初中数学抛物线练习题(含答案)

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初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6(附答案)

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题6（附答案）1．发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y=ax 2+bx ，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒2．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y (单位：m )与水平距离x (单位：m )近似满足函数关系2y ax bx c =++(a≠0)．下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（） x (单位：m) 024y (单位：m) 2.253.453.05 A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m3．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为2(0)y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（） A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒4．在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高()ym 与水平距离()x m 之间的函数关系式为20.2 1.6 1.8y x x =-++，则此运动员的成绩是（） A ．10mB ．4mC ．5mD ．9m5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式：h ＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( ) A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米6．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（）A ．h=﹣316t 2B ．y=﹣316t 2+t C ．h=﹣18t 2+t+1 D ．h=-13t 2+2t+1 7．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-112(x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（）A ．3mB ．4mC ．8mD ．10m8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y(米)与小球运动的时间x(秒)之间的关系式为()2y ax bx c a 0.=++≠若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是( ) A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒9．如图所示的是跳水运动员10m 跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m 高A 处的跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M 离墙1m ，离水面403m ，则运动员落水点B 离墙的距离OB 是（）A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m10．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h ＝﹣5t 2+v 0t 表示，其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间，v 0（m /s ）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m ，那么足球被踢出时的速度应该达到（） A ．5m /sB ．10m /sC ．20m /sD ．40m /s11．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =-++，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为__________s ． 12．小明推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为y=﹣21(4)12x -+3，则小明推铅球的成绩是 m ．13．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的距离是______．此时铅球行进高度是______．14．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：h ＝vt ﹣12gt 2，其中h 是上升高度，v 是初速，g 是重力加速度（为方便起见，本题目中g 取10m /s 2），t 是抛出后所经历的时间．如果将物体以v ＝25m /s 的速度向上抛，当t ＝_____s 时，物体上升到距离最高点11.25m 处？15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球的运动时间t （秒）之间的关系式是()230506h t tt =-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同.16．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为_____．17．足球从地面踢出后，在空中飞行时离地面的高度()h m 与运动时间()t s 的关系可近似地表示为29.8h t t =-+，则该足球在空中飞行的时间为__________s ．18．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的关系式是h ＝30t ﹣5t 2，小球运动中的最大高度是_____米． 19．校运会上，一名男生推铅球，出手点A 距地面53m ，出手后的运动路线是抛物线，当铅球运行的水平距离是4m 时，达到最大高度3m ，那么该名男生推铅球的成绩是_____m ．20．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为________.21．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．22．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间近似满足函数关系20)y ax x c a =++≠（（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．23．在某场足球比赛中，球员甲在球门正前方点O 处起脚射门，在不受阻挡的情况下，足球沿如图所示的抛物线飞向球门中心线，当足球飞行的水平距离为2 m 时，高度为5m 3，落地点A 距O 点12 m ．已知点O 距球门9 m ，球门的横梁高为2.44 m ．（1）飞行的足球能否射入球门？通过计算说明理由；（2）若守门员乙站在球门正前方2 m 处，他跳起时能摸到的最大高度为2.52 m ，他能阻止此次射门吗？并写明理由．24．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是2305h t t =-(06t ≤≤)．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？25．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m 处跳起投篮，球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足解析式2y ax x c =++，当球运行的水平距离为1．5m 时，球离地面高度为3．3m ，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为3．05m ．（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1．8m ，这次跳投时，球在他头顶上方0．25m 处出手，问球出手时，他跳离地面多高？26．如图所示，以40/m s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有关系式.2205h t t =-(0)t ≥解答以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m ?如能，需要飞行多少时间？（2）球飞行到最高点时的高度是多少m ？27．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m 时，达到最大高度10m ．（1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式．（2）当球的高度为509m 时，球离抛出地的水平距离是多少？28．某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图中所建坐标系，求出抛物线的表达式．29．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y(m)与它的飞行时间x(s)满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示：x(s) 0 0.5 1 1.5 2 …y(m) 0 8.75 15 18.75 20 …(Ⅰ)求y关于x的函数解析式(不要求写x的取值范围)；(Ⅱ)问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由.30．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．t（s）0 0.5 1 1.5 2 …h（m）0 8.75 15 18.75 20 …（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．参考答案1．B 【解析】【分析】根据题意，x=7时与x=14时y 值相等，因此得出关于a 与b 的关系式，最后代入到2bx a=-中求出x 的值进一步判断即可. 【详解】由题意得：当x=7时，y=49a +7b ，当x=14时，y=196a +14b ， ∵高度相等， ∴49a +7b=196a +14b ， ∴b=-21a ，∵抛物线对称轴为：2b x a=-，即：10.5x =，根据抛物线的对称性以及开口方向， ∴当10.5x =时，y 最大， ∵10与10.5相差最小， ∴四个选项中，第10秒最高，故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．C 【解析】【分析】用待定系数法可求二次函数的表达式，从而可得出答案. 【详解】将(0,2.25),(2,3.45),(4,3.05)代入2y ax bx c =++中得2.25423.45164 3.05c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 2.250.21c a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴220.2 2.250.25( 2.5) 3.5y xx x =-++=--+∵0.250-< ∴当 2.5x =时，max 3.5y =故选C 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 3．C 【解析】【分析】根据二次函数图像的对称性，求出对称轴，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴为：61711.52x +==秒， ∵第12秒距离对称轴最近，∴上述时间中，第12秒时炮弹高度最高；故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质和对称性，解题的关键是掌握二次函数的对称性进行解题. 4．D 【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y ＝0，把实际问题可理解为当y ＝0时，即20.2 1.6 1.80y x x =-++=，求x 的值即可．在实际问题中，注意负值舍去．【详解】解：由题意知，当y ＝0时，20.2 1.6 1.80x x -++=，整理，得：2890x x --=，解得：1219x x =-=，，由于负值不符合题意，故该运动员的成绩是9m ，故答案选：D ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y ＝0，测量运动员成绩，也就是求x 的值，借助二次函数解决实际问题． 5．C 【解析】试题解析：∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=-5（t-1）2+6， ∴当t=1时，小球距离地面高度最大， ∴h=-5×（1-1）2+6=6米，故选C ．考点：二次函数的应用． 6．C 【解析】【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是(4,3)，把抛物线经过的点(0,1)，代入二次函数的顶点坐标式列出方程，解出系数则可. 【详解】根据题意，设二次函数的表达式为()243h a t =-+，抛物线过(0,1)，即代入二次函数解得18a =-，这个二次函数的表达式为()221143188h t t t =--+=-++，故C 选项是正确答案. 【点睛】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，掌握方程的解法等知识是解决本题的关键. 7．D【解析】【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x 的值即可得到成绩. 【详解】由题意得，当y=0时，21(4)3=012--+x ，解得：110x =，22x =-（舍去）故选D. 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解当铅球高度为0时，x 的值即为铅球飞行的距离，是解决本题的关键. 8．B 【解析】【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，即可解答本题．【详解】由题意可得：当x 7142+==10.5时，y 取得最大值． ∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y 值越大，∴ t =10时，y 取得最大值．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．B 【解析】【分析】由题意可得到抛物线的顶点坐标（1，403），因此可设抛物线顶点式()24013=-+y a x ，抛物线与y 轴的交点为A （0,10），代入顶点式可求出抛物线，再求出抛物线与x 轴的交点，即可求出OB.解：由题意，设抛物线解析式为()24013=-+y a x ，代入A （0,10）得， 10=()240013-+a ，解得10=3-a ，所以抛物线解析式为()21040133=--+y x ，当y=0时，()210401=033--+x ，解得1=1-x ，2=3x .因为B 点在x 轴正半轴，故B 点坐标为（3,0）所以OB=3，选B.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，并运用抛物线的性质解决实际问题，根据题意设出合适的解析式是解题的关键.10．C【解析】【分析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v 0．【详解】解：h=-5t 2+v 0•t ，其对称轴为t=010V ，当t=010V 时，h 最大=-5×（010V ）2+v 0•010V =20，解得：v 0=20，v 0=-20（不合题意舍去），故选C ．【点睛】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-010V 时h 将取到最大值． 11．4根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t=1205-⨯-=4s ，故答案为4．12．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：令函数式y=﹣21(4)12x -+3中，y=0， 0=﹣21(4)12x -+3，解得x 1=10，x 2=﹣2（舍去）．即铅球推出的距离是10m ．故答案为10．考点：二次函数的应用．13．10m 0m【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】解：令函数式21251233y x x =-++中，y=0，即212501233x x -++=，解得x 1=10，x 2=−2(舍去)，即铅球推出的距离是10m,此时铅球行进高度是0m.故答案为10m;0m.．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意取函数值为0，进而得出自变量的值是解题关键．14．0.5或4.5 【解析】【分析】根据关系式：h＝vt﹣12gt2，列出一元二次方程求解．【详解】解：根据题意，可得出的方程为：11.25＝25t﹣5t2，∴t2﹣5t+2.25＝0．解得：t1＝0.5，t2＝4.5．故答案为：0.5或4.5．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，根据所给关系式直接代入数据，解方程即可，此题属于基础题目，易于掌握．15．2.5【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到第二个小球抛出多少秒时，两个小球在空中的高度相同．【详解】解：∵h=30t-5t2=-5（t-3）2+45，∴该函数的对称轴是直线t=3，∵抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球，两个小球在空中的高度相同，∴第二个小球抛出3-0.5=2.5秒时，两个小球在空中的高度相同，故答案为：2.5．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．y＝-132（x﹣4）2+3【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可求出抛物线的解析式．解：根据题意，得设抛物线对应的函数式为y ＝a （x ﹣4）2+3把点（0，52）代入得： 16a+3＝52解得a ＝﹣132， ∴抛物线对应的函数式为y ＝﹣132（x ﹣4）2+3 故答案为：y ＝﹣132（x ﹣4）2+3．【点睛】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，同时还考查了方程的解法等知识，难度不大．17．9.8【解析】【分析】求当t=0时函数值，即与x 轴的两个交点，两个交点之间的距离即足球在空中飞行的时间.【详解】解：当t=0时，29.80t t -+=(9.8)0t t --=解得：120;9.8t t ==∴足球在空中的飞行时间为9.8s故答案为：9.8【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想球解题，求抛物线与x 轴的交点是本题的解题关键18．45【解析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h ＝30t ﹣5t 2的顶点坐标即可．【详解】解：h ＝﹣5t 2+30t＝﹣5（t 2﹣6t +9）+45＝﹣5（t ﹣3）2+45，∵a ＝﹣5＜0，∴图象的开口向下，有最大值，当t ＝3时，h 最大值＝45．故答案为：45．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．19．10【解析】【分析】把（0，53）代入y=a （x-4）2+3，求出a 的值即可，再求出抛物线与x 轴的交点即可解决问题；【详解】设二次函数的解析式为y=a （x-4）2+3，把（0，53）代入y=a （x-4）2+3，解得，a=-112，则二次函数的解析式为：y=-112（x-4）2+3=-22531312x x ++；令y=0得到：-22531312x x ++=0，解得，x 1=-2（舍去），x 2=10，则铅球推出的距离为10m ．故答案为10．【点睛】此题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．20．4s【解析】【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．【详解】解：252012h t t =++ =52-（t-4）2+41， ∵52-＜0， ∴这个二次函数图象开口向下，∴当t=4时，升到最高点，∴从点火升空到引爆需要的时间为4s ．故答案为：4s ．【点睛】本题考查了二次函数解析式的相互转化，以及二次函数的性质，二次函数的表达式有三种形式，一般式，顶点式，交点式．要求最高（低）点，或者最大（小）值，需要先写成顶点式．烟花厂为国庆70周年庆祝晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=t2+20t+1252012h t t =++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为21．（1）y ＝﹣112（x ﹣4）2+3；（2）能射中球门．【解析】【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当x ＝0时，抛物线的函数值，与2.44米进行比较即可判断．【详解】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y ＝a （x ﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3＝0，解得a ＝-112，则抛物线是y ＝﹣112（x ﹣4）2+3；（2）当x ＝0时，y ＝-112×16+3＝3﹣43＝53＜2.44米．故能射中球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是关键．22．（1）213.22y x x =-++（2）水流喷出的最大高度为2米【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定系数法解题,（2）求出顶点坐标即可.【详解】解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0）， 1.5930c a c =⎧⎨⨯++=⎩解得：a=-0.5,c=1.5,即函数表达式为y=21322x x -++. （2）解：221311+2.222y x x x =-++=--（） ∴当x=1时，y 取得最大值，此时y=2.答：水流喷出的最大高度为2米．本题考查了二次函数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.23．（1）能射入球门．理由见解析；（2）不能阻止．理由见解析.【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠，将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解析式，再将9x =代入即可判断；（2）根据“守门员乙站在球门正前方2m 处”可知此时x=7，将其代入解析式即可判断.【详解】解：（1）能射入球门.设抛物线解析式为()20y ax bx c a =++≠ 将()5212,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入求解可得：抛物线解析式为2112y x x =-+ 当9x =时，2712y =- ∵27 2.4412<， ∴能射入球门．（2）不能阻止．∵守门员乙站在球门正前方2 m 处，∴7x =当7x =时，3512y =∵35 2.5212>， ∴不能阻止．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，能够求出抛物线解析式是解题的关键. 24．小球运动3秒时，最大高度是45m ．【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.【详解】2305h t t =-25(3)45t =--+06t ≤≤∴当3t =时，h 最大45=．答：小球运动3秒时，小球最高，最大高度是45m ．【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握，即可解题.25．（1）当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）球出手时，他跳离地面0.2m ．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）令0x =时，则 2.25y =，进而即可求出答案．【详解】（1）依题意得：抛物线2y ax x c =++经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，∴221.5 1.5 3.344 3.05a c a c ⎧⨯++=⎨⨯++=⎩，解得：0.22.25a c =-⎧⎨=⎩， ∴220.2 2.250.2( 2.5) 3.5y x x x =-++=--+，∴当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）∵0x =时， 2.25y =，∴2.250.25 1.80.2--=m ，即球出手时，他跳离地面0.2m ．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．26．（1）能，1或3；（2）20m【解析】【分析】（1）当h=15米时，15=20t-5t 2，解方程即可解答；（2）求出当2205h t t =-的最大值即可.【详解】解；（1）解方程：215205t t =-2430t t -+=，解得：121,3t t ==，需要飞行1s 或3s ；（2）222055(t 2)20h t t =-=--+，当2t =时，h 取最大值20，∴球飞行的最大高度是20m .【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键． 27．（1）球被抛出60m ，该抛物线的解析式为y ＝﹣190x 2+23x ；（2）球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【解析】【分析】（1）根据已知条件设抛物线顶点式解析式即可求解；（2）根据（1）中求得的解析式，把球的高度为509m 代入，即可求出球离抛出地的水平距离．【详解】解：（1）根据题意，得设抛物线的解析式为2(30)10y a x =-+，把(0,0)代入得190a =-．所以抛物线解析式为22112(30)1090903y x x x =--+=+．当0y =时，10x =，260x =．或者：因为抛物线对称轴为30x =，所以抛物线与x 轴的交点为(0,0)，(60,0)答：球被抛出60m ．该抛物线的解析式为212903y x x =-+．（2）当509y =时，2501(30)10990x =--+，解得150x =，210x =．答：球离抛出地的水平距离是10m 或50m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，要恰当地把实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决问题．28．y = -0.4x 2+4【解析】【分析】根据题意设抛物线的表达式为y=ax 2+4 (0a ≠)，代入（-2,2.4），即可求出a ．【详解】解：设y=ax 2+4 (0a ≠)∵ 图象经过（-2,2.4）∴ 4a+4=2.4a= -0.4∴ 表达式为y= -0.4x 2+4【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型.29．(Ⅰ) y ＝﹣5x 2+20x ；(Ⅱ)小球的飞行高度不能达到22m ，理由见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝ax 2+bx(a≠0)，然后再根据表格代入x ＝1时，y ＝15；x ＝2时，y ＝20可得关于a 、b 的方程组，再解即可得到a 、b 的值，进而可得函数解析式； (Ⅱ)把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案.【详解】(Ⅰ)∵x＝0时，y＝0，∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx(a≠0)，∵x＝1时，y＝15；x＝2时，y＝20，∴15 4220 a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得520ab=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x2+20x；(Ⅱ)由(Ⅰ)得：y＝﹣5x2+20x＝﹣5(x﹣2)2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.30．（1）h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m．【解析】【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【详解】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴a15{4220ba b+=+=，解得5 {20ab=-=，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．。

【初中数学】人教版九年级上册第4课时抛物线型类问题(练习题)

人教版九年级上册第4课时抛物线型类问题(353) 1.如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度OM为18米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD−DC−CB，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？2.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图①)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②)，求抛物线的函数解析式；(2)求支柱EF的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由3.有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m．(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)在正常水位的基础上，当水位上升ℎ(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，写出ℎ关于d的函数解析式；(3)设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，则水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线，它们关于y轴对称．AB//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A.y=14(x+3)2 B.y=−14(x+3)2C.y=14(x−3)2 D.y=−14(x−3)25.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=−1400(x−80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴．若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（）A.16940米 B.174米 C.16740米 D.154米6.如图,一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触到绳子，则绳子最低点到地面的距离为（）A.0.16米B.0.2米C.0.4米D.0.64米7.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50mB.100mC.160mD.200m8.设计师以y=2x2−4x+8的图象为灵感设计杯子如图所示．若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（）A.17B.11C.8D.79.如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为34m，到墙边OA的距离分别为12m，32m．(1)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；(2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？10.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米(即MO=6米)，小孔顶点N距水面4.5米(即NC=4.5米)．当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．11.某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−110x2+c，且过顶点C(0，5)(长度单位：m)．(1)直接写出c=；(2)该隧道为双车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，则这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由；(3)为了车辆安全快速通过隧道，对该隧道加固维修．维修时需搭建的“脚手架”为矩形EFGH．使点H，G在抛物线上，点E，F在地面AB上．施工队最多需要筹备多少材料(即求出“脚手架”三根木杆HE，HG，GF的长度之和的最大值)？12.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时角坐标系，其函数解析式为y=−125水面宽度AB为（）A.−20mB.10mC.20mD.−10m参考答案1(1)【答案】解：由题意可得M(18，0)，P(9，9).(2)【答案】设抛物线的解析式为y =a(x −9)2+9.∵抛物线y =a(x −9)2+9经过点(0，0)，∴0=a(0−9)2+9，即a =−19，∴抛物线的解析式为y =−19(x −9)2+9，即y =−19x 2+2x .(3)【答案】设A(m ，0)，则B(18−m ，0)，C (18−m ，−19m 2+2m)，D (m ，−19m 2+2m)．则“支撑架”总长AD +DC +CB=(−19m 2+2m)+(18−2m)+(−19m 2+2m) =−29m 2+2m +18=−29(m −4.5)2+22.5，∴当m =4.5时，AD +DC +CB 有最大值，为22.5，即这个“支撑架”总长的最大值为22.5米.2(1)【答案】解：根据题目条件，点A ，B ，C 的坐标分别是(−10,0),(10,0),(0,6)．设抛物线的函数解析式为y =ax 2+c ，将B ，C 两点的坐标代入y =ax 2+c ，得 {0=100a +c,6=c,解得a =−350,c =6.所以抛物线的函数解析式是y =−350x 2+6.(2)【答案】可设F(5,y F )，于是y F =−350×52+6=4.5.从而支柱EF的长度是10−4.5=5.5(m)(3)【答案】能．理由：如图，设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则点G的坐标是(7,0)．过点G作GH⊥AB交抛物线于点H，则y H=−350×72+6=3.06>3.根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车．3(1)【答案】解：设抛物线的解析式为y=ax2，代入点(10，−4)，得−4=100a，解得a=−125，因此抛物线的解析式为y=−125x2(2)【答案】把点(d2，−4+ℎ)代入函数解析式y=−125x2，得ℎ=4−1100d2(3)【答案】把x=9代入y=−125x2中，得y=−125×92=−8125(m)，∴4+2−8125=6925(m)．答：当水深超过6925m时就会影响过往船只在桥下顺利航行4.【答案】:C5.【答案】:B【解析】:∵OA=10米，∴x C=−10，把x C=−10代入y=−1400(x−80)2+16，得y C=−174，所以AC=｜y C｜=174米6.【答案】:B【解析】:以抛物线的对称轴为纵轴，以地平面所在的直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图．设二次函数的解析式为y =ax 2+c ．∵点D(−0.4，0.7)，B(0.8，2.2)在抛物线上，∴{0.16a +c =0.7，0.64a +c =2.2，∴{a =258，c =0.2，∴绳子最低点到地面的距离为0.2米．7.【答案】:C【解析】:建立如图所示的平面直角坐标系．由题意得B(0，0.5)，C(1，0)．设抛物线的解析式为y =ax 2+c ，代入点B ，C 的坐标可解得a =−12，c =12， ∴抛物线的解析式为y =−12x 2+12．当x =0.2时，y =0.48；当x =0.6时，y =0.32，∴B 1C 1+B 2C 2+B 3C 3+B 4C 4=2×(0.48+0.32)=1.6(m )，∴所需不锈钢支柱的总长度至少为1.6×100=160(m )．8.【答案】:B【解析】:∵y =2x 2−4x +8=2(x −1)2+6，∴抛物线顶点D 的坐标为(1，6)．∵AB =4，∴点B 的横坐标为3，把x =3代入y =2x 2−4x +8，得y =14，∴CD =14−6=8，∴CE =CD +DE =8+3=119(1)【答案】根据题意,得B (12，34)，C (32，34)，把B ，C 两点的坐标分别代入y =ax 2+bx得{34=14a +12b,34=94a +32b, 解得{a =−1,b =2, ∴拋物线的函数关系式为y =−x 2+2x ，∴图案最高点到地面的距离=−224×(−1)=1(m)(2)【答案】令y =0，即−x 2+2x =0，∴x 1=0，x 2=2，∵10÷2=5，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案10.【答案】:解：设大孔所对应的抛物线的函数解析式为y =ax 2+6，依题意可知B(10，0)，∴102a +6=0，解得a =−0.06，即y =−0.06x 2+6.当y =4.5时，−0.06x 2+6=4.5，解得x =±5.∴EF =10米．答：此时大孔的水面宽度EF 为10米.11(1)【答案】5(2)【答案】能．理由:把x=3代入解析式,得y=−110×32+5=4.1>4，故能顺利通过.(3)【答案】设F(x，0)，则G(x，−110x2+5)，∴HE=FG=−110x2+5，GH=EF=2x，∴HE+FG+GH=−15x2+2x+10=−15(x−5)2+15(0<x<5√2)，∴当x=5时有最大值，最大值为15，∴施工队最多需要筹备15米材料12.【答案】:C【解析】:由已知水面离桥拱顶的高度DO是4m，知点A，B的纵坐标为−4，把y=−4代入y=−125x2，得−4=−125x2，解得x=10或x=−10，所以这时水面宽度AB为20m．故选 C。

初三抛物线练习题及答案

初三抛物线练习题及答案抛物线是数学中的基本图形之一，也是初中数学中重要的内容之一。

掌握抛物线的性质和解题方法，不仅能提高数学水平，还有助于培养逻辑思维和分析问题的能力。

下面是一些初三抛物线练习题及答案，希望能对同学们的学习有所帮助。

1. 已知抛物线的顶点为(-1, 4)，经过点(2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知顶点坐标(-1, 4)，可得：4 = a(-1)^2 + b(-1) + c化简得：a - b + c = 4 （式1）由已知经过点(2, 1)，可得：1 = a(2)^2 + b(2) + c化简得：4a + 2b + c = 1 （式2）解方程组（式1）和（式2），得到a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式。

2. 抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴是什么？解析：对称轴是指抛物线上各点关于该轴对称。

对于一般形式的抛物线y = ax^2 + bx + c，其对称轴的公式为x = -b/2a。

对于给定的抛物线y = 2x^2 + 3x + 1，将其转化为一般形式，即a = 2，b = 3，c = 1。

代入公式x = -b/2a，可得对称轴的方程：x = -3/(2*2)化简得：x = -3/4所以，抛物线y = 2x^2 + 3x + 1的对称轴方程为x = -3/4。

3. 已知抛物线经过点(1, 5)和(-2, 1)，求抛物线的解析式。

解析：设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c。

由已知点(1, 5)，可得：5 = a(1)^2 + b(1) + c化简得：a + b + c = 5 （式3）由已知点(-2, 1)，可得：1 = a(-2)^2 + b(-2) + c化简得：4a - 2b + c = 1 （式4）解方程组（式3）和（式4），即可得到a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式。

4. 已知抛物线过点(3, 4)，顶点坐标为(-1, -2)，求抛物线的解析式。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5(附答案)

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题5（附答案）1．一同学推铅球，铅球高度y(m)关于时间x(s)的函数表达式为y=ax 2+bx(a≠0)．若铅球在第7秒与第14秒时的高度相等，则在第m 秒时铅球最高，则m 的值为（） A ．7B ．8C ．10．5D ．212．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A ．篮圈中心的坐标是()4,3.05B ．此抛物线的解析式是21 3.55y x =-+ C ．此抛物线的顶点坐标是()3.5,0 D ．篮球出手时离地面的高度是2m3．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝20t ﹣5t 2．下列叙述正确的是（）A ．小球的飞行高度不能达到15mB ．小球的飞行高度可以达到25mC ．小球从飞出到落地要用时4sD ．小球飞出1s 时的飞行高度为10m4．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为（） A ．35m B ．3mC ．10mD ．12m飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度为（） A ．1.5mB ．2mC ．2.5mD ．3m6．铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53.则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10 m7．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h (单位：)m 与小球运动时间t (单位：)s 之间的函数关系式为240(3)409h t =--+，若后抛出的小球经过2.5s 比先抛出的小球高103m ，则抛出两个小球的间隔时间是（）s A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.58．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数表达式为：y 150=-(x ﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．149．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A ．球不会过网B ．球会过球网但不会出界C ．球会过球网并会出界D ．无法确定10．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝﹣22531312x x ++，则此运动员把铅球推出多远( )11．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是______m ．12．如图，是一学生掷铅球时，铅球行进高度()y cm 的函数图象，点B 为抛物线的最高点，则该同学的投掷成绩为________米．13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则他将铅球推出的距离是__________m ．14．校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度()y m 与水平距离(m)x 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，小明这次试掷的成绩是__________．15．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间关系是h=30t ﹣5t 2（0≤t≤6），则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是______米． 16．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为_____．17．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2510042y x x x =-+≤≤．水珠可以达到的最大高度是________（米）．18．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米．19．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m )与飞行时间x (单位：s )之间具有函数关系y ＝﹣5x 2+20x ，在飞行过程中，当小球的行高度为15m 时，则飞行时间是_____．20．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣112x 2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m ．21．一个斜抛物体的水平运动距离为x （m ），对应的高度记为h （m ），且满足h ＝ax 2+bx ﹣2a （其中a≠0）．已知当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2．（1）求h 关于x 的函数表达式；（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．22．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是53m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为3124m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．23．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． ()1求演员弹跳离地面的最大高度；()2已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．24．小明跳起投篮，球出手时离地面m ，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m 处达到最高度4m .已知篮筐中心距地面3m ，与球出手时的水平距离为8m ，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？25．在一次篮球比赛中，如图队员甲正在投篮.已知球出手时离地面209m ，与篮圈中心的水平距离为7 m ，球出手后水平距离为4 m 时达到最大高度4 m ，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，对方队员乙在甲面前1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m ，那么他能否获得成功？26．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）如果y是t的函数，①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？27．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？28．如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．()1在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）()2守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？29．初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？30．如图，某足球运动员站在点O处练习射门．将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y＝at2+5t+c，己知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）a＝，c＝；（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？参考答案1．C 【解析】【分析】由由第7秒和第14秒的高度相同，知道这两个点是关于抛物线的对称轴对称的，从而求出抛物线的对称轴，知道顶点的横坐标，得到答案．【详解】解：由第7秒和第14秒的高度相同，知道抛物线的对称轴为7142122x +==，所以顶点的横坐标为212，即函数取得最大值，铅球最高时的时间，所以10.5m =．故选C ．【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握抛物线上纵坐标相等的两个点是关于抛物线对称轴对称的是关键． 2．A 【解析】【分析】设抛物线的表达式为y=ax 2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值，可判断A ；根据函数图象可判断B 、C ；设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为求得21 3.55y x =-+，当x=-2，5时，即可判断D ．【详解】解：A 、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax 2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=15-， ∴21 3.55y x =-+，故本选项正确； B 、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误； C 、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误； D 、设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．【详解】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选C．此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．4．C【解析】【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值．【详解】令函数式21251233y x x =-++中，y =0，即21251233x x -++=0，解得1210,2x x ==- (舍去)，即铅球推出的距离是10m.故选C.【点睛】考查二次函数的应用以及函数式中自变量与函数表达式的实际意义，需要结合题意. 5．C【解析】【分析】根据函数关系式，求出t=1时的h 的值即可．【详解】22 1.5h t t =-++∴t=1s 时，h=-1+2+1.5=2.5故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，知道t=1时满足函数关系式是解题的关键.6．D【解析】【分析】依题意，该二次函数与x 轴的交点的x 值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x 的正【详解】把y=0代入y=-112x 2+23x+53得： -112x 2+23x+=0，解之得：x 1=10，x 2=-2．又x ＞0，解得x=10．故选D ．7．B【解析】【分析】把t=2.5代入240(3)409h t =--+，求得3509h =，当35010320939h =-=时，解方程即可得出结论.【详解】解：把t=2.5代入240(3)409h t =--+，得3509h =，当35010320939h =-=时，即240320(3)4099t --+=，解得 t=4或t=-2（不合题意，舍去）∴抛出两个小球间隔的时间是4-2.5=1.5.故选B.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键.8．A【解析】【分析】直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．【详解】解：∵y 150=-(x ﹣25)2+12，顶点坐标为(25，12)， ∵150-＜0， ∴当x ＝25时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．9．C【解析】分析：（1）将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A (0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a +2.6=2，解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当x =9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网，当x =18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.10．B【解析】【分析】令y ＝﹣22531312x x ++＝0，解得符合题意的x 值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解.【详解】解：令y ＝﹣22531312x x ++＝0 则：x 2﹣8x ﹣20＝0∴(x+2)(x ﹣10)＝0∴x 1＝﹣2(舍)，x 2＝10由题意可知当x ＝10时，符合题意故选：B.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.11．10【解析】【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令0y =，求出x 的值，x 的正值即为所求．【详解】在函数式21(4)312y x =--+中，令0y =，得 21(4)3012x --+=，解得110x =，22x =-（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m.【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是21(4)312y x =--+中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当0y =时，x 的正值代表的是铅球最终离原点的距离．12．(4+【解析】【分析】根据函数的顶点B 的坐标设解析式为y =a (x −4)2+3，把（0，2）代入得出2=a (0−4)2+3，求出a ，得出函数的解析式是21(4)316y x =--+，把y =0代入解析式，求出方程的解即可．【详解】∵函数的图象的最高点是B ,B 的坐标是(4,3)，∴设函数的解析式是y =a (x −4)2+3，∵图象过(0,2)点，∴代入得：2=a (0−4)2+3，解得：116a =-， ∴函数的解析式是21(4)316y x =--+，把y =0代入解析式得：210(4)316x =--+，解得：1244x x =+=-∴(4A +，故答案为(4+【点睛】考查二次函数在实际问题中的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.. 13．10【解析】【分析】令y=0时求出x 的值，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离．【详解】解：当y=0时，2125=01233x x -++，解方程得，x 1=10，x 2=-2（负值舍去），∴该男生把铅球推出的水平距离是10 m ．故答案为：10.【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，可以用配方法写成顶点式求得；同时本题还考查了二次函数与一元二次方程的关系及解一元二次方程，本题属于中档题．14．10米【解析】【分析】根据题意，将y=0代入解析式中，求出x 的值即可．【详解】解：将y=0代入21251233y x x =-++中，得 212501233x x -++= 解得：1210,2x x ==-（不符合实际，舍去）∴小明这次试掷的成绩是10米故答案为：10米．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握x 和y 的实际意义和一元二次方程的解法是解决此题的关键．15．50【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可以求得h 的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长．【详解】解：∵h ＝30t−5t 2＝−5（t−3）2＋45（0≤t≤6），∴当t ＝3时，h 取得最大值，此时h ＝45，∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45＋[45−（30×4−5×42）]＝50（米），故答案为：50．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的路径的长．16．2.25m ．【解析】【分析】设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x=0时得y 值即为水管的长.【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），代入（3，0）求得：a ＝34-，将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），令x ＝0，则y ＝94＝2.25．则水管长为2.25m ．故答案为：2.25m ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.17．10【解析】【分析】将一般式转化为顶点式，依据自变量的变化范围求解即可.【详解】解：()()222555104210222y x x x x x =-+=--=--+，当x=2时，y 有最大值10，故答案为：10.【点睛】利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式去求解函数的最大值.18．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】当y=0时，212501233x x -++= 解得，x=-2（舍去），x=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．19．1s 或3s【解析】【分析】根据题意可以得到15=﹣5x 2+20x ，然后求出x 的值，即可解答本题．【详解】∵y=﹣5x 2+20x ，∴当y=15时，15=﹣5x 2+20x ，得x 1=1，x 2=3，故答案为1s 或3s ．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．20．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：在21251233y x x =-++中，当y=0时， 212501233x x -++= 整理得：x 2-8x-20=0，（x-10）（x+2）=0，解得x 1=10，x 2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是10m ．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．21．（1）h ＝﹣x 2+10x+2；（2）斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【解析】【分析】（1）将当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2，代入解析式，可求解；（2）由h ＝−x 2＋10x ＋2＝−（x−5）2＋27，即可求解．【详解】（1）∵当x ＝0时，h ＝2；当x ＝10时，h ＝2．∴222100102a a b a =-⎧⎨=+-⎩解得：110a b =-⎧⎨=⎩ ∴h 关于x 的函数表达式为：h ＝﹣x 2+10x+2；（2）∵h ＝﹣x 2+10x+2＝﹣（x ﹣5）2+27，∴斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的解析式是本题的关键．22．（1）215(4)243y x =--+；（2）此球能过网，见解析；（3）2m 【解析】【分析】（1）依题意，函数图象的顶点坐标为（4，53），则可设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，再由点（0，1）在抛物线上，代入求得a 即可（2）将x ＝5代入所求的函数解析式，求得y 即可判断；（3）将y ＝3124代入函数解析式求得x ，即可求出乙与球网的水平距离．【详解】解（1）依题意，函数图象的顶点坐标为54,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故设函数的解析式为：25(4)3y a x =-+，∵点(0,1)在抛物线上，∴代入得251(04)3a =-+，解得124a =-，则羽毛球经过的路线对应的函数关系式为：215(4)243y x =--+；（2）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+，则当5x =时，21513(54) 1.6252438y =-⨯-+==， ∵1.625 1.55>，∴此球能过网；（3）由（1）知羽毛球经过的路线对应的函数关系式为215(4)243y x =--+，当3124y =时，有23115(4)24243x =--+，解得11x =（舍去），27x =，∴此时乙与球网的水平距离为：752m -=.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，利用待定系数法求出羽毛球经过的路线对应的函数关系式是解题的关键．23．(1) 194；（2）能成功；理由见解析. 【解析】【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.【详解】 (1)y=-35x 2+3x+1=-35252x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+194 ∵-35＜0，∴函数的最大值是194．答：演员弹跳的最大高度是194米．(2)当x=4时，y=-35×42+3×4+1=3.4=BC，所以这次表演成功．【点睛】此题将用待定系数法求二次函数解析式、动点问题和最小值问题相结合，有较大的维跳跃，考查了同学们的应变能力和综合思维能力，是一道好题．24．（1）y=；(2）不能正中篮筐中心；3米.【解析】试题分析：（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y=，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x=8时，y的值是否等于3，把x=8代入得：y=，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣=个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心．试题解析：（1）设抛物线为y=，将（0，）代入，得=，解得a=，∴所求的解析式为y=；（2）令x=8，得y==≠3，∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移个单位长度，故小明需向上多跳m再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．考点：二次函数的应用．25．（1）能准确投中（2）能获得成功【解析】【分析】（1）根据条件先确定抛物线的解析式，然后令x=7，求出y的值，与3m比较即可作出判断；（2）将x=1代入抛物线的解析式，求出y的值与3．1比较大小即可．【详解】解：（1）由题意可得抛物线的顶点为（4,4），出手点为（0，209），设2()y a x h k=-+，则h=4，k=4，然后把点（0，209）代入解析式得19a=-，所以()21449y x=--+，当x＝7时，y＝3，所以此球能准确投中．（2）当x＝1时，y＝3＜3．1，他能获得成功．考点：二次函数的应用26．（1）①见解析；②t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）52 m．【解析】【分析】（1）①根据描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象即可；②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离．【详解】解：（1）①如图所示，②由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可设y=a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a=﹣15，则y=﹣15（x﹣1）2+0.45，当y=0时，0=﹣15（x﹣1）2+0.45，解得：x1=52，x2=﹣12（舍去），即乒乓球与端点A 的水平距离是52m ．【点睛】考点：二次函数的应用．27．（1）21(4)48y x =-+；（2）不能投中【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点，设函数的顶点式，再将（0，2）代入，求得二次项系数，从而可得抛物线的解析式；（2）判断当x ＝7时，函数值是否等于3.19即可．【详解】（1）依题意得抛物线顶点为（4，4），则设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4依题意得抛物线经过点（0，2）∴a （0﹣4）2+4＝2解得18a =- ∴抛物线的解析式为21(4)48y x =-+ （2）当x ＝7时，21(4)48y x =-+=23 3.198≠ ∴这个球员不能投中．【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法以及实际应用，关键是求得函数的解析式，借助二次函数解决实际问题.28．（1）能射中球门；（2）他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【解析】【分析】(1)、根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；(2)、求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【详解】(1)、抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-112，则抛物线是y=-112（x-4）2+3，当x=0时，y=-112×16+3=3-43=53＜2.44米，故能射中球门；（2）当x=2时，y=-112（2-4）2+3=83＞2.52，∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，当y=2.52时，y=-112（x-4）2+3=2.52，解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2-1.6=0.4（m），答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，属于中等难度的题型．根据题意得出函数的顶点坐标，求得函数解析式是解题的关键．29．（1）y=−19(x−4)2+4；能够投中；（2）能够盖帽拦截成功．【解析】【分析】（1）根据题意可知：抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4），然后设出抛物线的顶点式，将（0，209）代入，即可求出抛物线的解析式，然后判断篮圈的坐标是否满足解析式即可；（2）当1x 时，求出此时的函数值，再与3.1m比较大小即可判断. 【详解】解：由题意可知，抛物线经过（0，209），顶点坐标是（4，4）．设抛物线的解析式是()244y a x =-+，将（0，209）代入，得()2200449a =-+ 解得19a =-，所以抛物线的解析式是()21449y x =--+；篮圈的坐标是（7，3），代入解析式得()2174439y =--+=， ∴这个点在抛物线上，∴能够投中答：能够投中．（2）当1x =时，()2114439y =--+=<3.1，所以能够盖帽拦截成功.答：能够盖帽拦截成功.【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的顶点式和利用二次函数解析式解决实际问题是解决此题的关键.30．（1）2516-，12；（2）当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（3）能．【解析】【分析】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），代入函数的表达式即可求出a ，c 的值；（2）利用配方法即可求出足球飞行的时间以及足球离地面的最大高度；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，把t ＝2.8代入解析式求出y 的值和2.44m 比较大小即可得到结论．【详解】（1）由题意得：函数y ＝at 2+5t +c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴20.53.50.850.8c a c =⎧⎨=+⨯+⎩，解得：251612a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣2516t 2+5t +12，故答案为：﹣2516，12；（2）∵y ＝﹣2516t 2+5t +12， ∴y ＝﹣2516（t ﹣85）2+92， ∴当t ＝85时，y 最大＝4.5， ∴当足球飞行的时间85s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝﹣2516×2.82+5×2.8+12＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．。

初中数学二次函数知识点总复习附答案解析

初中数学二次函数知识点总复习附答案解析一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ； ②c ＝a+3； ③a+b+c ＜0；④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a-=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C ．考点：二次函数的图像与性质2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4C ．-12＜t ≤4D ．-12＜t ＜3【答案】C 【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝−2， ∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．3．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.4．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（）A ．BC ．32D ．52【答案】D 【解析】【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解．【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形， ∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =．故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．5．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（）A ．3122m -+B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ）， ∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0） ∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1，∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ，∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．6．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；根据函数对称轴可得：-2ba=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③，故选B ．8．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确. ②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题8(附答案)

A．0．71sB．0．70sC．0．63sD．0．36s
4．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为，由此可知铅球推出的距离是（）
A．2mB．8mC．10mD．12
5．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）
13．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，该同学的成绩是________．
14．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝﹣ x2+ x+ ，铅球推出后最大高度是_____m，铅球落地时的水平距离是______m.
15．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所用的时间是______ s．
（2）网球在斜坡的落点的垂直高度.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
礼炮到最高点爆炸，那么所需时间为t= ,代入相应数据才能正确解答.
【详解】
解：当礼炮到达最高点时，即为抛物线的顶点，此时t= ，故选：B.
【点睛】
考查二次函数的应用；判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键.
2．A
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
26．以40m/s的速度将小球沿与地面成约45°角的方向击出，小球的飞行路线是一条抛物线，我们不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t－5t2.
3．D

初中数学抛物线中必知的六大结论(含真题反馈练习)

初中数学抛物线中必知的六大结论由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象确定系数a、b、c以及相应的关系式，一般是给出3-6个结论，然后判断正确结论的个数或选出正确的结论，要解决此类问题，需要祭出一件制胜法宝——数形结合思想！下面就带你见识一下数形结合思想在解题时如何大显神威：1.由抛物线开口方向确定a2.由对称轴的位置确定b、ab3.由抛物线与y轴的交点位置确定c4.由抛物线与x轴的交点个数确定b2-4ac5.由对称轴为x=±1时确定2a±b6.特殊式子集锦真题反馈:1.（2018•遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．2.（2018•白银）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤3.（2018•达州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.（2018•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.（2018•枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=06.（2018•大庆）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B （3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47.（2018•随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）8. 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列结论：①20a b +>；②0abc <；③240b ac ->；④0a b c ++<；⑤420a b c -+<，其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．59. 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，下列说法：①20a b +=， ②当13x -≤≤时，0y <，③若（1x ，1y ）、（2x ，2y ）在函数图象上，当12x x <时，12y y <，④930a b c ++=，其中正确的是（）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④10. 如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P =a b c ++，则P 的取值范围是（）A ．﹣3＜P ＜﹣1B ．﹣6＜P ＜0C ．﹣3＜P ＜0D ．﹣6＜P ＜﹣3 11. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，记2m a b c a b c =-++++， 2n a b c a b c =+++--．则下列选项正确的是（）A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．m 、n 的大小关系不能确定 12. 已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，① abc >0，②a 3>b 2，③()m am b a b +≤-（m 为任意实数），④c b a +-24<0，以下结论中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题7(附答案)

23．有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽，河面距拱顶，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 .
（1）求出如图所示坐标系中的抛物线的解析式；
（2）求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行？
24．如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．
17．悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁.其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道.图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引.他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD,两个索塔均与桥面垂直.主桥AC的长为600 m，引桥CE的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.
29．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6m时，隧道最高点D距离地面10m．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m，高为6m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题4(附答案)

．
15．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米．设正常水位时桥下的水深为 2 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 米，则水深超过_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
16．抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽 AB 为 6 米，最高点 O 距地面 5 米.现有
D．2 6 m
5．如图，隧道的截面是抛物线，可以用 y= 1 x2 4 表示，该隧道内设双行道，限 16
高为 3m，那么每条行道宽是（）
A．不大于 4m
B．恰好 4m
C．不小于 4m
D．大于 4m，小于
8m 6．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为 20 米，拱顶距离水平面 4 米，如图建
AB 为（）
A．﹣20m
B．﹣10m
C．10m
D．20m
9．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，
其函数的关系式为 y=﹣ x2，当水面离桥顶的高度 DO 是 4m 时，这时水面宽度 AB
为（）
A．﹣20m
B．10m
C．20m
D．﹣10m
10．如图,一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离
1 桥拱的半径； 2 现水面上涨后水面跨度为 60 米，求水面上涨的高度为________米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为 6 米的货船经过这里，船舱上有高出水面 3.6 米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？
22．如图，一圆弧形桥拱的圆心为 E ，拱桥的水面跨度 AB 80 米，桥拱到水面的最大高度 DF 为 20 米．求：

初中数学精品试题：抛物线中的平行四边形练习

抛物线中的平行四边形练习1、如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，A点在B 点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个2、已知抛物线C1：y=﹣x2+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为（）A ．B．C．D．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点D（0，3），其对称轴为直线x=4，点C为对称轴上一点，若四边形ABCD为平行四边形，则抛物线的解析式为．4、如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（﹣6，0）和点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求▱OEAF的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当▱OEAF的面积为24时，请判断▱OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使▱OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．5、已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m （m＞0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）；（2）设△PCD的面积为s，求s关于m关系式；（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F．请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y=x+m与抛物线y=﹣x2+bx+c交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D 的坐标为（3，），点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求一次函数和抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为t，当t为何值时，四边形OCPE是平行四边形？请说明理由；（3）在CD上方是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，试说明理由．。

初三数学抛物线线段最值压轴题

初三数学抛物线线段最值压轴题在初三数学学习中，抛物线是一个非常重要的概念。

抛物线线段最值问题，则是抛物线的一个经典题型，这也是初三数学学习的一个难点。

今天我们就来深入探讨初三数学抛物线线段最值压轴题，希望通过本文的学习，能够让大家更深入地理解这个问题。

我们来了解一下什么是抛物线线段最值。

在数学中，抛物线是一种二次曲线，具有很多重要的性质。

在抛物线上取一段线段，我们希望找到这段线段的最值，即这段线段的最大值或最小值。

这就是抛物线线段最值问题。

接下来，我们来看一道经典的抛物线线段最值压轴题：题目：已知抛物线y = ax² + bx + c(a ≠ 0) 的顶点为 (-2, 3)，且经过点 (1, 2)，求抛物线上线段 [1, 3] 的最小值。

这道题目涉及到了抛物线的顶点、经过特定点和线段最值的求解。

我们可以利用一些数学知识来进行解题。

我们可以利用顶点坐标的性质，得到抛物线的一般式方程 y = a(x - h)² + k，其中顶点为 (h, k)。

代入题目给出的顶点坐标 (-2, 3)，得到抛物线一般式方程 y = a(x + 2)² + 3。

由题目给出的条件，抛物线经过点 (1, 2)，代入得到方程 2 = a(1 + 2)² + 3，解得 a = -1。

再次，利用所求线段 [1, 3] 的长度为 3-1 = 2，可以得到线段所对应的抛物线上的点为 (1, 2)，代入抛物线方程，得到纵坐标 y = -1。

经过以上计算，得知抛物线上线段 [1, 3] 的最小值为 y = -1。

通过以上题目的解析，我们可以清晰地看到抛物线线段最值问题的解题思路。

首先要利用抛物线的基本性质和条件，得到抛物线的一般式方程，并根据具体条件解出抛物线的参数。

然后结合线段的特点，求出所对应抛物线上的点和其纵坐标，最终得出线段的最值。

接下来，我们来总结一下抛物线线段最值问题的解题思路。

首先要得到抛物线的一般式方程，然后根据题目给定的条件，解出抛物线的参数。

【初中数学】人教版九年级上册第3课时抛物线类型的实际问题(练习题)

人教版九年级上册第3课时抛物线类型的实际问题(380)1.如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=−14x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是．2.廊桥是我国的文化遗产．图是某座抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的函数解析式为y=−140x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．3.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=−29x2+89x+109，则羽毛球飞出的水平距离为米．4.在体育测试时，初三的一名高个子男同学在推铅球.已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0,2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5).(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01m，√15=3.873）5.一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的平面直角坐标系中(如图所示)，求该抛物线的解析式．解：根据题目条件，A，B，C三点的坐标分别是．设抛物线的解析式为y=ax2+c(a≠0)，将点B，C的坐标代入y=ax2+c，得．解得a=，c=．所以该抛物线的解析式为．6.有一个抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在平面直角坐标系中(如图)．若在离跨度中心5m处的点M垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，则这根铁柱的长为多少米？解：据题意知，抛物线的顶点坐标为，所以设该抛物线的解析式为．把点A的坐标或点B的坐标代入解析式，得a=，所以抛物线的解析式为，把铁柱所在位置的横坐标，即OM=代入解析式，得到对应的纵坐标的值为，即这根铁柱的长为m．参考答案1.【答案】:9m【解析】:根据题意，当x =6时，原式=−14×62=−9，即水面离桥拱顶部的距离是9m2.【答案】:8√53.【答案】:54(1)【答案】设二次函数的解析式为y =a(x −ℎ)2+k(a ≠0)，顶点坐标为(6,5). ∴y =a(x −6)2+5.∵A(0,2)在抛物线上，∴2=62⋅a +5∴a =−112∴y =−112(x −6)2+5，即y =−112x 2+x +2.【解析】:设顶点式，用待定系数法求解析式.(2)【答案】当y =0时，−112x 2+x +2=0，解得x =6±2√15（舍6−2√15）.∴x =6+2√15≈13.75m .∴该男同学把铅球推出去约13.75m .【解析】:该男同学把铅球推出去的距离，即为当y =0时，x 在正半轴上的值.5.【答案】:(−10，0)，(10，0)，(0，6) ；{0=100a +c ，6=c；−350；6；y =−350x 2+66.【答案】:(20,16)；y =a(x −20)2+16；−0.04；y =−0.04(x −20)2+16；15；15；15。

【初中数学】人教版九年级上册中考特训（六）抛物线中的图形面积问题(练习题)

人教版九年级上册中考特训（六）抛物线中的图形面积问题(353)1.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c经过A(3，0)，B(0，3)两点．(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式(2)如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以√2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动．连接EF，设运动时间为t秒．当t为何值时，△AEF为直角三角形？(3)如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由2.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，−3)．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积3.如图，直线l:y=−3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+ 4(a<0)经过点B．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)已知M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM，BM．设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S．求S与m之间的函数解析式，并求出S的最大值的抛物线经过点A(6，0)和B(0，−4)．4.如图，对称轴为直线x=72(1)求抛物线的函数解析式及顶点坐标；(2)设E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数解析式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x+1)2−3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，−8)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过3点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．(1)求a的值及点A，B的坐标(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时，求直线l的函数解析式(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由参考答案1(1)【答案】解：将A(3，0)，B(0，3)代入y=−x2+bx+c，得{−9+3b+c=0,c=3.解得{b=2,c=3.∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3.设直线AB的解析式为y=kx+n，将A(3，0)，B(0，3)代入y=kx+n，得{3k+n=0,n=3.解得{k=−1,n=3.∴直线AB的解析式为y=−x+3(2)【答案】由题意得OE=t，AE=3−t，AF=√2t．①当∠AEF=90∘时．∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB=45∘,∴△AEF是等腰直角三角形．此时AF=√2AE，即√2t=√2(3−t)．解得t=32．②当∠AFE=90∘时，∴△AEF是等腰直角三角形．此时AE=√2AF，即3−t=√2×√2t．解得t=1.综上所述，当t=1或32时，△AEF是直角三角形(3)【答案】存在．如图，过点P作PD⊥OA于点D，交AB于点C．设点P的横坐标为m，则PD=−m2+2m+3，CD=−m+3，PC=PD−CD =(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m,∴S△PAB=S△PCB+S△PCA=12PC·OD+12PC·DA=12PC ·OA =12×3(−m 2+3m)=−32(m −32)2+278． ∴当m =32时，△PAB 的面积最大，最大值是278．将x =32代入y =−x 2+2x +3，求得y =154．此时，点P 的坐标为(32，154)．2(1)【答案】解：把B ，C 两点的坐标代入抛物线的解析式可得 {9+3b +c =0，c =−3，解得{b =−2，c =−3，∴此抛物线的函数解析式为y =x 2−2x −3(2)【答案】如图，连接BC ，过P 作y 轴的平行线，交BC 于点M ，交x 轴于点H ．在y =x 2−2x −3中，令y =0可得0=x 1−2x −3，解得x 1=−1，x 2=3，∴点A 的坐标为(−1，0)，∴AB =3−(−1)=4，且OC =3，∴S △ABC =12AB ·OC=12×4×3=6.∵B(3，0)，C(0，−3)，∴直线BC 的函数解析式为y =x −3.设点P 的坐标为(x ，x 2−2x −3)，则点M 的坐标为(x ，x −3)． ∵点P 在第四象限，∴PM =x −3−(x 2−2x −3)=−x 2+3x ，∴S △PBC =12PM ·OH +12PM ·HB =12PM ·(OH +HB) =12PM ·OB=32PM ，∴当PM 取最大值时，△PBC 的面积最大，则四边形ABPC 的面积最大． ∵PM =−x 2+3x=−(x −32)2+94，∴当x =32时，PM max =94，则S △PBC =32×94=278，此时点P 的坐标为(32，−154)，S 四边形ABPC =S △ABC +S △PBC=6+278 =758，即当点P 的坐标为(32，−154)时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为7583(1)【答案】解：直线l:y =−3x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点, 当y =0时，x =1;当x =0时，y =3.∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，3)．∵点B(0,3)在抛物线y =ax 2−2ax +a +4(a <0)上，∴3=a +4，∴a =−1.∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3(2)【答案】如图，连接OM ．∵S △ABM =S 四边形OAMB −S △AOB=S △OBM +S △OAM −S △AOB =12×3×m +12×1×(−m 2+2m +3)−12×1×3=−12m 2+52m=−12(m −52)2+258．当y =0时，−x 2+2x +3=0,解得x 1=−1,x 2=3,∴抛物线与x 轴的交点坐标为(−1，0)，(3，0)．∵点M 在第一象限，∴0<m <3，∴S 与m 之间的函数解析式为S =−12m 2+52m(0<m <3), 当m =52时，S 有最大值,最大值为2584(1)【答案】解：设抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx +c ，将A ，B 两点的坐标代入函数解析式，得{−b 2a =72，36a +6b +c =0，c =−4，解得{a =−23，b =143，c =−4， ∴抛物线的函数解析式为y =−23x 2+143x −4，配方，得y =−23(x −72)2+256， ∴抛物线的顶点坐标为(72,256) (2)【答案】点E 的坐标为(x ，−23x 2+143x −4)， S =2×12OA ·y E=6(−23x 2+143x −4)，即S =−4x 2+28x −24(1<x <6)(3)【答案】当平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 可能为菱形．理由如下：当平行四边形OEAF 的面积为24时，即 −4x 2+28x −24=24，化简，得x 2−7x +12=0，解得x 1=3,x 2=4.当x =3时，EO =EA ，平行四边形OEAF 为菱形．当x =4时，EO ≠EA ，平行四边形OEAF 不为菱形．∴当平行四边形OEAF 的面积为24时，平行四边形OEAF 可能为菱形5(1)【答案】解：∵抛物线与y 轴交于点C (0，−83)．∴a −3=−83，解得a =13，∴y =13(x +1)2−3. 当y =0时，有13(x +1)2−3=0，∴x 1=2，x 2=−4，∴A(−4，0)，B(2，0) (2)【答案】∵A(−4，0)，B(2，0)，C (0，−83)，D(−1，−3)， ∴S 四边形ABCD =S △ADH +S 梯形OCDH +S △BOC=12×3×3+12(83+3)×1+12×2×83=10.从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：①当直线l与边AD相交于点M1时，则S△AHM1=310×10=3，∴12×3×(−y M1)=3，∴y M1=−2，由A(−4,0),D(−1,−3)可求得直线AD的函数解析式为y=−x−4.把y M1=−2代入y=−x−4，得x M1=−2,∴点M1的坐标为(−2，−2)．过点H(−1，0)和M1(−2，−2)的直线l的解析式为y=2x+2.②当直线l与边BC相交于点M2时，同理可得点M2(12，−2)，过点H(−1，0)和M2(12，−2)的直线l的解析式为y=−43x−43．综上所述，直线l的函数解析式为y=2x+2或y=−43x−43(3)【答案】能．设P(x1，y1)，Q(x2，y2),且过点H(−1，0)的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴−k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由{y=kx+k，y=13(x+1)2−3，得13x2+(23−k)x−83−k=0，∴x1+x2=−2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2. ∵M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式得点M(32k−1，32k2)．假设存在这样的点N，如图，则直线DN//PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k−3.由{y=kx+k−3，y=13(x+1)3−3，解得x1=−1，x2=3k−1，∴N(3k−1，3k2−3)．若四边形DMPN是菱形，则DN=DM，∴(3k)2+(3k2)2=(3k2)2+(32k2+3)2，整理得3k4−k2−4=0，即(k2+1)(3k2−4)=4.∵k2+1>0，∴3k2−4=0，．解得k=±2√33∵k<0，，∴k=−2√33∴P(−3√3−1，6)，M(−√3−1，2)，N(−2√3−1，1)，∴PM=DN=2√7．又∵PM//DN，∴四边形DMPN是平行四边形．∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(−2√3−1，1)．。

初中数学抛物线经典习题及答案

初中数学抛物线经典试题集锦【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

解：【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥，得：12*6*│y p│=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中抛物线经典练习题(含详细答案)初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。

以下为题目和解答。

第一组题型】1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$1）求此二次函数的解析式；2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangle ABP$的面积为15，请直接写出$p$点的坐标。

解：第一问】因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$-----①。

将$x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$-------------②。

将②代入①，解得：$b=2$--------------------------------------③。

此时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-8$。

第二问】因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：$x_1=2$，$x_2=-4$。

所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。

又$\triangle ABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot 6=30$，即$|y_p|=5$。

故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。

2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。

1）求抛物线的表达式及对称轴；2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、$C$两点直线的表达式。

解：第一问】因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$，分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$-----①。

将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$-6=8+2m+n$-------------②。

九上数学二次函数提高题常考题型抛物线压轴题(含解析)

二次函数常考题型与解析一．选择题（共1２小题）１.若二次函数y=ｘ２+mｘ的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=７的解为( )Ａ.x1＝0,ｘ2=6 B．x1=1，x2＝７C．ｘ1＝１,x2=﹣７D.x1＝﹣1,x2=7２．点P1(﹣1,y1）,P2(3，y2)，P３（5,y3)均在二次函数y=﹣x２+2x+ｃ的图象上,则y1，y2,ｙ3的大小关系是(）A.y３>y２>y1ﻩB．y3＞y1=y2Ｃ.y1>y2＞y3ﻩD.y1=y2>y33.抛物线y＝ax２+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ａx+ｂ与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )Ａ. B.C．D．4.二次函数y=ａx２+bx+ｃ，自变量x与函数ｙ的对应值如表:x…﹣５﹣4﹣3﹣2﹣1０…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是(）A．抛物线的开口向下B.当x＞﹣3时,y随ｘ的增大而增大Ｃ.二次函数的最小值是﹣２D．抛物线的对称轴是ｘ=﹣５.已知函数y＝ax２﹣２aｘ﹣1（a是常数，ａ≠0）,下列结论正确的是（)A.当a＝1时,函数图象过点(﹣1，1）B.当a＝﹣２时,函数图象与x轴没有交点C.若a>0,则当x≥1时,y随ｘ的增大而减小D．若ａ<0,则当x≤1时，y随ｘ的增大而增大６．如图,已知二次函数y=ａｘ２+bｘ＋c（ａ≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1,0），与y轴的交点B在（０,﹣2）和（0，﹣１)之间（不包括这两点）,对称轴为直线x=1.下列结论：①ａbc＞０②4a+2b＋c＞0③4aｃ﹣b2<8ａ④＜ａ＜⑤b>c．其中含所有正确结论的选项是（)A.①③ﻩＢ．①③④C.②④⑤Ｄ.①③④⑤7.抛物线y=x２+bx+ｃ(其中b,ｃ是常数)过点Ａ（2，6),且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤３)有交点,则ｃ的值不可能是()Ａ.4 B.6 C．8 Ｄ．10８．已知二次函数y=aｘ2﹣bx﹣２(ａ≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点（﹣1,0）,当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B.或1ﻩC．或ﻩＤ.或9．已知二次函数y=ａx２＋bx＋c(a＞0)的图象经过点A（﹣１，2）,B(2,5），顶点坐标为(m,n)，则下列说法错误的是（）A.c＜3ﻩB．m≤Ｃ．n≤2 D.b＜1１0.已知抛物线y=ａｘ２+ｂx+c（a＞0)过(﹣２，0）,（2，3)两点,那么抛物线的对称轴( )A.只能是x=﹣1Ｂ.可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线ｘ=2的左侧D.可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧１1.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长ｘ、y应分别为( )A．x=１０,y=14 B.x=１4，y=１０C．x=12,y=１5 D．ｘ=15，y=1212.如图，反比例函数y=的图象经过二次函数ｙ=ａx2+bx图象的顶点(﹣，m）(m＞0),则有（）Ａ．a=b＋2k B．a＝b﹣2k C．ｋ<ｂ<0 D.a＜k＜0二．填空题(共9小题）13．已知点P(m,n)在抛物线ｙ=ａx2﹣x﹣a上,当ｍ≥﹣1时,总有n≤1成立，则a 的取值范围是.14.ａ、b、c是实数，点A（a+1、b)、B（ａ+2,c）在二次函数y=x2﹣2ax+３的图象上,则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）１5．二次函数y=ax２+bｘ＋c的图象如图所示,且P＝|2a＋b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+２ｃ｜,则Ｐ，Ｑ的大小关系是.1６.如图，抛物线ｙ＝﹣ｘ2＋２ｘ+３与y轴交于点C，点D（０，1),点P是抛物线上的动点.若△ＰCＤ是以CＤ为底的等腰三角形，则点Ｐ的坐标为．1７．如图,Ｐ是抛物线ｙ＝﹣ｘ2＋x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线,垂足分别为A，B，则四边形OＡPB周长的最大值为.１８.二次函数y=x2﹣2ｘ﹣3的图象如图所示,若线段AB在ｘ轴上,且AＢ为２个单位长度，以AB为边作等边△ABＣ，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．19.直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B（x2,y2)两点，当OA⊥ＯＢ时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为.２0.如图，在平面直角坐标系中,菱形OＡBC的顶点Ａ在x轴正半轴上,顶点Ｃ的坐标为（4,３)，D是抛物线y=﹣x２+６x上一点，且在ｘ轴上方,则△ＢCD面积的最大值为．21.抛物线y＝﹣ｘ2＋4aｘ+b（a＞0)与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点)，过点P(２,2ａ）作直线PM⊥x轴于点Ｍ，交抛物线于点Ｂ，点B关于抛物线对称轴的对称点为Ｃ(其中B、C不重合),连接AP交y轴于点N,连接BC和PC.（１)ａ=时，求抛物线的解析式和ＢC的长；（２)如图a＞1时,若AP⊥PC，求a的值.三.解答题（共１2小题）2２．已知二次函数ｙ=x2+bx+c的图象与ｙ轴交于点C(0,﹣６),与ｘ轴的一个交点坐标是A（﹣2，0)．（１）求二次函数的解析式，并写出顶点Ｄ的坐标;（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度,当y＜0时,求x的取值范围．２3.已知二次函数y=ax２﹣2ax+c(a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、Ｂ两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线ＣＰ与过点B且垂直于x轴的直线交于点Ｄ,且ＣP:PD＝2:３(1)求A、B两点的坐标；（2)若tan∠PＤB=,求这个二次函数的关系式．24．已知,点M是二次函数y=aｘ2（ａ>０）图象上的一点,点F的坐标为（０，），直角坐标系中的坐标原点O与点M,F在同一个圆上，圆心Ｑ的纵坐标为．（1)求ａ的值;(２)当O,Q,Ｍ三点在同一条直线上时,求点M和点Ｑ的坐标；(３)当点M在第一象限时，过点M作ＭN⊥ｘ轴，垂足为点N，求证：MF＝MＮ+ＯF.25．如图,已知点A（0,２），B(2,2),Ｃ（﹣1,﹣２），抛物线F:ｙ=x2﹣2ｍx+m２﹣2与直线x=﹣2交于点P．（１）当抛物线F经过点Ｃ时,求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值,此时抛物线F上有两点(ｘ1,y1)，（x2，y２），且x1＜x2≤﹣2，比较ｙ１与y2的大小;(3）当抛物线Ｆ与线段ＡB有公共点时，直接写出m的取值范围．26.如图，二次函数y=ax2+ｂｘ的图象经过点Ａ（２，４）与Ｂ（６,0）．(１)求a，b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点，横坐标为ｘ(２＜x＜6），写出四边形ＯAＣB的面积S关于点C的横坐标ｘ的函数表达式,并求S的最大值.２7．在平面直角坐标系xOｙ中，抛物线ｙ=ax２+bx+２过B（﹣２,６），Ｃ（２，2)两点.(１)试求抛物线的解析式；(2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3）若直线y=﹣x向上平移ｂ个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围.2８.如图,顶点为A(，1）的抛物线经过坐标原点Ｏ,与x轴交于点B．(1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2)过Ｂ作OＡ的平行线交y轴于点C,交抛物线于点D,求证:△ＯCD≌△OAB；（3)在x轴上找一点P，使得△ＰCD的周长最小,求出Ｐ点的坐标.29.如图1（注:与图2完全相同）,二次函数y＝x2+ｂｘ＋c的图象与x轴交于A （3，０）,B(﹣1，0)两点,与ｙ轴交于点Ｃ．(１)求该二次函数的解析式;（２)设该抛物线的顶点为Ｄ，求△AＣD的面积(请在图1中探索）;(3）若点P,Ｑ同时从Ａ点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AＢ,AＣ边运动,其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时,△ＡPQ沿PＱ所在的直线翻折,点A恰好落在抛物线上Ｅ点处,请直接判定此时四边形APＥＱ的形状,并求出E点坐标（请在图2中探索）．30.已知抛物线y＝ax２＋bｘ﹣3经过(﹣１,０)，（3，0）两点，与y轴交于点Ｃ，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．(1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(２)当原点O为线段AB的中点时,求ｋ的值及Ａ,Ｂ两点的坐标;（3)是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出ｋ的值;若不存在，请说明理由.３1．在平面直角坐标系中，点Ｏ为原点,平行于x轴的直线与抛物线Ｌ：y=ax2相交于A,B两点(点B在第一象限),点D在AB的延长线上.(1）已知a=1，点B的纵坐标为２．①如图1,向右平移抛物线Ｌ使该抛物线过点B，与AＢ的延长线交于点Ｃ，求ＡC的长.,其顶点M在ｘ轴上,求该抛物线的②如图2，若BD＝AB,过点B,Ｄ的抛物线L２函数表达式．(2）如图３，若BD=AB,过Ｏ，Ｂ,D三点的抛物线L3,顶点为P,对应函数的二次项系数为a3,过点P作ＰE∥ｘ轴,交抛物线Ｌ于E,F两点，求的值，并直接写出的值.3２.小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班,爸爸行驶到甲处时,看到前面路口时红灯,他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度ｖ(ｍ／s)与时间t（s)的关系如图1中的实线所示，行驶路程s（ｍ）与时间t(s）的关系如图2所示，在加速过程中，s与ｔ满足表达式ｓ=at２(1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程,并求a的值；(2）求图２中A点的纵坐标ｈ，并说明它的实际意义;（3)爸爸在乙处等待７秒后绿灯亮起继续前行,为了节约能源，减少刹车,妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度ｖ（m/ｓ)与时间t(s）的关系如图1中的折线O ﹣B﹣C所示，加速过程中行驶路程s（m)与时间t(s)的关系也满足s=aｔ2，当她行驶到甲处时,前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．33．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间(分钟）,纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：０0之后来的游客较少可忽略不计．(１)请写出图中曲线对应的函数解析式；（２)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过６84人，后来的人在馆外休息区等待．从1０:30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到6２4人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？ﻬ20１7年03月20日初中数学3的初中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题（共12小题）1.(２01６•荆门)若二次函数y＝ｘ２+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx ＝7的解为( )Ａ.x1=0,x2＝6ﻩB.x１=1,x2=７ﻩC.x1=1,x2=﹣7 Ｄ.ｘ1=﹣1，x2=7【分析】先根据二次函数y=x2＋mx的对称轴是ｘ=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=７，求出ｘ的值即可.【解答】解：∵二次函数y=x2＋mx的对称轴是ｘ=3,∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx＝７可化为x２﹣6x﹣7=0,即(ｘ+1)(x﹣7）=0，解得x1＝﹣1，x2=７.故选D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键.2.(2016•兰州)点P1(﹣1,y1），P２（3,ｙ２）,P3（５,y3）均在二次函数y=﹣ｘ2+2x+ｃ的图象上，则y１,y２,y3的大小关系是(）A.y3>y2＞y1B.y3＞ｙ１=y2ﻩC．y1＞y2>y3ﻩD．ｙ1=y2＞y3【分析】根据函数解析式的特点,其对称轴为x=１,图象开口向下,在对称轴的右侧，y随ｘ的增大而减小,据二次函数图象的对称性可知，P１（﹣1，ｙ1）与(３，ｙ１)关于对称轴对称，可判断y１＝y2>y3．【解答】解：∵y=﹣ｘ2＋２x＋c，∴对称轴为x=1，P2（3,y２）,Ｐ3(5，y3）在对称轴的右侧,ｙ随ｘ的增大而减小，∵３＜5，∴y２＞y3，根据二次函数图象的对称性可知,P１(﹣1，y1）与（３，ｙ1)关于对称轴对称，故y1＝y2＞y3,故选D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性及增减性.3.（2０16•贺州)抛物线y=ax2+ｂx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A.B．C．ﻩD．【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0,ｂ<0，c<0,根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．【解答】解：由抛物线可知,a＞0,ｂ＜0，c<0，∴一次函数y=ａx+b的图象经过第一、三、四象限,反比例函数y=的图象在第二、四象限，故选:B.【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．４.(２0１6•临沂）二次函数ｙ=ax2+bx＋c，自变量ｘ与函数y的对应值如表：x…﹣5﹣４﹣3﹣2﹣10…y…４0﹣2﹣2０4…下列说法正确的是(）Ａ．抛物线的开口向下B．当ｘ＞﹣３时,ｙ随x的增大而增大Ｃ．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣【分析】选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论．【解答】解：将点（﹣4，０）、(﹣１,０）、（0,4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得:，解得:，∴二次函数的解析式为ｙ＝x2＋５ｘ+4.Ａ、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；Ｂ、﹣=﹣,当x≥﹣时,y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2＋5ｘ＋4=﹣，二次函数的最小值是﹣，C不正确;D、﹣=﹣，抛物线的对称轴是x=﹣,Ｄ正确．故选Ｄ．【点评】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.5．(2016•宁波)已知函数ｙ=ax2﹣2ax﹣1(a是常数，a≠0),下列结论正确的是（) A.当a＝1时,函数图象过点(﹣1，1)Ｂ.当a=﹣２时,函数图象与x轴没有交点C．若ａ>0,则当x≥1时，y随x的增大而减小D.若a＜０，则当x≤１时，y随x的增大而增大【分析】把a＝１，x＝﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点(﹣1，1)，根据△＝8>0,得到函数图象与ｘ轴有两个交点,根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．【解答】解:A、∵当a＝1,x=﹣1时，y=1+2﹣1=２,∴函数图象不经过点（﹣1，1),故错误；Ｂ、当a=﹣2时，∵△=4２﹣4×(﹣2）×（﹣１）＝8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点,故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线ｘ=﹣＝１，∴若a>０，则当x≥1时，ｙ随ｘ的增大而增大，故错误;Ｄ、∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝﹣=1,∴若a＜0,则当x≤1时,y随ｘ的增大而增大，故正确;故选D.【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.6.（２016•达州）如图，已知二次函数y＝aｘ2+bｘ+ｃ(a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0),与y轴的交点B在(０,﹣2）和(0，﹣1)之间(不包括这两点），对称轴为直线x＝1.下列结论：①abｃ>０②4ａ＋2b+ｃ＞０③4aｃ﹣b2<8a④<a<⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（)A.①③B．①③④ﻩC．②④⑤Ｄ．①③④⑤【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出ａ、b、c的符号，从而判断①;根据对称轴得到函数图象经过（３,0）,则得②的判断;根据图象经过(﹣1,0)可得到a、b、ｃ之间的关系,从而对②⑤作判断;从图象与y轴的交点B在(0,﹣2）和(0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a>０;∵对称轴在y轴右侧∴ab异号,∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,∴c<0,∴abc>０，故①正确；②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴图象与ｘ轴的另一个交点为（３,0)，∴当ｘ=2时，y＜0，∴4ａ+2b+c<0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0),∴当x＝﹣1时，y=(﹣1）2a＋b×(﹣1)+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c,c=b﹣a，∵对称轴为直线ｘ=1∴=１,即b=﹣2a，∴ｃ=b﹣ａ=（﹣２a）﹣a=﹣3a,∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a)﹣(﹣2a)2＝﹣16a2<0∵8a>0∴４ac﹣b2<8a故③正确④∵图象与ｙ轴的交点B在(0，﹣2）和（0，﹣1）之间,∴﹣2<c＜﹣1∴﹣2<﹣３ａ＜﹣1,∴>a>；故④正确⑤∵ａ＞０,∴b﹣c>０,即ｂ>c;故⑤正确；故选:Ｄ.【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．７．（20１６•绍兴)抛物线y＝x2+bx+c（其中b,c是常数)过点A(2,６),且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（)A．4ﻩＢ．6 C.8 Ｄ．1０【分析】根据抛物线y=x2＋bx+ｃ（其中b,c是常数)过点A（2，6)，且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤３）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题.【解答】解：∵抛物线y=ｘ2+bx+c（其中ｂ，c是常数）过点A（２,６),且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤ｘ≤3)有交点，∴解得6≤c≤1４,故选A.【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式,解题关键是明确题意，列出相应的关系式.８．(2016•泸州）已知二次函数ｙ=ax２﹣bx﹣２(a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(﹣1,0)，当ａ﹣ｂ为整数时,ab的值为（)A．或1 Ｂ．或1 C．或ﻩD.或【分析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定ａ的取值范围,根据a ﹣b为整数确定ａ、b的值,从而确定答案.【解答】解：依题意知a＞0,>０，ａ+ｂ﹣２=0，故b>0，且b=2﹣ａ,ａ﹣b=a﹣(2﹣ａ）=２a﹣2,于是０＜a＜2,∴﹣２<2a﹣2<2,又a﹣b为整数，∴2a﹣2＝﹣１,0，1，故a=，1,,ｂ=，１，,∴ab=或1,故选A.【点评】本题考查了二次函数的性质,解题的关键是能够根据图象经过的点确定a+b+c的值和a、b的符号，难度中等.9．（2０１6•株洲)已知二次函数y=ax2+bx＋c（a＞0)的图象经过点A(﹣１,2），B(2,5），顶点坐标为(ｍ,n),则下列说法错误的是()A．ｃ＜3ﻩB.m≤ﻩC．ｎ≤2 D．b＜1【分析】根据已知条件得到,解方程组得到c=3﹣2a<3,b＝1﹣a<1,求得二次函数的对称轴为ｘ=﹣=﹣=﹣<,根据二次函数的顶点坐标即可得到结论.【解答】解:由已知可知:,消去b得：ｃ=3﹣2ａ<3，消去c得:ｂ=１﹣a<1,对称轴:m＝x＝﹣=﹣=﹣<,∵Ａ（﹣1，2)，a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值,∴n≤2,故B错.【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键.10．（20１５•南昌）已知抛物线ｙ=ax2＋ｂx+c(a>0)过(﹣２，0)，(2,3）两点,那么抛物线的对称轴（)A.只能是ｘ＝﹣1B.可能是y轴Ｃ．可能在y轴右侧且在直线ｘ＝2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【分析】根据题意判定点(﹣2,0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足:﹣2＜x2<2,从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解:∵抛物线ｙ=ax2+bx+c（ａ＞0)过(﹣2,0）,(２,3）两点,∴点（﹣２，0)关于对称轴的对称点横坐标ｘ2满足:﹣2＜x2＜2，∴﹣２<＜0，∴抛物线的对称轴可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D.【点评】本题考查了二次函数的性质,根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键.11.（20０７•临沂）如图,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分)片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（)Ａ．x＝1０,ｙ＝１4ﻩＢ．x=1４,y=10ﻩＣ．ｘ=１２，y＝１5ﻩD．x=15，y=12【分析】由直角三角形相似得,得x=•(24﹣y）,化简矩形面积S=xy 的解析式为S＝﹣（ｙ﹣１2）2+180，再利用二次函数的性质求出S 的最大值,以及取得最大值时x、y的值.【解答】解:以直角梯形的下底直角边端点为原点,两直角边方向为x,y轴建立直角坐标系,过点D作DE⊥x轴于点E，∵NH∥DＥ,∴△ＣNH∽△CDE，∴=，∵CＨ=２4﹣ｙ,CＥ＝24﹣8,ＤE=OＡ＝２0,NH＝x,∴，得x=•（２4﹣y），∴矩形面积S=xy=﹣(y﹣12)2+180,∴当y＝1２时,S有最大值,此时ｘ=１5.故选D.【点评】本题考查的是直角梯形以及矩形的性质的相关知识点.１２．（2０１5•玉林）如图,反比例函数y=的图象经过二次函数ｙ＝ax2+bx图象的顶点(﹣,ｍ）(ｍ>0),则有( ）A．a＝ｂ+2ｋＢ.ａ=b﹣2k C．k＜ｂ＜0 D．a＜k＜0【分析】把（﹣，ｍ）代入ｙ=ａx2+ｂｘ图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣)，再把（﹣,﹣)代入得到ｋ＝,由图象的特征即可得到结论．【解答】解:∵y=ａx２＋bｘ图象的顶点（﹣,m）,∴﹣＝﹣，即b=a，∴m＝=﹣，∴顶点(﹣，﹣),把x＝﹣,y=﹣代入反比例解析式得:ｋ=,由图象知：抛物线的开口向下，∴a<0,∴a＜k<0，故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．二.填空题(共9小题)13．（２0１６•厦门)已知点P（m，n）在抛物线y=ａx2﹣ｘ﹣a上,当m≥﹣１时,总有n≤1成立，则ａ的取值范围是﹣≤ａ＜0.【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出a的取值范围.【解答】解：根据已知条件，画出函数图象,如图所示．由已知得：，解得:﹣≤a＜０.故答案为:﹣≤ａ＜0【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是画出函数图象,依照数形结合得出关于a的不等式组．本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次函数的性质画出函数图象,利用数形结合解决问题是关键．14．（２016•镇江）ａ、ｂ、c是实数，点A(a+1、b)、B(ａ＋２，c)在二次函数ｙ=x2﹣２ａx+3的图象上,则b、c的大小关系是ｂ< c（用“>”或“＜”号填空）【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可.【解答】解：∵二次函数y=ｘ2﹣2ax+3的图象的对称轴为x＝a，二次项系数1＞0,∴抛物线的开口向上,在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1<ａ+2,点A(ａ＋1、b）、Ｂ(a+2，c)在二次函数y＝x2﹣2ax+3的图象上，∴ｂ＜c,故答案为:<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,求出对称轴解析式，然后利用二次函数的增减性求解更简便．15.（2０16•内江）二次函数y＝ax２+bx+c的图象如图所示,且P＝|２a+b｜+|3b ﹣2ｃ｜，Ｑ=｜2ａ﹣ｂ|﹣|3b＋２c|，则P，Ｑ的大小关系是P>Q.【分析】由函数图象可以得出a＜0，b>0，ｃ＞0，当x=1时，y=a＋ｂ+c＞0,x＝﹣１时,y=a﹣b＋ｃ<0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Ｑ的值．【解答】解:∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵﹣＞0,∴b＞0，∴2a﹣b＜0,∵﹣=1，∴b+2a=0,x＝﹣1时，ｙ=a﹣b＋c＜０.∴﹣ｂ﹣ｂ+c＜0，∴３b﹣２c＞0，∵抛物线与ｙ轴的正半轴相交，∴ｃ＞０，∴3b+2c＞０，∴p=３b﹣２c，Q=b﹣2a﹣３ｂ﹣２c=﹣2a﹣2ｂ﹣２c，∴Q﹣P=﹣2ａ﹣2b﹣２ｃ﹣3b+2c＝﹣２a﹣5b=﹣4ｂ＜0∴P>Ｑ，故答案为:P>Q.【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值,二次函数的性质.熟记二次函数的性质是解题的关键．１6.(2０１6•梅州）如图,抛物线ｙ=﹣x２+2ｘ+３与y轴交于点Ｃ,点D（０，1），点P是抛物线上的动点.若△PＣＤ是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为（１+,2）或(1﹣,2）.【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CＤ中点的坐标,从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标.【解答】解：∵△PCD是以CＤ为底的等腰三角形，∴点Ｐ在线段CD的垂直平分线上,如图，过Ｐ作ＰE⊥y轴于点Ｅ,则E为线段CＤ的中点，∵抛物线ｙ=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,∴C（0，3），且Ｄ(0,1），∴E点坐标为（0，２）,∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+２ｘ＋３中,令y=２，可得﹣x2＋2x＋3=2，解得x=1±,∴Ｐ点坐标为（1＋,2）或(1﹣,2）,故答案为:（1+，２）或(１﹣，2）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．１7．（2014•宁德)如图，P是抛物线y=﹣x2+x＋2在第一象限上的点,过点Ｐ分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A,B，则四边形ＯＡPB周长的最大值为 6 ．【分析】设Ｐ(ｘ,ｙ)（2＞ｘ＞0，y>0),根据矩形的周长公式得到C=﹣2(x﹣1)2+６.根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y=﹣x2+ｘ+2，∴当y＝０时,﹣x２＋x+2＝0即﹣（ｘ﹣2）（ｘ+1）=0,解得x=2或ｘ＝﹣1故设P（x,y）（2＞x＞0，y>0）,∴C=2(x＋y）=２(ｘ﹣x2+x+2)＝﹣2（x﹣１）2+6.＝６，.∴当ｘ=1时，C最大值即：四边形OAPＢ周长的最大值为6．故答案是:６．【点评】本题考查了二次函数的最值,二次函数图象上点的坐标特征.求二次函数的最大（小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出,第二种是配方法，第三种是公式法.本题采用了配方法.18．（2016•泰州）二次函数y＝x2﹣2ｘ﹣３的图象如图所示,若线段ＡＢ在ｘ轴上,且AB为２个单位长度,以AＢ为边作等边△ＡBＣ,使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3)或（2,﹣3）．【分析】△AＢC是等边三角形，且边长为2,所以该等边三角形的高为3,又点C在二次函数上,所以令y=±３代入解析式中,分别求出x的值．由因为使点C落在该函数y轴右侧的图象上,所以x>0.【解答】解:∵△ABＣ是等边三角形，且AB＝2,∴ＡＢ边上的高为3,又∵点C在二次函数图象上,∴C的纵坐标为±３,令y=±３代入y＝x2﹣2x﹣3，∴ｘ=1或０或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0,∴ｘ＝1+或x＝2∴C(１+,3）或(2,﹣3）故答案为：(1+,3)或(２，﹣３）【点评】本题考查二次函数的图象性质,涉及等边三角形的性质,分类讨论的思想等知识,题目比较综合，解决问题的关键是根据题意得出C的纵坐标为±3.1９．（２016•大庆)直线y=kｘ+b与抛物线y=x2交于Ａ(x１，ｙ1)、B（x２，y2）两点,当OA⊥OB时，直线ＡＢ恒过一个定点,该定点坐标为（０,4）.【分析】根据直线ｙ=ｋｘ+ｂ与抛物线y=x2交于A(ｘ1，ｙ1）、B（x2,y2)两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程,从而可以得到两根之和与两根之积，再根据OＡ⊥OB，可以求得b的值,从而可以得到直线ＡB恒过的定点的坐标.,y1)、Ｂ(x２，ｙ２)两点,【解答】解:∵直线y=ｋx＋b与抛物线y=ｘ2交于A（ｘ１∴kｘ+b=，化简，得ｘ２﹣４kx﹣４b=0,∴ｘ1+x2=4ｋ,ｘ1ｘ2=﹣4b，又∵OＡ⊥OＢ，∴=,解得,ｂ＝4，即直线y=ｋｘ＋４，故直线恒过顶点（0，4),故答案为：(0,4）.【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,知道两条直线垂直时,它们解析式中的k的乘积为﹣1．20．(2０16•长春）如图，在平面直角坐标系中,菱形OＡBC的顶点Ａ在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3）,D是抛物线ｙ＝﹣x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCＤ面积的最大值为15.【分析】设D（x，﹣x2+6x),根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S＝×5×(﹣x2+6ｘ﹣3）=﹣（x﹣3)２+１5,△BCD根据二次函数的性质即可求得最大值.【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点,∴设D(x，﹣x2+6x）,∵顶点C的坐标为(4，3）,∴OC=＝5,∵四边形OABC是菱形，∴BＣ=ＯＣ=5,BC∥x轴，=×5×(﹣x2+６ｘ﹣３)=﹣（x﹣3)２＋15,∴S△BCD∵﹣＜0，有最大值，最大值为1５,∴S△BCＤ故答案为15．【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质,注意数与形的结合是解决本题的关键．21．（201６•自贡)抛物线y=﹣x2+4ax+ｂ（ａ＞0）与ｘ轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点）,过点P（2,2a)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点Ｂ关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合)，连接AＰ交ｙ轴于点Ｎ,连接BC和PC．(１)ａ=时，求抛物线的解析式和BC的长;(2）如图a＞１时，若AＰ⊥PC,求ａ的值．【分析】（１)根据抛物线经过原点b=0，把a=、b＝0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标,即可求出BＣ长.（2）利用△PＣＢ∽△APM，得＝,列出方程即可解决问题.【解答】解:（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b(a＞0）经过原点O,∴b＝0，∵ａ＝,∴抛物线解析式为ｙ=﹣x２+6x，∵x=2时，ｙ＝８，∴点B坐标（２，8）,∵对称轴x=3，Ｂ、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，８）,∴BＣ＝2.（2)∵AP⊥ＰC，∴∠AＰC＝90°,∵∠ＣＰB+∠APM＝90°,∠ＡPM＋∠PＡM=90°,∴∠CＰB=∠PAＭ，∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△AＰM,∴=,∴=,整理得a２﹣４a+２=０,解得a=2±,∵a＞1,∴a=2+．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识,解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题,学会转化的思想，属于中考常考题型．三．解答题(共12小题)22．（2016•黔南州)已知二次函数y＝x２+ｂx＋c的图象与y轴交于点C(0,﹣６)，与x轴的一个交点坐标是A（﹣2,0)．（1)求二次函数的解析式,并写出顶点D的坐标;（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度,当y<0时,求x的取值范围.【分析】（１)将点Ａ和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、ｃ的值,从而得到抛物线的解析式,然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标;（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标,最后依据ｙ<0可求得ｘ的取值范围．【解答】解:（1）∵把C(0,﹣６）代入抛物线的解析式得：Ｃ=﹣6，把A(﹣2，0)代入y＝x2+bx﹣6得:ｂ＝﹣１,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6.∴y=（x﹣)2﹣．∴抛物线的顶点坐标D(，﹣）．(2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：ｙ=（x+2）2﹣．=，ｘ2＝﹣．令y=0得：（x+２）2﹣＝0,解得:x１∵a＞０,∴当y<0时,x的取值范围是﹣<ｘ＜．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键．23．（2016•无锡）已知二次函数y=ａx2﹣2ax+c（a＞0)的图象与ｘ轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点Ｄ,且CＰ:PD=2:3（1)求A、B两点的坐标；(2)若ｔan∠PDB=,求这个二次函数的关系式.【分析】（1)由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1，过点Ｐ作ＰE⊥ｘ轴于点E，所以OE：EB=ＣP：PD；（2)过点C作ＣF⊥ＢＤ于点Ｆ，交PＥ于点G，构造直角三角形CDF,利用tan∠P ＤＢ=即可求出FD，由于△ＣPG∽△CDF,所以可求出PG的长度，进而求出a 的值,最后将A(或B）的坐标代入解析式即可求出c的值.【解答】解：(1）过点P作PE⊥ｘ轴于点E,∵ｙ=ax2﹣2ａx+c,∴该二次函数的对称轴为：x=1，∴ＯＥ=1∵OC∥BＤ,∴CP:ＰＤ＝OE:EB，∴OＥ：ＥＢ＝2:3,∴ＥB=，∴ＯB=OＥ+EB=，∴Ｂ（，０)∵Ａ与B关于直线ｘ=1对称,∴A（﹣,0);(2)过点C作CF⊥BＤ于点F,交PE于点G，令ｘ=1代入ｙ＝ax2﹣2aｘ+c,∴ｙ＝c﹣a，令x=０代入y=ax2﹣2ａx+ｃ，∴y＝c∴PＧ=a,∵ＣＦ=OB=,∴tan∠ＰＤB=,∴FＤ＝２，∵PG∥BD∴△ＣＰG∽△CDF，∴＝＝∴PG＝，∴a=,∴y=ｘ2﹣x+c，把A(﹣，０)代入y=ｘ2﹣x+c，∴解得:ｃ＝﹣1，∴该二次函数解析式为:y=x2﹣ｘ﹣１．【点评】本题考查二次函数，涉及待定系数法求出二次函数解析式,相似三角形的性质与判定，锐角三角函数等知识内容,解题的关键是利用作垂线构造直角三角形，再利用相似三角形的对应边的比相等即可得出答案．２４．(201６•淄博）已知，点M是二次函数y=ａx2（ａ>0）图象上的一点，点Ｆ的坐标为(0,）,直角坐标系中的坐标原点O与点Ｍ，F在同一个圆上，圆心Ｑ的纵坐标为.(1)求a的值；(2）当Ｏ，Q,Ｍ三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;（３）当点M在第一象限时,过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF．【分析】(1）设Q（m，）,F(０，），根据ＱO=ＱＦ列出方程即可解决问题．（2)设M（t,t2），Ｑ（m，），根据ＫOM＝K OQ,求出t、ｍ的关系,根据QO=QM列出方程即可解决问题.(３）设M（n,n２）(n>０）,则N(ｎ，0）,Ｆ（０,),利用勾股定理求出MF即可解决问题.【解答】解:(１）∵圆心Q的纵坐标为，。

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题1(附答案)

14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
15．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为_____m．
方法一如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy；
方法二如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，
27．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为 m．
A．8B．9C．10D．11
5．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－ x2，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）
A．－20mB．10m
C．20mD．－10m
6．如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（）
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题1（附答案）
1．如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．水面下降1m，水面宽度为（）
A．2 mB．2 mC． mD． m
2．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度米，顶点距水面米（即米），小孔顶点距水面米（即米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度长为（）
A．9.2mB．9.1mC．9.0mD．8.9m

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)

初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案）1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A ．2.5米B ．3米C ．3.5米D ．4米6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（）cm ．A ．3B ．2C ．3D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米9．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m)与水流运动时间t (单位:s)之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 s B ．4 s C ．3 s D ．2 s10．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣x 2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（）A ．1.25米B ．2.25米C ．2.5米D ．3米11．市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是____米．12．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．14．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．16．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D 到地面的距离都是1.6米，即 1.6BC OD ==米，1AB =米，5AO =米，则水柱的最大高度是______米.17．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线212y x bx =-+来描述，已知水流的最大高度为20m ，则b 的值为________． 18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y ＝﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是_____米．20．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ,E ,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ,F . 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A 的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）23．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=3+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y =13-x 2+bx +c 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 24．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.25．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．26．某小区有一半径为8m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？27．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，点O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任意平面上，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.请完成下列问题：（1）将2y x 2x 3=-++化为()2y a x h k =-+的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）写出左边那条抛物线的表达式；（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 28．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）29．某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y （m ）与喷出水流喷嘴的水平距离x （m ）之间满足2122y x x =-+ （l ）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？30．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，1tan 2α=．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．参考答案1．D【解析】【分析】设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入(3，0)得，0=a×(3-1)2+3，求得：a=34．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)，令x=0，则y=94=2.25．则水管长为2.25m，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．2．C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．3．B【解析】【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+403，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+403，得a(0﹣1)2+403＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．4．B【解析】【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键5．B【解析】【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把A（0，2.25）代入，得2.25=a+3，a=-0.75．∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，0=-0.75（x-1）2+3，解得：x1=-1（舍去），x2=3．OB=3米．故选：B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．6．B【解析】【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．【详解】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-32（x-2）2+6，∴当x=2时，y有最大值，∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B【解析】【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】解：如图：根据题意，得Q （9，15.5），B （6，16），OH ＝6，设抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+bx +c ， 12×81915.5,,183114.×36616,18b c b c b c ⎧-++=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-++=⎩⎪⎩解得，所以抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+23x +14．当y ＝0时，即0＝﹣118x 2+23x +14，解得：x ＝2（负值舍去），又OH=6，所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是2cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．8．A【解析】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m9．A【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t -5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．解：水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t −5t 2得：5t 2−30t =0，解得：t 1=0(舍去),t 2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.故选A.10．B【解析】试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．解：∵y=﹣x 2+2x+1.25=﹣（x ﹣1）2+2.25，∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．故选B ．考点：二次函数的应用．11．4【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.【详解】水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标， ∴()22424y x x x =-+=--+，∴顶点坐标为：()2,4， ∴喷水的最大高度为4米.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题.12．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25．【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：()23134y x =--+，当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤；令3x =-，则33 2.254y =-+=．故水管AB 的长为2.25m ．故答案为：()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．13．7【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x －3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x －3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=－15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－15（x－3）2+5（0＜x＜8）．当y=1.8时，有－15（x－3）2+5=1.8，解得：x1=－1（舍去），x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．故答案为：7【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．14．6【解析】【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2得：5t2-30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．15．5【解析】【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.25∵点A （0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a （0﹣1）2+2.25解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.25解得：x ＝2.5或x ＝﹣0.5（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.5，0）∴OB ＝OC ＝2.5∴CB ＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．16．7225【解析】【分析】设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0）， ∴ 1.6164 1.62550c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得825322585a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， ∴解析式为：2832825255y x x =-++， ∴当3225282()25x =-=⨯-时，y 有最大值为7225. ∴水柱的最大高度是7225米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键． 17．±【解析】【分析】利用二次函数的性质列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：抛物线y =12-x 2+bx ，根据题意得： 2b a - =122b -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=b ，当x =b 时，取得最大值为20，21202b b b -+=， 12b 2=20， b =±．故答案为：b =±．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 18．92【解析】【详解】当y=0时，即-x2+4x+94=0，解得x1=92，x2=-12（舍去）．答：水池的半径至少92米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案是：92．19．4米【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点睛】考点：二次函数的应用．理解二次函数性质是关键.2010【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y =-0.6x +21.2. 把y =6.2代入得， -0.6x +21.2=6.2， ∴x =25, ∴F (25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx +1.2, 把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩解之得0.041.2a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴y =-0.04x 2+1.2x +1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了h m, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得 y =-0.04(x +h )2+1.2(x+h )+1.2+0.4, 把F (25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h )2+1.2(25+h )+1.2+0.4，整理得 h 2+20h -10=0, 解之得110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y =kx +21.2. 把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入y=ax 2+bx +1.2求出二次函数解析式.设向左平移了h m ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值.21．（1）详见解析；（2）水管长为2.25m ．【解析】【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ，则设抛物线的解析式为： y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），代入（3，0）求得：a ＝﹣34．将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），令x ＝0，则y ＝94＝2.25．故水管长为2.25m ．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 22．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动610 【解析】【分析】（1）根据题意利用θ的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出v x 表示出x ，OA 已知，利用y=d+OA ，代入OA 的值和d 与t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A 和点B 的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C 的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解．【详解】解：（1）∵v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°，∴cosθ=0xv v ，sinθ=0y v v ，∴v x =15cos53°=15×35=9，v y =15sin53°=15×45=12；答：水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）x=v x t=9t ， ∴t=9x ，又M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15；∴y 与x 的关系式为：y=-2581x +43x+15．（3）∵坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13，∴OB=45米，点A （0，15）点B （45，0）∴直线AB 的解析式为：y=13x -+15，将其与抛物线解析式联立得：254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得015x y =⎧⎨=⎩（舍）或276x y =⎧⎨=⎩，∴水流在山坡上的落点C 坐标为（27，6），喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离，而答：水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键． 23．（1）y =-13x 2+3x +5；（2）当x=2时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意先求出A,B 的坐标，再把其代入解析式即可（2）由（1）即可解答（3）过点C 作CD ⊥OA 于点D ，求出ODOD 代入解析式即可【详解】（1）∵AB =10、∠OAB =30°， ∴OB =12AB =5、OA则A （0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y =-13x 2+bx +c，得：175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：5b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y =-13x 2+5；（2）水柱离坡面的距离d =-13x 2+3x +5-（-3x +5）=-13x 2+533x =-13（x 2-53x ） =-13（x -532）2+254， ∴当x =532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD 3 则OD 3，当x 3时，y =-13×（32+33×3＞1+3.5，所以水柱能越过树．【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出A,B 的坐标 24．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【解析】【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.。

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第十讲抛物线一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；2．抛物线关于ab x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(ab 2-，a b ac 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式：①一般式：c bx ax y ++=2；②顶点式：k h x a y +-=2)(；③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根．确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例1】二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0<y 时，对应x 的取值范围是．思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出b ，c 值，先求出0=y 时，对应x 的值．【例2】已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1，0)，且满足024>++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路点拨由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4分米，抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨恰当建立直角坐标系，易得出M 、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x ，y )，建立含x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．【例4】二次函数223212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于C 点，且∠ACB ＝90°．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与y 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的41，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．思路点拨 (1)A 、B 、C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m 的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注：解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．【例5】已知函数1)1(2)2(22+--+=x a x a y ，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 何值时，函数值最小．思路点拨将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为23)2(212++-=+-=a a a a x ，因1230≤+<a ，12122-≤+-<-a a a a ，故函数的最小值只可能在x 取2-a ，2-a ，212+-a a 时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．学历训练 1．如图，若抛物线2ax y =与四条直线1=x 、2=x 、1=y 、2=y 所围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是．2．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为．3．如图，抛物线的对称轴是直线1=x ，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(-l ，0)、(0，23)，则(1)抛物线对应的函数解析式为；(2)若点P 为此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为．4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的式子①1442-=-ab ac ，②01=++b ac ，③0>abc ，④0>+-c b a ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．5．已知1-<a ，点(1-a ，1y )，(a ，2y )，(1+a ，3y )都在函数2x y =的图象上，则( )A ．321y y y <<B ．231y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<6．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532+-=x x y ，则有( )A ．3=b ，7=cB ．9-=b ，15-=cC ．3=b ，c ＝3D ．9-=b ，21=c7．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点(b a +，ac )所在的直角坐标系是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x (m)的函数图象大致是( )9．阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(0，a )，B(1，-2) ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线2=x ．题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?11．如图，抛物线和直线k kx y 4-= (0<k )与x 轴、y 轴都相交于A 、B 两点，已知抛物线的对称轴1-=x 与x 轴相交于C 点，且∠ABC ＝90°，求抛物线的解析式．12．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若△ABC 是直角三角形，则=ac ．13．如图，已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于．14．已知二次函数c bx ax y ++=2，一次函数4)1(2k x k y --=．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为．15．如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式中不能总成立的是( )A ．b=0B ．S △ADC ＝c 2 C ．ac ＝一1D ．a+c ＝016．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )A ．过点(3，0)B ．顶点是(2，一2)C ．在x 轴上截得的线段长为2D ．与y 轴的交点是(0，3)17．已知A(x 1，2002)，B(x 2，2002)是二次函数52++=bx ax y (0≠a )的图象上两21x x x += 时，二次函数的值是( )A ．522+a bB ．542+-ab C ． 2002 D ．518．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．19．如图，已知二次函数222-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，直线：x ＝m(m>1)与x 轴交于点D ．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在直线x ＝m (m>1)上有一点P (点P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求P 点坐标(用含m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线222-=x y 上是否存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．20．已知二次函数22--=x x y 及实数2->a ，求(1)函数在一2<x ≤a 的最小值；(2)函数在a ≤x ≤a+2的最小值．21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，3-)，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．(1)求二次函数的解析式；(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小，并求P 点坐标；(3)在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a≠0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3的顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3上．(1)请你协助探求出当实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3的顶点．．所在直线的解析式； (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．参考答案。