第21课时-二次函数与方程(组)或不等式(附答案)

第21课时 二次函数与方程（组）或不等式

◆知识讲解

（1）最大值或最小值的求法

第一步确定a 的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，•顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

（2）y 轴与抛物线y=ax 2+bx+c 的交点为（0，c ）．

（3）与y 轴平行的直线x=h 与抛物线y=ax 2+bx+c 有且只有一个交点（h ，ah 2+bh+c ）．

（4）抛物线与x 轴的交点．

二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x •轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔△>0⇔抛物线与x 轴相交．

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔△=0⇔抛物线与x 轴相切；

③没有交点⇔△<0⇔抛物线与x 轴相离．

（5）平行于x 轴的直线与抛物线的交点．

同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，•两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2+bx+c=k 的两个实数根．

（6）一次函数y=kx+n （k≠0）的图像L 与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像G 的交点，由方程组2y kx n

y ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时⇔L

与G 有两个交点；②方程组只有一组解时⇔L 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔L 与G 没有交点．

（7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x 轴的交点，•再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分．

◆例题解析

例1 如图所示，已知抛物线y=－12

x 2+（5

）x+m －3与x 轴有两个交点A ，B ，点A •在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ．（1）求m 的值；（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C 的坐标；（3）问在抛物线上是否存在一点M ，△MAC ≌△OAC ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】抛物线与x 轴交于A ，B 两点，OA=OB ，故A ，B 两点关于y 轴对称，就可求得m 的值，由抛物线交y 轴的正半轴，得m 的确定值．

【解答】（1）∵抛物线与y 轴交于正半轴，且OA=OB ．

∴3050

m a ->⎧⎪⎨=⎪⎩ 由②得m=±5，由①m>3，故m=－5应舍去．∴m=5．

（2）抛物线的解析式为y=－

12x 2+2，对称轴是y 轴，顶点C 的坐标为C （0，2）． （3）令y=0得 －12

x 2+2=0，∴x=±2． ∴A （2，0），B （－2，0），C （0，2），△OAC 是等腰直角三角形．

若存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ，∵AC 为公共边，OA=OC ，

∴点M 与O 关于直线AC 对称，∴M 点的坐标为（2，2）．

当x=2时，－12

x 2+2=0≠2． ∴M （2，2）不在抛物线上，即不存在一点M ，使△MAC ≌△OAC ．

【点评】存在性问题，通常是先假定存在，若能找出具备某种条件或性质的对象，就说明存在，其叙述过程就是理由；若不存在，就需要进一步说明理由．

例2 已知二次函数y=x 2－（2m+4）x+m 2－4（x 为自变量）的图像与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO ，OB •满足3（•OB －AO ）=2AO·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图像的一个交点为P ，且锐角∠POB •的正切值4．

（1）求m 的取值范围；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）确定直线y=kx+k的解析式．

【分析】利用抛物线与x轴的交点A，B的位置及与y轴交点的位置和A，B两点到原点的距离可以求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解．【解答】（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）（x1

∴△=[－（2m+4）] 2－4（m2－4）>0．

解得m>－2．①

又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方，

∴m2－4<0，∴－2

（2）∵图像交y轴于负半轴，与x轴交于A，B两点，且x1

∴x1<0，x2>0．

由3（OB－AO）=2AO·OB可得

3[x2－（－x1）]=2（－x1）·x2

即3（x1+x2）=－2x1x2

由于x1，x2是方程x2－（2m+4）x+m2－4=0的两个根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m2－4．

∴3（2m+4）=－2（m2－4）

整理，得m2+3m+2=0．

∴m=－1或m=－2（舍去）．

∴二次函数的解析式为y=x2－2x－3．

（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．

∵直线y=kx+k与抛物线相交，

∴由

223,

,

y x x

y kx k

⎧=-+⎨

=+

⎩

解得121,0.x y =-⎧⎨=⎩ 或222

3,4.x k y k k =+⎧⎨=+⎩ ∵∠POB 为锐角．

∴点P 在y 轴右侧，

∴点P 坐标为（k+3，k 2+4k ），且k+3>0．

∵tan ∠POB=4，

∴2|4|3

k k k ++=4． 如图所示，当点P 在x 轴上方时．

243

k k k ++=4．解得k 1

k 2=－

经检验，k 1

，k 2=－

k 2+3<0．

∴k 2=－

∴直线的解析式为

当点P 在x 轴下方时，243

k k k ++=－4， 解得k 3=－2，k 4=－6．

经检验，k 3=－2，k 4=－6是方程的解，但k 4+3<0．

∴k 4=－6舍去．

∴y=－2x －2．