1.5全称量词与存在量词
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5---全称量词与存在量词
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.5全称量词与存在量词【考点梳理】考点一全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”考点二含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【题型归纳】题型一：含全称量词和存在量词命题的判断1．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A ．对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+< B ．菱形的两条对角线相等 C ．x R ∀∈，2x x =D ．正方形是矩形2．下列命题不是存在量词命题的是（ ）A ．有些实数没有平方根B ．能被5整除的数也能被2整除C ．在实数范围内，有些一元二次方程无解D ．有一个m 使2m -与||3m -异号 3．设2(1):x p x x +<，则以下说法错误的是（ ） A ．“(),x R p x ∀∈”是假命题B ．()p x 是假命题 C ．“(),x R p x ∃∈”是假命题D ．“(),x R p x ∃∈”是真命题 题型二：含含量词的命题的否定问题4．命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定是（ ） A ．()0,1x ∀∉，20x x -≥B ．()0,1x ∃∈，20x x -≥ C ．()0,1x ∀∉，20x x -<D ．()0,1x ∀∈，20x x -≥5．已知命题P ：x R ∀∈，210x +>，则命题P 的否定为（ ） A ．x R ∃∈，210x +≤B ．x R ∀∈，210x +< C ．x R ∃∉，210x +≤D ．x R ∀∈，210x +≤6．已知命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为（ ）A ．01x ∀∈（，）都有2340x x --<恒成立B ．(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立C ． (01) x ∃∈，都有2340x x --=恒成立D ．0(0,1)x ∃∈都有2340x x --≠恒成立题型三：根据全称命题的真假求参数问题7．若命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞-B ．(,2)-∞C ．[1,1]-D ．(,0)-∞8．已知命题:p x R ∃∈，210mx +≤；命题:q x R ∀∈，210x mx ++>．若p ，q 都是假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≤-B ．2m ≥C ．2m ≥或2m ≤-D ．22m -≤≤9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣D ．13a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣题型四：根据存在量词命题的真假求参数问题10．若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．2{|}2a a -≤≤B ．{|2a a ≤-或}2a ≥ C ．2{|2}a a -<<D ．{2|a a <-或}2a >11．命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，2360x ax -+≤，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．37a ≥B ．13a ≥C ．12a ≥D ．13a ≤12．若命题“0x ∃∈R ，20390x mx -+<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞【双基达标】一、单选题 13．命题p ：“有些三角形是等腰三角形"的否定是（）A ．有些三角形不是等腰三角形B ．有些三角形可能是等腰三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形 14．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式是（ ） A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0<2x +1 B ．∀x ∈R ，∀n 0∈N *，使得n 0<2x +1 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x 0+1 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+115．下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ） A ．所有菱形的四条边都相等 B ．若2x 为偶数，则x 为自然数 C ．若对任意x ∈R ，则2210x x ++> D ．π是无理数16．下列全称量词命题中真命题的个数为（ ） ①负数没有倒数；②对任意的实数a ，b ，都有220a b +≥； ③二次函数21y x ax =--的图象与x 轴恒有交点；④x R ∀∈，y R ∈，都有20x y +>.A ．1B ．2C ．3D ．417．若存在x ∈R ，使220x x a ++<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．11a -<<D ．11a -<≤18．若命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]2-∞，B ．()2-∞，C ．[)2-∞，D ．()2+∞， 19．已知[]04x ∃∈，， 使2250x x m -+-<是真命题， 则m 的取值范围为（ ）A ．5∞+（，）B ．()13∞+，C ．()4∞+D ．()13∞-，20．若命题“[]1,2x ∀∈，10ax +>”是真命题，则a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞21．命题“任意a ∈R ，使方程10ax +=都有唯一解”的否定是（ ） A ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 B ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一 C ．任意a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 D ．存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在 22．下列说法错误的是（ ）A ．“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”B ．“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0”C ．“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的必要不充分条件D ．“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件【高分突破】一：单选题23．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥24．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞-B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-25．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，2010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤ 26．若命题“x R ∃∈，使()2110x a x ++<－”是假命题，则实数a 的取值范围为A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－27．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 A ．(,22⎤-∞⎦B ．223⎡⎤⎣⎦，C ．223⎡⎤-⎣⎦，D ．3λ= 28．已知命题P ：2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<若命题P 是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a ≤≤B ．13a -≤≤C ．13a <<D ．02a ≤≤二、多选题29．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有 A ．21,0.4x x x R $?+< B ．所有的正方形都是矩形 C ．2,220x x x $?+R …D ．至少有一个实数x ，使310x += 30．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件 31．命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．8a ≥B ．9a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥ 32．下列命题中，真命题的是（ ） A ．0a b -=的充要条件是1a b= B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有210x x ++≥”D ．命题“x R ∀∈，210x x ++≠”的否定是“x R ∃∈，210x x ++=”33．取整函数：[]x =不超过x 的最大整数，如[1.2]1,[3.9]3,[ 1.5]2==-=-，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有（ ） A ．,[2]2[]x R x x ∀∈=B ．,[2]2[]x R x x ∃∈=C ．,,[][],x y R x y ∀∈=则1x y -<D ．,,[][][]x y R x y x y ∀∈+≤+三、填空题34．命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是__________.35．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，36．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是_________________． 37．若全称命题：“x R ∀∈，2304kx kx +-<成立”是真命题，则实数k 的取值范围是______． 38．若对{}12x x x ∀∈≤≤，{}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立，则实数m 的取值范围是_______.四、解答题39．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数.40．命题p ：任意x ∈R , 2x -230mx m ->成立；命题q ：存在x ∈R , 2x +410mx +<成立. （1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; （2）若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围;41．已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[－2，－1]，x 2－a≥0，命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．42．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.43．已知m R ∈，命题p ：[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-恒成立；命题q ：存在x ∈R ，使得220x x m -+->. （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 有且只有一个真命题，求实数m 的取值范围.【答案详解】1．D 【详解】对于A 选项，命题“对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+<”为全称命题， 但()()2222222110a b a b a b +--+=-+-≥，该命题为假命题；对于B 选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题； 对于C 选项，命题“x R ∀∈，2x x =”为全称命题，当0x <时，2x x =-，该命题为假命题；对于D 选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题. 故选：D. 2．B 【详解】选项A 、C 中“有些”是存在量词，选项D 中“有一个”是存在量词，选项B 中不含存在量词，不是存在量词命题． 故选：B ． 3．C 【详解】由221551()244x x x +-=+-≥-，对于A 中，命题“(),x R p x ∀∈”是假命题，所以A 是正确的； 对于B 中，命题()p x 是假命题，所以B 是正确的；对于C 中，命题“(),x R p x ∃∈”是真命题，所以C 是错误的，D 是正确的.故选：C. 4．B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求出结果. 【详解】则命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定为()0,1x ∃∈，20x x -≥， 故选：B. 5．A 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题P 的否定为：x R ∃∈，210x +≤， 故选：A. 6．B 【详解】因为命题0:(0,1)p x ∃∈使得2340x x --=成立，则p ⌝为(0,1)x ∀∈都有2340x x --≠恒成立， 故选：B. 7．A 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使220x x m -->”是真命题， 所以440m ∆=+<，解得1m <- 故m 的取值范围是(,1)-∞-． 故选：A ．8．B 【详解】因为命题p 为假命题，则命题p 的否定为真命题，即：2,10x R mx ∀∈+>为真命题， 解得0m ≥，同理命题q 为假命题，则命题q 的否定为真命题，即2,10R x mx ∃∈++≤为真命题， 所以240m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 综上：2m ≥， 故选：B 9．C先求当命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>为真命题时的a 的取值范围 （1）若0a =，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立， （2）若a 不为0，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得13a >，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的a 的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C 10．C 【详解】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题， 则需满足240a ∆=-<，解得22a -<<.11．C命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤为真命题， 即{|19}x x x ∃∈≤≤，使2360x ax -+≤成立，即36a x x≥+能成立 设36()f x x x =+，则3636()212fx x x xx=+≥⋅=，当且仅当36x x=，即6x =时，取等号，即m i n ()12f x =，12a ∴≥，故a 的取值范围是12a ≥． 故选：C ． 12．C 【详解】若命题“0x ∃∈R ，200390x mx -+<”为假命题，则若命题“x ∀∈R ，2390x mx -+≥”为真命题， 所以29360m ∆=-≤，解得22m -≤≤. 故选：C. 13．C 【详解】 命题p ：“存在 x A ∈，使 ()P x成立”，p ⌝ 为：“对任意 x A ∈，有 ()P x 不成立”．故命题 p ：“有些三角形是等腰三角形’’，则 p ⌝ 是“所有三角形不是等腰三角形”．14．D 【详解】解：由特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≥2x +1”的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x 0+1”， 故选：D ． 15．A 【详解】B 选项，是真命题，但不是全称命题；C 选项，是假命题，1x =-不成立；D 选项，是真命题，但不是全称命题． 故选：A 16．B 【详解】解：：①负数有倒数；故错误；②对任意的实数a ，b ，都有222a b ab +…；由于2()0a b -…恒成立，故正确； ③二次函数2()1f x x ax =--与x 轴恒有交点；由于△240a =+>，故恒有交点，故正确；④x R ∀∈，y R ∈，当0x y ==时，都有2||0x y +=．故错误． 所以真命题的个数为2. 故选：B ． 17．A 【详解】由题意知函数22y x x a =++的图象有在x 轴下方的部分，即440∆=->a ，解得1a <， 故选：A. 18．B 【详解】因为命题“2,2x R x a ∀∈+>”是真命题，且x R ∀∈，222x +≥， 所以2a <. 故选：B 19．C 【详解】因为[]1,4x ∃∈ 使2250x x m -+-<是真命题，所以2250x x m -+-<在[]1,4x ∈上能成立，即225x x m -+<在[]1,4x ∈上能成立，设()225g x x x =-+，开口向上，且对称轴为1x =，所以()g x 在[]1,4上的最小值为()2112154g =-⨯+=，故4m <，故选：C. 20．A 【详解】解：因为[]1,2x ∀∈，10ax +>，所以10210a a +>⎧⎨+>⎩，解得12a >-故选：A 21．D该命题的否定：存在a ∈R ，使方程10ax +=的解不唯一或不存在. 故选：D. 22．C 【详解】根据命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”，可知“若x ≠3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”的逆否命题是“若x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3”，即A 正确；根据全称命题的否定是特称命题可知，“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣3≠0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02﹣2x 0﹣3＝0，即B 正确；不等式x 2﹣2x ﹣3＞0的解为x ＜﹣1或x ＞3，故“x ＞3”可推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”，但 “x 2﹣2x ﹣3＞0”推不出“x ＞3”，即“x ＞3”是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充分不必要条件，C 错误，“x ＜﹣1或x ＞3” 是“x 2﹣2x ﹣3＞0”的充要条件，D 正确. 故选：C. 23．C全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.24．B 【详解】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 25．C 【详解】命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是“0x R ∃∈，2010x x -+<” 故选：C 26．B 【详解】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使()2110x a x ++≥－”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 27．A 【详解】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x xλ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而2211122222x x x x x x +=+≥⋅=（当且仅当12x x =，即22x =时取等号），即22λ≤；故选A. 28．B 【详解】由题：命题P 是假命题，其否定:2,(1)10x R x a x ∀∈+-+≥为真命题， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a -≤≤. 故选：B 29．AC由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD ；又因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，()2222110x x x ++=++>，所以AC 均为假命题，故选AC. 30．BD 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误； B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y >，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 31．CD 【详解】由题意，命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，即20x a -≤在[]1,3x ∈上恒成立，即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，又由22()39man x ==，即9a ≥，结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C 、D. 故选：CD.32．BCD 【详解】A. 当0b =时，1a b=不成立，故不充分；当1a b=可推出0a b -=，故必要，故错误； B. 由不等式的基本性质知1a >，1b >可推出1ab >，故充分，故正确； C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确； D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确； 故选：BCD 33．BC1.5x =时，[2][3]3x ==，但2[]2[1.5]212x ==⨯=，A 错；2x =时，[2][4]42[2]2[]x x ====，B 正确；设[][]x y k Z ==∈，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，∴1x y -<，C 正确；0.5,0.6x y ==，则[][]0x y +=，但[][1.1]1x y +==[][]x y >+，D 错．故选：BC ．34．2000,3210x R x x ∃∈-+≤ 【详解】由全称命题的否定可知，命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是“0x R ∃∈，2032x x - 10+≤”，故答案为“0x R ∃∈，203210x x -+≤”. 35．[]1,3- 【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题， 则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．36．(,4]-∞ 【详解】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4-∞．37．(3,0]-当0k =时，原不等式化为“304-<”对x R ∀∈显然成立．当0k ≠时，只需0k <⎧⎨∆<⎩,即2030k k k <⎧⎨+<⎩ 解得30k -<<．综合①②，得30k -<≤．故答案为：(3,0]-． 38．2m < 【详解】因为12x ≤≤，所以324x ≤+≤，又12t ≤≤，所以12m t m m +≤+≤+， 若对{}12x x x ∀∈≤≤， {}12t t t ∃∈≤≤，使得2x t m +>+成立， 则需()()min min 2x t m +>+，即31m >+，解得2m <， 故填：2m <. 39． 【详解】(1)2,0∈≥∀x R x ，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数； (4)3,R x Q x Q ∃∈∈ð.真命题,例如332,2x x Q ==∈. 40． 【详解】解：（1）由题,()()22430m m ∆=---<,即24120m m +<,30m \-<<（2）由题,2(4)40m D=-?,即21640m -≤,1122m \-＃ （3）当q 是真命题时,由（2）, 12m >或12m <-∴若命题p 、q 至少有一个为真命题,由（1）,则需满足30m -<<或12m >或12m <- ∴0m <或12m > 41．(1)令()[]2,2,1f x x a x =-∈--，根据题意，“命题p 为真命题”等价于“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”． ∵()1min f x a =-，∴10a -≥，解得1a ≤.∴实数a 的取值范围为(],1∞-．(2)由(1)可知，当命题p 为真命题时，实数a 满足1a ≤．当命题q 为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a 2－4(2－a)≥0， 解得2a ≤-或1a ≥．∵命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，∴命题p 与q 一真一假①当命题p 为真，命题q 为假时，得121a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得21a -<<； ②当命题p 为假，命题q 为真时，得121a a a >⎧⎨≤-≥⎩或，解得1a >．综上可得21a -<<或1a >．∴实数a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞． 42．【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤； （2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤.43．（1）[0,3]；（2）0m <或13m ≤≤.【详解】（1）∵[0,1]x ∀∈，23x m m ≥-∴230m m -≤，解得03m ≤≤，故实数m 的取值范围是[0,3]（2）当q为真命题时，则440m∆=->，解得1m<∵p，q有且只有一个真命题当p真q假时，031mm≤≤⎧⎨≥⎩，解得：13m≤≤当p假q真时，031m mm⎧⎨<⎩或，解得：0m<综上可知，13m≤≤或0m<故所求实数m的取值范围是0m<或13m≤≤.。
全称量词与存在量词(讲义)解析版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ∈∀，()x p 读作：对任意x 属于M ，有()x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =是无理数，3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．【答案】（1）2,0x R x ∀∈>，假命题；（2）,1x x R x ∀∈=，真命题【分析】(1)易得该命题为全称命题,再举出反例判定即可.(2)易得该命题为全称命题,再直接判定即可.【详解】(1)命题为：2,0x R x ∀∈>.易得当0x =时20x =,故原命题为假命题.(2)命题为：,1x x R x ∀∈=,易得为真命题.【点睛】本题主要考查了全称命题的定义与真假的判定.属于基础题.变式2-1判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，11≥+x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【分析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（3是无理数，但22=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据整数的知识判断即可.(2)根据平面几何的知识判断即可.(3)根据平方的性质判断即可.(4)举出反例判断即可.【详解】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.(3)对任意负数0x <,不等式两边同时乘以负数x 有20x >.故为真命题(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ∈∃，()x p 读法：存在M 中的元素x ，使得()x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【分析】(1)根据实数的定义分析即可.(2)根据等腰三角形的定义分析即可.(3)根据菱形与正方形的关系分析即可.(4)利用反证法证明是假命题即可.【详解】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题型.变式3-1判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ++=．【答案】（1）真命题，详见解析（2）假命题，详见解析【分析】（1）由2既是质数，也是偶数，可判断命题；（2）根据()2223122x x x ++=++≥，可判断命题．【详解】（1）因为2既是质数，也是偶数，所以原命题为真命题．（2）由于()22231220x x x ++=++≥>，所以原命题是假命题．【点睛】本题考查特称命题的判断，属于基础题.例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）N x ∈∀，14≥x （3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【分析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【分析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =与x =-，但它们都不是有理数，所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ∈∀，()x p 否定为：M x ∈∃，()x p ⌝（2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ∈∃，()x p 否定为：M x ∈∀，()x p ⌝考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ∀>>”的否定是（）A ．01x ∃>≤B ．01x ∀>≤C ．01x ∃≤≤D ．01x ∀≤≤【答案】A【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断；【详解】解：命题1x ∀>>，为全称命题，全称命题的否定为特称命题，故其否定为01x ∃>≤故选：A【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.变式5-1命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是（）A ．0(0,1),x ∃∉2000x x -≥B ．0(0,1),x ∃∈2000x x -≥C ．0(0,1),x ∀∉2000x x -<D ．0(0,1),x ∀∈2000x x -≥【答案】B【分析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“(0,1),x ∀∈20x x -<”的否定是0(0,1),x ∃∈2000x x -≥，故选：B .【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数【答案】D试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ．考点：命题的否定．例6命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是（）A ．R x ∃∈，210x x -+>B ．R x ∃∈，210x x -+≥C ．R x ∀∈，210x x -+>D ．R x ∀∈，210x x -+≥【答案】D【分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以命题“0R x ∃∈，20010x x -+<”的否定是“R x ∀∈，210x x -+≥”故选：D【点睛】本题考查的是特称命题的否定，较简单.变式6-1已知命题:N,21000n P n ∃∈>，则P ⌝为（）A ．N,2100n n ∀∈B ．N,21000n n ∀∈>C ．N,21000n n ∃∈D ．N,21000n n ∃∈<【答案】A【分析】【详解】写特称命题的否命题，将存在量词改为全称量词，再否定结果所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定P ⌝为N,2100n n ∀∈故选：A点评：掌握命题的改写方法变式6-2若命题[]2000:3,3,210p x x x ∃∈-++≤，则命题p 的否定为（）A ．[]23,3,210x x x ∀∈-++>B ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++>C ．()()2,33,,210x x x ∀∈-∞-⋃+∞++≤D ．[]20003,3,210x x x ∀∈-++<【答案】A【分析】利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.【详解】命题p []23,3,210x x x ∀∈-++>.故选：A.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.变式6-3写出下列各题中的p ⌝：（1）:,10p x Z x ∃∈->；（2）:,20p x Q x ∀∈-≥；（3）2:,10p x R x ∀∈+>；（4）2:,10p x R x ∃∈-<.【答案】（1）:,10p x Z x ⌝∀∈-≤；（2）:,20p x Q x ⌝∃∈-<；（3）2:,10p x R x ⌝∃∈+≤；（4）2:,10p x R x ⌝∀∈-≥.【分析】（1）特称量词变为全称量词，大于变小于等于得到命题的否定。
新人教版高中数学必修一1.5全称量词与存在量词
(4)p 是存在性命题，是假命题． 对于任一等差数列{an}(首项 a1，公差 d)，其前 n 项和为： Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋(a1－d2)n.因此不可能是 Sn＝n2＋2n －1 这种形式(含常数式)． [方法规律总结] 对于全称命题，若真，要证明其正确性， 若假只需举一反例，对于存在性命题，若真，只要有一个元素 满足即可；若假，全部否定才可以．
课堂小结
1.全称量词
全称命题
存在量词
特称命题
2.全称命题与特称命题的否定
3.利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
命题 全称命题“∀x∈A，p(x)”
存在性命题“∃x∈A，p(x)”
①所有的x∈A，p(x)成立； ①存在x∈A，使p(x)成立； 表述 ②对一切x∈A，p(x)成立； ②至少有一个x∈A，使p(x)成立； 方法 ③对每一个x∈A，p(x)成立； ③对有些x∈A，使p(x)成立；
④任选一个x∈A，p(x)成立； ④对某个x∈A，使p(x)成立； ⑤凡x∈A，都有p(x)成立. ⑤有一个x∈A，使p(x)成立.
[方法规律] 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先 要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找 到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改 成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定 结论．
练一练
1.写出下列命题的否定． (1)p：对任意 x>1，log2x>0； (2)p：对任意 a，b∈R，a2＋b2>0； (3)p：有的正方形是矩形； (4)p：存在 x0∈R，x20－x0＋2>0.
2.判断下列语句是否是全称命题或特称命题． (1)有一个实数a，a不能取对数； (2)若所有不等式的解集为A，则有A⊆R； (3)三角函数都是周期函数吗？ (4)有的向量方向不定； (5)自然数的平方是正数．
1.5 全称量词命题、存在量词命题和同步练习
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R,
2.命题“存在实数 ,使关于 的方程 有实数根”的否定是【】
（A）存在实数 ,使关于 的方程 无实数根
（B）不存在实数 ,使关于 的方程 有实数根
（C）对任意实数 ,关于 的方程 都有实数根
（D）至多有一个实数 ,使关于 的方程 有实数根
知识点二 存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词,并用符号“ ”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素 , 成立”可用符号表示为:
.
读作:存在M中的元素 ,使 成立.
对存在量词命题的理解:
（1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.
解析:本题考查全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
该命题的否定为: ≥3, ≥ .
由题意可知,该命题的否定为真命题.
∴只需 ≥ 即可.
∴ ≤5,即实数 的最大值是5.
例9.若对 ≤ ≤2,有 ≤0恒成立,则实数 的取值范围是__________.
3.命题“ ,都有 ”的否定是【】
（A） ,都有 ≤0（B） ,使得 ≤0
（C） ,使得 ≤0（D） ≤1,使得 ≤0
4.已知命题 R, ,则 是【】
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R,
5.判断下列命题的真假,并写出命题的否定.
（1） Z, ;
（2）在实数范围内,有些一元二次方程无解;
例7.已知命题 : ,方程 有解,则 为【】
1.5.1、1.5.2 全称量词与存在量词 全称量词命题和存在量词命题的否定(课件)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
第一章 集合与常用逻辑用语
课程标准
1．通过已知的数学实例，理解全称量 词与存在量词的意义． 2．能正确使用存在量词对全称量词命 题进行否定． 3．能正确使用全称量词对存在量词命 题进行否定.
数学 必修 第一册 A
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第一章 集合与常用逻辑用语
[微体验] 1．思考辨析 (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．( ) (2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．( ) (3)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是全称量词命题．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)×
3．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么¬p是__________．
解析 命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则¬p：∃x＞2，x3－
8≤0.
答案 ∃x＞2，x3－8≤0
数学 必修 第一册 A
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第一章 集合与常用逻辑用语
课堂互动探究
探究一 全称量词命题和存在量词命题的判定
(1)下列命题中全称量词命题的个数是( )
(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，_______¬_p_(_x_) _____. 也就是说，存在量词命题的否定是___全__称__量__词_____命题．
人教A版数学《全称量词与存在量词》教学课件-ppt1
复 习回顾
全称量词：短语“所有的”“任意一个”等， 符号表示：∀
全称量词命题：含有全称量词的命题。
一般形式：对M中任意一个x，p(x)成立 符号表示：∀x∈M,p(x)
1.5全称量 词与存 在量词 -【新 教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 1
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复 习回顾
存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等 符号表示：∃ 存在量词命题：含有存在量词的命题 一般形式：存在M中元素x，p(x)成立； 符号表示：∃x∈M,p(x)
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1.5全称量 词与存 在量词 -【新 教材】 人教A版 （ ）高中 数学必 修第一 册课件 1
写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3) xR, x x 0. 它们与原命题在形式上有什么变化？
1人.5教全A称 版量 数 词 学与《存全 在称量词 与-【存新在教量材词】》人公教开A版 课 件（21019 ）高中 数学必 修第一 册课件 1
1人.5教全A称 版量 数 词 学与《存全 在称量词 与-【存新在教量材词】》人公教开A版 课 件（21019 ）高中 数学必 修第一 册课件 1
命题的否定： 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新 的命题，这一新命题称这原命题的否定。 注：原命题和否命题只能一真一假
1.5全称量 词与存 在量词 -【新 教材】 人教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件 1
1人.5教全A称 版量 数 词 学与《存全 在称量词 与-【存新在教量材词】》人公教开A版 课 件（21019 ）高中 数学必 修第一 册课件 1
新教材人教A版数学必修第一册讲义1-5-1全称量词与存在量词
1.5全称量词与存在量词1．5.1全称量词与存在量词1．能够记住全称量词和存在量词的概念．2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题1．x>2是命题吗？对任意的x∈R，x>2是命题吗？[答案]x>2不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x>2则是命题2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？[答案]命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．()(2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．()(3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．()(4)内错角相等是全称量词命题．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一全称量词命题与存在量词命题【典例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的内角和等于360°；(2)有的力的方向不定；(3)矩形的对角线不相等；(4)存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点．[思路导引]找命题中的量词及其命题的含义．[解](1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(4)含有量词“存在”，是存在量词命题．判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[针对训练]1．用全称量词或存在量词表示下列语句(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)当x为有理数时，13x2＋12x＋1也是有理数；(3)方程3x－2y＝10有整数解；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解](1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．(2)对任意有理数x，13x2＋12x＋1是有理数．(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直.题型二判断全称量词命题的真【典例2】判断下列全称量词命题的真假．(1)任意实数的平方均为正数．(2)函数y＝kx＋b为一次函数．(3)同弧所对的圆周角相等．(4)∀x∈R，x2＋3≥3.[解](1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题．(4)真命题．∀x∈R，x2≥0，故有x2＋3≥3成立．判断全称量词命题真假的方法要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．[针对训练]2．判断下列全称量词命题的真假．(1)对每一个无理数x，x2也是无理数．(2)末位是零的整数，可以被5整除．(3)∀x∈R，有|x＋1|>1.[解](1)因为2是无理数，但(2)2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“∀x∈R，有|x＋1|>1”为假命题．题型三存在量词命题真假的判断【典例3】判断下列存在量词命题的真假．(1)有的集合中不含有任何元素．(2)存在对角线不互相垂直的菱形．(3)∃x∈R，满足3x2＋2>0.(4)有些整数只有两个正因数．[解](1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．(3)∀x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“∃x∈R,3x2＋2>0”是假命题．(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．判断存在量词命题真假的方法判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．[针对训练]3．判断下列存在量词命题的真假．(1)有些二次方程只有一个实根．(2)某些平行四边形是菱形．(3)存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x21>x22.[解](1)由于存在二次方程x2－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．(3)当x1＝－2，x2＝1时有x21>x22，故“存在实数x1、x2，当x1<x2时，有x21>x22”为真命题.题型四含有量词的命题的应用【典例4】已知命题“∀1≤x≤2，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．[解]∵“∀1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0对1≤x≤2恒成立．又y＝x2在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x2－m的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．[变式]若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]∵“∃1≤x≤2，x2－m≥0”成立，∴x2－m≥0在1≤x≤2有解．又函数y＝x2在1≤x≤2上单调递增，∴函数y＝x2在1≤x≤2上的最大值为22＝4.∴4－m≥0，即m≤4.∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．求参数范围的2类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[针对训练]4．是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R 恒成立，并说明理由．[解]不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.5．若存在一个实数x，使不等式m－x2－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围．[解]不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>t min.又t＝(x－1)2＋4，∴t min＝4，∴m>4.所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．课堂归纳小结1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.1．下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘0都等于0B．自然数都是正整数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．一定存在没有最大值的二次函数[解析]D选项是存在量词命题．[答案]D2．下列命题中，存在量词命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．0 B．1C．2 D．3[解析]命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案]B3．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是() A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3[解析]“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词．[答案]C4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．[解析]∵对于任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.[答案]a≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假．(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点．[解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ，使|x |＋2≤0.故命题为假命题．(2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题． (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．课后作业(八)复习巩固一、选择题1．下列量词是全称量词的是( )A ．至少有一个B ．存在C ．都是D ．有些[答案] C2．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称量词命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] ①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案] C3．下列命题是存在量词命题的是( )A ．一次函数的图象都是上升的或下降的B ．对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1<0C ．存在实数大于或者等于3D ．菱形的对角线互相垂直[解析] 选项A ，B ，D 中的命题都是全称量词命题，选项C 中的命题是存在量词命题．[答案] C4．下列是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2>0B ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0C ．∀x ∈Q ，x 2∈QD ．∃x ∈Z ，使x 2>1[解析] 首先D 项是存在量词命题，不符合要求；A 项不是真命题，因为当x ＝0时，x 2＝0；B 项也不是真命题，因为当x ＝y ＝0时，x 2＋y 2＝0；只有C 项是真命题，同时也是全称量词命题．[答案] C5．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2>0C ．任意无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2[解析] 只有A ，C 两个选项中的命题是全称量词命题；且A 显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C 为假命题．[答案] A二、填空题6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为________________．[解析]命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.[答案]∀x≤0，x3≤07．给出下列四个命题：①y＝1x⇔xy＝1；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④等腰三角形的底边的高线、中线重合．其中全称量词命题是________．[解析]①②④是全称量词命题，③是存在量词命题．[答案]①②④8．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．[解析]①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x ＝±2时，x2＝2，而±2为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x ∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x －1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题．[答案]0三、解答题9．判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，并判断真假．(1)存在x，使得x－2≤0；(2)矩形的对角线互相垂直平分；(3)三角形的两边之和大于第三边；(4)有些素数是奇数．[解] (1)存在量词命题．如x ＝2时，x －2＝0成立，所以是真命题．(2)全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．(3)全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．(4)存在量词命题．因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素数是奇数”是真命题．10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数．[解] (1)∀x ∈R ，使x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，使ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．如当a ＝0，b ＝0时，该方程的解有无数个．(3)∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10；真命题．(4)∀x ∈Q ，使13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题．综合运用11．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∀x ∈R ，x 2＝xD ．平面内，不相交的两条直线是平行直线[解析] A 中的命题是全称量词命题，但是a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称量词命题，但是是假命题；C 中的命题是全称量词命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称量词命题且是真命题，故选D.[答案] D12．已知a >0，则“x 0满足关于x 的方程ax ＝b ”的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0[解析] 由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a 2－b 22a ，故此函数图象的开口向上，且当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，故∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0，故选C.[答案] C13．已知函数y ＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0的充要条件是x 20＋bx 0＋c <0有解，即b 2－4c >0,4c <b 2.所以当c <0时，一定有4c <b 2，即∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0.反之当∃x 0∈R ，使x 20＋bx 0＋c <0时，只要4c <b 2即可，不一定c <0.故选A.[答案] A14．若对于任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是________．[解析] 依题意，得⎩⎨⎧ a <0，Δ＝4－4a 2<0， 即⎩⎨⎧ a <0，a <－1或a >1，∴a <－1.[答案] {a |a <－1}15．已知命题“∃x ∈R,2x ＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] 由题意可得“对∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a －1)2－4<0，得－1<a <3，即{a |－1<a <3}．。
1.5 全称量词与存在量词(精讲)(解析版)
1.5 全称量词与存在量词【典例精讲】 考点一 全称命题的判断【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是 （ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ，使2250x x ++=”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【答案】C【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C. 2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（）A．至少有一个x使2210x x++=成立B．对任意的x都有2210x x++=成立C．对任意的x都有2210x x++=不成立D．存在x使2210x x++=成立E.矩形的对角线垂直平分【答案】BCE【解析】A和D中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B、C是全称量词命题；E中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE考点二特称命题的判断【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x∈N，2x＋1是奇数；（2）存在一个x∈R，使11x-＝0；（3）对任意实数a，|a|＞0；【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题. （2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有2111x +；存在量词命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B . 2．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（ ） A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z ，21x +是奇数 D ．存在x ∈R ，21x +是奇数【答案】C【解析】A 、B 、D 中都有存在量词，是存在量词命题，C 中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C .考点三 全称、特称命题真假的判断【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论m 取何实数,关于x 的方程20x x m +-=必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数y kx =图象恒过原点. 【答案】见解析【解析】(1)即“所有m R ∈，关于x 的方程20x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程20x x m +-=没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； (3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题.【一隅三反】1．（2020·平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0【答案】BA 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．2．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是 （ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意[]1,2m ∈，方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”，但当1m =时，方程有实数解1x =，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A. 3．（2020·全国高一）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2,0x R x∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】(1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.考点四 命题的否定【例4】（2020·全国高一课时练习）设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“x A ∀∈，2x B ∉”的否定是 （ ) A ． x A ∃∈，2x B ∈ B ．x A ∃∉，2x B ∈ C ． x A ∀∉，2x B ∉ D ．x A ∀∉，2x B ∈【答案】A【解析】“x A ∀∈，2x B ∉”即“所有x A ∈，都有2x B ∉”，它的否定应该是“存在x A ∈，使2x B ∈”，所以正确选项为A.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（ ） A ．x ∃∈Z ，143x << B ．x ∃∈Z ，510x += C ．x ∀∈R ，210x -= D ．x ∃∈R ，2320x x ++=【答案】D【解析】对A ，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由143x <<得1344x <<，这样的整数x 不存在，故A 为假命题，其否定为真命题，故A 错误；对B ，510x +=，15x =-∉Z ，故B 为假命题，其否定为真命题，故B 错误； 对C ，210x -=⇒1x =±，故C 为假命题，其否定为真命题，故C 错误；对D ，存在1x =-或2x =-，使232(1)(2)0x x x x ++=++=，故D 为真命题，从而D 的否定是假命题，故D 正确.故选：D.2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++≤ C ．x R ∀∈，2230x x ++≥ D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥.故选：C.3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+> C ．2,240x R x x ∀∉-+≥ D ．2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词∀换为存在量词∃，不等号≤换为＞，可得命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为“2000,240x R x x ∃∈-+>”，故选：B.考点五 全称特称求参数【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥B ．5a ≥C ．3a ≥D ．5a ≤（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－（3）（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】（1）B （2）B （3）D【解析】（1）[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使20x a -≤恒成立，则2a x ≥恒成立，即4a ≥， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B 符合.故选：B. （2）由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. （3）由()22()211f x x x x =-=--，知 当1[1,2]x ∈-时，[]1()1,3f x ∈- 由()2(0)g x ax a =+>，知当[]21,2x ∈-时，[]2()2,22g x a a ∈-++ 由题意得：[][]1,32,22a a -⊆-++，即21223a a -+≤-+≥⎧⎨⎩，解得3a ≥综上，3a ≥.故选：D【一隅三反】1．（2020·浙江高一课时练习）若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或 【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .2．（2020·全国高一课时练习）命题“已知1y x =-，x R ∀∈都有m y ≤”是真命题，则实数m 的取值范围是 （ ) A ．1m ≥- B ． 1m >- C ． 1m ≤- D ．1m <-【答案】C【解析】由已知1y x =-，得1y ≥-，要使x R ∀∈，都有m y ≤成立，只需1m ≤-，所以正确选项为C.3．（2020·广东高三其他（文））已知命题2000:,20p x R x x a ∃∈++≤，命题1:0,q x x a x∀>+>，若p 假q 真，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(1,2) D ．(1,2]-【答案】C【解析】命题0:p x R ∃∈，20020x x a ++≤为假命题，则2,20x R x x a ∀∈++>为真命题，满足2240a ∆=-<，解得1a >；命题1:0,q x x a x ∀>+>为真命题，由12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，可知2a <，故实数a 的取值范围为(1,2)， 故选：C.4．（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2)-∞【解析】函数2y x ax =-+的对称轴为=2a x ， 当12a<即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数， 则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意；当12a>即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意.故答案为：(,2)-∞。
1.5 全称量词与存在量词 (人教A版2019必修一) 优秀公开课获奖课件高一数学
4. ：任意两个全等的三角形必相似，其中的“任意”称为什么量词？
[答案] 全称量词.
5. ：存在两个相似的三角形全等，其中的“存在”称为什么量词？
[答案] 存在量词.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.( )
问题3：.“一元二次方程 有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[答案] 是存在量词命题，可改写为“存在 ，使 ”．
问题4：.全称量词限制范围吗？
[答案] 全称量词往往会限制一定的范围.
新知生成
1.全称量词和全称量词命题
（1） 全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作___________，并用符号“____”表示．
（1） ， ；
（2） 所有的正方形都是矩形；
（3） ， ；
（4） 至少有一个实数 ，使 ．
方法指导 先判断是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出含有量词的命题的否定并判断真假.
[解析] （1） ， ，假命题．（2） 至少存在一个正方形不是矩形，假命题．（3） ， ，真命题．（4） ， ，假命题．
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决.
若“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是____________．
[解析] 当 时，“ ， ”是真命题．
巩固训练
1.命题“存在实数 ，使 ”的否定是( ).A.对任意实数 ，都有 B.不存在实数 ，使 C.对任意实数 ，都有 D.存在实数 ，使
[解析] （1）存在量词命题． ， ， ，∴不存在 ，使 .故该命题为假命题．（2）存在量词命题． ，∴该命题为假命题．（3）全称量词命题．存在 的图象与 轴不相交，故该命题为假命题．
1.5 全称量词与存在量词(答案版)
1.全称量词和全称量词命题(1)短语"所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.(2)将含有变量x 的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M 表示。
那么，全称量词命题“对M 中任意一个x, ,p(x)成立”可用符号简记为：)(,x x p M ∈∀2.存在量词和存在量词命题(1)短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.(2) 存在量词命题“存在M 中的元素x, p(x)成立”可用符号简记为：)(,x p M x ∈∃3.全称量词命题和存在量词命题的否定(1) 全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“)(,x x p M ∈∀”，则它的否定为“并非)(,x x p M ∈∀”,也就是")(,x p M x ∈∃不成立”。
通常，用符号")(x p ⌝”表示"p(x)不成立".(2) 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：)(,x x p M ∈∀，它的否定：)(,x x p M ⌝∈∃,也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个” “至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一 个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“)(,x p M x ∈∃” ,则它的否定为“不存在M x ∈,使p(x)成立”，也就是“)(,x x p M ∈∀不成立”.(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：)(,x p M x ∈∃它的否定：)(,x x p M ⌝∈∀也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.全称量词与存在量词知识讲解例1：命题“，”的否定是 ．【答案】，【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“，”的否定是“，”．一、选择题 1．下列语句是存在量词命题的是（ ）A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若370x -=,则73x = D ．,()x M p x ∀∈ 【答案】B 【解析】对于A ，无特称量词． 对于B ，命题：存在整数n ，使n 能被11整除，含有特称量词”存在” ,故B 是特称命题．对于C ，无特称量词．对于D ，无特称量词． 故选：B ．2．下列命题是特称命题的是（ ）x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤典型例题 同步练习A ．每个正方形都是矩形B ．有一个素数不是奇数C ．正数的平方必是正数D ．两个奇数之和为偶数【答案】B 【解析】选项A ，每个指所有，全称；选项C ，正数的平方指所有正数的平方，全称选项D ，两个奇数之和指任意两个两个奇数之和，全称；选项B ，有一个素数指存在一个素数，是特称命题. 3．下列命题中，全称量词命题的个数为（ ）①平行四边形的对角线互相平分；①梯形有两条边的长度不相等；①存在一个菱形，它的四条边不相等；①高二（1）班绝大多数同学是团员．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题①可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题①为存在量词命题①可改写为“高二（1）班有的同学不是团员”，为存在量词命题∴全称量词命题为：①①4.下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ）A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使30x >C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B 【解析】选项A ，C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题，但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃>，0010x x -< B ．00x ∃≤，0010x x -< C ．0x ∀>，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A 【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题，故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ． 6．（2020·浙江高一单元测试）命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是（ ）. A ．x R ∀∈，12x x +> B ．x R ∃∈，12x x +< C ．x R ∃∈，12x x +> D ．x R ∀∈，12x x+< 【答案】D 【解析】命题的否定为:∃改为∀,≥改为<,故否定形式为x R ∀∈，12x x+<,故选D.7．（2020·江西省都昌县第一中学高二期中（文））已知命题p ：x R ∃∈，()()2110m x ++≤，命题q ：x R ∀∈，210x mx -+>恒成立.若p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A ．2m ≥B ．2m ≤-或1m >-C ．2m ≤-或2m ≥D ．12m -<≤【答案】B 【解析】当命题p 为真时，10m +≤，解得1m ≤-；当命题q 为真时，24110m ∆=-⨯⨯<，解得22m -<<， 当命题p 与命题q 均为真时，则有12122m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨-<<⎩.命题p q ∧为假命题，则命题q 与命题p 至少有一个为假命题.所以此时2m ≤-或1m >-.故选：B .8．已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B 【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立， 所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ． 9．命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤【答案】D 【解析】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，所以420a -≥，解得2a ≤，只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.故选：D二、填空题1．“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________；【答案】{|10}m m m <≠且【解析】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.2．“x R ∀∈，都有21k x ≤+恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________；【答案】1k ≤【解析】因为211x +≥，即21x +的最小值为1，要使“21k x ≤+恒成立”，只需()21min k x ≤+，即1k ≤，3．命题2:,20p x R x mx ∃∈++，若“非p ”为真命题，则m 的取值范围是_________.【答案】m -<【解析】由题意知，命题2:,20p x R x mx ∃∈++为假，即2,20x R x mx ∀∈++>恒成立，所以∆<0，所以2420m -⨯<，所以m -<<4．若命题“p ：x R ∀∈,2210ax x ++>”是假命题,则实数a 的取值范围是______．【答案】(],1-∞【解析】若命题“p ：①x ①R ，ax 2+2x +1＞0”是假命题，则①x ①R ，ax 2+2x +1≤0， 当a ＝0时，y ＝2x +1为一次函数，满足条件；当a ＜0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝下的二次函数，满足条件； 当a ＞0时，y ＝ax 2+2x +1是开口朝上的二次函数，则函数图象与x 轴有交点，即①＝4﹣4a ≥0，解得：0＜a ≤1 综上可得：实数a 的取值范围是：(],1-∞三、解答题1．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【解析】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤， 而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤，依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <；若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 2．已知集合{|0}A x x a =≤≤，集合22{|34}B x m x m =+≤≤+，如果命题“m R ∃∈，使得A B ⋂≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】3a <【解析】命题“m ∃∈R ，使得A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定命题“m R ∀∈，AB =∅”为真命题 当0a <时，集合{|0}A x x a =≤≤=∅，符合A B =∅，当0a ≥时，因为230m +>，所以m R ∀∈，A B =∅ 得23a m <+对于m R ∀∈恒成立，所以()233min a m <+=，则03a ≤<，综上，实数a 的取值范围为3a <.。
1.5全称量词与存在量词【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
写出下列命题的否定. (1)所有矩形都是平行四边形；
解：存在一个矩形不是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
解：存在一个素数不是奇数；
(3)∀x∈R， x+|x |≥0.
解：∃x∈R，x+|x|<0.
思考：它们与原命题在形式上有什么变化？
存在量词命题怎么判断真假？
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
★ 要判断存在称量词命题是假 命题，需要推导证明.
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
【例题】判断下列存在量词命题的真假 判断下列存在量词命题的真假：
x2 x 1 (x 1)2 3 0
所以这是一个真命题 2 4
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
练习
1.写出下列命题的否定
（1） ∀ n∈Z,n∈Q; 解:(1)该命题的否定: ∃ n∈Z,n∈Q;
(3) ∃ x∈R,x2-2x+3=0
解： ∀ x∈R,x2-2x+3≠0.
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
1.5全称量词与存在量词【新教材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
存在量词命题： ∃ x∈M，p(x)，
它的否定：
∀ x∈M， ┐p(x).
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量
高中必修第一册统编人教A版《1.5全称量词与存在量词》优秀教学教案教学设计
第一章集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定本课是高中数学第一章第5 节，学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，理解起来可能不是很好理解。
否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。
以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。
1. 教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；2. 教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。
多媒体结合图片及上述文字，引出“所有”，“至少有”， “每一个”等短 语，在逻辑上称为量词 .二、探索新知教学过程落实核心素养目标一、情景引入，温故知新情景 1：德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如 77,77=53+17+7 ” , 同年 欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确， 并且认为： 每一个偶数都是两 个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证 明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想． 200 多年 后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数， 都能表示成一个质数加上两个质数相乘， 或者表示成 一个质数加上一个质数．从陈景润的“ 1+2”到“ 1+1”似乎仅一步之 遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命 题．要想正面证明就需要证明“任意一个” “每一个” “都”这种命 题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例．情景 2：我们学校为了迎接 10 月 28 号的秋季田径运动会 , 正在排练 由 1000 名学生参加的开幕式团体操表演 . 这 1000 名学生符合下列条 件：（ 1）所有学生都来自高二年级； （2）至少有 30 名学生来自高二 . 一班；通过实例，让学生感 知、了解全称量词、 存在量词。
人教版高中数学必修一《1.5.1 全称量词与存在量词》课件
【对点练清】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或 “∃”表示： (1)所有实数 x 都能使 x2＋x＋1＞0 成立； (2)对所有实数 a，b，方程 ax＋b＝0 恰有一个解； (3)一定有整数 x，y，使得 3x－2y＝10 成立； (4)所有的有理数 x 都能使13x2＋12x＋1 是有理数．
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【学透用活】
[典例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题： (1)所有不等式的解集A，都满足A⊆R； (2)∃x∈R，y∈R，使(x＋y)(x－y)＞0； (3)存在x∈R,2x＋1是整数； (4)自然数的平方是正数； (5)所有四边形的内角和都是360°吗？
答案：CD
2．判断下列命题的真假： (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P；
(4)∀x∈N ， x>0. 解：(1)因为面积相等的三角形不一定相似，故它是假命题． (2)因为当 x2＋y2＝0 时，x＝y＝0， 所以不存在 x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”(“∀”表示
“任意”)或“∃”(“∃”表示“存在”)表示下面的命题，再判断真假： (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1＜0成立； (3)勾股定理．
解：(1)是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”． 改写后命题为：∀x∈R ，x2≥0，它是真命题．
【新教材】1.5 全称量词与存在量词 教学设计
第一章集合与常用逻辑用语
1.5全称量词与存在量词
1.5.1全称量词与存在量词
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
教材分析：
本课是高中数学第一章第5节，学生对于命题的理解还是停留在初中所学知识的基础上，理解起来可能不是很好理解。
否定词是学生容易忽略的，应提醒学生。
以学生探究为主学习全称量词命题的否定与存在量词命题的否定，全称量词命题与存在量词命题的否定的本节的重点，也是一个难点，在否定的过程中应注意全称量词与存在量词之间的相互转化，重点是在意义上理解命题的否定。
教学目标与核心素养：
教学重难点：
1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；
2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。
课前准备：
多媒体
教学过程：
教学反思：
本节课是在初中所讲命题的基础上讲解，学生对命题的了解较少。
学生对命题的否定的学习有较大的困难，学生会简单地认为，命题的否定就是否定结论。
应给学生强调全称量词命题、存在量词命题的否定，要先变量词，然后结论否定。
1.5 全称量词与存在量词-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版
1.5 全称量词与存在量词一、全称量词与全称量词命题1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M 中的任意一个x ，()p x 成立（M 表示变量x 的取值范围）， 符号表示为：对(),∀∈M p x ．【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
二、存在量词与存在量词命题1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“∃”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．存在集合M 中的元素x ，()p x 成立（M 表示变量x 的取值范围），简记为：对(),∃∈M p x ．【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假：若为真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立； 若为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可； 2、判断存在量词命题真假：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立， 则这个命题为真，否则为假。
1.5全称量词与存在量词
（2）每一个素数都是奇数；
（3）∀ ∈ ， + || ≥ 0.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，
有下面的结论：
全称量词命题：∀ ∈ ， (ሻ，
它的否定：∃ ∈ ，¬( ሻ.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
探究：写出下列命题的否定:
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（1）∀ ∈ , || ∈ ；
（2）所有可以被5整除的数，末位数字都是0；
（3）∃ ∈ , + 1 ≥ 0;
（4）存在一个四边形 ，它的对角线互相垂直.
概念
全称量词
全称量词命题
含义
关系
存在量词
存在量词命题
本质
作用
练习1 判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）∀ ∈ {|是无理数}， 3 也是无理数.
例2 判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数 x，使 2 + 2 + 3 = 0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
练习2 判断下列存在量词命题的真假：
（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数，使得2 + 为奇数；
（3）∃ ∈ {|是无理数}， 2 也是无理数.
探究：写出下列命题的否定：
对一个命题进行否定，得到一个新的命题，
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数.
练习4 写出下列命题的否定：
（1）有些三角形是直角三角形；
1.5.1全称量词与存在量词课件共17张PPT
新课引入
全称量词的含义和表示
思考1:下列各组语句是命题吗？两者有 什么关系? （1）x＞3；
对所有的x∈R，x＞3.
（2）2x＋1是整数；
对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
（3）方程x2＋2x＋a＝0有实根； 任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.
学习新知
定义：短语“所有的”“任意一个” “任给”等，在逻辑中通常叫做全称量
x∈M，p(x)为真：对集合M中每一个
元素x，都有p(x)成立；
x∈M，p(x)为假：在集合M中存在一
个元素x0，使得p(x0)不成立.
学习新知
存在量词的含义和表示
思考1：下列各组语句是命题吗？二者有
什么关系？
（1）2x＋1＝3；
存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3.
（2）x能被2和3整除；
至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除.
词，并用符号“ ”表示，
思考2：你还能列举一些常见的全称量词吗？
“一切”，“每一个”，“全体”等
学习新知
定义:含有全称量词的命题叫做全称量词命题.
思考3：如“对所有的x∈R，x＞3”， “对任意一个x∈Z，2x＋1是整数”等， 你能列举一个全称量词命题的实例吗？ 思考4：将含有变量x的语句用p(x)、q(x) 、r(x)等表示，变量x的取值范围用M表
示，符号语言“ x∈M，p(x)”所表达
的数学意义是什么？
“对M中任意一个x，有p(x)成立”
学习新知
思考5:下列命题是全称量词命题吗？其真假如何?
（1）所有的素数是奇数；假
（2） x∈R，x2＋1≥1；真
假
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；
（4）所有的正方形都是矩形. 真
高一数学必修一 教案 1.5 全称量词与存在量词
1．5 全称量词与存在量词1．5.1 全称量词与存在量词学习目标 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( ×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( √) 3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．( √)一、全称量词命题与存在量词命题的辨析例1 (1)下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数D．存在x∈R,2x＋1是奇数答案 C解析因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．(2)给出下列几个命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称量词命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．0答案 B解析因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.反思感悟全称量词命题或存在量词命题的判断注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①②是全称量词命题，③是存在量词命题．二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x2>0.解(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．反思感悟全称量词命题和存在量词命题真假的判断(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．跟踪训练2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使1x－1＝0.解(1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使1x－1＝0成立，所以该命题是假命题．三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. (1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围． 解 (1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅， 因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤5，2m －1≥－2，m ≥2.解得2≤m ≤4.反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)．跟踪训练3 若命题“对任意实数x,2x >m (x 2＋1)”是真命题，求实数m 的取值范围． 解 由题意知，不等式2x >m (x 2＋1)恒成立， 即不等式mx 2－2x ＋m <0恒成立．(1)当m ＝0时，不等式可化为－2x <0，显然不恒成立，不合题意． (2)当m ≠0时，要使不等式mx 2－2x ＋m <0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，4－4m 2<0.解得m <－1.综上可知，所求实数m 的取值范围是m <－1.1．下列语句不是全称量词命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个学生都充满阳光答案 C解析“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是存在量词命题．2．下列命题中为全称量词命题的是( )A．有些实数没有倒数B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行答案 B3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤bD．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立答案 C解析B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C.4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．答案①②③④解析①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________．答案a≤3解析对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)通过含量词的命题的真假求参数．2．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( )A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3答案 C2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成( )A．若x∈R，则x2＋1>0 B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确答案 C解析 存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C. 3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2答案 B4．给出下列三个命题： ①对任意的x ∈R ，x 2>0； ②存在x ∈R ，使得x 2≤x 成立；③对于集合A ，B ，若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 对于①，存在x ＝0，使得x 2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题． 5．下列说法正确的是( ) A ．对所有的正实数t ，有t <t B ．存在实数x ，使x 2－3x －4＝0C ．不存在实数x ，使x <4且x 2＋5x －24＝0 D ．任意实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4 答案 B解析 t ＝14时，t >t ，所以A 选项错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x ＝－1或x ＝4时，x 2－3x －4＝0，故B 选项正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以C 选项错；x ＝0时，不成立，所以D选项错．6．下列存在量词命题中真命题有________．①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．答案①②③7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．答案∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．8．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)①有的实数是整数；②三角形是多边形；③矩形的对角线互相垂直；④∀x∈R，x2＋2>0；⑤有些素数是奇数．答案②③④9．判断下列命题的真假．(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．解(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2， 2 就不能用正有理数表示．(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：(1)∃x，x－2≤0.(2)三角形两边之和大于第三边．(3)有些整数是偶数．解(1)存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．(2)全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．(3)存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．11．下列全称量词命题中真命题的个数为( )①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2 C．3 D．0答案 B12．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是( )A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1答案 B解析依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．答案{a|a<1}解析当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，－1≤a≤1.15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5答案 C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.16．已知函数y1＝x21，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．解因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，所以m≥－4.。
1.5 全称量词与存在量-教师版
1．全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．3．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．4．命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．5．常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x∈A使p(x)假知识梳理【提醒】因为命题p与⌝p的真假性相反，所以不管是全称命题还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假。
考点一：全称命题与特称命题的判定例1判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解．(2)存在实数x，使得213 234x x =-+.【答案】（1）假命题；（2）假命题.【解析】(1)该命题是全称命题．当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴2113 2324x x ≤<-+.故该命题是假命题．练习1把下列定理表示的命题写成含有量词的命题: (1)勾股定理;例题解析(2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;(2)所有三角形的内角和都是180°.【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.练习2用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称；(3)存在整数x ，y ，使得243x y +=；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.【答案】(1)2,0x R x ∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】(1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．考点二：全称命题与特称命题的真假判断例2写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；（3）{|x x x ∀∈是三角形},x 的内角和是180︒.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数0,故此命题为真命题；（2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为60的菱形,其对角线分别为故此命题为假命题；（3）{|x x x ∃∈是三角形},x 的内角和不是180︒，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为180︒,故此命题为假命题.练习1判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； （2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.练习2判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【名师点睛】1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围例3若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .练习1若“x ∃∈R ，220x x a +-<”是真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】{|1}a a【解析】若“∃x ∈R ，x 2+2x ﹣a ＜0”是真命题，则△＞0，即4+4a ＞0，解得a ＞﹣1． 故答案为{}1a a -练习2已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++.若p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】[0,1]【解析】 :p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++，:p x R ∴⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>.因为p 与q 均为假命题，所以p ⌝与q ⌝都是真命题.由p ⌝为真命题得0a =或0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩，故1a ≤. 由q ⌝为真命题得0a =或20,40,a a a >⎧⎨-<⎩，故04a ≤< .1,04,a a ⎧∴⎨<⎩解得01a ≤≤. 故实数a 的取值范围是[0,1].考点四：全称命题、特称命题的否定例4命题“0x ∀>，20x >”的否定是（ ）A ．20,0x x ∀>≤B ．20,0x x ∃>≤C ．20,0x x ∀≤≤D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】 命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤,故选B练习1命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠【解析】根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定是“”.练习2写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°.【答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°.【解析】（1）原命题省略了全称量词“所有"，所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.（2）原命题省略了全称量词“任何一个”，所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°.【名师点睛】1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围例5已知命题p ：“至少存在一个实数[1,2]x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围．【答案】(3,)-+∞【解析】由题意知，命题p 为真命题，即2220x ax a ++->在[1,2]上有解，令222y x a a x ++=-，所以max 0y >，又因为最大值在1x =或2x =时取到， ∴只需1x =或2x =时，0y >即可，∴1220a a ++->或4420a a ++->，解得3a >-或2a >-，即3a >-．故实数a 的取值范围为(3,)-+∞．练习1若命题“12x ∀≤≤，一次函数y x m =+的图象在x 轴上方”为真命题，求实数m 的取值范围． 【答案】{}1m m >-【解析】当12x ≤≤时，12m x m m +≤+≤+．因为一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，所以10m +>，即1m >-，所以实数m 的取值范围是{}1m m >-．故得解.练习2已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立.（1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥， ∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x ≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥， 由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【名师点睛】(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．反思总结1.判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[提醒] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ，使得p (x )不成立即可．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个x 使p (x )成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．3.全称量词命题与存在量词命题的否定的思路(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，2000x x -≤B ．1x ∀>，20x x -≤随堂检测C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：“01x ∃>，2000x x -≤”，故选C.2．设命题2:,21p n n n ∃∈>-N ，则命题p 的否定为（ ）A ．2,21n n n ∀∈>-NB ．2,21n n n ∀∈≤-NC ．2,21n n n ∃∈≤-ND ．2,21n n n ∃∈=-N【答案】B【解析】 解：∵命题2:,21p n n n ∃∈>-N 是一个特称命题，它的否定是一个全称命题，∴命题p 的否定为2,21n n n ∀∈≤-N ，故选：B ．3．命题“0x ∀>，20x >”的否定是（ ）A ．20,0x x ∀>≤B ．20,0x x ∃>≤C ．20,0x x ∀≤≤D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】 命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤,故选B4．已知命题:,25x P x R ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．,25x x R ∀∉>B ．,25x x R ∀∈≤C ．00,25x x R ∃∈≤ D ．00,25x x R ∃∈>【答案】C【解析】 00,25x x R ∃∈≤，故选C5．已知命题p 为x R ∀∈，25220x x -+≥，则命题p 的否定为（ ）A ．x R ∀∈，25220x x -+<B ．x R ∀∈，25220x x -+≤C ．x R ∃∈，25220x x -+<D ．x R ∃∈，25220x x -+≤【答案】C【解析】由含全称量词的否定的定义可得命题p 的否定为：x R ∃∈，25220x x -+<.故选：C .6．已知命题p ：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p ⌝为（ ）A ．某班至多有一个男生爱踢足球B ．某班至少有一个男生不爱踢足球C ．某班所有的男生都不爱踢足球D ．某班所有的女生都不爱踢足球 【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，故其否定为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．故选：B ．7．已知命题:p x ∃∈R ，2210ax x ++=，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{|1}a a B ．{|1}a a < C ．{|1}a a D ．{|1}a a ≤【答案】C【解析】∵:p x ∃∈R ，2210ax x ++=，∴:p x ⌝∀∈R ，2210ax x ++≠.∵命题p 为假命题，∴命题p ⌝为真命题，∴当x ∈R 时，方程210ax ax ++=没有实数根，∴440a ∆=-<，即1a >.∴实数a 的取值范围是{|1}a a .故选：C.8．已知命题“21,4(2)04x R x a x ∃∈+-+”是假命题，则实数a 的取值范围为() A ．(),0-∞ B ．[]0,4 C ．[)4,+∞ D ．()0,4【答案】D【解析】因为命题“21,4(2)04x R x a x ∃∈+-+”是假命题，所以否定形式为“21,4(2)04x R x a x ∀∈+-+>”是真命题， 则221(2)44404a a a ∆=--⨯⨯=-<，解得04a <<，故选D. 9．已知命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x a -≥”，命题q ：“x ∃∈R ，2240x ax ++=”．若命题p ⌝和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤-或1a =B ．2a ≤-或12a ≤≤C ．1a ≥D ．2a ≥【答案】D【解析】若[1,2]x ∀∈，20x a -≥，则2a x ≤，∴1a ≤．若x ∃∈R ，2240x ax ++=，则2(2)160a ∆=-≥， 解得2a ≤-或2a ≥．∵命题p ⌝和命题q 都是真命题，∴12a a >⎧⎨≤-⎩或12a a >⎧⎨≥⎩， ∴2a ≥．故选：D ．10．已知命题:3p x ∀>，x m >为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．3m ≤B ．3m ≥C ．3m <D ．3m >【答案】A【解析】由:3p x ∀>,x m >为真命题,故m 的取值不超过3,即3m ≤.故选：A.11．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）A ．2,210x R x x ∀∈++>B ．所有菱形的4条边都相等C ．若2x 为偶数，则x ∈ND ．π是无理数【答案】B【解析】四个选项中AB 是全称量词命题对于A ：2,210x R x x ∀∈++>当1x =-时，不成立，为假命题. 对于B ：根据菱形定义知：所有菱形的4条边都相等，为真命题.故选：B12．下列四个命题，其中真命题是（ ）A ．n ∀∈R ，2n nB ．x R ∃∈，210x +<C ．x R ∀∈，224213x x x >-+D ．,x y Z ∃∈，3210x y -= 【答案】D【解析】对于A ，当12n =时，2n n 显然不成立，假命题；对于B ，x R ∃∈，210x +＞，假命题；对于C ，当1x =时，两边显然相等，假命题；对于D ，当4,1x y ==时，3210x y -=显然成立，真命题；故选：D13．命题“x R ∀∈，21x x +>”的否定为______.【答案】x R ∃∈，21x x +≤【解析】已知命题为全称命题，则命题的否定为：x R ∃∈，21x x +≤,故答案为：x R ∃∈，21x x +≤．14．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______．【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．15．若命题“x R ∃∈，210x ax -+<”是真命题，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,2)(2,)-∞-+∞【解析】由题意240a ∆=->，解得2a <-或2a >．故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞．16．已知命题p ：存在x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋a≤0. 若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为________.【答案】(0,1)【解析】命题p ：∃x ∈R ，x 2+2ax+a≤0的否定为命题p ：∀x ∈R ，x 2+2ax+a ＞0∵命题p 为假命题∴命题￢p 为真命题即x 2+2ax+a ＞0恒成立∴△=4a 2﹣4a ＜0解得0＜a ＜1故答案为（0，1）17．判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.18．写出下列命题的否定：（1）平面内不相交的两条直线是平行直线；（2）素数是奇数．【答案】（1）平面内存在不相交的两条直线不是平行直线．（2）存在一个素数不是奇数．【解析】由题得（1）平面内存在不相交的两条直线不是平行直线；（2）存在一个素数不是奇数． 19．设集合{2,3,5,7,11,13}M =,写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假:(1),1x M x ∀∈>；(2),x M x ∃∈不是素数.【答案】(1)否定:,1x M x ∃∈.假命题；(2)否定:,x M x ∀∈是素数.真命题.【解析】（1）否定:,1x M x ∃∈≤，假命题；(（2）否定:,x M x ∀∈是素数，真命题.20．判断下列命题的真假：（1）21,11x x ∀∈<+R ；（2）1,1x x x∃∈<+R . 【答案】（1）假命题；（2）真命题.【解析】（1）21,11x x ∀∈<+R ； 当0x =时，2111x =+，故21,11x x ∀∈<+R 是假命题. （2）1,1x x x∃∈<+R . 取1x =，计算得到：1112x x =<+=，故1,1x x x ∃∈<+R 是真命题. 21．判断下列命题的真假：（1）222,,()x y x y x y ∃∈+=+R ；（2）222,,()2x y x y x xy y ∀∈-=-+Z .【答案】（1）真命题；（2）真命题.【解析】（1）222,,()x y x y x y ∃∈+=+R ；()2222x y x xy y +=++，当0xy =，即0x =或0y =时222()x y x y +=+，真命题；（2）222,,()2x y x y x xy y ∀∈-=-+Z .根据完全平方公式得到222()2x y x xy y -=-+，故222,,()2x y x y x xy y ∀∈-=-+Z真命题.22．已知命题2:,40p x mx x m ∃∈++>R ，若p 为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】由题意得2:,40p x mx x m ⌝∀∈++R ，∵p 为假命题，∴p ⌝为真命题.当0m =时，对,0x x ∀∈R 不恒成立，不符合题意；当0m ≠时，得20,1160,m m <⎧⎨∆=-⎩∴0,11,44m m m <⎧⎪⎨-⎪⎩或 ∴14m -， ∴实数m 的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．∃x >1，x 2－2x －3＝0 课后练习B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数【答案】C【解析】对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.3．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C【解析】A.2x－2＝0⇔x＝2∉Q，故A错误；B ．∵x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x ，使x 2＋2x ＋4＝0错误．C ．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，D ．2是质数，但2不是奇数，故D 错误，故选C.4．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∀x ∉Q ，有x ∉PC ．∃x ∉Q ，使得x ∈PD ．∃x ∈P ，使得x ∉Q【答案】B【解析】∵P ∩Q ＝P ，∴P ⊆Q ，如图，∴A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．故选B.5．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【答案】B【解析】∵p 为假命题，∴綈p 为真命题，即：∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，∴1－a ≤0，则a ≥1.∴a 的取值范围是a ≥1，故选B.6.已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-， 故选B，7．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( ) A ．∃x ∈R ，x 2－x ＋41<0 B ．所有的正方形都是矩形C ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0D ．至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0【答案】AC【解析】命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D 为真命题，故选A 、C.8.(多选)下列命题错误的是( )A ．∀x ∈{－1，1}，2x ＋1>0B ．∃x ∈Q ，x 2＝3C ．∀x ∈R ，x 2－1>0D ．∃x ∈N ，|x |≤0【答案】ABC【解析】对于A ，x ＝－1时，不合题意，A 错误；对于B ，x ＝±3，B 错误；对于C ，比如x ＝0时，－1<0，C 错误；D 选项正确．9．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x ，使x 2＋2<0;③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈R ，x 2＋2＞0，所以不存在实数x ，使x 2＋2<0，为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.10．若命题p ：∀x ∈R ，21-x <0，则¬p ：________________． 【答案】∃x ∈R ，21-x >0或x －2＝0 11．若命题p ：∀a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0恰有一解，则¬p ：________________．【答案】∃a ，b ∈R ，方程ax 2＋b ＝0无解或至少有两解12.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 范围．你认为，两位同学题中m 范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)【答案】是【解析】∵命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”．而命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，则其否定“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”为真命题． ∴两位同学题中m 范围是一致的．13．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【解析】(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．14．写出下列命题的否定，并判断真假：(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．【解析】(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R.有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x －3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．15．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．【解析】(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x∈R，x2＋3≥0.真命题．(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅.(1)若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)命题q ：“∃x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求m 的取值范围．【解析】(1)由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ，解得2≤m ≤3.(2)q 为真，则A ∩B ≠∅，因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+221251m m m ，解得2≤m ≤4.。
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全称量词与存在量词【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题 全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”. 全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词， 例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题 存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃”表示，读作“存在”. 特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+. （2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”. 要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题 例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->。
【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）∀x ∈R ，x 2+1≥1； （2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数.【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。
类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2.判断下列命题的真假： （1）4,12x N x ∀∈+≥；（2）300,1x Z x ∃∈<.【解析】（1）由于0N ∈，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z -∈，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题.举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假（1）01,2>+∈∀x R x ； （2）1,2≥∈∀x N x ； （3）3,3=∈∃x Z x ；（4）023,2=+-∈∀x x R x ； （5）01,2=+∈∃x R x ；【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）2,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得2020x +=.【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）； （4）p ⌝：2,20∀∈+≠x R x （真命题）.【变式1】(2015 湖北文)命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ） A ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠- B ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=- C ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠- D ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞=-【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-，故选C.类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 【解析】10x 2331x 12131x 22|31x 1:|p ≤≤-⇒≤-≤-⇒≤--≤-⇒≤--q:x 2-2x+1-m 2≤0⇒[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 又∵m>0， ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m∵p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件” ∴不等式2|31x 1|≤--的解集是x 2-2x+1-m 2≤0(m>0)的解集的子集.1m 2m 3,m 91m 10m 9-≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩∴实数m 的取值范围是[)+∞,9举一反三：【变式1】(2015 山东)若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题，则实数m 的最小值为 。
【答案】1 【解析】若“]4,0[π∈∀x ，m x ≤tan ”是真命题则max )(x f m ≥，其中x x f tan )(= ]4,0[π∈x函数x x f tan )(= ]4,0[π∈x 的最大值为1 1≥∴m即m 的最小值为1，所以答案应填1.【变式2】若函数1()()22xf x =-，g （x ）=a （x －a+3）同时满足以下两条件： ①x R ∀∈，f （x ）＜0或g （x ）＜0；②(1,1)x ∃∈-，f （x ）g （x ）＜0. 则实数a 的取值范围为________。
【答案】∵已知函数1()()22xf x =-，g （x ）=a （x －a+3），根据①x R ∀∈，f （x ）＜0，或g （x ）＜0，即函数f （x ）和函数g （x ）不能同时取非负值， 由f （x ）≥0，求得x≤－1，即当x≤－1时，g （x ）＜0恒成立，故031a a >⎧⎨->-⎩，解得：a ＞2；根据②(1,1)x ∃∈-，使f （x ）·g （x ）＜0成立，∴g （1）=a （1－a+3）＞0， 解得：0＜a ＜4，综上可得：a ∈（2，4），【变式3】已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数.命题q ：当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数11()f x x x c =+>恒成立.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题.求c 的取值范围.【解析】由命题p 知：0＜c ＜1. 由命题q 知：1522x x ≤+≤，要使此式恒成立，则12>c ，即12c >. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假， 当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为102c <≤.当p 为假，q 为真时，c ≥1. 综上，c 的取值范围为1{|0c 1}2c c <≤≥或. 类型五 由命题的真假求参数的取值范围例5．已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e ，4] D.(－∞，－1)【解析】C 由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解， 则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e≤a ≤4. 举一反三： 【变式1】已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.【解析】 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.【变式2】已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.【解析】 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2. 因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.【变式3】已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.【解析】 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.【变式4】已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.【解析】当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14。