解直角三角形(方位角问题)

第五章 空间与图形

5.7 解直角三角形

【基础巩固】

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：2

22c b a =+。

逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足2

22c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 2、直角三角形的边角关系:锐角三角函数 （1）. 正弦．．：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边

的对边

A A ∠=

sin ;

（2）. 余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边

的邻边

A A ∠=

cos ;

（3）. 正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边

的对边

A A A ∠∠=

tan

（4）余切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边

的邻边

A A A ∠∠=

cot ;

（5）.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 在一个直角三角形中，若∠A 为锐角，则

①)90cos(sin A A ∠-︒=； )90sin(cos A A ∠-︒=

解直角三角形 勾股定理

锐角三角函数

考查内容

考查角度

方向角问题

楼的高度 旗杆高度 山的高度 坑的深度

图 1

图 3 图4 ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒= (6).特殊角的锐角三角函数值

3.仰角与俯角

当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角．．

4. 坡角

坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．

)。用字母i 表示， 即A l

h

i tan ==

5.方位角与方向角

从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．

。 如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．

。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西

60°。

6.解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有

(1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2

；

(2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：

0º 30 º

45 º 60 º 90 º sin α 0 2

1 2

2 2

3 1 cos α 1 23 2

2 2

1 0 tan α 0 3

3 1 3

— cot α

—

3

1

3

3 0

h

i=h:l

l

B

C

;cot ,

tan ,

cos ,

sin a b

A b a

A c b

A c a

A ====

;cot ,

tan ,

cos ,

sin b

a

B a b

B c a

B c b

B ====

(4)面积公式:chc ab 2

1

21S ==

∆(hc 为C 边上的高);

【答题技巧】

解直角三角形解题步骤：构造直角三角形——找到已知元素——利用勾股定理和三角函数求出未知元素

解直角三角形必须注意：（1）必须以直角三角形为前提；（2）利用好两锐角互余。

【直击中考】 1、方向角问题

例1. ★★★ (08河北22．9)气象台发布的卫星云图显示，代号为W 的台风在某海岛（设为点O ）的南偏东45方向的B 点生成，测得1006km OB =．台风中心从点B 以40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处．因受气旋影响，台风中心从点C 开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动．以O 为原点建立如图12所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B 的坐标为 ，台风中心转折点C 的坐标为 ；（结果保留根号）

（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A ）位于点O 的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？

【分析】

（1）根据OB 的方向角和OB 的长度确定B 点到X 轴、Y 轴的距离，即为B 点坐标；根据运动过程得出BC 长度，进而求出C 点坐标； （2）台风从生成到最初．．侵袭该城即为台风到A 点为20km ，解直角三角形计算出AC 长度进而找到C 点到最初侵袭的距离，此距离与台风速度的比即为所用时间。

点评：此题是解直角三角形的典型题目，台风背景下的方向角问题，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．

x /km

y /km

北

A

O B C 60

45

图12