1.5全称量词与存在量词

全称量词与存在量词

【要点梳理】

要点一、全称量词与全称命题 全称量词

全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.

常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”. 全称命题

全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，

记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词， 例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；

（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.

要点二、存在量词与特称命题 存在量词

定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.

常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃”表示，读作“存在”. 特称命题

特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，

记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：

（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+. （2）有些特称命题也可能省略了存在量词.

（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述

要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p ：x M ∀∈，()p x

p 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；

从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.

对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p ：0x M ∃∈，0()p x

p 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；

从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”. 要点诠释：

(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.

(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个

要点四、全称命题和特称命题的真假判断

①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.

②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在.

【典型例题】

类型一：量词与全称命题、特称命题 例1.判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->。

【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题

【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）∀x ∈R ，x 2+1≥1； （2）所有素数都是奇数；

（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数.

【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2.判断下列命题的真假： （1）4

,12x N x ∀∈+≥；

（2）3

00,1x Z x ∃∈<.

【解析】（1）由于0N ∈，当0x =时，4

12x +≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1Z -∈，当1x =-时能使3

1x <，所以（2）为真命题.

举一反三：

【变式1】试判断下列命题的真假

（1）01,2

>+∈∀x R x ； （2）1,2

≥∈∀x N x ； （3）3,3

=∈∃x Z x ；

（4）023,2=+-∈∀x x R x ； （5）01,2

=+∈∃x R x ；

【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题

【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）

①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A

类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例3.写出下列命题的否定，并判断真假.

（1）2

,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；

（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得2

020x +=.

【答案】（1）p ⌝：2

000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；

（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）p ⌝：2

,10x R x x ∀∈++>（真命题）； （4）p ⌝：2

,20∀∈+≠x R x （真命题）.

【变式1】(2015 湖北文)命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是（ ） A ．000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞≠- B ．000(0,),ln 1x x x ∃∉+∞=- C ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠- D ．(0,),ln 1x x x ∀∈+∞=-

【答案】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,),ln 1x x x ∀∈+∞≠-，故选C.

类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知1

:|1|23

x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 【解析】

10x 233

1

x 12131x 22|31x 1:|p ≤≤-⇒≤-≤-⇒≤--≤-⇒≤--

q:x 2-2x+1-m 2≤0⇒[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 又∵m>0， ∴不等式的解为1-m≤x≤1+m

∵p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件” ∴不等式2|3

1

x 1|≤--

的解集是x 2-2x+1-m 2≤0(m>0)的解集的子集.