泛函分析第二章知识点总结

泛函分析第二章知识点总结

泛函分析知识点总结Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第二类型集。解释：完备的距离空间(X,d)(X,d)，∀x∈X∀x∈X都是内点，因为XX在XX中是开集。一个无处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个XX，即XX不是第一类型集，所以只能是第二类型集。注：完备的距离空间是第二类型集，那么它的闭包至少存在一个内点。这个经常被用来证明。例如，开映射定理、闭图像定理等。闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤立点。所以闭包是集合导集和孤立点组成的集合。闭集在度量空间中，如果一个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。不动点定理压缩映射：设(X,d)(X,d)是距离空间，TT是XX到XX的映射，如果存在一个常数θ(0≤θ<1)θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈Xx,y∈X，满足下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称TT是XX上的一个压缩映射。不动点定理：设XX是完备的距离空间，TT是XX到XX的压缩映射，则TT在XX上有唯一的不动点x∗x∗.即Tx∗=x∗Tx∗=x∗是方程Tx=xTx=x在XX上的唯一解。