题型一：数列的周期性 题型二：数列的单调性 题型三：数列的最大（小）项 题型四：数列中的规律问题 题型五：数列的最值问题【典例例题】题型一：数列的周期性例1．已知无穷数列{}n a 满足()21N n n n a a a x *++=-∈，且11a =，2a x =()x ∈Z ，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0，则下列哪个不能是x 的取值（ ）A ．1147B ．1148C ．1142-D ．1143-【答案】B 【分析】当0x ≥时，分别令1,2,3,x =，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值；当0x <时，分别令1,2,3,x =---，可求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意的x 的取值． 【详解】 ①当0x ≥时，若0x =，则数列{}n a 的各项为1,0,1,1,0,1,1,0,1,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若1x =，则数列{}n a 的各项为1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 为周期数列，周期为3，由202036731=⨯+， 可知数列{}n a 的前2020项中有673项为0； 若2x =，则数列{}n a 的各项为1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第3项开始为周期数列，周期为3，由202022018236722=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若3x =，则数列{}n a 的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,，此时数列{}n a 从第4项开始为周期数列，周期为3，由202032017336721=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有672项为0； 若4x =，则数列{}n a 的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,， 此时数列{}n a 从第6项开始为周期数列，周期为3，由202052015536712=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 依次类推，可知当()26731001146x =-=，或1147x =时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0；②当0x <时，若1x =-，则数列{}n a 的各项为1,1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第7项开始为周期数列，周期为3，由202062014636711=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有671项为0； 若2x =-，则数列{}n a 的各项为1,2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第9项开始为周期数列，周期为3，由202082012836702=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若3x =-，则数列{}n a 的各项为1,3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第10项开始为周期数列，周期为3，由202092011936701=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有670项为0； 若4x =-，则数列{}n a 的各项为1,4,5,9,4,5,1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,-，此时数列{}n a 从第12项开始为周期数列，周期为3，由20201120091136692=+=+⨯+，可知数列{}n a 的前2020项中有669项为0； 依次类推，可知当()26711001142x =--=-，或1143x =-时， 数列{}n a 的前2020项中有100项是0．综上所述，若数列{}n a 的前2020项中有100项是0， 则x 可取的值有1146,1147,1142,1143--． 故选：B ． 【点睛】本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件()21N n n n a a a x *++=-∈探究数列{}n a 的性质，利用赋值法分别令1,2,3,x =和1,2,3,x =---，可分别求出数列{}n a 的前2020项中0的个数，进而得出规律．考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题．例2．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-），已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B 【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦．*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，，∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝．662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，……． ∴6n n b b +＝．故{}n b 是一个以周期为6的周期数列， 则20196336335b b b ⨯+＝＝＝．故选：B ． 【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用． 例3．数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．6-【答案】D 【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果． 【详解】 当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列， ()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-． 故选：D ．例4．若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ） A ．67 B ．68 C ．134 D ．167【答案】B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解． 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．例5．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2021a 等于（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B 【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值． 【详解】 因为12152a =<，所以23454312,,,5555a a a a ====，所以数列具有周期性，周期为4，所以2021125a a ==．故选：B ． 【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．例6．已知数列{}n a 满足，()()111122,32n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩*(,1)n N n ∈>，若1(2,3)a ∈且记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2019=m S ，则2019S 的值为（ ） A ．60572B ．3028C ．60552D ．3029【答案】C 【分析】根据递推公式可逐个代入计算，得出数列{}n a 的周期为4，再根据2019=m S 与前两项的范围可求得52a =，再分组求和求解2019S 即可． 【详解】设1(23)a a a =<<，由()()11112232n n n n n a a a a a ----⎧-+>⎪=⎨-⎪⎩，*(,1)n N n ∈>，得22(0,1)a a =-∈，3235(2,3)a a a =-=-∈，435423(0,1),3(2,3)a a a a a a =-=-∈=-=∈．故数列{}n a 的周期为4，即可得41234,6n n a a a a a a +=+++=． 12336632019m m S a a a =+++=⨯+=，又1(23)a a a =<<，22(0,1)a a =-∈．(2)3a a ∴+-=，即52a =． 12311201950443,32a a a a =⨯+++=+=， 2019116059504622S ∴=⨯+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养．属于中档题．例7．（2022·广东汕头·三模）已知数列{}n a 中，114a =-，当1n >时，111n n a a -=-，则2022a =（ ） A ．14-B ．45C ．5D ．45-【答案】B【解析】由题意得：2341231141115,1,154a a a a a a =-==-==-=-，则数列{}n a 的周期为3，则20226743345a a a ⨯===． 故选：B ．例8．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列{}n a 中，()1112n n n a a a n --=⋅+≥，12a =，则10a 等于（ ）A ．12-B ．12C ．-1D ．2【答案】D【解析】解：∵12a =，()1112n n n a a a n --=⋅+≥， ∴()1112n n a n a -=-≥， ∴211122a =-=，3121a =-=-，()4112a =--=，511122a =-=，…， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，10331=⨯+，∴101a a =， 故选：D ．题型二：数列的单调性例9．（2022·四川达州·二模（理））已知单调递增数列{}n a 满足9,102121,109n n m n a m n n -⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎩，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)12,+∞B ．()1,12C ．()1,9D ．[)9,+∞【答案】B【解析】{}n a 为单调递增数列，10912109m ma a >⎧⎪⎪∴+>⎨⎪>⎪⎩，即12109219219m m m m ⎧⎪>⎪⎪+>⎨⎪⎪⎛⎫>+⨯-⎪⎪⎝⎭⎩，解得：112m <<， 即实数m 的取值范围为()1,12．故选：B ．例10．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数()()633,7,7x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()2,3D ．[)2,3【答案】C【解析】因为数列{}n a 是单调递增数列，则函数()6x f x a -=在()7,+∞上为增函数，可得1a >，函数()()33f x a x =--在[)1,7上为增函数，可得30a ->，可得3a <，且有78a a <，即()86733187a a a ---=-<，即27180a a +->，解得9a <-或2a >．综上所述，23a <<． 故选：C ．例11．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列{}n a 的首项为11a =，2a a =，且121(2,)n n a a n n n N *++=+≥∈，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <<B ．23a <<C ．3522a <<D ．1322a <<【答案】C【解析】当2,n n N *≥∈时，121(1)n n a a n ++=+，因此有2123(2)n n a a n +++=+，(2)(1)-得：22n n a a +-=，说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由121n n a a n ++=+可得：345,2a a a a =-=+，因为数列{}n a 单调递增，所以有1234a a a a <<<，即152a a a <<-<+，解得：3522a <<，故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），数列{}n b 是递增的，且2n b An Bn =+，则实数B 的取值范围为（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：因为等比数列{}n a 前n 项和n S 满足113n n S A +=-⋅（A R ∈），所以1119a S A ==-，221(127)(19)18a S S A A A =-=---=-， 332(181)(127)54a S S A A A =-=---=-，因为等比数列{}n a 中2213a a a ，所以2(18)(19)(54)A A A -=--，解得13A =或0A =（舍去）， 所以213n b n Bn =+，因为数列{}n b 是递增的，所以22111(1)(1)033n n b b n B n n Bn +-=+++-->，所以2133B n >--，因为*n N ∈，所以1B >-， 故选：C例13．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足()712,83,8n n a n n a n a n *-⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N ，若对于任意n *∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由条件可得011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解出即可．【详解】因为对于任意n *∈N 都有1n n a a +>， 所以011031923a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪⎛⎫>-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得112a <<故选：C例14．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列， 则实数b 的取值范围为（ ） A ．(2,)-+∞ B ．[2,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-【答案】C由数列{}n a 是单调递增数列，可得10n n a a +->，从而有21b n >--恒成立，由n ∈+N ，可求得b 的取值范围． 【详解】由数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +->，即22(1)(1)210n b n n bn n b +++--=++>，即21b n >--（n ∈+N ）恒成立，又数列{}(21)n -+是单调递减数列，所以当1n =时，(21)n -+取得最大值3-，所以3b >-． 故选：C ．【方法技巧与总结】解决数列的单调性问题的3种方法例15．已知数列{}n a 的首项为1，且()()*111n n n a a n n ++=∈+N ，则na的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【分析】 根据()111n n n a a n ++=+得出()11n n n a n a n ++-=，然后通过累加法求出1122n n a n =+-，根据均值不等式及n N +∈，即可求出结果． 【详解】 由()111n n n a a n ++=+得()11n n n a n a n ++-=所以()()()1122111122n n n n n n a n a n a a a na n a a ---=--+---++-+则()()()()()111112111122n n n n n n na n +---=-+-+++=+=+所以()111112222n n n na n-=+=+-≥ 当且仅当n =n N +∈，故取1a 或2a 最小，又121a a ==，所以n a 的最小值为1【点睛】思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及n N +∈，求得最值． 例16．已知数列{}n a 满足110a = ，12n na a n+-=，则n a n 的最小值为（ ）A ．-1B ．11 2C ．163D ．27 4【答案】C 【分析】先根据累加法得210n a n n =-+，进而得101n a n n n =+-，再结合函数()101f x x x=+-的单调性即可得当3n =时，na n 的最小值为163． 【详解】 解：由12n na a n+-=得12n n a a n +-=， 所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，()2323n n a a n ---=-， ，3222a a -=⨯，2121a a -=⨯，累加上述式子得：()()()()12123211n a a n n n n n -=-+-+-+++=-⎡⎤⎣⎦，所以210n a n n =-+，()2n ≥，检验已知1n =时，210n a n n =-+满足．故210n a n n =-+，101n a n n n=+-，由于函数()101f x x x=+-在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，又因为*x ∈N ，当3n =时，10163133n a n =+-=，当4n =时，10114142n a n =+-=， 所以na n 的最小值为163． 故选：C ．例17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解． 【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->，∴1n n n S a S --=，则21(1)n S n -=-，即2*(N )n S n n =∈，∴22(1)21n a n n n =--=-．易知0n b >，∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（），244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时，1n >， ∴当13n ≤<时， 1n n b b +>， 当3n ≥时，1n n b b +<， 又23132,281b b ==，∴当3n =时， n b 有最小值．故选：A 例18．已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【分析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断n T n 的最小值． 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N *∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=， 当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n=-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6；当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，nT n有最小值5； 综上所述，nT n的最小值为5 故答案为：5 【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题． 例19．数列，1n =，2，，中的最小项的值为__________．【分析】构造函数()ln xf x x=，利用函数单调性分析最大值，得出数列的最大项，即可得解． 【详解】 考虑函数()ln x f x x=，()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()21ln 0x f x x -'=>，当x e >时，()21ln 0x f x x -'=<， 所以()ln xf x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减， 即()1ln x f x x ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，所以y e ==()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，116689,89<<．【点睛】此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题． 【方法技巧与总结】求数列的最大项与最小项的常用方法（1）将数列视为函数()f x 当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f （x ）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出()f x 的最值，进而求出数列的最大（小）项．（2）通过通项公式n a 研究数列的单调性，利用11()2n n n n a a a n a -+≥⎧⎨≥⎩≥，确定最大项，利用11()2n n nn a a a n a -+≤⎧⎨≤⎩≥，确定最小项．（3）比较法：若有1()()10n n a a f n f n -=+->＋或0n a >时11n na a +>，则1n n a a ＋＞，则数列{}n a 是递增数列，所以数列{}n a 的最小项为1(1)a f =；若有1()()10n n a a f n f n =-+-<＋或0n a >时11n na a +<，则1n n a a <＋，则数列{}n a 是递减数列，所以数列{}n a 的最大项为1(1)a f =． 题型四：数列中的规律问题例20．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则(4)f =（ ）；()f n =（ ）．A ．35 2331n n +-B ．36 2331n n -+C ．37 2331n n -+D ．38 2331n n +- 【答案】C 【分析】结合图形中的规律直接求出(4)f 和(5)f ，进而总结出递推公式2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-，利用累加法即可求出结果． 【详解】由图中规律可知：(4)37f =， 所以(2)(1)716f f -=-=，(3)(2)19726f f -=-=⨯，(4)(3)371936f f -=-=⨯， (5)(4)613746f f -=-=⨯，因此当2n ≥时，()()(1)61f n f n n --=-， 所以[][][]()()(1)(1)(2)(2)(1)(1)f n f n f n f n f n f f f =--+---++-+()()612211n n ⎡⎤=⨯-+-++++⎣⎦()1612n n -=⨯+2331n n =-+，经检验当1n =时，符合()2331f n n n =-+，所以()2331f n n n =-+，故选：C ．例21．由正整数组成的数对按规律排列如下：()1,1，1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，()1,5，()2,4，⋅⋅⋅．若数对(),m n 满足()22222021m n -⋅-=，,m n N *∈，则数对(),m n 排在（ ）A ．第386位B ．第193位C ．第348位D ．第174位【答案】D 【分析】 先求出,m n 的值，再根据数对的特点推出数对(),m n 的位置 【详解】解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1，1），数对中两数的和为2，共1个数对；第2组为（1，2），（2，1），数对中两数和为3，共2个数对；第3组为（1，3），（2，2），（3，1），数对中两数的和为4，共3个数；……，第n 组为(1,),(2,1),,(,1)n n n -⋅⋅⋅，数对中两数的和为1n +，共n 个数，由()22222021m n -⋅-=，得()2222023m n -⋅=，因为20237289=⨯，所以2227289m n ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得317m n =⎧⎨=⎩，所以20m n +=，在所有数对中，两数之和不超过19的有1918123181712⨯+++⋅⋅⋅+==个， 所以在两数和为20的第1个数（1，19），第2个为（2，18），第3个为（3，17）， 所以数对（3，17）排在第174位， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由()22222021m n -⋅-=，得()2222023mn -⋅=，解出,m n 的值，考查计算能力，属于中档题例22．已知“整数对”按如下规律排列：()()()()()1,11,22,11,32,2，，，，，()()()3,11,42,3，，()3,2，，()4,1，…，则第68个“整数对”为（ ） A ．()1,12 B ．()3,10C ．()2,11D ．()3,9【答案】C 【分析】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项． 【详解】设“整数对”为()()*m n m n N ∈，，，由已知可知点列的排列规律是m n +的和从2开始，依次是3，4，…，其中m 依次增大．当2m n +=时只有1个()11，；当3m n +=时有2个()()1221，，，； 当4m n +=时有3个()()()132231，，，，，； …；当12m n +=时有11个()()()111210111⋯，，，，，，；其上面共有11(111)12311662⨯+++++==个数对． 所以第67个“整数对”为()112，，第68个“整数对”为()211，， 故选：C ． 【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题． 例23．将正整数排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……则图中数2020出现在 A ．第64行3列 B ．第64行4列 C ．第65行3列 D ．第65行4列【答案】B 【分析】计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案． 【详解】每行的首个数字为：1，2，4，7，11… 111,1n n a a a n -=-=-利用累加法：112211(1)()()...()121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-++-+=-+-++=+计算知：642017a = 数2020出现在第64行4列 故答案选B 【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键． 题型五：数列的最值问题例24．（2022·北京市第十二中学高三期中）已知数列{}n a 满足32n a n n=+，则数列{}n a 的最小值为（ ）A．343B ．575 C ．D ．12【答案】A【解析】()32f x x x=+在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增， ∴当()x n n N *=∈时，()()(){}min min 5,6f n f f =，又()32575555f =+=，()32346663f =+=，()min 343f n ∴=，即32n a n n =+的最小值为343． 故选：A ．例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a【答案】B【解析】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t 当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ．例26．（2022·河南·高三阶段练习（理））在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n --=（N n +∈，2n ≥），则11n a n ++的最小值是（ ） A ．12B ．34C ．1D ．32【答案】C【解析】由题意可得()()()()()211221121122n n n n n n n n na a a a a a a a ---+-+=-+-+⋅⋅⋅+-+=+=，当1n =时，11a =满足上式，则()()212121112121n a n n n n n n +++⎡⎤==++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为n ∈+N ， 所以12n +≥， 所以()2131n n ++≥+，则()21121n n ++-≥+，故112112n a n +≥⨯=+，当且仅当1n =时，等号成立． 故选：C例27．（2022·辽宁·高三阶段练习）若数列{}n a 满足24122,n nn n n a T a a a -==⋅⋅⋅，则n T 的最小值为（ ）A ．92-B ．102-C ．112-D ．122-【答案】B【解析】因为2420,nnn a -=>所以221222log log log log n n T a a a =++⋯+．设22log 4n n b a n n ==-．若n T 有最小值，则2log n T 有最小值， 令0n b ≤，则04,n ≤≤所以当3n =或4n =时﹐n T 的最小值为102-． 故选：B例28．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足113a =，1n n n a a +-=，则na n的最小值为（ ） A ．235B ．143C 12D ．13【答案】A【解析】由题意可知，()()121111312(1)13(1)2n n n a a a a a a n n n -=+-++-=++++-=+-，则113122n a n n n =+-，又113122y x x =+-在( 上递减，在)+∞上递增，且56<<，5n =时，11311131235222525n n +-=⨯+-=；6n =时，11311131142362226235n n +-=⨯+-=>，故选：A ．例29．（2022·全国·高三专题练习）设221316n a n n =-+-，则数列{}n a 中最大项的值为（ ）A ．134B ．5C ．6D ．132。
高三数学专题——数列
第二讲 数列● 高考风向标数列的概念．等差数列及其通项公式、前n 项和公式；等比数列及其通项公式、前n 项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n 项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场． ● 典型题选讲例１ 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（ ）A ．67B ．57C ．37D ．17讲解 逐步计算，可得167a =,231251,771031,77a a =-==-=456,71251,...77a a ==-=这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+, 所以2075a =．应选B ． 点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．例２ 在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m , a m+2, a m+1成等差数列.（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.讲解 （１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m , a m+2, a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列. （２）设{a n }的首项为a 1，公比为q由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 11-m q +a 1q m ∵a 1≠0 q ≠0 ,∴2q 2－q －1=0 , ∴q=1或q=－21. 当q=1时，∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1， ∴S m +S m+1≠2 S m+2,∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列. 当q=－21时, 2 S m+2=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--++212121134211])21(1[2m m a a ,∴S m +S m+1=2 S m+2 , ∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列． 综上得：当公比q=1时，逆命题为假； 当公比q ≠1时，逆命题为真．点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．例３ 设数列{a n }前n 的项和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f (m )且11131,()(*,2),2n n n b a b f b n N n b -⎧⎫==∈≥⎨⎬⎩⎭求证，为等差数列，并求n b ．讲解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列．111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n mb a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有点评 为了求数列{}n b 的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例４ 设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列.（１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）； （２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论.讲解 （１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列，∴)0(11>=-q q S S n n ．当n=1时，a 1=S 1；当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时． ∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n qq S n S a n n（２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+>Q∴2312a a a >+． 21211112,2(1)(1)2(1)n n n n n n n a a a S q qS q q S q q--++≥+-=-+---当时()3211.n S q q -=- ∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q ③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上以上，我们可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则 若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则 若211,2.n n n q a a a ++>+<则点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到n S 与n a 之间的关系式：11,(1).(2)n n n S n a S S n -⎧==⎨-≥⎩ 例５ 已知数列}{n a 满足n a >0，且对一切n ∈N x ，有3211, nninn i i i a S S a ====∑∑其中，(1) 求证：对一切n ∈N x ，有n n n S a a 2121=-++；(2) 求数列}{n a 的通项公式； (3) 求证：31<∑=nk k ka ．讲解 (1) 由321ni n i aS ==∑ ①得13211n in i aS ++==∑ ②②-①得 22131n n n S S a -=++=(S n +1+S n )(S n +1-S n )=(2 S n +a n +1) a n +1∵ a n +1 >0，∴n n n S a a 2121=-++ ．(2) 由n n n S a a 2121=-++，得122-=-n n n S a a (n ≥2)，两式相减，得(a n +1+ a n )( a n +1 - a n )= a n +1+ a n ， ∵a n +1+ a n >0，∴a n +1 - a n =1．(n ≥2)当n=1，2时易得，a 1=1，a 2=2，∴a n +1 - a n =1(n ≥1) ．从而{ a n }是等差数列，其首项为a 1=1，公差d=1，故a n =n ． (3)1nnk k ===21nk =<+∑1122 3.2=++-<+< 点评 关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．例6 如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过xx 秒后，它所处的坐标． 讲解 (1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n L ，当粒子从原点到达n A 时，明显有13,a = 211,a a =+3111234,a a a =+=+⨯ 431,a a =+5332054,a a a =+=+⨯ 651,a a =+… … 2123(21)4,n n a a n --=+-⨯ 2211,n n a a -=+∴2114[35(21)]n a a n -=++++-L ＝241n -, 222114n n a a n -=+=.221212(21)441n n b a n n n --=--=-+, 2222244n n b a n n n =+⨯=+．222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-, 2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,即2n c n n =+.（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，所以24444282008t =++=秒．（3）由2n c n n =+≤xx ，解得112n -≤≤，取最大得n=44,经计算，得44c ＝xx<xx ，从而粒子从原点开始运动，经过xx 秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．例７ 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n . （1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ . 讲解 （１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异． 由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得 由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上 当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a 从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a 32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a Λ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n Λ经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n-，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---． 令,(1)nn na b =-就有 122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即121()(2)(1)33n n na -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n （３）由通项公式得.24=a 当3≥n 且n 为奇数时，]121121[2311121-++=+--+n n n n a a ).2121(232222312222223123221213221----------+=+⨯<--++⨯=n n n n n n n n n n当m m 且4>为偶数时，ma a a 11154+++Λ )212121(2321)11()11(14431654--++++<+++++=m m m a a a a a ΛΛ .878321)211(4123214=+<-⨯⨯+=-m 当m m 且4>为奇数时，1m +为偶数，可以转化为上面的情景 .87111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a ΛΛ 故任意整数m >4，有.8711154<+++m a a a Λ 点评 本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n 项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题1n n a ca d +=+有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能． 针对性演练１ 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意度为8n，则此人应选（ ） (A) 1楼 (B) 2楼 (C) 3楼 (D) 4楼 2. 若等比数列的各项均为正数，前n 项之和为S ，前n 项之积为P ，前n 项倒数之和为M ，则 ( )（A ）P =M S （B ）P ＞M S （C ）n M S P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2 （D ）2P ＞nM S ⎪⎭⎫ ⎝⎛3. xx 年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M 在杀死＂禽流感＂病毒N 的同时能够自身复制．已知１个细菌M 可以杀死１个病毒N ，并且生成２个细菌M ，那么１个细菌M 和2048个＂禽流感＂病毒N 最多可生成细菌M 的数值是 （ ）（A ）1024 （B ）2048 （C ） 2049 （D ）无法确定 4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为xx ，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为(A) xx (B) xx (C) xx (D) xx5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：而一旦植完，则不会被沙化. 问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到那一年可绿化完全部荒沙地？６． 已知正项数列{}n a 满足a a =1 （10<<a ），且.11nnn a a a +≤+求证 （1）();11an aa n -+≤（2）.111<+∑=nk kk a 答案１．C ２． C ３．C ４．A５．（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为xx 年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以xx 年沙化土地为200亩.同理xx 年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩.（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.设xx 年及其以后各年的造林亩数分别为1a 、2a 、3a 、…，则n 年造林面积总和为：4002)1(1600⨯-+=n n n S n . 由题意：n S n 20024000+≥ 化简得012072≥-+n n ,解得： 8≥n .故8年，即到xx 年可绿化完全部沙地.６．（1）将条件n n n a a a +≤+11变形，得1111≥-+nn a a . 于是，有,1112≥-a a ,11123≥-a a ,11134≥-a a …………1111≥--n n a a . 将这n-1个不等式叠加，得,111-≥-n aa n 故 ().11an aa n -+≤（2）注意到10<<a ，于是由（1）得()nn aa n a a n 111111<-+=-+≤，从而，有 .1111111)1(11111<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+<+∑∑∑===n k kk k k a nk n k nk k。
(完整版)高三数学第一轮复习单元测试--数列
高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ， 则a = （ ）A ．4B ．2C ．－2D ．－42．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 3．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （ ）A ．40B ．42C ．43D ．454．在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12，S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 （ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．665．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝ （ ）A ．310B ．13C ．18D ．196．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．757．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a a 2001+=，且A 、B 、C 三点共线 （该直线不过原点O ），则S 200＝ （ ）A ．100B ．101C ．200D ．2018．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n -9．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +- 10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=L ，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为 （ ）A ．2002B ．2004C ．2006D ．200812．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f xx Λ则设 . 15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正 三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层， 就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第 一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）.16．已知整数对排列如下()()()()()()()()()()()()Λ,4,2,5,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,3,2,23,1,1,2,2,1,1,1， 则第60个整数对是_______________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（1）求{a n }的通项公式;（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n 18．（本小题满分12分） 设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1，2，3，…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）19．（本小题满分12分）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）. （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 20．（本小题满分12分） 某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数. 21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，12a =，公差d 是自然数，等比数列{}n b 中，1122,b a b a ==．（Ⅰ）试找出一个d 的值，使{}n b 的所有项都是{}n a 中的项；再找出一个d 的值，使{}n b 的项不都是{}n a 中的项（不必证明）；（Ⅱ）判断4d =时，是否{}n b 所有的项都是{}n a 中的项， 并证明你的结论；（Ⅲ）探索当且仅当d 取怎样的自然数时，{}n b 的所有项都是{}n a 中的项，并说明理由． 22．（本小题满分14分）已知数列{n a }中，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），（1）若531=a ，数列}{n b 满足11-=n n a b （+∈N n ），求证数列{n b }是等差数列； （2）若531=a ，求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）（理做文不做）若211<<a ，试证明：211<<<+n n a a ．参考答案（2）1．D ．依题意有22,,310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩4,2,8.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2．C ． 3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C ． 3．B ． ∵等差数列{}n a 中12a =，2313a a += ∴公差3d =． ∴45613345a a a a d d d ++=+++＝1312a d +＝42． 4．B ． 因为461912a a a a +=+=，所以1999()2a a S +==54，故选B ． 5．A ． 由等差数列的求和公式可得31161331,26153S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以6112161527312669010S a d d S a d d +===+，故选A ． 6．B ．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=.选B ．7．A ． 依题意，a 1＋a 200＝1，故选A ．8．C ．因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C ．9．D ． f （n ）=3(1)432[12]2(81)127n n ++-=--，选D ． 10．B ． 正四面体的特征和题设构造过程，第k 层为k 个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为(),k k k k k 2213212+=+=++++Λ则前k 层共有()()()()6062121212121222≤++=+++++++k k k k k L ，k 最大为6，剩4，选B ．11．A ．认识信息，理解理想数的意义有，20025014984995002501,5004984995002004500321500321=+++++⨯∴++++=a a a a a a a a ΛΛ，选A ．12．C ．由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30，选C ．13．由112332(3)n n n n a a a a ++=+⇔+=+，即133n n a a +++=2，所以数列｛n a ＋3｝是以（1a +3）为首项，以2为公比的等比数列，故n a ＋3=（1a +3）12n -，n a =12n +－3. 14．由()()11=+-x f x f ，整体求和所求值为5．15．2)1()()(111211+==-++-+=⇒+=--+n n a a a a a a n a a n n n n n ΛΛ )(n f 的规律由)2(2)1()1()(≥+==--n n n a n f n f n ，所以22)1()(223)2()3(222)1()2(1)1(222+=--+=-+=-=n n f n f f f f f f Λ所以)]321()321[(21)(222n n n f +++++++++=ΛΛ 6)2)(1(]2)1(6)12)(1([21++=++++=n n n n n n n n 16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n 为的 n －1个，于是，借助()21321+=++++n n n Λ估算，取n=10，则第55个整数对为()1,11，注意横坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为()7,517．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （2）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2515953d d -+++=+解得122,10d d == ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n-=+⨯=+18．ο1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d －1d =0，∴1+≤n n b b （n =1，2，3，…）成立； 又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1，2，3，…） ∴数列}{n c 为等差数列.ο2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）， ∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②①－②得：)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1，2，3，…），由此，不妨设3d b n =（n =1，2，3，…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥ 从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，故311)(21d c c a a n n n n +-=-++3221d d +=（常数）（n =1，2，3，…）， ∴数列}{n a 为等差数列.综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1，2，3，…）. 19．（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n nn Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.20．设第n 天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，()()N n ,n n n n n n S n∈≤≤-=⨯-+=3015255021202，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为()60503050120-=-⨯-+n n ，公差为30，项数为30－n 的等差数列的和，()()()()(),n n n n n n Tn148502445653026050306050302-+-=-⨯--+--=依题设构建方程有，(),n n n n ,T S n n 867014850244565525867022=-+-+-∴=+化简，120588612=∴=+-n ,n n 或49=n （舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.21．（1）0d =时，{}n a 的项都是{}n b 中的项；（任一非负偶数均可）; 1d =时，{}n a 的项不都是{}n b 中的项．（任一正奇数均可）; （2） 4d =时，422(21),n a n n =-=-123n n b -=⨯131 2(21)2n m a -+=⨯-=131(2n m -+=为正整数），{}n b 的项一定都是{}n a 中的项 （3）当且仅当d 取2(*)k k ∈N （即非负偶数）时，{}n b 的项都是{}n a 中的项． 理由是：①当2(*)d k k =∈N 时，2(1)22[1(1)],n a n k n k =+-⋅=+-⋅2n >时，11122112(1)2(C C 1)n n n n n n n b k k k k ------=⋅+=++⋅⋅⋅++，其中112211C C n n n n n k k k-----++⋅⋅⋅+ 是k 的非负整数倍，设为Ak （*A ∈N ），只要取1m A =+即（m 为正整数）即可得n m b a =， 即{}n b 的项都是{}n a 中的项；②当21,()d k k =+∈N 时，23(23)2k b +=不是整数，也不可能是{}n a 的项． 22．（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----，而1111-=--n n a b ，∴11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴{n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有nn b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴5.311-=-n a n .对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0)5.3(12<--=x y'，在（3.5，∞+） 上为减函数. 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3. 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0， 0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝－1. （3）先用数学归纳法证明21<<n a ，再证明n n a a <+1. ①当1=n 时，211<<a 成立； ②假设当k n =时命题成立，即21<<k a ，当1+=k n 时，1121<<ka )23,1(121∈-=⇒+kk a a ⇒211<<+k a 故当1+=k n 时也成立，综合①②有，命题对任意+∈N n 时成立，即21<<n a . （也可设x x f 12)(-=（1≤x ≤2），则01)(2'>=xx f ， 故=1)1(f 223)2()(1<=<=<+f a f a k k ）.下证： n n a a <+10122)1(21=⋅-<+-=-+kk k k n n a a a a a a ⇒n n a a <+1.。
高三数学一轮复习学案：数列的基本概念
高三数学一轮复习学案：数列的基本概念一、考试要求：（1）掌握数列及通项公式的概念（2）理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系二、知识梳理①数列的定义②数列的通项公式③数列的分类④数列可以看作是一个定义域为 的函数当自变量从 到 依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一串 的点。
⑤递推公式的定义是三、基础检测：1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( )A ．第18项B ．第19项C ．第17项D ．第20项2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)23．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 17＝( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．2－9874．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对所有的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞0B ．k ＞－1C ．k ＞－2D ．k ＞－35．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n ≤2的正整数n 的集合为A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4} 6．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝( ) A.40202011 B.40182010 C.20102011 D.200920107．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{ a n }的通项公式是________．8．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，S 2010＝________.10．已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .11．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋1n )a n ＋n ＋12n ，若b n ＝a n n ，试求数列{b n }的通项公式．12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式．(2)求n 为何值时a n 最小．。
天一高中高三数学试卷数列
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列数列中，不是等差数列的是（）A. 1, 4, 7, 10, ...B. 2, 6, 10, 14, ...C. 3, 9, 27, 81, ...D. 5, 12, 19, 26, ...2. 数列 {an} 中，an = 3n - 2，则数列 {an + 1} 的通项公式是（）A. 3n - 1B. 3n + 1C. 3n + 2D. 3n - 33. 数列 {an} 中，an = 2n - 1，若数列 {bn} 的通项公式为 bn = an + 1，则数列 {bn} 的前10项和为（）A. 95B. 100C. 105D. 1104. 已知数列 {an} 的前n项和为 Sn，且 Sn = 3n^2 + 2n，则数列 {an} 的第10项 a10 等于（）A. 102B. 110C. 118D. 1265. 数列 {an} 是等比数列，其前n项和为 Sn，若 S1 = 2，S2 = 6，则数列 {an} 的公比 q 等于（）A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题（每题5分，共20分）6. 数列 {an} 的通项公式为 an = 3n - 1，则数列 {an} 的第5项 a5 等于_______。
7. 数列 {an} 是等差数列，且 a1 = 2，d = 3，则数列 {an} 的第10项 a10 等于 _______。
8. 数列 {an} 的前n项和为 Sn，且 Sn = 2n^2 + 3n，则数列 {an} 的第5项 a5 等于 _______。
9. 数列 {an} 是等比数列，其公比 q = 2，若 a1 = 3，则数列 {an} 的第4项a4 等于 _______。
10. 数列 {an} 是等差数列，且 a1 = 5，d = -2，则数列 {an} 的前10项和 S10 等于 _______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知数列 {an} 的前n项和为 Sn，且 Sn = 4n^2 - 3n，求：（1）数列 {an} 的通项公式；（2）数列 {an} 的第5项 a5。
高三数学复习数列二试题
数列制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 {}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n b 的前n 项和.2.设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．11b a =， 22b =，q d =，10100S =．〔Ⅰ〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；〔Ⅱ〕当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．4.n S 为数列{n a }的前n 项和.n a ＞0，2n n a a +=.〔Ⅰ〕求{n a }的通项公式； 〔Ⅱ〕设11n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和.{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈， (1) 求3a 的值； (2)求数列{}n a 前n 项和n T ；6、数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . 〔1〕假设35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >〔n *∈N 〕，求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；〔3〕设10a λ=<，n n b λ=〔n *∈N 〕，求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三数学数列的概念测试题百度文库
一、数列的概念选择题1．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ）A ．30B ．20C ．40D ．502．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+，4a =（ ）A ．2B ．6-C ．2-D ．13．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项5．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．89B ．23C ．6481D ．1252436．数列23451,,,,,3579的一个通项公式n a 是（ ） A ．21nn + B ．23nn + C ．23nn - D ．21nn - 7．数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．13D ．13-8．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=9．已知数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007B ．1008C ．1009.5D ．101010．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207511．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511B ．513C ．1025D ．102413．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，1112()nnn S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）A ．210B ．211C ．224D ．22514．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24B ．26C ．28D ．3015．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1 B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×2018216．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+17．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0B ．53C ．73D ．318．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-19．下列命题中错误的是（ ）A ．()()21f n n n N+=-∈是数列的一个通项公式B ．数列通项公式是一个函数关系式C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列20．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 二、多选题21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=22．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >23．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ） A ．31a =- B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =24．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．425．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ）A ．15B ．25C ．45D ．6526．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列27．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值29．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-30．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥31．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <33．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅34．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.2．B解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】令4n =，2447466a =-⨯+=-故选：B. 【点睛】数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.3．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．4．B解析：B 【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.5．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大.【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.6．D解析：D 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21n na n =-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.7．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】 因为111n n a a +=-，12a =，所以21111112a a ===---， 故选：B. 【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.8．C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.9．D解析：D 【分析】根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】由题意，数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-， 可得234111,121,1(1)2,22a a a =-==-=-=--=，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-= 所以20173672210102S =⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.11．A解析：A 【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =，故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-， 所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.13．D解析：D 【分析】利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1112()nnn S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，所以11515()15(291)1522522a a S ++===， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．14．B解析：B 【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.15．C解析：C 【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列， 则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181a a =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.16．D解析：D【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式.【详解】 因为数列1111,,,, (57911)--可写成 ()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nn n a n n -=-=++⨯. 故选：D.17．B解析：B【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ．【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B 18．B解析：B【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得 21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++， 所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.19．C解析：C【分析】根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确.【详解】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的；根据无穷数列的概念，可知D 是正确的.故选:C.【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.20．C解析：C【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确； 将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确.故选C【点睛】 本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、多选题21．AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，，故C 正确；对于D ，，，，，各式相加解析：AC【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.22．BC【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错.【详解】由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错；，所以，则解析：BC【分析】 根据递推公式，得到11n n n n n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n n S a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】 由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解. 23．ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意，，A 正确，，C 正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B 错；，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】 由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确； 41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．24．BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵，∴时，，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本解析：BD【分析】 利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：112111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减， 可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3． 故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．ABC【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环解析：ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 26．AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 解析：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a .【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+=11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确； 故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.27．ABC【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断.【详解】当时，由，得，即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，故C 正确；所以，故A 正确；，解析：ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC28．AC【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，则，解得.所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的解析：AC【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；29．AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：， 解方程组得：，所以，.故选：AD.解析：AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.30．AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB 正确，C 错误；因为，故D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.31．ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB 正确；，所以，故C 不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确.故选：AB解析：ABD【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确； ()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.32．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以 ，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.33．ABC【分析】由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．【详解】由题知，只需，，A 正确；，B 正确；，C 正确；，所以，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性解析：ABC【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．34．AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】， ，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因解析：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.35．BD【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确.故选：BD.解析：BD【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；135********()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。
高三数学数列的概念测试题
一、数列的概念选择题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．1602．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+3．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ） A ．89B ．23C ．6481D ．1252434．数列23451,,,,,3579的一个通项公式n a 是（ ） A ．21nn + B ．23nn + C ．23nn - D ．21nn - 5．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=6．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 7．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对8．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30B ．20C ．40D ．509．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯B ．20191010⨯C ．20202020⨯D ．20192019⨯10．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．1111．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么24620201a a a a +++++=（ ）A ．2021aB ．2022aC ．2023aD ．2024a12．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足111n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ） A ．504B ．294C ．294-D ．504-13．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-B ．12-C ．13D ．214．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n =∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1215．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．616．已知在数列{}n a 中，112,1n n na a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．12020B ．12019C ．11010D ．1100917．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）A ．1B ．3C ．-3D ．018．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202219．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92B ．102C ．8182D ．11220．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+二、多选题21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=22．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．223．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+24．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．425．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T26．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥27．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥28．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 29．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2231．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+32．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列33．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =34．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值35．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =D ．15S 是最大值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.2．D解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.4．D解析：D 【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21n na n =-. 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.5．C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.6．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误；1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．A解析：A 【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值 【详解】由114a =-，111(1)n n a n a -=->知21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选：A 【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题8．B解析：B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.9．B解析：B 【分析】由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=， 这2019个式子相加可得()20201201912019123 (2019201910102)a a +-=++++==⨯.故选：B. 【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.10．A解析：A 【分析】直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()211nn a n=--，所以626(1)(61)35a =--=.故选：A 【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.11．A解析：A 【分析】根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a +++++++++=+3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++=+++=+=.故选：A12．C解析：C 【分析】根据递推公式，算出数列前4项，确定数列周期，即可求出结果． 【详解】∵12a =，111n n n a a a +-=+，∴213a =，311131213a -==-+，41123112a --==--+， 又121111111111n n n n n n nn a a a a a a a a +++---+===--+++，所以421n n n a a a ++=-=， ∴数列{}n a 的周期为4，且123476a a a a +++=-， ∵10084252÷=，∴100872522946S ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查数列周期性的应用，属于常考题型.13．B解析：B 【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以2019312a a ==-. 故选：B.14．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-.故选：A15．A解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。
高三数学单元测试《数列》
高三数学单元测试《数列》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列}{n a 中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=50，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{a n }中，a 6=a 3＋a 8=5，则a 9的值是（ ）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程bx 2－2ax+c=0 （ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若1062a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ）A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且65867424,20042a a a a a a a 则=++等于 （ ）A ．501B ．±501C ．2004D ．±20046．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，若2:1:36=S S ，则=39:S S （ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A ．7)1(p a + B ．8)1(p a +C ．)]1()1[(7p p p a+-+ D ．()()[]p p pa+-+118 9．已知()1+=bx x f 为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()=n g ⎩⎨⎧≥-=)1()],1([)0(1n n g f n , 设()()()+∈--=N n n g n g a n 1，则数列{}n a 为 （ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%二、填空题（本题每小题5分，共20分）11．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_________________.12．设数列{a n }满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，求数列{a n }的通项公式__________________. 13．设()244+=x xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛112111f f …⎪⎭⎫ ⎝⎛+1110f 的值为______ ___.14．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖____________块.（理）已知nn a ⎪⎭⎫⎝⎛∙=312，把数列{}n a 的各项排成三角形状；1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a ……记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）= .三、解答题（本大题共6小题，共80分。
高三数学等差数列测试题doc
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．302．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．03．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45B ．50C ．60D ．804．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列5．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且713n n S n T n -=，则55a b =（ ） A ．3415B ．2310C ．317D ．62276．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．647．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．168．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7B ．10C ．13D ．169．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（ ） A ．8B ．4C ．12D ．1610．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸B ．一丈八尺五寸C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项12．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46513．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2214．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13B ．26C ．52D ．5615．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7216．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7217．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2218．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．919．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．320．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．240二、多选题21．题目文件丢失！22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 23．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为824．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a =D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列25．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=26．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥27．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数）B ．数列{}n a -是等差数列C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项28．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2230．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 2．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤，所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 3．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 4．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．D 【分析】利用等差数列的性质以及前n 项和公式即可求解. 【详解】由713n n S n T n-=，()()19551991955199927916229239272a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯. 故选：D 6．B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 7．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22nn n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max 22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 8．C 【分析】由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，141,16a S ==，41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.故选：C 9．A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解． 【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ， 末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =， 即项数是8， 故选：A. 10．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 11．D【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 12．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 13．B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立， 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 14．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 15．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 16．B【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯=故选：B 17．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 18．A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ，则423634222a a d --===--， 所以5433322a a d =+=-=. 故选：A 19．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 20．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B.二、多选题 21．无22．ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 23．BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD. 24．AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 25．BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-， 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形. 26．AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =， 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误； 因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误， 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.27．ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 28．BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案． 【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==， 因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大， 故选：BD ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题． 29．AD 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.故选：AD 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 30．ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.。
高三数学数列专项练习题及答案
高三数学数列专项练习题及答案一、选择题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，则数列的首项是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2.有一个等差数列的第1项是3，公差是4，求该数列的第10项：A. 23B. 27C. 30D. 33答案：C3.已知数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 2n，求该数列的通项公式。
A. an = n^2B. an = n^2 + 2n + 1C. an = n^2 + nD. an = n^2 + 2n答案：D4.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 3n，求该数列的第10项。
A. 183B. 193C. 203D. 213答案：C5.已知等差数列{an}的前5项之和为10，其中首项为a1，公差为d，求a5的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：D二、填空题1.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 2n^2 + 5n，求a1的值。
答案：22.已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，其中n为自然数，求该数列的前5项之和。
答案：623.已知等差数列{an}的前n项和Sn = n^2 + 3n，求a1的值。
答案：14.已知等差数列{an}的前n项和Sn = 4n - n^2，求该数列的第7项。
答案：115.已知等差数列{an}的首项为3，公差为-2，求该数列的第8项。
答案：-5三、解答题1.已知数列{an}的通项公式为an = 3n + 2，求该数列的前10项。
解答：将n分别代入1到10，得到该数列的前10项为：5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32。
2.已知等差数列{an}的首项是5，公差是3，求该数列的前10项之和。
解答：根据等差数列的图像性质可知，首项和末项之和等于前n项和的两倍。
所以，末项为a10 = 5 + 3 × (10 - 1) = 32。
故前10项之和为(5 + 32) × 10 ÷ 2 = 185。
高中数学专题练习《等差数列的概念》含详细解析
4.2 等差数列4.2.1 等差数列的概念基础过关练题组一 等差数列的概念及其应用1.下列数列不是等差数列的是( )A.1,1,1,1,1B.4,7,10,13,16C.13,23,1,43,53D.-3,-2,-1,1,22.给出下列命题:①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;③等差数列的通项公式一定能写成a n =kn+b 的形式(k,b 为常数);④数列{2n+1}(n ∈N *)是等差数列.其中正确命题的序号是( )A.①②B.①③C.②③④ D.③④题组二 等差中项3.若a=13+2,b=13-2,则a,b 的等差中项为( )A.3B.2C.32 D.224.已知在△ABC 中,三个内角A,B,C 成等差数列,则角B 等于( )A.30° B.60° C.90° D.120°5.已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5,则m 和n 的等差中项是( )6.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为( )A.26B.29C.39D.52题组三 等差数列的通项公式及其应用7.已知{a n}为等差数列,若a1=1,公差d=2,a n=15,则n的值为( )A.5B.6C.7D.88.(2020山东淄博一中高二上期中)在数列{a n}中,a1=1,a n+1-a n=2,n∈N*,则a25的值为( )A.49B.50C.89D.999.(2020天津耀华中学高二上期中)已知数列{a n}是等差数列,若a1=2,a4=2a3,则公差d=( )A.0B.2C.-1 D.-210.(2020河南郑州高二上期末)设数列{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为 .11.在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则公差为 .12.已知数列{a n}是等差数列,且a n=an2+n(n∈N*),则实数a= . 题组四 等差数列的性质及其应用13.在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于( )A.45B.75C.180D.30014.(2020河南新乡高二上期末)在等差数列{a n}中,a2+a6=3,a3+a7=7,则公差d=( )15.(2019河南商丘九校高二期末联考)在单调递增的等差数列{a n}中,若a3=1,a2a4=34,则a1=( )A.-1B.0C.14D.1216.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m的值为( )A.12B.8C.6D.417.设数列{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= .18.首项为a1,公差为d(d∈N*)的等差数列{a n}满足下列两个条件:①a3+a5+a7=93;②满足a n>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.能力提升练题组一 等差数列的通项公式及其应用1.()在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(a n,a n-1)在直线x-y-3=0上,则( )A.a n=3nB.a n=3nC.a n=n-3D.a n=3n22.()已知等差数列{an }的首项为a,公差为1,b n=a n+1a n,若对任意的正整数n都有b n≥b5,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)B.(-4,-3)C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)D.(-5,-4)3.()已知数列{an}中,a1=1,a n-1-a n=a n a n-1(n≥2,n∈N*),则a10= .4.(2020辽宁沈阳东北育才实验学校高二上月考,)已知数列{a n}满足a n+1=6a n-4a n+2,且a1=3(n∈N*).(1)证明:;(2)求数列{a n}的通项公式.题组二 等差数列的性质及其应用}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a6=( )5.()在等差数列{aA.10B.9C.8D.76.(2020山东招远一中高二上月考,)在一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为( )A.-2B.-3C.-4D.-5}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则7.(多选)()已知单调递增的等差数列{a下列各式一定成立的有( )A.a1+a101>0B.a2+a100=0C.a3+a100≤0D.a51=08.(2020河南濮阳高二上期末,)已知各项都为正数的等差数列{a n}中,a5=3,则a3a7的最大值为 .题组三 等差数列的综合应用9.(2020山东日照高二上期末,)我国古代著名的著作《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸;夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节分;且“冬至”时日影长度最大,为1350气之间的日影长度差为9916分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为( )A.9531分3B.10521分2C.11512分3D.12505分610.(多选)()已知数列{a}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2,n∈N*),a1=1,则下列说法中正确的是( )4A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列D.11.(2020天津一中高二上期中,)已知数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2(n∈N*),若a k a k+1<0,则正整数k= .12.(2020山东青岛高三上期末,)在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是 .13.()数列{a}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n∈N*),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)判断是否存在实数λ使得数列{a n}为等差数列,并说明理由.14.(2019四川成都七中高二期中,)已知正项数列{a n}满足a2n=(2n-1)a n+2n(n∈N*).(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)若数列{b n}满足b n=a n-40,且数列{b n}的最大项为b p,最小项为b q,n-11求p+q的值.15.()在数列{a}中,a1=1,3a n a n-1+a n-a n-1=0(n≥2,n∈N*).(1)证明:;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)若λa n+1≥λ对任意的n≥2,n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.a n16.()已知无穷等差数列{a},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项数能被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第503项是{a n}中的第几项?答案全解全析基础过关练1.D 根据等差数列的定义可知,选项D中的数列不是等差数列.故选D.2.C 根据等差数列的定义可知,数列6,4,2,0的公差为-2,①错误;易知②③④均正确.3.A 设a,b的等差中项为x,则2x=a+b=13+2+13-2=23,所以x=3.4.B 因为A,B,C成等差数列,所以B是A,C的等差中项,则有A+C=2B,又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,即B=60°.5.B 由已知得m+2n=8,2m+n=10,解得m=4, n=2,所以m和n的等差中项为m+n2=3.6.C ∵5,x,y,z,21成等差数列,∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.∴5+21=2y,x+z=2y,∴y=13,x+z=26,∴x+y+z=39.7.D ∵a1=1,d=2,∴a n=a1+(n-1)d=1+2n-2=15,解得n=8.故选D.8.A 由a n+1-a n =2得数列{a n }是公差为d=2的等差数列,又a 1=1,所以a 25=a 1+24d=1+24×2=49.故选A.9.D 依题意得a 1+3d=2(a 1+2d),将a 1=2代入,得2+3d=2(2+2d),解得d=-2.故选D.10.答案 a n =6n-3(n ∈N *)解析 设等差数列{a n }的公差为d,由a 1=3,a 2+a 5=36,得a 1=3,a 1+d +a 1+4d =36,解得d=6,∴a n =a 1+(n-1)d=3+(n-1)×6=6n-3(n ∈N *).即{a n }的通项公式为a n =6n-3(n ∈N *).11.答案 3解析 设该等差数列为{a n },其首项为a 1,公差为d,由题知,a 1=-3,a 4=6,即a 1=―3,a 1+3d =6,解得d=3.12.答案 0解析 ∵{a n }是等差数列,且a n =an 2+n,∴a n 是关于n 的一次函数,∴a=0.13.C 由题意得,a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5,∴a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=(a 3+a 7)+(a 4+a 6)+a 5=5a 5=450,∴a 5=90,∴a 2+a 8=2a 5=180.14.B 解法一:∵(a 3+a 7)-(a 2+a 6)=2d,且a 3+a 7=7,a 2+a 6=3,∴d=7―32=2.故选B.解法二:∵a 3+a 7=2a 5=7,a 2+a 6=2a 4=3,∴a 5=72,a 4=32,∴d=a 5-a 4=2.故选B.15.B 设等差数列{a n }的公差为d.由已知得a 3=1,a 2a 4=(a 3-d)(a 3+d)=34,解得d=±12.∵{a n }为单调递增的等差数列,∴d=12,又∵a 3=a 1+2d=1,∴a 1=0.故选B.16.B 由等差数列的性质,得a 3+a 6+a 10+a 13=(a 3+a 13)+(a 6+a 10)=2a 8+2a 8=4a 8=32,∴a 8=8,∴a m =a 8,又d ≠0,∴m=8.17.答案 35解析 由{a n },{b n }都是等差数列可知{a n +b n }也是等差数列,设{a n +b n }的公差为d,则a 3+b 3=(a 1+b 1)+2d,则2d=21-7,即d=7.所以a 5+b 5=(a 1+b 1)+4d=35.18.解析 ∵a 3+a 5+a 7=93,∴3a 5=93,∴a 5=31,由②知a n >100,即a n =a 5+(n-5)d>100,∴n>69d +5.∵满足a n >100的n 的最小值是15,∴14≤69d +5<15,∴6910<d ≤233,又d ∈N *,∴d=7,∴a 1=a 5-4d=3.能力提升练1.D ∵点(a n ,a n -1)在直线x-y-3=0上,∴a n -a n -1=3,∴数列{a n }是首项为3,公差为3的等差数列.∴数列{a n }的通项公式为a n =3+(n-1)3=3n,∴a n =3n 2.故选D.2.D 解法一:依题意得,a n =a+(n-1)×1=n+a-1,∴b n =n +an +a -1=1+1n +a -1.设函数y=1x +a -1+1,画出图象,如图.结合题意知,1-a ∈(5,6),∴5<1-a<6,解得-5<a<-4,故选D.解法二:∵等差数列{a n }的首项为a,公差为1,∴a n =a+n-1,∴b n =a n +1a n =1+1a n =1+1a +n -1,若对任意的正整数n 都有b n ≥b 5,则有(b n )min =b 5=1+1a +4,结合数列{b n }的单调性可知,b 5<b 4,b 5<b 6,即1+1a +4<1+1a +3,1+1a +4<1+1a +5,解得-5<a<-4.故选D.3.答案 110解析 易知a n ≠0,∵数列{a n }满足a n-1-a n =a n a n-1(n ≥2,n ∈N *),∴1an-1a n -1=1(n ≥2,n ∈N *),1,公差为1的等差数列,∴1a 10=1+(10-1)×1=10,∴a 10=110.4.解析 (1)证明:由已知得,1a 1-2=13―2=1,1a n +1-2=16a n -4a n +2-2=a n +2(6a n -4)-2(a n +2)=a n +24a n -8=(a n -2)+44(a n -2)=1a n -2+14,因此1a n +1-2-1a n -2=14,n ∈N *,1,公差为14的等差数列.(2)由(1)知1a n -2=1a 1-2+(n-1)×14=n +34,所以a n =2n +10n +3,n ∈N *.5.B 设等差数列{a n }的公差为d,∵在等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=3a 4=39,a 2+a 5+a 8=3a 5=33,∴a 4=13,a 5=11,∴d=a 5-a 4=-2,∴a 6=a 5+d=11-2=9,故选B.6.C 设该等差数列为{a n },公差为d(d ∈Z),则a 1=23,a n =23+(n-1)d,由题意可知a 6>0,a 7<0,即23+(6―1)d >0,23+(7―1)d <0,解得-235<d<-236.因为d 是整数,所以d=-4.7.BD 设等差数列{a n }的公差为d,易知d>0,∵等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,且a 1+a 101=a 2+a 100=…=a 50+a 52=2a 51,∴a 1+a 2+a 3+…+a 101=(a 1+a 101)+(a 2+a 100)+…+(a 50+a 52)+a 51=101a 51=0,∴a 51=0,a 1+a 101=a 2+a 100=2a 51=0,故B,D 正确,A 错误.又∵a 51=a 1+50d=0,∴a 1=-50d,∴a 3+a 100=(a 1+2d)+(a 1+99d)=2a 1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C 错误.故选BD.8.答案 9解析 因为等差数列{a n }的各项都为正数,所以a 3>0,a 7>0,所以a 3a 7=(a 5)2=9,当且仅当a 3=a 7=3时等号成立.所以a 3a 7的最大值为9.9.B 由题意可知,从“冬至”到“夏至”,每个节气的日影长度依次构成等差数列,设该等差数列为{a n },公差为d,又知“冬至”时日影长度最大,设为a 1=1 350;“夏至”时日影长度最小,设为a 13=160.则a 13=1 350+12d=160,解得d=-1 19012=-9916,∴“立春”时日影长度为a4=1 350+-9905212(分).故选B.10.AD 由a n =S n -S n-1,a n +4S n-1S n =0,n ≥2,n ∈N *,得S n -S n-1=-4S n-1S n,n ≥2,n ∈N *,又S n ≠0,∴1S n -1S n -1=4(n ≥2,n ∈N *).∵a 1=14,∴1S1=4,4为首项,4为公差的等差数列,∴1S n =4+4(n-1)=4n,n ∈N *,,S n =14n ,n ∈N *,∴当n ≥2时,a n =S n -S n-1=14n -14(n -1)=-14n (n -1),经检验,当n=1时,不符合上式,∴a n ,n =1,14n(n -1),n≥2,n ∈N *,综上可知AD 正确.故选AD.11.答案 23解析 解法一:∵3a n+1=3a n -2,∴a n+1-a n =-23,∴数列{a n }是以15为首项,-23为公差的等差数列.设公差为d,则a n =a 1+(n-1)d=15-23(n-1)=-23n+473.∴a k a k+1=-23k +-23(k +1)+=-23k +-23k +即(2k-47)(2k-45)<0,解得452<k<472,又∵k ∈N *,∴k=23.解法二:同解法一可得a n =-23n+473,∵d=-23<0,∴数列{a n }为单调递减数列,∴由a k a k+1<0可得a k >0,a k +1<0,即-23k +473>0,-23(k +1)+473<0,解得452<k<472,又∵k ∈N *,∴k=23.12.答案 n 2+n解析 由题意可得,第n 行的第一个数是n,第n 行的数构成以n 为首项,n 为公差的等差数列,其中第(n+1)项为n+n ·n=n 2+n.所以题表中的第n 行第(n+1)列的数是n 2+n.13.解析 (1)因为a n+1=(n 2+n-λ)a n (n ∈N *),且a 1=1,所以当a 2=-1时,得-1=2-λ,解得λ=3.从而a 3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)不存在实数λ使得{a n }为等差数列.理由如下:由a 1=1,a n+1=(n 2+n-λ)a n ,得a 2=2-λ,a 3=(6-λ)(2-λ),a 4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ,使得{a n }为等差数列,则a 3-a 2=a 2-a 1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a 2-a 1=1-λ=-2,a 4-a 3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24,a 2-a 1≠a 4-a 3,这与{a n }为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{a n }为等差数列.14.解析 (1)证明:∵a 2n =(2n-1)a n +2n,∴a 21=a 1+2,解得a 1=2或a 1=-1.又∵a n >0,∴a 1=2.由a 2n =(2n-1)a n +2n,得a 2n-(2n-1)a n -2n=(a n -2n)(a n +1)=0,∵a n >0,n ∈N *,∴a n =2n,∴a n+1-a n =2(n+1)-2n=2,∴数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)结合(1)可得b n =a n -40n -11=2n -40n -11=2×n -10n -11=21+∴当n ≤3,n ∈N *时,{b n }单调递减,且b n <2;当n ≥4,n ∈N *时,{b n }单调递减,且b n >2.∴当n=4时,b n 最大;当n=3时,b n 最小.故p=4,q=3,∴p+q=7.15.解析 (1)证明:由3a n a n-1+a n -a n-1=0(n ≥2,n ∈N *),得1a n -1a n -1=3(n ≥2,n ∈N *),又1a 1=1,1为首项,3为公差的等差数列.(2)由(1)可得1a n =1+3(n-1)=3n-2,所以a n =13n -2(n ∈N *).(3)因为λa n +1a n ≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,即λ3n -2+3n-2≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,所以只需λ≤(3n -2)23n -3对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立即可.令f(n)=(3n -2)23n -3(n ≥2,n ∈N *),则只需满足λ≤f(n)min 即可.因为f(n+1)-f(n)=(3n +1)23n -(3n -2)23n -3=9n 2-9n -13n (n -1)=3-13n (n -1),所以当n ≥2时, f(n+1)-f(n)>0,即f(2)<f(3)<f(4)<…,所以f(n)min =f(2).又f(2)=163,所以λ≤163.所以实数λ的取值范围为-∞,16.解析 (1)∵a 1=3,d=-5,∴a n =8-5n.数列{a n}中项数被4除余3的项是{a n}中的第3项,第7项,第11项,…,∴b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}中的第n项,即b n=a m,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴b n=a m=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n,即{b n}的通项公式为b n=13-20n.(3)b503=13-20×503=-10047,设它是{a n}的第s项,则-10047=8-5s,解得s=2011,即{b n}中的第503项是{a n}中的第2011项.。
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一、数列的概念选择题1．在数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-B ．12C ．1D ．22．数列{}n a 的通项公式是276n a n n =-+，4a =（ ）A ．2B ．6-C ．2-D ．13．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．504．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010⨯B ．20191010⨯C ．20202020⨯D ．20192019⨯6．已知数列{}n a ，若()12*Nn n n a a a n ++=+∈，则称数列{}na 为“凸数列”.已知数列{}nb 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．1-7．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53 C ．85D ．238．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a =C ．1024是三角形数D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 9．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120B ．174C ．204-D ．373210．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511B ．513C ．1025D ．102411．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174B ．184C ．188D ．16013．设数列{},{}n n a b 满足*172700,,105n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >B ．43<b bC ．33>a bD ．44<a b14．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 16．数列{}n a 满足1111,(2)2n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）A ．18B ．17 C ．131D ．1617．已知数列{}n a 满足2122111,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92B ．102C ．8182D ．11218．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ）A ．1348B ．1358C ．1347D ．135719．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3D ．320．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对二、多选题21．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--22．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．423．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n nF n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦24．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列25．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >26．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列27．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是 （ ）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列28．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 29．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．830．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（ ） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥31．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n =32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a < 33．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列34．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <35．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1．B 解析：B 【分析】通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =--，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=， 则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥85212a a a ∴===， 故选：B. 【点睛】本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.2．B解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】令4n =，2447466a =-⨯+=-故选：B. 【点睛】数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.3．A解析：A 【分析】利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】223n S n n =-,n 2∴≥时，1n n n a S S -=-22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35故选：A. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2≥时n a 的表达式．(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．4．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．5．B解析：B 【分析】由题意可得211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=，再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】由题意可知211a a -=，322a a -=，433a a -=，……202020192019a a -=， 这2019个式子相加可得()20201201912019123 (2019201910102)a a +-=++++==⨯.故选：B. 【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.6．B解析：B 【分析】根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6，即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】()*21N n n n b b b n ++=-∈，且11b =，22b =-， ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列，且60S =， ∴20203366412345S S b b b b ⨯+==+++=-，故选：B. 【点睛】本题考查数列的新定义、数列求和，考查运算求解能力，求解时注意通过计算数列的前6项，得到数列的周期.7．D解析：D 【解析】分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D 点睛：对于含有()1n-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．8．C解析：C 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误；1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫=⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=， ()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-，因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，所以1121n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以91021513a =+=，故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.11．A解析：A 【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =，故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．A解析：A 【分析】根据已知条件求得11n n n a a -=--，利用累加法求得19a . 【详解】 依题意：3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以11n n n a a -=--（2n ≥），且13a =， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()12213n n =-+-++++()()()11113322n n n n -+--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查累加法，属于中档题.13．C解析：C 【分析】 由题意有1328010n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：1328010n n a a +=+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.14．A解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。