第八章多元函数微分学

第八章 多元函数微分学

§8.1 多元函数的基本概念

一、

填空题：

1． 设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.

2． 函数_______________________________.

3． 函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4． 函数f (x, y)= 221

sin()x y +的间断点___________________________.

5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）

二、 求下列函数的极限：

1．

(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →

3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy

+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xy

x y x y x y e →-++

5

．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim

()sin cos x y x y x y →+ 0

三、 证明下列极限不存在：

1．2

(,)(0,)lim x y x y x →- 0

2．(,)(0,)lim x y xy

x y →+ 0

四、 函数f(x, y)= 24242

420)00x y

x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （

（

） 在（0，0）点连续吗？

§8.2 偏导数

一、 选择题：

1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。

(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。

2．设z= f (x ,y)，则

00(,)z x y x

∂∂=（ ）。 (A) 00000(,)(,)lim x f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆； (B) 00000(,)(,)lim x f x x y f x y x

∆→+∆-∆; (C) 0000(,)(,)lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆ ； (D) 00(,)lim x f x x y x ∆→+∆∆。

3． z =，则z z x y x y

∂∂+∂∂=（ ）。 (A)

12； (B) 1 ； (C) 13

； (D) 2。 二、 求下列函数所有的偏导数: 1．sin()xy z e

= 2．(1)x z xy =+

3．yz u x = 4．arctan

1x y z xy

+=-

三、

设(,)(

f x y x y

=+-，则计算)1,

(x

f

x

，)

,0(y

f

y

。

四、求下列函数所有的二阶偏导数:

1．Z=xy+cos(x-2y)

2．Z=arctan y x

五、

求曲线

1

z

x

⎧=

⎪

⎨

=

⎪⎩

1，1

y轴正向所成的角度。

六、 求424242000y x y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩

2x z= 在点（0,0）的一阶偏导数。

七、 已知：22()y z f x y =-，其中，f(u)为可导函数，证明：2

11z z z x x y y y ∂∂+=∂∂。

§8.3 全微分

一、 选择题：

二元函数Z=f (x, y)在00(,)x y 处满足关系（ ）

(A) 可微（指全微分存在）⇔可导（指偏导数存在）⇒连续；

(B) 可微⇒可导⇒连续；

(C) 可微⇒可导，或可微⇒连续，但可导不一定连续；

(D) 可微⇒连续，但可微不一定可导。

二、

求下列函数的全微分：

１．z ＝ln(arctan )y x ； 2. 22x y t x z e dt +=⎰；

3.

u = sin 2(x-y )xz -；

三、

求ｕ＝222

ln()x y z ++在（１，２，０）处的全微分。

四*、 利用全微分计算 2.021.04

的近似值。

§8.4 多元复合函数的求导法则

一、 填空题；

1. Z=sin(x-y), x=3t, y= t e ,则

dz dt =______________________. 2. 设arctan()z xy =, y= x e ,则

dz dx =___________________, dz dy =_________________.

3. 设xy z e =，x =arctan u y v =，z u ∂∂=___________, z v

∂∂=___________. 4. 设22z u v w =-+,u= x+y, v= 2x , w =xy, dz=______________________________.

二、 求下列函数对所有自变量的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）。

1. z=22u v uv -, u = x cos y , v =x sin y .