对数函数知识点总结

对数函数

（一）对

数

1．对数的概念：一般地，如果a x

N ( a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 的对数，

． ．． N

记作： x log a N （ a — 底数， N — 真数，

log a N — 对数式）

说明： ○ 注意底数的限

制 a 0 ，且 a 1 1 ； ○2

a x Nlog a N x ；

○3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○

常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 1

○2 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 ln N ．

（二）对数的运算性质

如果 a 0 ，且 a

1 ， M 0 ， N 0 ，那么：

○1 log a (M · N ) log a M ＋ log a N ； ○2 log a M

log a M － log a N ； N

○3 log a M n n log a M (n R)

．

注意：换底公式

log a b log c b 0 ，且

a 1； c 0 ，且

c 1； b 0 ）． log c （

a a 利用换底公式推导下面的结

论

（1） log am b n

n

log a b ；（ 2） log a

b 1 ．

m log b a

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函

数

y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函 数，其中 x 是自变量，函数的定义域是

（ 0， +∞）．

注意： ○

对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意 1

辨别。

如：

y 2 log 2 x ，

y log

5

x

都不是对数函数，而只能称

5 其为对数型函数．

○ 对数函数对底数的限制： ( a 0 ，且 a 1) ．

2 2、对数函数的性

质：

a>1

0

3

2 . 5 2 . 5 2

2

1 . 5 1 . 5

1 1 1 1

0 . 5 0 . 5

-1 0

-

.

5

1 23 45 6 7 8

-

1 0-

.

5

12 3456 78

1 1

-

1

-

1

-

1

.

5

-

1

.

5

-

2

-

2

-

2

.

5

-

2

.

5

定义域 x＞ 0 定义域 x＞0 值域为 R 值域为 R

在 R 上递增在 R 上递减

函数图象都函数图象都过定点

过定点（ 1，0）（ 1，0）

对数函数·例题解析

例 1． 求下列函数的定义域：

（1） y log a x 2

； （ 2） y log a (4 x) ； （ 3） y log a (9 x 2

) ．

解：（ 1）由 x 2

>0 得 x 0 ，∴函数 y log a x 2

的定义域是

x x 0 ；

（ 2）由 4 x 0 得 x 4 ，∴函数 y log a (4 x) 的定义域

是 x x 4 ；

（ 3 ） 由 9-

x 2 0 得 -3 x 3 ， ∴ 函 数 y l o

g(9 x 2 ) 的 定 义 域 是 a

x

1

x 3 x 3 ．例 2． 求函数 y 5

x 解：（ 1） 1

y 2 ∴ f 1

(x) log 1 5 5 x 2 1

（ 2） 1

y - 2 ∴ f -1 ( x) 2 例 4． 比较下列各组数中两个值的大小：

x 2

1 1

2 ( x 0) 的反函数。 2 和函数 y

2

( x 2) (x -2) ；

log 1 ( x - 2) (2 x 5

) ． 2 2

（ 1） log 2 3.4 ， log 2 8.5 ； （ 2） log 0.3 1.8 ， log 0.3 2.7 ； （3） log a 5.1 ， log a 5.9 . 解：（ 1）对数函数

（ 2）对数函数

y log 2 x 在 (0, ) 上是增函数，于是

log 2 3.4 log 2 8.5 ； y log 0.3 x 在

(0, ) 上是减函数，于是

log 0.3 1.8 log 0.3

2.7 ；

（ 3）当 a 1 时，对数函数 y log a x 在

(0, ) 上是增函数， 于是 log a 5.1 log a

5.9 ，

当 o a 1时，对数函数 y log a x 在 (0, ) 上是减函数，于是 log a 5.1 log a

5.9 ． 例 5． 比较下列比较下列各组数中两个值的大

小：