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自动控制原理-5-4频域稳定裕度
最小相位系统中，即开环不稳定极点数P =0，奈氏曲线离（-1，j0）点越远，其相对稳 定性越好；反之，相对稳定性越差。
若奈氏曲线 穿过（-1，j0）点，则系统处于临界稳定状态。
在频率特性中用相位裕量和幅值裕量两个性能指标来衡量最小相位系统的相对稳定性。
5-4 频域稳定裕度1、相位裕度 g定义：曲线上，模值为1的矢量和负实轴间的夹角。
) ( 180 c w j g + = o 截止频率 0 < g ,曲线包围（1，j0）点，闭环系统不稳定。
, 0 > g 闭环系统稳定。
g 越大，系统相对稳定性越好，一般取30°~60°。
1 - c w x w ) ( c w j )(x A w g c w x w ) (w j )(w L p - ww) ( x w j gh2、幅值裕量 h1 < h ,闭环系统不稳定。
, 1 > h 闭环系统稳定。
h>1时，h 越大，系统相对稳定性越好。
定义： 的倒数。
时， ) ( ) ( 180 ) ( x x x j H j G w w w j ° - = ) ( 1) ( ) ( 1 x x x A j H j G h w w w = = )( ) ( ) ( lg 20 ) ( dB j H j G dB h x x w w - = h(dB):对数幅值稳定裕度 1 - c w x w ) ( c w j )(x A w g c w x w ) (w j )(w L p - ww) ( x w j gh当 时，即 和 时，闭环系统是稳 定的；否则是不稳定的。
对于最小相位系统， 和 是同时发生或同时不发生的，所以经常只 用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。
常用相角 裕度。
0 ) ( > dB h 1 ) ( < x A w 0 > g 0) ( > dB h 0 > g 1 - c w xw ) ( c w j ) ( x A w g c w x w ) (w j )(w L p - w w ) ( x w j gh比如，若增加开环放大系数K ，则对数幅频特性曲线将上升，而 相角特性曲线不变。
《自动控制原理》第5章 控制系统的频域分析 ：稳定裕度
0.4
0.2
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5
10
15
20
25
30
35
40
Time (sec)
一、根据开环对数频率特性分析系统性能 （三频段）
1、低频段分析系统的？
低频斜率 系统型别
0dB/dec
0
-20dB/dec
Ⅰ
-40dB/dec
Ⅱ
阶跃输入稳态误差
1 K 1
0 0
19
低频段分析系统的稳态性能
斜率决定系统的型，ess 低频段高度决定开环增益K
1 h
A( x )
-1
幅值裕度h 1
A(x )
9
L(ω) 最 小 相 位 系 统
Φ(ω)
90
-20dB/dec
h
h 20lg( A(x )) L(x )dB
不稳定
ω
h>0:系统是稳定的。
ω
180
270
10
例1： 已知系统开环传递函数为：
G(s)
s2 (s
200 2)(s
1)
求幅值裕度和相角裕度。
时域：动态过程的开始部分。
28
二、根据闭环对数频率特性分析系统性能 自学部分
29
本章学习重点
理解频率特性的定义 熟练掌握串联开环系统的频率特性极坐标图和 Bode图的绘制 熟练掌握Nyquist 稳定判据 掌握根据开环对数频率特性分析闭环系统的动 态性能和稳态性能。
30
时域：动态过程的中间部分。
高阶系统：经验公式
0.16 0.4( 1 1) 35 90 sin
ts
(4
~
9)
1
c
阅读：218页例5-16
自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨
Z P R P 2N
例5-7 系统开环传递函数为
K G( s) H ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
其幅频特性图如图5-44左所示。试利用Nyquist判据判断闭 环系统的稳定性。
解 当三个参数取任何正值时，系统的两个开环极点都是 负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及 其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
RP
奈氏判据：若系统的开环不稳定，即开环传递函数
G(S)H(S)在右半平面上有极点，其个数为P，则闭环系统 稳定的充分必要条件是：在GH平面上的开环频率特性 曲线G(jω)H(jω)及其镜像当ω从－∞变化到＋∞时，将以逆 时针的方向围绕（－1，j0）点P圈；若系统开环稳定，即 P=0，则闭环系统稳定的充要条件是：在GH平面上的开环 频率特性曲线及其镜像不包围（－1，j0）点。 利用奈氏判据判断闭环系统不稳定，还可求出该系统在 右半s平面上的极点的个数
图5-47 K>1 和 K<1的频率特性曲线
3、Nyquist判据在Ⅰ型和Ⅱ型系统中的应用
设系统开环传递函数为
G (s) H (s)
K ( i s 1) s (T j s 1)
v j 1 i 1 n v
m
为利用Nyquist判据分析Ⅰ型和Ⅱ型系统的稳定性，就需要 修改s平面上原点附近的Nyquist路径，使它不通过s=0的开 环极点又仍然能包围整个右半s平面。方法是增补一个以 原点为圆心、半径R′为无穷小的右半圆。如图5-48所示
R 2N 2( N N )
自动控制原理讲义A1频率特性稳定裕度与系统频率指标
一、系统的频域性能指标
谐振频率:r 相对谐振峰值： Mr
截止频率b：M(b )
M(0) 2
带宽： 0≤ω≤ω b对应的频率范围
零频幅值M0 M0 =M(ω)| ω=0=M(0)
K
( jn 1)
((
j)
2
2 k
2 k k ( j)
1)
G( j) n1
k 1
( j) ( jTi 1) ((j)2 Tj2 2 jTj ( j) 1)
开环 (g ) 180
Kg
| G(
1
jg )H (
jg ) |
K g (dB) 20 lg K g 20 lg | G( jg )H( jg ) |
K g 6dB
系统响 应速度
增益裕量 相位裕量
闭环系统 稳定性
增益裕量 相位裕量 伺服机构： 10-20分贝 40度以上 过程控制： 3-10分贝 20度以上
M ( jw) G( jw) 1 G( jw)
A(w)
1
1 A2 (w) 2A(w) cos (w)2
1
2
1 A(w)
cos
(w)
sin2 (w)
cos (wr ) cos (wc ) cos
Mr
M (wr )
1
sin (wr )
1
sin
开环频域指标与时域指标的关系
G( jw)
例2 系统开环传递函数为
G(s)H (s)
K
s(T1s 1)(T2s 1)
KT1T2 1 T1 T2
P()
K (T1 T2 )
1 2 (T12 T22 ) 4T12T22
Q()
K (1 2T1T2 )
自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨讲诉
图5－47绘出了K>1 和 K<1的两条闭合曲线，可见：
当K>1 时，曲线逆时针包围了（－1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K<1时，曲线未包围（－1，j0）点，即 R=0，闭环系统不稳定。
在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系 统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。
因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：
1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式 之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。
2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等 于分子多项式的阶次，故F(S)零点、极点的个数相同，均 为n个。
3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是 GH平面上的（－1，j0）点，如图5-42所示。
负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及
其镜像组成的封闭曲线如图5－44右所示。可见，当ω 从 －∞→＋∞ 时，闭合曲线并未包围（－1，j0）点，故N＝ 0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据 进行判定。
例5-8 设系统开环传递函数为
5.2 G(s)H (s) (s 2)(s2 2s 5)
图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像
例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并 讨论K值对闭环系统稳定性的影响。
图5-46 解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在 S平面右半部分有一个极点P＝1，频率特性曲线如图5－ 47所示。当ω ＝0时，曲线从负实轴（－K，j0）出发；当 ω→∞时，曲线以－90°渐近角趋于坐标原点；当ω从－∞ 变化到＋∞，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线 部分）包围（－1，j0）点的圈数R与K值有关。
稳定裕度专题知识讲座
G( j0) = K j0
G( j) = 0 j0
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T1 = 1,T2 = 2,T3 = 3, K = 2
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T1 = 1,T2 = 2,T3 = 3, K = 2
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
G( jw) =
K
[T1T2 ( jw)2 T2 jw 1](T3 jw 1)
展开
？与负实
轴旳交点
=
K
T1T2T3 ( jw)3 (T1T2 T2T3 )( jw)2 (T2 T3 ) jw 1
=
K
1 T2 (T1 T3 )w 2 (T2 T3 T1T2T3w 2 ) jw
为了得到满意旳性能，相位裕度应该在 30与60 之间，
增益裕度应该不小于6分贝。
【例5-5-1】研究经典二阶系统旳相角裕度。
（1）写出开环频率特征
G( jw) =
w
2 n
=
jw( jw 2wn ) w
w
2 n
w 2 4
w2 2 n
arctg
w 2w n
90
（2）根据定义拟定截止频率
G( jwc ) = 1
在 GH 平面旳映象若穿过( -1, 0 ) ，意味着闭环有极点在虚轴上。若某–s 线穿过( -1, 0 ) 点，则意味着闭环有极点在–s 线上。用一样措施，也能够
第四章 (4.3.2)频率特性法分析系统稳定性(稳定裕度)
5.3.2 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定裕量
幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)， 闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1 1+G(jω) = 0 s=jω
解：
1
3
10
由上式可见 G(j ω)与坐标轴无交点。 40 0 . 5 2<ω<10 2.5s ∠-1800, ∴k =∞ ∵G(j∞)=0 g 5
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确定 系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)
-1
j
1
0
G(jω) 特点：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，说明有这么一个点
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
同时成立！
2
稳定裕度的定义
j
Kg
G(jωg)
=1
–180o
G(jωg) -1 ωg
G( jc ) =
0
1
ωc
幅值裕度 K
g= G(jωg)
1
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相角裕度 =180o +∠G(jωc)
3
0dB
幅值裕量: c
1 Kg G ( j g )
20lg G ( j g )
ωc ∠ G(jωc)
-180o
ωg
x
相位裕量: =180+ ∠ G(jωc)
幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)， 闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1 1+G(jω) = 0 s=jω
解：
1
3
10
由上式可见 G(j ω)与坐标轴无交点。 40 0 . 5 2<ω<10 2.5s ∠-1800, ∴k =∞ ∵G(j∞)=0 g 5
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确定 系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)
-1
j
1
0
G(jω) 特点：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，说明有这么一个点
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
同时成立！
2
稳定裕度的定义
j
Kg
G(jωg)
=1
–180o
G(jωg) -1 ωg
G( jc ) =
0
1
ωc
幅值裕度 K
g= G(jωg)
1
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相角裕度 =180o +∠G(jωc)
3
0dB
幅值裕量: c
1 Kg G ( j g )
20lg G ( j g )
ωc ∠ G(jωc)
-180o
ωg
x
相位裕量: =180+ ∠ G(jωc)
频域稳定裕度
90
180 270
20 lg h 20 lg G ( j g ) H ( j g ) 将图上读出的值反号就 是20 lg h
例、已知系统开环对数幅频曲线，求相角裕度判断稳定性。
L( ) dB
24
20 dB / dec 40 dB / dec
解：（1）开环传递函数：
16 L( ) 1 4c 1.25c
系统不稳定
c 1.78rad / s
180 183 3
5.5 闭环频域性能指标
一、频域性能指标
利用开环频域特性分析和设计控制系统是很方便的，但在 全面分析系统的控制性能，也常常需要知道系统闭环频率特 性的形状和性能指标。
M (0) ：零频值 wb ：带宽频率
0
c
c
0
90 180 270
90
180 270
对于稳定系统， 必在 180以上，即 0； 对于不稳定系统， 必在 180以下，即 0。
2、幅值裕度
Im
1 h
-1
g为交界频率。
h 1 G( jg ) H ( jg )
c
(1 M r 1.8)
k 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1) 2
, 例、已知系统的开环对数频率特性曲线 ( K 100 P 0, v 1) 如右图，试确定闭环系统稳定的K值范围。 L( ) dB
20
1
12
24
2
3
( )
K G( s) (T1s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
自动控制系统—— 第5章-4 稳定裕度
x 10
K h
27
为使 h 20dB
即 20log G( jx ) 20dB
G( jx ) 0.1
K
0.1
x
(1
0.04
2 x
)(1
0.0025x2
)
x 10
K 0.110 裕度的要求 根据 40 的要求，则得：
(c ) 90 arctg0.2c arctg0.05c
20 7 1 28dB
24
相位裕度
幅值穿越频率 c
即 G( jc ) 1
c
G(s)
1
s(1 0.2s)(1 0.05s)
G( jc )
1
jc (1 j0.2c )(1 j0.05c )
1
1
c (1 0.04c2 )(1 0.0025c2 )
c 1 （截止频率）
25
G(s)
1
s(1 0.2s)(1 0.05s)
5
0.1
1
rad/s
-40dB/dec
-1
0
1
2
10
10
10
10
33
解：由图得系统传递函数为
K ( s 1)
G(s) s(
s
0.1 1)( s 1)
0.01 5
频率特性为
K (1 j )
G( j)
j(1 j
0.1
)(1 j )
0.01
5
34
在低频段 0.01 时
G( j) K j
10(110 j)
j(1100 j)(1 0.2 j)
(c ) 90 arctg10 arctg100 arctg0.2
自动控制原理53稳定裕度
（1）幅值裕度h ：令相角为180时对应的频率为g （相角穿越频率），频率为g 时对应的幅值A(g)的倒数， 定义为幅值裕度h ，即 1 h A( g ) 或 20lgh = 20lg A(g)
（2）相角裕度 ：令幅频特性过零分贝时的频率为c （幅值穿越频率），则定义相角裕度 为
K (T1 s 1) G( s ) 2 s (T2 s 1)
= 180 + arctancT1 180 arctancT2
(3) 1、2保持不变， h =2/1 中频段宽度
h
与中频段的斜率有关，而且还与中频段宽度有关： 中频段宽度
10
() Mr 70 p% 8 60 100 7 50 80 6 40 60 5 30 40 4 p 20 20 3 Mr 10 0 2 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
24
② Mr 、 b 与ts 的关系
M ( b )
2 n
( ) 4(n b )
2 n 2 2 b
2
0.707
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
ts 3
n
b t s
3
1 2 2 2 4 2 4 4
25
2. 高阶系统
M p 0.16 0.4( M r 1)
ts k1
c
k1 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1)
C(s)
由A(c) =1，计算开环截止频率c有 2 n 1 c n 1 4 4 2 2 c c2 ( 2n )2
14
则相角裕度 为
() p%
100 80 60 40 20 0
（2）相角裕度 ：令幅频特性过零分贝时的频率为c （幅值穿越频率），则定义相角裕度 为
K (T1 s 1) G( s ) 2 s (T2 s 1)
= 180 + arctancT1 180 arctancT2
(3) 1、2保持不变， h =2/1 中频段宽度
h
与中频段的斜率有关，而且还与中频段宽度有关： 中频段宽度
10
() Mr 70 p% 8 60 100 7 50 80 6 40 60 5 30 40 4 p 20 20 3 Mr 10 0 2 0 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
24
② Mr 、 b 与ts 的关系
M ( b )
2 n
( ) 4(n b )
2 n 2 2 b
2
0.707
b n 1 2 2 2 4 2 4 4
ts 3
n
b t s
3
1 2 2 2 4 2 4 4
25
2. 高阶系统
M p 0.16 0.4( M r 1)
ts k1
c
k1 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1)
C(s)
由A(c) =1，计算开环截止频率c有 2 n 1 c n 1 4 4 2 2 c c2 ( 2n )2
14
则相角裕度 为
() p%
100 80 60 40 20 0
稳定裕度的讲解
s s s( 1)( 1) 2 10 100 , s( s 2)( s 10 ) ，求
§5.5.2 稳定裕度的计算
h。
解法I：由幅相曲线求 , h。
§5.5
稳定裕度 (6)
解法II：由Bode图求 , h。
§5.5
6(
稳定裕度 (7)
例4
s 1) 2.5 ，求 , h。 G( s ) s s s s( 1)( 1)( 1) 2 5 12.5
相角裕度
180 G( jwc )
1 G( jw g )
相角交界频率ωg G( jωg ) 180
幅值裕度 h
h
, h 的几何意义 , h 的物理意义 相角
h
系统在
幅值 一般要求
方面的稳定储备量
40 h 2
§5.5
例3 G ( s )
5
稳定裕度 (3)
L(w ) wc 180 (wc ) 1 (w ) 180 w g h G( jw g )
课程小结
稳定裕度的概念
稳定裕度的定义
(开环频率指标) 截止频率 ωc 相角裕度 穿越频率 幅值裕度 h
G( jωc ) 1
180 G( jwc )
ωg G( jωg度计算方法
, h 的几何意义 , h 的物理意义
自动控制原理
§5. 线性系统的频域分析与校正
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 频率特性的基本概念 幅相频率特性（Nyquist图） 对数频率特性（Bode图） 频域稳定判据 稳定裕度 利用开环频率特性分析系统的性能 利用闭环频率特性分析系统的性能
§5.5.2 稳定裕度的计算
h。
解法I：由幅相曲线求 , h。
§5.5
稳定裕度 (6)
解法II：由Bode图求 , h。
§5.5
6(
稳定裕度 (7)
例4
s 1) 2.5 ，求 , h。 G( s ) s s s s( 1)( 1)( 1) 2 5 12.5
相角裕度
180 G( jwc )
1 G( jw g )
相角交界频率ωg G( jωg ) 180
幅值裕度 h
h
, h 的几何意义 , h 的物理意义 相角
h
系统在
幅值 一般要求
方面的稳定储备量
40 h 2
§5.5
例3 G ( s )
5
稳定裕度 (3)
L(w ) wc 180 (wc ) 1 (w ) 180 w g h G( jw g )
课程小结
稳定裕度的概念
稳定裕度的定义
(开环频率指标) 截止频率 ωc 相角裕度 穿越频率 幅值裕度 h
G( jωc ) 1
180 G( jwc )
ωg G( jωg度计算方法
, h 的几何意义 , h 的物理意义
自动控制原理
§5. 线性系统的频域分析与校正
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 频率特性的基本概念 幅相频率特性（Nyquist图） 对数频率特性（Bode图） 频域稳定判据 稳定裕度 利用开环频率特性分析系统的性能 利用闭环频率特性分析系统的性能
《自动控制原理》 胡寿松 第05#6章 频域稳定裕度.ppt
?
0.69
?b
上升时间：
tr
?
2 .202 T
?
2.202
?b
调节时间：
ts
?
3T
?
3
?b
说明 ? b和延迟
时间、上升时间、 调节时间也成反比。
（2）二阶系统带宽 ? b
设二阶系统的闭环传递函数为
? (s) ?
s2
?
?
2 n
2??
n
s
?
?
2 n
故有 | ? ( j0) |? 1。
系统的幅频特性： |? ( j? ) |?
贝时，对应的频率 ? b称为带宽频率， 即带宽频率 ? b为 满足下列方程的解：
20 lg ? ( j? b ) ? 20 lg ? ( j0) ? 3
对于Ⅰ型和Ⅰ型以上系统，由于 ? ( j0) ? 1 故有：
20 lg ? ( j? b ) ? ? 3(dB )
显然，当 ? >? b时，有 20 lg ? ( j? ) ? 20 lg ? ( j0) ? 3
③物理意义： 稳定系统在 截止频率 ωc处若相角再迟 后一个γ角度，则系统处于 临界状态 ；若相角迟后 大于γ ，系统将变成不稳定。
j
-1 ωx
1
γ ωc
0
∠G(jω c)Ｈ(jω c) G(jω)Ｈ(jωc)
上述两图中， γ均为正值
（2）幅值裕度
①在开环幅相频率特性曲线中定义
幅值裕度 是指在(-1,j0)点处的幅值1与开环幅相
d? (1? 2? 2 )2 ? 1
即A与ζ成反比关系，根据假设，又 A与? b成正比 关系，故可得， ? b与阻尼比 ζ成反比关系 。
5-4 频域稳定裕度
5.4.1 相角裕度 相角裕度γ 为系统截止频率， 设ωc为系统截止频率，则 A(ωc ) = G ( jωc ) H ( jωc ) = 1 定义相角裕度为
ωx
1 h
j
-1
ωc
γ
0
ϕ (ωc )
γ = 180 + ∠G ( jωc ) H ( jωc )
o
(dB)
相角裕度表示对于闭 环稳定系统， 环稳定系统，如果系统开 0 (°) 环相频特性再滞后 γ ，则 系统将处于临界稳定状态。 系统将处于临界稳定状态。 -180°
例5-14：已知单位反馈系统 ： K G (s) = s ( s + 1)(0.1s + 1) 分别为5和 时 设K分别为 和20时，试确 分别为 定系统的相角裕度和幅值
bode542.m % h——幅值裕度 幅值裕度 % r——相角裕度 相角裕度 % wx——与-180度线相交频率 与 度线相交频率 % wc——剪切频率 剪切频率 n1=[5]; n2=[20];
ωx
0
-1
ωc
γ
0
ϕ (ωc )
γ
ω -180°
当ωc = ωx时，γ＝0，h＝1，或h＝0dB，系统临界稳定； ， ＝ ， ＝ ，系统临界稳定；
1 h
j
(dB) ωc
ωc = ω x
ω
0
0
γ =0
-1
ϕ (ωc )
-180°
(°) ω ωx
当ωc >ωx时，γ < 0，h<1，h < 0dB，系统不稳定； ， ， ，系统不稳定；
裕度。 裕度。 编程得： 解：利用Matlab编程得： 利用 编程得
b1=conv([1 0],conv([1 1],[0.1 1])); [h1,r1,wx1,wc1]=margin(n1,b1); [h2,r2,wx2,wc2]=margin(n2,b1); bode(n1,b1); hold on; bode(n2,b1);
5-5稳定裕度
二、稳定裕度 计算（ 计算（5）
求ωg ϕ (ω g ) = arctan 2.5 − 90° − arctan 2 − arctan 5 − arctan 12.5 = −180 °
arctan
ωg
ωg
ωg
ωg
ωg
12.5 5 2 2 .5 ωg ωg ωg ωg + − 12.5 5 + arctan 2 2.5 = 90° arctan 2 2 ωg ωg 1 − 12.5 × 5 1 + 2 × 2 .5
100
ω c ω c2 + 2 2 ω c2 + 10 2
ω c2 [ω c4 + 104ω c2 + 400 ] = 1000
试根得
ω c = 2 .9
γ = 180 ° + ∠ G ( jω c ) = 180 ° + ϕ ( 2.9)
2 .9 2 .9 − arctan 2 10 = 90° − 55.4° − 16.1° = 18.5° = 180 ° − 90° − arctan
h
的几何意义 的物理意义 系统在 相角 方面的稳定储备量 幅值
一般要求
γ > 40° h> 2
二、稳定裕度计算（1） 稳定裕度计算（
例3 G ( s ) =
5 s s s( + 1)( + 1) 2 10 = 100 γ, s( s + 2)( s + 10 ) ，求
h。
解法I： 解法 ：由幅相曲线求 γ , h。 (1)令 (1)令 G ( jωc ) = 1=
− 1200ω − j100( 20 − ω 2 ) = G X + jGY = 2 2 ω ( 4 + ω )(100 + ω )
第五章第讲频域稳定裕度-PPT文档资料
经验公式估算时域指标偏保守，即实际性能比估算结果 要好。
11
本章习题
• • • • • P209 P210 P210 P210 P212 5-2 5-5(自动化专业做) 5-8 (1)(2) 5-9(a)(b) 5-17
12
频域指标（ω c、γ 、、Mr、ω r、ω b）用于系统的分 γ=( 30°~60°），由γ-ζ曲线确定ζ， 析与校正十分方便，但是间接的概略性指标。 再由ζ计算σ%和ts。 频域指标和时域指标之间有对应的转换关系
2 n
4 2的对应关系 4 1 2
1典型二阶系统
开环频率特性
γ-ζ曲线
6
5-6
闭环系统的频域性能指标
一、闭环频率特性主要性能指标 R(s) _
G (s)
C(s)
j ( w ) C ( jw ) G ( jw ) A ( w ) e j ( w ) ( jw ) M ( w ) e j ( w ) R ( jw )1 G ( jw )1 A ( w ) e
M ( ) 2 2 1 /2 [( 1 2)2 4 2 2]
1
谐振频率 谐振峰值
2 2 r n 1
Mr 1 2 1 2
(0
2 ) 2
几个式子给出了频域指 标与ωn、ζ的关系，频 域指标和时域指标进行 转换
(0
2 ) 2
10
三、高阶系统 高阶系统Mr的确定常采用经验公式
一般γ 为30°～60°
5
伯德图对应的Ｋg和γ
K d B 2 0 l g( G j ) H ( j ) 幅值裕度 g g g
0dB
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2.5 c
ωc
6.25,
1 2.5
2.5ω c -4
2.5
K
ωc
G ( j )
-1段的宽度
c
2.5
( c ) 180 arctg2.5 3arctg
-177.2
可以看出这种结构和参数几乎是临界情况。如要求闭环系统稳定 应以-1斜率穿越0分贝轴，且-1段的宽度为 5 10 倍。
huwei@
3
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
1. 相角裕度又称相位裕度(Phase Margin)
自动控制原理
A(c ) G( jc ) H ( jc ) 1
c 称为截止频率
定义相角裕度为 1800 G jc H jc
-1 Im
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
K 0.5 K 4 A( jg ) 2 3 8 1.25 K 10 ( 1 g ) K
自动控制原理
2 K 4 1 幅值裕度: K g A( jg ) 0.8 K 10
A( jc )
相角裕度:
K ( 1 )
-40
-60
-60
()0
0 -90
lg
rad s
()
-180 -270 huwei@
20
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
1 开环对数幅频特性“三频段”概念
huwei@
21
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
低频段
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目 开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的频段 低频段决定了系统的稳态精度。
0
1 Kg
Im
dB 0
0 0 K g 0dB
g
- ＋ 1 c
G( j )
c
Kg 正幅值裕度
90 180 270
＋
g
（a）稳定系统
huwei@ 14
正相位裕度
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
0 0 K 1 g
中频段
指开环幅相特性曲线在截止频率 c 附近的区段。
huwei@
22
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
(1)截止频率 c 的斜率为-20dB/dec 宽度2 c 3 系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-20dB/dec 则，开环传递函数为
16
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例5.15已知系统的开环传递函数为
自动控制原理
4 G(s) e0.8 s s( s 1) 试计算系统的相位裕量和幅值裕量。
4 4 0.8 j j ( 900 arctan 0.8 57.30 ) G( j ) e e 2 j ( j 1) 1
(b) b系统临界稳定 (-1,j0)为临界点
5.4 频域稳定裕度—相对稳定性
Im -1
0
自动控制原理
K G ( j ) j ( jT 1 1 )( jT 2 1 )
Im
h(t)
Re
h(t)
-1
0
Re
0
0
t
t
(c)
(d)
c、d系统稳定
幅相曲线越远离临界点， 系统的稳定程度越好
huwei@ 25
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
2 （0.5～0.1 ）c
huwei@ 26
3 （5～ 10 ）c
从开环频率特性研究闭环系统性能
K( G ( s) 2.5
自动控制原理
c
s 1)
-2 -1
1 2 s ( s 1)3 2.5c
2 3 c
1
c K
1/ 3
,K 4 1.233 1 1.908, K 10
27 .1 K 4 7 . 0 K 10
180 () 180 3arctgc
K=4时: Kg>1, γ>0 闭环系统稳定
huwei@ 10
K S ( S 1)(0.1S 1)
K
1 2 1 0.01 2
e
j 90 0 arctan arctan0.1
计算K=5：由Bode图作为辅助工具近似计算相角裕度和幅值裕度;
A( )
180
0
5
1 1 0.01
2
2
5
0 1 0
0 0 K g 0dB
自动控制原理
Im
dB
c
0
负幅值裕度 Kg
Re
g
－ -1
1 Kg
c
Re
90 180 270
G( j )
g －
（b）不稳定系统
huwei@ 15
负相位裕度
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
相角裕度和幅值裕度小结：
2
A(c )
ac
c
2
1
1
0
1
0 -1
Im
180 c
0
0
Re
180 180 tg ac
0 0
c
2, P 0
tg ac 45
1
huwei@
0
11
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
0
相角裕度的含义：
Re
对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。 为了使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正。
huwei@ 4
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
2. 幅值裕度又称增益裕度(Gain Margin)Kg
自动控制原理
( g ) G j g H j g 180
Kg 1 1 4 0.98 1 0.982 0.34
G jg H jg
该闭环系统不稳定。
huwei@
18
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例5-16已知系统的开环传递函数
G(S )
自动控制原理
试计算K=5、20的相角裕度和幅值裕度。
解：G( j )
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例 已知单位负反馈系统
自动控制原理
K G( s) ( s 1)3
设k分别取为4和10时,试确定系统的稳定裕度
解:开环相频特性
Im -1 +∞ 4 Re
( ) 3arctg
arctgg 60
g 3 1.732rad / s
huwei@ 9
7
=0+
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
稳定裕度的定义图示法
自动控制原理
G(jg) -1 g
j
G(jg) ？=1
幅值裕度
Kg = G(jg)
=0+
1
0
1
=0
c
∠G(jc) -？ = –180o
∠G(jc)
相角裕度 =180o +∠G(jc)
huwei@ 8
自动控制原理
相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对(-1,j0) 点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。 适当的相角裕度和幅值裕度可以防止系统参数变 化造成的影响。 工程上为满足 控制系统的性能要求: 相角裕度: 幅值裕度:
30 ~ 60 K g 6～10dB
0 0
huwei@
K=10时: Kg<1,γ <0 闭环系统不稳定
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例 单位负反馈系统的开环传递函数为 求相角裕度为45度时参数
G( j ) ja 1
自动控制原理
as 1 G(s) 2 s
a
2
的值
1 e
j ( 1800 tg 1a )
j
2
2
a
g 1 g 2 1 0.01 g 2
20 lg
19
5
g 0 g 2
huwei@
L( )dB
60
自动控制原理
40
-20
L( )
20
lg
0 -20
0.01 0.04 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100
c
-40
rad s
2
0
1, c 5
900 arctan
0
5 arctan0.1
0 0 0 0 5 90 65.9 12.6 11.5
( ) 90 arctan arctan0.1 180
K g 20 lg 5
g 3.2 rad s
20 lg 5 6.2dB 2 3.2
a 2 1 c 1 2 c ac 1
自动控制原理
c 2 c 2 1.19 1 1 a 4 0.84 c 2
2 4
huwei@ 12
幅值裕度: KgdB=－20lg
0dB
G ( j g ) dB 自动控制原理
c
5.4 频域稳定裕度—相对稳定性
自动控制原理
相对稳定性反映出系统稳定程度的好坏。 闭环控制系统相对稳定性可以通过开环频率特性加
以描述。 (时域：超调量 % ；复域：根与虚轴距离）
奈氏（幅相）曲线与临界点（-1，j0）的靠近
程度，可以用来度量稳定裕度。
ωc
6.25,
1 2.5
2.5ω c -4
2.5
K
ωc
G ( j )
-1段的宽度
c
2.5
( c ) 180 arctg2.5 3arctg
-177.2
可以看出这种结构和参数几乎是临界情况。如要求闭环系统稳定 应以-1斜率穿越0分贝轴，且-1段的宽度为 5 10 倍。
huwei@
3
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
1. 相角裕度又称相位裕度(Phase Margin)
自动控制原理
A(c ) G( jc ) H ( jc ) 1
c 称为截止频率
定义相角裕度为 1800 G jc H jc
-1 Im
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
K 0.5 K 4 A( jg ) 2 3 8 1.25 K 10 ( 1 g ) K
自动控制原理
2 K 4 1 幅值裕度: K g A( jg ) 0.8 K 10
A( jc )
相角裕度:
K ( 1 )
-40
-60
-60
()0
0 -90
lg
rad s
()
-180 -270 huwei@
20
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
1 开环对数幅频特性“三频段”概念
huwei@
21
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
低频段
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目 开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的频段 低频段决定了系统的稳态精度。
0
1 Kg
Im
dB 0
0 0 K g 0dB
g
- ＋ 1 c
G( j )
c
Kg 正幅值裕度
90 180 270
＋
g
（a）稳定系统
huwei@ 14
正相位裕度
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
0 0 K 1 g
中频段
指开环幅相特性曲线在截止频率 c 附近的区段。
huwei@
22
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
(1)截止频率 c 的斜率为-20dB/dec 宽度2 c 3 系统是稳定的，并近似认为整个开环特性为-20dB/dec 则，开环传递函数为
16
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例5.15已知系统的开环传递函数为
自动控制原理
4 G(s) e0.8 s s( s 1) 试计算系统的相位裕量和幅值裕量。
4 4 0.8 j j ( 900 arctan 0.8 57.30 ) G( j ) e e 2 j ( j 1) 1
(b) b系统临界稳定 (-1,j0)为临界点
5.4 频域稳定裕度—相对稳定性
Im -1
0
自动控制原理
K G ( j ) j ( jT 1 1 )( jT 2 1 )
Im
h(t)
Re
h(t)
-1
0
Re
0
0
t
t
(c)
(d)
c、d系统稳定
幅相曲线越远离临界点， 系统的稳定程度越好
huwei@ 25
从开环频率特性研究闭环系统性能
自动控制原理
2 （0.5～0.1 ）c
huwei@ 26
3 （5～ 10 ）c
从开环频率特性研究闭环系统性能
K( G ( s) 2.5
自动控制原理
c
s 1)
-2 -1
1 2 s ( s 1)3 2.5c
2 3 c
1
c K
1/ 3
,K 4 1.233 1 1.908, K 10
27 .1 K 4 7 . 0 K 10
180 () 180 3arctgc
K=4时: Kg>1, γ>0 闭环系统稳定
huwei@ 10
K S ( S 1)(0.1S 1)
K
1 2 1 0.01 2
e
j 90 0 arctan arctan0.1
计算K=5：由Bode图作为辅助工具近似计算相角裕度和幅值裕度;
A( )
180
0
5
1 1 0.01
2
2
5
0 1 0
0 0 K g 0dB
自动控制原理
Im
dB
c
0
负幅值裕度 Kg
Re
g
－ -1
1 Kg
c
Re
90 180 270
G( j )
g －
（b）不稳定系统
huwei@ 15
负相位裕度
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
相角裕度和幅值裕度小结：
2
A(c )
ac
c
2
1
1
0
1
0 -1
Im
180 c
0
0
Re
180 180 tg ac
0 0
c
2, P 0
tg ac 45
1
huwei@
0
11
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
0
相角裕度的含义：
Re
对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。 为了使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正。
huwei@ 4
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
2. 幅值裕度又称增益裕度(Gain Margin)Kg
自动控制原理
( g ) G j g H j g 180
Kg 1 1 4 0.98 1 0.982 0.34
G jg H jg
该闭环系统不稳定。
huwei@
18
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例5-16已知系统的开环传递函数
G(S )
自动控制原理
试计算K=5、20的相角裕度和幅值裕度。
解：G( j )
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例 已知单位负反馈系统
自动控制原理
K G( s) ( s 1)3
设k分别取为4和10时,试确定系统的稳定裕度
解:开环相频特性
Im -1 +∞ 4 Re
( ) 3arctg
arctgg 60
g 3 1.732rad / s
huwei@ 9
7
=0+
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
稳定裕度的定义图示法
自动控制原理
G(jg) -1 g
j
G(jg) ？=1
幅值裕度
Kg = G(jg)
=0+
1
0
1
=0
c
∠G(jc) -？ = –180o
∠G(jc)
相角裕度 =180o +∠G(jc)
huwei@ 8
自动控制原理
相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对(-1,j0) 点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。 适当的相角裕度和幅值裕度可以防止系统参数变 化造成的影响。 工程上为满足 控制系统的性能要求: 相角裕度: 幅值裕度:
30 ~ 60 K g 6～10dB
0 0
huwei@
K=10时: Kg<1,γ <0 闭环系统不稳定
5.6 频域稳定裕度—相对稳定性
例 单位负反馈系统的开环传递函数为 求相角裕度为45度时参数
G( j ) ja 1
自动控制原理
as 1 G(s) 2 s
a
2
的值
1 e
j ( 1800 tg 1a )
j
2
2
a
g 1 g 2 1 0.01 g 2
20 lg
19
5
g 0 g 2
huwei@
L( )dB
60
自动控制原理
40
-20
L( )
20
lg
0 -20
0.01 0.04 0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40 100
c
-40
rad s
2
0
1, c 5
900 arctan
0
5 arctan0.1
0 0 0 0 5 90 65.9 12.6 11.5
( ) 90 arctan arctan0.1 180
K g 20 lg 5
g 3.2 rad s
20 lg 5 6.2dB 2 3.2
a 2 1 c 1 2 c ac 1
自动控制原理
c 2 c 2 1.19 1 1 a 4 0.84 c 2
2 4
huwei@ 12
幅值裕度: KgdB=－20lg
0dB
G ( j g ) dB 自动控制原理
c
5.4 频域稳定裕度—相对稳定性
自动控制原理
相对稳定性反映出系统稳定程度的好坏。 闭环控制系统相对稳定性可以通过开环频率特性加
以描述。 (时域：超调量 % ；复域：根与虚轴距离）
奈氏（幅相）曲线与临界点（-1，j0）的靠近
程度，可以用来度量稳定裕度。