圆的方程式

4-1 圓的方程式

重要例題：

例1.(1)圓心（2,-3），半徑為2之圓之方程式為何？

(2)求05262222=-+-+y x y x 的圓心及半徑？

(3)圓心為)2,1(-且過點)2,2(-的圓方程式？

類1. 求切兩軸且半徑3之圓方程式。

類2. 一圓與0122:22=-+-+y x y x C 同圓心，且面積為圓C 的二倍，求此圓方程式？

類3. 求以)5,12(-為圓心，且與圓8122=+y x 相切的圓方程式。 類4. 以(-2,1)為圓心且與543=-y x 相切之圓方程式為何？

Ans: 1. 9)3()3(22=±+±y x ，2. 6)1()1(22=++-y x ，3. 16)5()12(484)5()12(2222=++-=++-y x or y x ，4.

9)1()2(22=-++y x 。

例2.設)10,7(),2,1(B A ，則以AB 為直徑的圓方程式為？

類1. 自)2,1(P 向圓4)1()2(22=-++y x 作二切線，其切點為B A ,，則PAB ∆的外接圓方程式為？

Ans: 1. 0322=-++y x y x

例3.設(0,0)A 為圓9)2()1(22=-+-y x 內一點，求過A 所有弦之中點軌

跡的方程式。

類1. 已知(3,0)A 為圓8)2()1(22=-+-y x 上一點，求過A 所有弦中點的軌跡方程式？

Ans: 1. 032422=+--+y x y x ，除去)0,3(。

例4.求過點(5,1)與(3,-1)且圓心在022=+-y x 上之圓方程式。

類1. 設圓C 過)1,3(),1,5(B A ，且其圓心在直線032=-+y x 上，則此圓方程式為 。(84.自)

類2. 設一圓與直線01052,0652=+-=--y x y x 都相切，且圓心在直線022=+-y x 上，求此圓方程式 。(84.社)

類3. 設一圓半徑為5，若此圓通過原點，且圓心在直線:48L x y +=上，求此圓方程式。

Ans: 1. 413)21()4(22=++-y x ，2. 29

64)2()6(22=+++y x ，3. 22(3)(4)25x y -++=或221384()()251717

x y -

+-=。 例5.下列各方程式之圖形為何？(1)014222=-+-+y x y x

(2)054222=++-+y x y x 。

例6.(1) 022=+++++f ey dx cy bxy ax 表一圓之條件為何？

(2)設方程式0232)1(2222=-+--++m my x m y x 之圖形為一圓，試求：(1)m 之範圍。(2)圓半徑r 有最大值時，,m r 之值。

類1. 試由k 討論06222=+-++k y x y x 之圖形。

類2. 若

0714102)()23(222222=++-+-++++++-y x y xy x x y xy x b y xy x a 之圖形表一圓，則(1)=),(b a ，(2)半徑為 。

類3. 方程式x y +-125

y kx 0 114

=--x

y 表一圓，則圓半徑r = 。

類4. 下列各條件中，何者恰決定一個圓？(A)過兩點(-1,0),(0,0) (B)以(-1,0),(0,0)為直徑兩端點 (C) 過三點(1,0),(-1,0),(0,3) (D) 過四點 )0,2(,(1,1),(0,-2),(-1,1) (E) 過點(1,2)且與y x ,軸相切。

Ans: 1. (i)當10k 時，沒有圖形，2. (1)(1,4),(2)7

3，3. 3，4. (B)(C)(D)。

例7.(1)求過(0,1),(0,6),(3,0)三點之圓方程式。(2)求一最小圓之方程式

使其圓區域包含(1,5),(2,2),(5,1)A B C 三點。

類1. 三直線03,142,2=-=+=-y x y x y x 圍成一三角形，求(1)此三角形外心 ，(2)此三角形外接圓方程式為 。

Ans: 1. (1)(2,1),(2)0202422=---+y x y x 。

例8.ABC ∆的三邊分別在三條直線022=-+y x ，042=++y x ，

022=--y x ，則 (1)ABC ∆的內心為 。 (2)ABC ∆的內切圓的半徑為 。(3)ABC ∆的內切圓的方程式為 。

類1. 三直線01943=--y x 、021734=-+y x 與07=+x 圍成一個三角形，則此三角形之內切圓之方程式為 。

Ans: 1. 25)2(22=++y x 。

例9.設(3,2),(1,5)A B -，若點P 滿足PB PA 2=，求P 之軌跡及其圖形。

類1. 點P 與0143=-+y x 的距離，等於與點)3,1(的距離平方，試求點P 的軌跡方程式。

類2. 設)1,3(),5,2(B A -，則滿足3:2:=PB PA 的所有P 點的軌跡方程式為 。

類3. 定點)0,5(-A ,)0,5(B ,)6,3(C 若動點P 滿足1552

22=++PC PB PA ，則P 點軌跡方程式為何？

Ans: 1. 049267550513413552222=+--+=+--+y x y x or y x y x ，2. 022*********=+-++y x y x ，3. 25)2()1(22=-+-y x 。

例10.設(1,4),(3,2)A B -，若AB 為圓C 的一弦且距圓心為10，求圓C 的

方程式。