下料问题(含代码程序)

实用下料问题优化模型

摘要

关键字：

整数规划模型多目标决策优化NP问题下料方案分支定界法

1.问题的重述

“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。

现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<.

m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。

一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.就某企业考虑下面两个问题：

1． 建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48;要求不迟于6天完成的零件标号(i )为：4，11，24, 29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。(1).先考虑用材料既少,下料方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料最少的模型及增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%情况下的最佳方案。(2).在解决具体问题时,先制定4天的下料方案,再制定6天的下料方案,最后制定53种零件的下料方案. 这一提示对第2题也部分适用.)

表1 需求材料的数据 单位：mm

2． 建立二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数据见表二，其中 i i i n w l ,,分别为需求零件的长度、宽度和数量. 切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号(i )为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.

表2 需求材料的数据 单位：mm

2.问题的分析

本文要解决的是一个典型的多目标决策优化问题。一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率，故企业都希望尽可能地减少下料方式的数目。此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，在规定的时间需求内，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务，同时下料方式数也尽量地小。为顺利解决这一问题，我们先从最基本的单目标决策问题人手，以材料损耗最少为目标，由于个别零件的生产有时间的要求，因此，在下料时就应该优先生产那些有时间限制要求的零件，并且通过不同的数学原理建立多个单目标决策的最优化模型，得出最初的结果，并加以比较分析，然后逐步增加其约束条件，并根据这些约束条件进一步完善我们的最优化模型，求出在需求的时间段内下料方

式和损耗都最少的最优结果，紧接着再求出剩余板材下料方式和损耗的最优结果，从而最终得出既满足时间条件限制又满足损耗少、下料方式数小的最优结果。具体流程图如下：

图1 总体流程图

3.模型的假设

[1]. 假设每次切割都准确无误。

[2]. 每天下料的数量受到企业生产能力的限制，在未完成需求任务前，每天下料的

数量等于最大下料能力。

[3]. 模型一中每切得一个规格的零件需要()5i l mm +的原材料。 [4]. 除最后一天外，其余每天均达到最大下料能力。

[5]. 除了要求在规定时间内完成所需零件外，不要求其余零件加工排列顺序。 [6]. 模型二中，切割所引起的锯缝损耗忽略不计。

4.符号说明

5.一维下料问题

对于一维优化下料问题，属于整数规划问题，从计算复杂性理论分析，该问题属于NP难题,即无法在多项式时间(在计算复杂度理论中，指的是一个问题的计算时间m(n)不大于问题大小n的多项式倍数)内求解。虽然整数规划问题是NP难题，但是线性问题却是有有效算法的。所以要想求出下料方案的最优解，可以考虑不先求解整数规划问题而先来求解其相应的线性问题，然后用计算机程序进行求解。首先考虑在满足时间需求的情况下，材料总损失最少的情况，然后尽量使得总的下料方式数目最少，故这里要寻找到所有下料方式中利用率最高的方式，同时在满足生产力要求的情况下进行适当调整，采用尽可能少的下料方式，这样便可以得到一维下料问题的优化结果。

5.1模型一的建立

根据题意，现有数量充足的长度为3000mm的原材料，需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务。要求在生产能力许可的条件下，既省材料又容易操作(即下料方式尽可能少)，由于本文问题的特殊性，还需要考虑个别标号的零件在4天内