2020年高考理科数学复习第53讲 曲线与方程

第53讲 曲线与方程

1．曲线与方程

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．

2．求曲线方程的基本步骤

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × )

解析 (1)正确．由f (x 0，y 0)＝0可知点P (x

0，

y

)

在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0.所以f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要

条件．

(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，所以x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.

(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确．

(4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示曲线的一部分，故其不正确． 2．和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c (c ≠0)的点的轨迹方程为__2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0__.

解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知

((x －0)2＋(y －0)2)2＋((x －c )2＋(y －0)2)2＝c ， 即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.

3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角的动点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2＝1(x ≠±1)__.

解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．

4．平面内有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →

，则动点C 的轨迹方程为__y 2＝8x (x ≠0)__．

解析 AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →

＝0. 即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y

2

＝0.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)． 5．圆的方程为x 2＋y 2＝4，抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__x 24＋y 2

3

＝1(y ≠0) __.

解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA 1＋||BB 1＝2||OO 1＝4，由抛物线定义得||AA 1＋||BB 1＝||F A ＋||FB ，∴||F A ＋||FB ＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．

一 定义法求轨迹方程

应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．

【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．

解析 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝

3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以||PM ＋||PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2＝||MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 2

3

＝1(x ≠－2)．

二 直接法求轨迹方程

直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略

(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 【例2】 (2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．

(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；

(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解析 由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且 A ⎝⎛⎭⎫a 2

2，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 2

2，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－1

2，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12

，a ＋b 2.

记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2

－ab ＝1a ＝－ab

a ＝－

b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .

(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝1

2|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝

|a －b |

2

. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，解得x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．

当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y

x －1(x ≠1)．

而

a ＋b

2

＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，故所求轨迹方程为y 2＝x －1.