2022届高三一轮复习专题直线的方程答案

直线的倾斜角与斜率
二、例题讲解 例1（1）
答案：①22
230
5263321
m m m m m m ⎧--≠⎪
⇒=-⎨-=-⎪+-⎩
②222
210
423
3121
m m m m m m m ⎧+-≠⎪
⇒=⎨--=-⎪+-⎩ （2）答案：①由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为
x －8
＋y
4＝1， 即x －2y ＋8＝0.
由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0
－2－0，即x ＋y －4＝0.
②设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2
－4＋2，即2x －y ＋10＝0.
③AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)， ∴直线DM 方程为
2(4)
521(4)
y x ---=----，即x －y ＋6＝0. （3）答案：设直线方程：y =kx +b 将(x ,y )、(4x +2y ,x +3y )代入 y =kx +b, x +3y =k (4x +2y )+b
整理，得： 413232k b y x k k -=+
-- 413232k k k
b b k -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
解得：11,,02k k b =-==. 直线方程为：y x =- 或12
y x =
变式训练1
（1）答案：当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，则
a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1，∴a ＝0，即方程为x ＋y ＋2＝0， ∴a 的值为0或2.
（2）．答案:由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2.又∵l ∥l 1， ∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， ∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，
∴由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. （3）答案：①当m ≠1时，直线l 的方程是
y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1
m －1
(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.
②设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y
b ＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴4a －3
b ＝1.又∵|a |＝|b |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a －3b ＝1，a ＝±
b .解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧
a ＝7，
b ＝－7.
当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l 的方程为y ＝－3
4x . 综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－3
4x .
例2（1）答案：设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－4
3b ， ∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3.∴直线l 的方程为y ＝43x ±3. 变式训练2：
（1）答案：设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－c
2，令x ＝0，y ＝c ，所以12|(－c
2)·c |＝9，c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0.
（2）答案：D 令x ＝0，得y ＝1b ；令y ＝0，得x ＝1a ；S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1b ＝12|ab |.
（3）答案：设直线l : 1(2)(0)y k x k -=-<,则有A 1
(2,0)-、B (0,12)k -.
例3：答案：∵(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5，∴m (x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0. 则直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都通过直线x ＋2y －1＝0与x ＋y －5＝0的交点．
由方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝9，y ＝－4，即过(9，－4)． ∴直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5通过定点(9，－4)． 变式训练3 （1）答案：B （2）答案：C （3）答案：C
（3）答案：设P (2t ，t )，则|P A |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t －1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－18t ＋10.当t ＝910时，|P A |2＋|PB |2
取得最小值，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，910.
例5：
（1）答案：将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则(1)0
20a a -+>⎧⎨-≤⎩或
(1)0
20
a a -+=⎧⎨
-≤⎩解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1]. （2）答案：C 将直线化为斜截式方程为y ＝－A B x －C
B ，又A
C <0，BC <0，∴AB >0，
故－A B <0，－C B >0.
变式训练：
（1）答案：D 根据l 1的位置确定a ，b 的正负，从而再确定l 2的位置． （2）答案： B
（3）答案：D 把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得y ＝－a b x －c
b ， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧
－a b >0，
－c
b >0，即ab <0且b
c <0.
四、课后作业 1、答案：C 2、答案：A 3、答案：D
4、答案：B k AB ＝1－23－1＝－1
2，由k ·k AB ＝－1得k ＝2.
由中点坐标公式得x ＝1＋32＝2，y ＝2＋12＝3
2，
∴中点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，32. 由点斜式方程得y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.
5、答案：D
6、答案： B l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ，在A 选项中，由l 1的图像知a >0，b <0，判知l 2的图像不符合．在B 选项中，由l 1的图像知a >0，b <0，判知l 2的图像符合，在C 选项中，由l 1知a <0，b >0，∴－b <0，排除C ；在D 选项中，由l 1知a <0，b <0，由l 2知a >0，排除D.所以应选B.
7、答案：2x －5y －20＝0或2x ＋5y ＋20＝0
由题意,设所求直线为x a ＋y －4＝1，且1
2|4a |＝20，∴|a |＝10即a ＝10或－10，则其
方程为x 10－y 4＝1或x －10－y
4＝1，可化为2x －5y －20＝0或2x ＋5y ＋20＝0.
8、答案：(3,2) 9、答案：(－1,0)
10、答案：由x a ＋y b ＝1，化得y ＝－b
a x ＋
b ＝－2x ＋b ， 又可化得：bx ＋ay －ab ＝bx ＋ay －8＝0，则b
a ＝2，且a
b ＝8. 解得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4.
11、答案： 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 0－82，y 0＋22，
由条件可得：⎩⎪⎨⎪
⎧
2x 0－5y 0＋8＝0
x 0－82
＋2·y 0＋2
2－5＝0，
得⎩⎨⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎨⎧
x 0＝6
y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为
y －04－0＝x －5
6－5
，即4x －y －20＝0． 12、答案：因为直线l 1：a (x -2)=2(y -2), l 2：2(x -2)=-a 2(y -2),
所以两条直线都过点C(2,2),如图,设两条直线l 1, l 2的斜率分别为k 1,k 2,
则k 1= 2
a
∈(0,1), k 2= 2
2a
-
∈(-∞,12-). 因为直线l 1与y 轴交于点A(0,2-a ),直线l 2与x 轴交于点B(2+a 2,0),
所以S 四边形OACB =S △OAC +S △OCB =12(2-a )·2+12(2+a 2)·2=a 2-a +4=(a -12)2+15
4
.
所以当a =12时,四边形OACB 的面积最小,其最小值为15
4
.
13、答案：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1.则6
a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a
＝1，则直线方程是
x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1
＋y
1＝1,即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0. 14、答案：当n ＝2时，点A ，B 的横坐标相同，直线AB 垂直于x 轴，则直线AB 的方程为x ＝2；
当n ≠2时，过点A ，B 的直线的斜率是k ＝3－m
n －2，又∵过点A (2，m )，
∴由直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)， 得过点A ，B 的直线的方程是：y －m ＝
3－m
n －2
(x －2)． 15、答案：①设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧
m －12＝0，
n ＋3
2＝0，解得⎩⎨⎧
m ＝1，n ＝－3.
∴C 点的坐标为(1，－3)．
②由①知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (5
2，0)，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程为x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －1
2
16、答案：将B ，C 两点代入两点式，得
3
03
)3(2)3(--=----x y
整理，得：5x ＋3y －6＝0，这就是直线BC 的方程。

设BC 的中点为M （x ，y ），由中点坐标公式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=22
2121y y y x x x ，得
M （
)223,203+-+，即M （2
1
,23-） 中线AM 所在的直线方程为：52
35
0210++=
---x y ，整理，得：x ＋13y ＋5＝0。