35厄米算符本征函数的正交性
3.5厄米算符本征函数的正交性
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数 它们仍属于本征值 个独立的新函数,它们仍属于本征值 它们仍属于本征值λn 且满足正交归一化条件。 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
ψnj = ∑ Ajiφni
i =1
f
j = 1,2,L, f
(3.5-12） ）
可以满足正交归一化条件： 可以满足正交归一化条件：
∫ψ
nj
*ψnj′dτ = ∑∑ Aji Aj′i′ ∫ φni *φni′dτ = δ jj′
i =1 i′=1
f
f
j, j′ = 1,2,L, f
(3.5-13） ）
证明分如下 两步进行
的本征函数。 1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。 个新函数ψ 2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn 可以组成。 可以组成。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
实例
（1）动量本征函数组成正交归一系
∞
∫
−∞
r r r r r ( r ) dτ = δ ( p − p′) ψ (r )ψ p
* r p′
（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交 性时，曾假设 这些本征函数属于不 同本征值，即非简并情况。
满足本征方程： 满足本征方程：
如果 F 的本征值λn是f度简并的，则对应λn 有f个本征函数： φn1 ,φn2 , ..., φnf
ˆ Fφni = λnφni
3.5厄密算符本征函数的正交性
ˆ )* d * d ( F k k l k l ˆ )d * d * (F
k
l
l
k
l
厄密算符定义:
* ˆ ˆ )* d ( F ) d ( F k l k l * * k k l d l k l d * 即 : (k l ) k l d 0 * k l : k l d 0
|m|
im
0
2
0
Y Y
* lm l m
sin d d ll mm
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.5 厄密算符本征函数的正交性
(4),氢原子的本征函数组成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
函数系φk或φλ构成正交归一系. [例](1),线性谐振子能量本征函数构成正交归一系
n ( x) Nne
Nn Nn e
2 x2
1 2 x2 2
H n ( x)
H n ( x) H n ( x)dx nn
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第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
量子力学算符本征函数正交归一性的探索
教改聚焦2014-06在量子力学中，表示力学量的算符必定都是厄密算符。
厄密算符对应的本征函数具有正交归一性，但在部分教材中没有给出详细的证明过程，给学习者研读带来困难。
在此，本人对一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算符L 的本征函数正交归一性证明如下，仅供学习量子力学者参考。
一、一维无限深势阱哈密顿算H 征函数的正交归一性任取两个一维无限深势阱哈密顿算符的本征函数[1]：则有：淤当m=n 时，上式为：即有，也就是一维无限深势阱哈密顿算H 本征函数具有正交归一性。
二、线性谐振子哈密顿算H 征函数的正交归一性线性谐振子哈密顿算H本征函数为[2]：其中任取两个函数和，令，所以，则有：上式第一项为，且最高次项的系数为2014-06教改聚焦当m ≥0时，；当m =0时，为关联勒让德函数：关联勒让德函数的正交性无法直接证明，在此，我们任取两个本征函数进行验证。
1.验证的正交性所以是相互正交的。
2.验证归一性至此，我们证明或验证了一维无限深势阱和线性谐振子哈密顿算H 角动量平方算L 2的本征函数的正交归一性。
参考文献：［1］陈鄂生.量子力学教程.山东大学出版社，2002-05.［2］周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979-02.［3］大卫·J ·格里菲斯.量子力学概论.贾瑜，胡行，李玉晓，译.机械工业出版社，2013-03.（作者单位毕节职业技术学院）•编辑张珍珍语文在人际交往中有着特殊的作用，它是其他学科所替代不了的，同时也是工具性和人文性相结合的一门最基本的学科。
当前的语文教学以培养学生的实践能力为最终的目标，需要将所学的知识与实际生活更好地融合在一起来满足社会的需要。
一、在书写方面强化训练，促进学生逻辑思维的培养，为实践能力的提升提供条件在语文教学中，对学生的写字不仅要求美观，更深层次上是让学生有一个良好的学习习惯。
因为在书写的过程中可以不断培养学生的逻辑思维。
例如，在教学《荷塘夜色》时，其中包含很多优美的句子，教师可以要求学生对其进行仿写，在这个过程中可以进行创新。
厄米算符本征函数完备性的一般证明
厄米算符本征函数完备性的一般证明在坐标表象下，可观测量Q的期望值可以写成<Q>=∫ψ∗Q^ψdx=<ψ|Q^ψ>由于可观测量必须实数，因此有<Q∗>=<Q>,所以有<Q^ψ|ψ>=<ψ|Q^ψ>满足上式的算符Q^，称为厄米算符，可观测量均由厄米算符表示。
厄米算符作用于内积的左侧项与右侧项等价，这是厄米算符的一个重要性质。
下面我们来推导厄米算符的本征方程（有些教材直接给出本征方程的形式，而《量子力学概论》（大卫|格里菲斯）是从确定值态出发，推导出本征方程的形式）。
我们假设在某个态下测量可观测量Q的值，无论什么时候测，都恰好为同一个确定的值q，这样的态我们称为确定值态（或者本征态），记为ϕ.显然在本征态下，有<Q>=q以及方差<σ2>=0则有<σ2>=<ϕ|(Q^−q)2ϕ>=0由于Q^为厄米算符，可以提出一个(Q^−q)到内积的左侧项，即有<(Q^−qϕ|Q^−qϕ)>=0所以有(Q^−q)ϕ=0即Q^ϕ=qϕ,此即本征态ϕ所满足的本征方程。
由此，我们推导出了厄米算符Q^的本征方程。
我们称满足此本征方程的态为算符Q^的本征态ϕ，在此态下测量Q得到的值必为一个确定值，称为在该本征态下对应的本征值。
一个算符的所有本征值的集合称为这个算符的谱，根据本征值的分布是离散的还是连续的，谱可以分为分立谱和连续谱。
多个线性独立的本征态具有同一个本征值的情况称为谱的简并，简并的概念在量子力学中具有比较重要的地位。
因此，定态薛定谔方程即为能量算符的本征方程。
下面举几个简单例子说明谱的分立性与连续性。
1）谐振子的哈密顿谱为分立谱。
2）自由粒子的哈密顿谱为连续谱。
3）有限深方势阱的谱为分立谱+连续谱。
量子力学期末考试题解答题
1。
你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明.（简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件.首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难(这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果,但不能提供系统解决它的办法；其次,Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如:散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等,与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。
2。
什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的?答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律:a。
对于一定的金属材料做成的电极,有一个确定的临界频率，当照射光频率时,无论光的强度有多大,不会观测到光电子从电极上逸出；b。
每个光电子的能量只与照射光的频率有关,而与光强无关;c.当入射光频率时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻观测到光电子.爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。
（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。
（3)光子能量与其频率成正比,频率越高，对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。
3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答:对于一般情况，如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：（是复数）也是这个体系的一个可能状态。
量子力学中的厄米算符描述量子力学中的可观测量
量子力学中的厄米算符描述量子力学中的可观测量量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，而可观测量是用来描述这些粒子状态的物理量。
在量子力学中，可观测量通过厄米算符来描述。
一、厄米算符的定义和性质在量子力学中，厄米算符是一种具有特定性质的算符。
一个算符A 是厄米的，当且仅当它满足以下条件：1. A的本征值是实数：对于任意的本征态|a⟩，存在一个实数a，使得A|a⟩=a|a⟩。
2. A的本征态之间是正交的：对于不同的本征值a和b，如果a≠b，则本征态|a⟩和|b⟩是正交的，即⟨a|b⟩=0。
3. A的本征值是彼此不同的：对于不同的本征态|a⟩和|b⟩，如果它们对应的本征值相同，就意味着|a⟩和|b⟩是相同的本征态。
由于厄米算符的这些性质，它们在量子力学中被广泛地用于描述可观测量。
二、厄米算符的作用厄米算符作用于量子态时，会得到该量子态所对应的本征值和本征态。
假设A是一个厄米算符，|a⟩是其对应的本征态，对应的本征值为a。
那么有：A|a⟩ = a|a⟩其中，|a⟩表示本征态，a表示本征值。
这个方程说明，对于量子态|a⟩，经过厄米算符A的作用后，得到的结果是该量子态本身或者一个比例因子。
这样，我们可以通过测量A来得到量子态的本征值。
三、厄米算符的例子1. 动量算符：在量子力学中，动量算符P是一个重要的厄米算符。
它描述了粒子的动量，其本征态是平面波，本征值则是粒子的动量大小。
2.位置算符：位置算符X也是一个厄米算符。
它描述了粒子的位置，其本征态是位置本征态，对应的本征值是粒子在空间中的位置。
3.能量算符：能量算符H也是一个厄米算符。
它描述了系统的能量，其本征态是能量本征态，对应的本征值是系统的能量。
这些厄米算符的性质和作用在量子力学的实际应用中发挥着重要的作用。
四、厄米算符的重要性厄米算符在量子力学中的重要性不可忽视。
首先，由于其本征值是实数，通过测量厄米算符可以得到实验测量结果的物理解释，为实验提供了理论基础。
11厄米算符的本征问题 坐标算符和动量算符
再利用 2 的归一化条件，得 取 c22 1/ 3
c22 1/ 3
于是
1 1/ 2u1 1/ 2u2 2 1/ 2u1 1/ 2u2
三、厄米算符本征函数的完备性
波函数是描述体系所处状态的，由全部波函数和零函数构成的 空间称为态空间。每一个波函数都是态空间中的一个元素，也称为 态矢量。
线性厄米算符的作用就是把态空间的一个元素变成另一个元素。 线性厄米算符的本征函数构成一个正交归一的函数系，简记 为 n (r ) ，它可以作为态空间中的一组基底。 (r , t ) 总可以向正交归一的基底 态空间中的任意一个态矢量 n (r ) 作展开，即 (r , t ) cn (t ) n (r )
px , py , pz (, )
方程的解
或
(r )
p
1 ipr / e 3/ 2 (2)
规格化
* (r ) p (r )d ( p p) p
n 1, 2,3,
1．讨论无简并的情况
定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 ˆ ˆ 证明： A ( x) a ( x) A ( x) a ( x) a a
m m m
n
n
n
m
n
一方面
另一方面
* ˆ * m A n d an m n d
* n (r ) n (r ) (r r ) n
所以
此即本征函数的封闭关系。
§3-3 坐标算符和动量算符
一、坐标算符 二、动量算符
§3-3 坐标算符和动量算符
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系分析
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn， 则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
c * d 2 * Fˆ 1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [ 1 c 2 ]) *[ 1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
二式相减得： d2 * Fˆ1 d (Fˆ 2 )*1
所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数 因而 Fˆ F 也是厄密算符
根据定理 I
F d n * Fˆ n Fn d n * n Fn
量子力学厄米算符
量子力学厄米算符
在量子力学中，一个厄米算符是指一个自己等于其共轭转置的线性算符。
具体来说，如果A 是一个厄米算符，则它满足以下条件：
1. A = A†，其中A†是A 的厄米共轭，即将A 中所有元素转置并取复共轭得到的算符。
2. 对于任意的态矢量|ψ⟩，都有⟩ψ|A|ψ⟩ 是实数。
这些条件意味着厄米算符具有一些重要的性质。
首先，它们的本征值都是实数。
如果|u⟩ 是A 的一个本征态，对应的本征值为λ，则有A|u⟩ = λ|u⟩。
由于A 是厄米的，我们有⟩u|A|u⟩ = ⟩u|λ|u⟩ = λ⟩u|u⟩，因此λ必须是实数。
这个性质非常重要，因为它保证了测量厄米算符的本征值一定是实数。
另外，厄米算符的本征态可以被选择成正交归一的。
也就是说，如果|u⟩ 和|v⟩ 是A 的不同本征值对应的本征态，且本征值λu ≠λv，则有⟩u|v⟩ = 0。
这个性质使得我们可以将任何一个态表示成A 的本征态的线性组合，从而更容易地研究厄米算符的性质。
最后，厄米算符的本征态构成了一个完备的基。
也就是说，任何一个态都可以被唯一地表示成 A 的本征态的线性组合。
这个性质使得我们可以将任何一个态投影到 A 的本征态上，从而更容易地计算测量A 的结果。
. 厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交在量子力学中，厄米算符是一类非常重要的算符，它们具有许多重要的性质，其中之一就是不同本征值对应的本征态是正交的。
本文将围绕这一重要的性质展开讨论，并从浅入深地探究其背后的原理和意义。
1. 什么是厄米算符？在量子力学中，厄米算符是指其对应的物理量是可观测的，即可以通过实验进行测量的算符。
厄米算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它们的本征值和本征态有着许多重要的性质，其中就包括本征态正交的性质。
2. 厄米算符不同本征值对应的本征态为何正交？要解释厄米算符不同本征值对应的本征态正交的性质，我们可以从厄米算符的性质和本征态的定义入手进行说明。
由于厄米算符是可观测的物理量对应的算符，不同本征值对应的本征态在物理意义上代表了对应物理量的不同测量结果。
而正交性意味着不同测量结果所对应的本征态在彼此之间是相互垂直的，这也与物理上的实验结果相符。
3. 正交性的物理意义和实际应用厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的物理意义在于，在进行量子力学的测量时，不同的测量结果是相互独立的，彼此之间不会相互干扰，这也为量子力学的实验结果提供了坚实的基础。
另外，正交性的性质也在量子力学的计算和求解中扮演着非常重要的角色，它为我们提供了在物理问题求解中的便利性和简化性。
4. 个人观点和理解作为一名研究量子力学多年的学者，我对厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的深刻理解和应用经验使我深信这一性质的重要性。
正交性不仅为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在理论计算和物理问题求解中起到了非常重要的作用，这一性质对于深入理解量子力学的重要意义不言而喻。
总结回顾本文围绕厄米算符不同本征值对应的本征态正交这一重要性质展开了讨论，从厄米算符的定义和不同本征值本征态的物理意义入手，逐步深入探究了正交性的原理和意义。
正交性为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在量子力学的计算和求解中起到了非常重要的作用。
个人作为一名资深学者对于这一性质深刻的理解和应用经验更是加深了我对其重要性的认识。
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
d
d
1
ˆ d ( F ˆ ) * d * F *F 2 2 1 ˆ 1 ) * 2 d ( F 2 ˆ 1
ˆ d ( F ˆ ) * ] [ d ( F ˆ ) * d * F ˆ ] [ d 1 * F 2 1 2 2 1 2 1
（四）实例
（1）动量本征函数组成正交归一系 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
2. L2本征函数
（4）氢原子波函数组成正交归一系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系
（2） 力学量的可能值和相应几率
i 1 i 1
Fn nj
因为
j , j 1,2, , f
f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
§3.2厄米算符（讲稿）
§ 3.2 厄米算符设Aˆ为厄米算符，其本征问题的解可分为分立谱和连续谱两种情况。
分立谱：)()(ˆx a x A nn n ΦΦ=， ,3,2,1=n 例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符，本征值问题的解为 nn n E H ψψ=ˆ )sin(2)(,3,2,1,22222axn a x n n maEn nπψπ===⎰=an n dx x x 0*1)()(ψψ连续谱：)()(ˆx x AλλΦλΦ=例如动量是厄米算符，本征值问题的解为)()(ˆx p x pp px ΦΦ=+∞<<∞-p )exp(21)(px i x pπΦ=)()()(*p p dx x x pp '-=⎰∞∞-'δΦΦ一、厄米算符的本征值为实数 以连续谱为例证明λλΦλΦ=A ˆ 因Aˆ为厄米算符，则 ),ˆ()ˆ,(λλλλΦΦΦΦA A= ),(),(*λλλλΦΦλΦΦλ=λλ=* 二、厄米算符的本征波函数正交分立谱：0),(=n m ΦΦ，当n m ≠； 连续谱：0),(='λλΦΦ，当λλ'≠．以连续谱为例证明λλΦλΦ=Aˆ因Aˆ为厄米算符，则),ˆ()ˆ,(λλλλΦΦΦΦ''=A A),(),(λλλλΦΦλΦΦλ''='所以),(='λλΦΦ，当 λλ'≠．如果把本征波函数归一化或归格化到δ函数，那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系分立谱：}{n Φ ⎪⎩⎪⎨⎧∞+∞-≠===⎰=nm n m dx x x nm n mn m ,0,1,)()(),(*δΦΦΦΦ连续谱： }{λΦ)()()(),(*λλδΦΦΦΦλλλλ'-=⎰='∞+∞-'dx x x三 、本征波函数构成完备集合 1、分立谱情况可以证明：对于分立谱情况，厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。
曾量子力学题库
一、 简述题：1.试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2.试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以Å为单位）3.试用Einstein 光量子假说解释光电效应4.试简述Bohr 的量子理论5.简述波尔-索末菲的量子化条件6.试述de Broglie 物质波假设7.写出态的叠加原理8.一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。
9.按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件10.已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。
11.什么是定态？它有哪些特征？12.)()(x x δψ=是否定态？为什么？13.设ikr e r1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度14.试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。
15.简述和解释隧道效应16.说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
17.试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系18.简述力学量算符的性质19.试述力学量完全集的概念20.试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？21.若算符Aˆ、B ˆ均与算符C ˆ对易，即0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==C B C A ，A ˆ、B ˆ、C ˆ是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。
22.对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。
23.微观粒子x 方向的动量x p ˆ和x 方向的角动量xL ˆ是否为可同时有确定值的力学量？为什么？24.试写出态和力学量的表象变换的表达式25.简述幺正变换的性质26.在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示27.粒子处在2221)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ödinger 方程。
厄密算符本征函数的正交课件
m
mm
(18)
3.角动量平方算符Lµ2z 的本征函数，属于本征
值 l l 1h2：
Ylm , Nlm Pl m cos eim
(19)
0
2 0
Ylm
,
Ylm
,
sin
d
d
ll
(20)
（20）缔合Legendre函数正交性：
2 Nlm Nlm Pl m Plm sin d d ll
而球谐函数：
r2 sin drd d nn
(22)
三个量子数均不同：
0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r,,
r2 sin drd d nnllmm
(23)
四、简并态函数的正交性
当 Fµ 的本征值 n 是 f 度简并：n : n1,n2 ,n3 ,L nf
一般而言 ni 不正交，但可用 f 2 个常数将 f 个函数重新
新分类，可组合消除简并。
如nlm r,, 对 En 简并，但对 Hµ,lµ2,lµz 则不简
并，归一化为 nn ll mm 。
0
Y 2
0 lm
,
Ylm
,
sin d d llmm
(21)
4.氢原子波函数，算符：
Hµ h2 2
2
es2 r
h2
2
1 r2
r
r
2
r
lµ2
2r2
es2 r
nlm r,, Rnl rYlm ,
n不同:
0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r, ,
(1)
当 pv pv :
pv , pv 0
厄米算符的本征函数具有正交性
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
f
nj
Ajini
i 1
可以满足正交归一化条件：
j 1,2,, f
ff
nj * njd
引言
• 一切力学量均可用算符表示？ • 本章学习的主要问题是： • 1、算符的定义 • 2、算符的运算 • 3、QM与MA中的算符的区别 • 4、算符的本征值问题 • 5、算符随时间的变化 • 6、其它问题
本章是量子力学的基础
• 一个基本概念：厄米算符（作用与性质）
• 二个基本假定：力学量用算符表示；
[x , pˆ ] i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
~ Oˆ Oˆ *
(12) 厄密算符 返回
1. 定义:
满足下列*
或 Oˆ Oˆ
2. 性质
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
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•
p
r
p'
r d
p
p ;
p
r
1
ei
p•r
3
2 2
一．两函数正交定义：如果两函数 1, 2 满足关系式
• 1
2d
0
，（3.5.1）
则称 1 和 2 相互正交。
二．定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相 互正交。
设算符 Fˆ 是厄米算符，1,1,n 是它的本征函数，
（3.5.11）
如果 Fˆ 的本征值是f度兼并的的，属于它的本征
函数有f个： n1 ,n2 ,,nf ,
Fˆni nni ,i 1,2,, f ,
则上面的证明对于这些函数不适用，一般来说，这些
函数不一定相互正交，但是我们总可以用 f 2 个常数
Aji 把这f个函数线性组合成f个新函数 nj ：
的有
2
f f 1 ，
而系数 Aji 共有 f 2 个，当f>1时，
2
f
2
ff
1 ，
即待定系数 A ji
的数目大于方程的个数，
2
所以有许多种方法选择 Aji ，使得函数 nj 满足正
交归一化条件，显然 nj 仍是 Fˆ 的本征值 n 的本
征函数：
Fˆ nj Aji Fˆni n A ji ni n nj
上式右乘 l ，并积分，得
(Fˆk )•l d k k•l d
（3.5.6）
再以
• k
左乘（3.5.4）式，在积分，得
k • (Fˆl )d l k•l d
（3.5.7）
由厄米算符定义有， k • (Fˆl )d (FˆK )•l d
所以（3.5.6），（3.5.7）两式左边相等，因此有
Ylm ( ,) Nlm Pl m (cos )eim 组成正交归一系：
0
2 0
Ylm*
(
,
)Ylm
(
,
)
s
in
dd
ll
3. 氢原子的波函数
nlm r, , Rnl rYlm , 组成正交归一系：
r0
0
2 •
0 nlm
r, , nlm
r, ,
r 2 sindrdd
i
i
三．常用的正交归一函数系
1.线性谐振子
n
2
Nne 2
Hn
;或
n
x
2 -
Nne 2
x2
Hn
x
组成正交归一系；
• n
x
n
xdx
nn
2.角动量算符 lˆz 的本征函数
m ()
1 eim
2
(m 0,1,2,) 组成正交归一系：
2 0
• m
m
'
d
mm
角动量平方算符 lˆ2 属于本征值为 l(l 1)2 的本征函数
f
nj A ji ni , j 1,2,3,, f i 1
（3.5.12）
使得这些新函数 nj 是相互正交的。因为 nj
的正交归一化条件：
ff
•
nj
nj
d
A•ji A ji
• ni ni
d
jj ,
j,
j
1,2,,
f
（3.5.13）
i1 i1
共有 f f 1 个方程，其中 j j 的f个， j j
k•k d 1
（3.5.9）
把（3.5.2）和（3.5.9）合写在一起
k•l d kl
（3.5.10）
称为厄米算符 Fˆ 的正交归一化条件。式中 lk
是克罗内克符号，
1，当k l时，
kl 0，当k l时。
如果 Fˆ 的本征值组成连续谱，则它的本征函数
可以归一化为 函数。
即 •d
相应的本征值为 1, 2 ,n ，则当 l k 时，有
• kl
d
0
（3.5.2）
证明： Fˆk kk
（3.5.3）
Fˆl ll
（3.5.4）
且当 l k 时，k ，l
（3.5.5）
因为 Fˆ 是厄米算符，本征值是实数，即 k •k
所以（3.5.3）的复共轭式为 (Fˆk )• kk•
nn llmm
4. 一维无限深势阱（宽为a）的能量的本征函数
n (x)
2 sin n x, n 1,2,(0 x a)
a 2a
组成正交归一系：
• n
x
n
xdx
nn
k k•l d l k•l d
(k l ) k•l d 0
因为 (k l ) 0 ，所以
（3.5.8）
k•l d 0
所以属于不同本征值的本征函数彼此正交。
无论 Fˆ 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理
及其证明都成立。
在 Fˆ 的本征值组成连续谱的情况下，假定 k 已归一
化，即