第八章多元函数微分学

第八章 多元函数微分学
§8.1 多元函数的基本概念
一、
填空题：
1． 设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.
2． 函数_______________________________.
3． 函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4． 函数f (x, y)= 221
sin()x y +的间断点___________________________.
5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。

（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）
二、 求下列函数的极限：
1．
(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →
3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy
+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xy
x y x y x y e →-++
5
．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim
()sin cos x y x y x y →+ 0
三、 证明下列极限不存在：
1．2
(,)(0,)lim x y x y x →- 0
2．(,)(0,)lim x y xy
x y →+ 0
四、 函数f(x, y)= 24242
420)00x y
x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （
（
） 在（0，0）点连续吗？
§8.2 偏导数
一、 选择题：
1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。

(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。

2．设z= f (x ,y)，则
00(,)z x y x
∂∂=（ ）。

(A) 00000(,)(,)lim x f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆； (B) 00000(,)(,)lim x f x x y f x y x
∆→+∆-∆; (C) 0000(,)(,)lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆ ； (D) 00(,)lim x f x x y x ∆→+∆∆。

3． z =，则z z x y x y
∂∂+∂∂=（ ）。

(A)
12； (B) 1 ； (C) 13
； (D) 2。

二、 求下列函数所有的偏导数: 1．sin()xy z e
= 2．(1)x z xy =+
3．yz u x = 4．arctan
1x y z xy
+=-
三、
设(,)(
f x y x y
=+-，则计算)1,
(x
f
x
，)
,0(y
f
y。

四、求下列函数所有的二阶偏导数:
1．Z=xy+cos(x-2y)
2．Z=arctan y x
五、
求曲线
1
z
x
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
1，1
y轴正向所成的角度。

六、 求424242000y x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩
2x z= 在点（0,0）的一阶偏导数。

七、 已知：22()y z f x y =-，其中，f(u)为可导函数，证明：2
11z z z x x y y y ∂∂+=∂∂。

§8.3 全微分
一、 选择题：
二元函数Z=f (x, y)在00(,)x y 处满足关系（ ）
(A) 可微（指全微分存在）⇔可导（指偏导数存在）⇒连续；
(B) 可微⇒可导⇒连续；
(C) 可微⇒可导，或可微⇒连续，但可导不一定连续；
(D) 可微⇒连续，但可微不一定可导。

二、
求下列函数的全微分：
１．z ＝ln(arctan )y x ； 2. 22x y t x z e dt +=⎰；
3.
u = sin 2(x-y )xz -；
三、
求ｕ＝222
ln()x y z ++在（１，２，０）处的全微分。

四*、 利用全微分计算 2.021.04
的近似值。

§8.4 多元复合函数的求导法则
一、 填空题；
1. Z=sin(x-y), x=3t, y= t e ,则
dz dt =______________________. 2. 设arctan()z xy =, y= x e ,则
dz dx =___________________, dz dy =_________________.
3. 设xy z e =，x =arctan u y v =，z u ∂∂=___________, z v
∂∂=___________. 4. 设22z u v w =-+,u= x+y, v= 2x , w =xy, dz=______________________________.
二、 求下列函数对所有自变量的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）。

1. z=22u v uv -, u = x cos y , v =x sin y .
2．)z f y =-；
3．2(,,sin )u f x xy xy z =；
4． ()w f x xy xyz =++；
三、 求下列函数的偏导数（其中f 具有二阶连续偏导数）:
1．22(sin ,)x z f e y x y =+,求2z x y
∂∂∂；
2．3
(,)y z x f xy x =，求22z y ∂∂，2z x y ∂∂∂；
3．1()()z f xy y x y x
φ=++，求2z x y ∂∂∂。

四、
(sin ,cos ,)x y z f x y e +=，f 具有二阶连续偏导数，求22z x
∂∂，2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂。

§8.5 隐函数求导公式
一、 用两种方法对隐函数求导（直接代入公式法、采用等式两边求导法）:
1．sin y +x e -2xy =0, 求
dy dx 。

2．xy e
--2z +z e -=0, 求z x ∂∂，z y
∂∂。

二、
设ln 1z x y z =++-,求z x ∂∂，z y ∂∂，2z x y ∂∂∂。

三、
设由方程式F( x-y ,y-z ,z-x )=0确定函数z= z (x, y),求z x ∂∂，z y ∂∂。

四、 求由方程组所确定的函数的导数或偏导数:
1．220x y z x y z +=⎧⎨++=⎩，求dy dx ，dz dx 。

2．222200
x y uv xy u v ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，求u x ∂∂，v x ∂∂;,u v y y ∂∂∂∂。

五、
设u=f (x, y, z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y (x)及z =z (x)分别由下列两式确定，2xy e xy -=和0sin x z
x t e dt t -=⎰，求du dx 。

六、
证明：设(,)0x az y bz ϕ--=，则1z z a b x y
∂∂+=∂∂。

§8.6 多元函数微分学的几何应用
一、 填空：曲线τ：x=2sin a t ,y =bsintcost, z =2cos c t 对应于t= 4
π的点处的切线的一个切向量为____________,该点处的法平面的一个法向量为________________。

二、
求曲线2y x z x ⎧=⎨=⎩在点（1，1，1）处的切线和法平面方程。

三、
求曲线221
2x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩在点2)处的切线和法平面方程。

四、
求曲面∑：arctan x z y =在点M(1,1, 4π)处的切平面和法线方程。

五、
求曲面∑：230z z e xy -+-=在点M(1,2, 0)处的切平面和法线方程。

六、 证明：曲面()y z xf x
=上任意点M 000(,,)x y z 处的切平面都通过坐标原点。

（0x ≠）
七、
确定b,使曲线τ：3212
1,,t z t y t x =-== 的切线与平面π：4x by z ++=垂直。

§8.7 方向导数与梯度
一、 填空题：
1. 函数u =22x xy y -+在点（-1，1）沿方向e }
的方向导数_________. 2. 函数u=xyz 在A （5，1，2）点处沿A 点指向B （9，4，14）点方向的方向导数
__________.
3. 函数在（1，2，0）处的梯度为_________________.
4. 若z= f (x, y)在0M (x ,y)处有连续偏导数，则
0()f M l
∂∂沿__________方向取得最大值，最大值为_______________. 二、
计算: 1.
求函数u=222x y z ++从点A(2,1,1)沿L 方向的导数，其中L 与各坐标轴正向成等角。

2. 函数f (x, y)= 221(2)x y -+在点p 1)
2
处沿曲线2221x y +=在该点的内法线方向的方向导数。

§8.8 多元函数的极值及其求法
一、 函数3322
(,)3()f x y x y x y =+-+的极值。

二、 欲建一条围墙，围出一块10000平方米的矩形场地，已知围墙临街一面的造价是每米1150元，围墙另外三面造价是每米450元，为了使围墙造价最低，围墙各边长应为多少米？
三、
把一正数a 分成三个正数之和，使以它们为边长的立方体的体积最大。

四、 已知椭球面222
2221x y z a b c
++=（a,b,c>0），试在第一卦限内求作该曲面的一个切平面，使得切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小，并求四面体的体积。

五、 抛物面22
z x y =+被平面1x y z ++=截得一椭圆，求这椭圆到坐标原点的最长、最短距离。

第八章自测题
一、 填空题：
1．(,)(0,)lim cos sin x y
x y e e x y
→++ 0=_______________。

2．U=x y
e 的全微分为__________________________________________。

3．函数3333u x y z xyz =++-的梯度在_____________________点处垂直与z 轴。

4．曲线22
44x y z ⎧+⎪=⎨⎪⎩
在点（2，4，5）处的切线与横轴的正向所成的角度为__________。

5．当a 〉0时，曲线22222242x y z a x y ax
⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在M 处的切线方程为____________________， 法平面方程为______ _______________。

二、 选择题：
１． 考虑二元函数f(x ,y)的下面4条性质：
① f(x ,y)在点00(,)x y 处连续；
② f(x ,y)在点00(,)x y 处的两个偏导数连续；
③ f(x ,y)在点00(,)x y 处可微；
④ f(x ,y)在点00(,)x y 处的两个偏导数存在；则有
(A) ②⇒③⇒①； (B) ③⇒②⇒①；
(C) ③⇒④⇒①； (D) ③⇒①⇒④。

２． 设函数f(x ,y)在点（0 ，0）附近有定义，且'x f (0 ,0)= 4，'y f (0 ,0)=2，则（ ） (A) (0,0)42dz dx dy =+；
(B) 曲面(,)z f x y =在点（0，0，f(0, 0)）的法向量{4，2，1}；
(C) 曲线(,)0
z f x y y =⎧⎨=⎩在点 （0，0，f(0, 0)）的切向量为{2，0，4}；
(D) 曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩
在点 （0，0，f(0, 0)）的切向量为{4，0，2}。

３． 设'
x 00f (,)x y ='y 00f (,)x y =0，则00(,)x y 一定为f(x ,y)的（ ）。

(A) 驻点； (B) 极大值点； (C) 极小值点； (D) 连续点。

三、 设222222221()sin 0)(,)00)
x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ( (，求'x f (0,0)，'y f (0,0)。

四、 设ln()u x xy =，求32u
x y ∂∂∂。

五、 设2z uv =，u=sin x e y , v=22x y +,求z
x ∂∂，z
y ∂∂。

六、 设z=f (u , x ,y ), f 具有二阶连续偏导数，u=x y
e , 求2z x y ∂∂∂。

七、 u
u e xy +=,求2u x y ∂∂∂。

八、 求曲面222
1x y z ++=上平行于平面x-y+2z =0的切平面方程。

九、 设n 为222
236x y z ++=在点p(1, 1, 1)处指向外侧的法向量，求u 在点p 沿方向n 的方向导数。

十、 求椭圆2225160x xy y y ++-=到直线x+y -8=0的最短距离。