对数函数知识点总结
对数总结知识点
对数总结知识点一、对数的定义1.1 对数的基本概念对数是指数的倒数，它描述了某个数在底数为固定值时的指数。
设a和b是两个实数，并且a>0且a≠1，若a的x次幂等于b，即a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为指数。
对数的底数a通常取2、e或者10。
1.2 对数的特性对数有几个重要的特性：（1）当b=a^1时，对数的值为1，即loga(a)=1；（2）当b=1时，对数的值为0，即loga(1)=0；（3）当b=a^0时，对数的值不存在，即loga(0)是无意义的，因为0没有对数；（4）当b=a^(-1)时，对数的值等于-1，即loga(a^(-1))=-1；（5）当a=1时，对数不存在，因为1的任何次幂都是1，没有唯一的对数。
以上就是对数的基本概念和特性，通过这些概念，我们可以初步了解对数的意义和性质。
接下来，我们将介绍对数的性质和运算规则。
二、对数的性质和运算规则2.1 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质在对数的运算中起着重要的作用。
下面我们来介绍对数的性质：（1）对数的反函数性质：指数函数和对数函数是互为反函数的，即a^loga(x)=x，loga(a^x)=x；（2）对数的除法性质：loga(x/y)=loga(x)-loga(y)，即对数的商等于对数的差；（3）对数的乘法性质：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，即对数的积等于对数的和；（4）对数的幂性质：loga(x^k)=k*loga(x)，即对数的幂等于指数与对数的乘积。
通过以上性质，我们可以在对数的运算中简化表达式，更方便地进行计算和推导。
接下来，我们来介绍对数的运算规则。
2.2 对数的运算规则对数的运算规则主要包括：换底公式、对数的乘除法、对数的幂运算等。
（1）换底公式：当底数相同时，不同的对数可以相互转化，即loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数，且a≠1，c≠1。
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是指可以用对数形式表示的函数，它的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
对数函数具有一些特殊的性质和运算规则，在数学中得到广泛应用。
本文将对对数函数的定义、性质、运算规则以及常见的应用进行总结。
一、对数函数的定义与性质：1. 对数的定义：对于任意的正实数a和b (a ≠ 1)，对数函数 y = loga(b) 表示满足 a^y = b 的唯一实数y。
2.对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
3. 常见的对数函数是以自然常数e为底的自然对数函数 y = ln(x)和以常数10为底的常用对数函数 y = log10(x)。
4. 对数函数与指数函数是互逆变换关系，即 loga(a^x) =a^(loga(x)) = x。
5. 对数函数的图像特点：以对数函数 y = loga(x) 为例，当 a > 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递增的，当x趋于0时，y趋于负无穷；当 a < 1 时，函数图像过点(1,0)，在区间(0,+∞)上是单调递减的，当x趋于0时，y趋于正无穷。
6. 对数函数具有对称性，即 loga(a/x) = -loga(x)。
二、对数函数的运算规则：1. 对数的乘法规则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
2. 对数的除法规则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
3. 对数的幂次规则：loga(m^p) = p * loga(m)。
4. 对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c为任意的正实数（c ≠ 1）。
5. 对数函数的反函数：对于对数函数 y = loga(x)，其反函数为指数函数 x = a^y。
三、对数函数的应用：1.解指数方程和指数不等式：对于形如a^x=b或a^x<b的方程或不等式，可以通过取对数将其转化为对数方程或对数不等式进行求解。
对数函数的知识点总结
对数函数的知识点总结# 对数函数的知识点总结对数函数是数学中的一种基本函数，它在科学、工程和金融等领域有着广泛的应用。
以下是对数函数的核心知识点总结：## 定义对数函数通常表示为 \( \log_b(a) \)，其中 \( a \) 是真数，\( b \) 是底数。
它表示的是底数 \( b \) 需要被乘以自身多少次才能得到 \( a \)。
## 基本性质1. 底数大于0：对数函数的底数 \( b \) 必须大于0且不等于1。
2. 真数大于0：对数函数的真数 \( a \) 必须大于0。
3. \( \log_b(1) = 0 \)：任何底数的1的对数都是0。
4. \( \log_b(b) = 1 \)：任何底数的自身的对数都是1。
5. \( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)：对数的指数法则。
## 特殊对数- 自然对数：底数为 \( e \)（约等于2.71828），表示为 \( \ln(a) \)。
- 常用对数：底数为10，表示为 \( \log(a) \)。
## 运算法则- 乘法法则：\( \log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c) \)- 除法法则：\( \log_b(\frac{a}{c}) = \log_b(a) - \log_b(c) \) - 幂法则：\( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)- 换底公式：\( \log_b(a) = \frac{\log_k(a)}{\log_k(b)} \)## 图像特征- 对数函数的图像是一条从左下角到右上角无限延伸的曲线。
- 当 \( a > 1 \) 时，对数函数是递增的。
- 当 \( 0 < a < 1 \) 时，对数函数是递减的。
- 对数函数的图像永远不会与x轴相交。
## 应用- 解指数方程：通过取对数转换为线性方程。
对数知识点总结
对数知识点总结一、对数的基本概念定义：对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的底和真数：对数的底必须为正实数且不等于1，真数必须为正实数。
对数的值：对数的值可以是实数，也可以是复数。
二、对数的性质对数函数为单调增函数。
常用的对数：以10为底的对数称为常用对数，记作lgN；以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数，记作lnN。
三、对数的运算规则对数的乘法规则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，其中M、N 为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的除法规则：log_a(M/N) =log_a(M) - log_a(N)，其中M、N为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的幂次规则：log_a(M^p) = p * log_a(M)，其中M为正实数，a为正实数且a≠1，p为任意实数。
对数的换底公式：log_b(M) /log_b(a) = log_a(M)，其中M为正实数，a、b为正实数且a≠1，b≠1。
四、对数的应用对数在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、金融、化学反应、数据压缩、声学和地震学、科学计量、货币贬值、人口增长、生物学、天文学、网络和社交媒体以及电路分析等。
对数可以帮助处理广泛的数据范围、计算复利、描述化学反应速率与反应物浓度的关系、压缩数据、表示声音的强度等。
以上是对数的基本知识点总结，涵盖了定义、性质、运算规则以及应用等方面。
希望这些信息能够帮助你更好地理解和掌握对数知识。
对数计算知识点归纳总结
对数计算知识点归纳总结一、基本概念1. 对数的定义对数的定义可以从指数函数的逆函数出发。
设a>0且a≠1，a的x次幂函数y=a^x是严格增函数和满射的，对数函数y=log_a x是a^y=x的逆函数。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为对数。
如果底数未标明，则默认情况下一般为10，即log=lg。
2. 底数、真数和对数在对数的定义中，底数指的是指数函数的底数，真数指的是指数函数的结果值，对数指的是幂函数的幂指数。
例如，在对数表达式log28中，2是底数，8是真数，3是对数。
3. 对数的符号与数值对数的数值是实数，在常见对数中，对数的值是无理数。
在实际应用中，对数的值往往是无限循环小数。
4. 对数的常见类型对数按照底数的不同可以分为常用对数（底数为10）和自然对数（底数为e）等不同类型。
常用对数在实际应用中使用率较高，自然对数在微积分等领域具有特殊的作用。
二、性质1. 对数函数的图像对数函数的图像是一条渐进线（一条直线和坐标轴所组成的图像），且对数函数是严格递增的。
对数函数的图像有着特殊的凹陷形状。
2. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域是真数的取值范围，是所有正实数的集合。
对数函数的值域是对数的取值范围，是所有实数的集合。
3. 对数函数的性质（1）对数函数是严格递增函数；（2）对数函数的图像是一条渐进线；（3）对数函数的定义域是正实数的集合；（4）对数函数的值域是实数的集合。
4. 对数与指数的关系对数和指数是互为逆运算的关系，即a^log_a x = x，log_a(a^x)=x。
对数和指数的关系在数学推导和实际问题中有着重要的应用。
三、运算规则1. 对数的运算性质对数具有一系列的运算规则，包括等式变形、对数运算、对数化简等。
对数的运算规则可以帮助简化复杂的计算和推导过程。
2. 对数乘除法规则（1）log a mn = log a m + log a n（对数乘法规则）；（2）log a (m/n) = log a m - log a n（对数除法规则）。
对数计算天文知识点总结
对数计算天文知识点总结一、对数的概念和基本性质1.1 对数的定义对数是指数的逆运算。
设a和b是两个正数，且a≠1, a^x=b，其中x是未知数，那么称x 是以a为底b的对数，记作 x=loga b。
对数的底数一般情况下是10，称为常用对数，若底数是e（自然常数），则称为自然对数。
1.2 对数的基本性质（1）对数的定义域和值域以10为底的对数函数log10 x的定义域是正实数集合R+，值域是实数集合R。
（2）对数的性质① loga(1)=0② loga(a)=1③ loga(x·y)=loga x+loga y④ loga(x/y)=loga x-loga y⑤ loga(x^m)=mloga x⑥ loga a^x=x1.3 对数的常用公式（1）换底公式loga b=logc b/logc a（2）对数解方程当底数相等时，方程两边求对数即可；当指数相等时，求底数相等的对数；当底数和指数均为未知数时，采用换底公式。
二、天文学中对数计算的应用2.1 天文学中的大数字天文学中常常涉及到非常大的数字，例如宇宙的尺度、星体的质量、光强等等。
这些数字有时候超出了我们通常所能理解的范围，因此对数计算成为了天文学家处理这些大数字的重要工具。
2.2 星等系统星等是天文学中表示星体亮度的一种尺度。
在星等系统中，一等星的亮度是二等星的100倍，而一等星和六等星的亮度差距是2.512倍。
这就意味着，两颗星体之间的亮度比可以用对数来表示。
例如，如果一颗星的星等是1，而另一颗星的星等是6，那么它们之间的亮度比可以表示为2.512^(6-1)=100倍。
2.3 测量天体距离在天文学中，测量天体的距离是一项非常重要的工作。
而对数计算正是帮助天文学家进行这项工作的重要工具之一。
例如，在测量星体距离时，可以利用星等和光度来推算天体的距离，其中就包括了对数的计算。
2.4 测量星体质量天文学家通过测量星体的亮度和光谱特性来推算星体的质量。
对数相关知识点总结
对数相关知识点总结一、对数的概念1. 对数的定义对数是一种数学运算，用来表示一个数在指数运算中的幂。
例如，如果a^x = b，那么x称为以a为底b的对数，记作x= log(a)b。
2. 对数的性质（1） log(a)1 = 0（2） log(a)a = 1（3） log(b)a = 1/log(a)b（4） log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)（5） log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)3. 对数的底常见的对数底有自然对数底e和常用对数底10。
自然对数底e约等于2.71828，常用对数底10。
二、对数的运用1. 对数的应用对数在数学中有着广泛的应用，尤其在指数函数、微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
2. 对数方程对数方程是指含有对数的方程，例如log(x+2) = 2。
对数方程的解法通常是先化为指数方程，然后解出方程的根。
3. 对数不等式对数不等式是指含有对数的不等式，例如log(x+2) < 2。
对数不等式的解法通常是先将其转化为指数形式，然后求出解。
4. 对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，例如y = log(x)。
对数函数的图像通常为单调增加的曲线，与指数函数互为反函数。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数对数底为10的对数称为常用对数，通常用log表示，例如log(x)。
常用对数在计算中有着广泛的应用。
2. 自然对数对数底为e的对数称为自然对数，通常用ln表示，例如ln(x)。
自然对数在微积分、概率统计等领域中有着重要作用。
3. 常用对数和自然对数的换底公式常用对数和自然对数的换底公式是log(a)b = ln(b)/ln(a)。
利用换底公式可以方便地转化对数的底。
四、对数的运算1. 对数的加减法对数的加减法规则是log(a)b + log(a)c = log(a)(b*c)、log(a)b - log(a)c = log(a)(b/c)。
对数函数(基础知识+基本题型)(含解析)
4.4对数函数（基础知识+基本题型）知识点一 对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,.+∞辨析 (1)对数函数的特征：①log a x 的系数是1；②log a x 的底数是不等于1的正数； ③log a x 的真数仅含自变量.x(2)求对数函数的定义域时，应注意：①对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；②对含有字母的式子要分类讨论；③使式子符合实际背景.知识点二 对数函数的图象和性质1.对数函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象和性质()0,+∞.R 2.对数函数的图象与性质的对应关系①这些图象都位于y 轴右方 ①x 可取任意正数，函数值.y R ∈ ②这些图象都经过点(1,0)②无论a 为任何正数，总有log 10a =③图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间()1,+∞内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反③当1a >时01log 0,1log 0;a a x x x x <<⇒<⎧⎨>⇒>⎩ 当01a <<时01log 0,1log 0a a x x x x <<⇒>⎧⎨>⇒>⎩ ④自左向右看，当1a >时，图象逐渐上升；当01a <<时，图象逐渐下降 ④当1a >时，函数log a y x =是增函数； 当01a <<时，函数log a y x =是减函数3.底数对函数图象的影响(1)函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象无限地靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交；(2)在同一平面直角坐标系中，log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象与1log (0,ay x a =>且1)a ≠的图象关于x 轴对称.(3)对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，函数从左往右增；底数0到1之间，函数从左往右减； 无论函数增和减，图象都过点(1,0).在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)知识点三 指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数解析式()10≠>=a a a y x 且)10(log ≠>=a a x y a 且R ()+∞,0①一般地，函数()y f x a b =±±（a 、b 为正数）的图象可由函数()y f x =的图象变换得到。
log函数的知识点和公式
log函数的知识点和公式1.对数函数的定义对数函数的定义是指数函数的逆函数。
对于任意正实数a、b(a>0,a≠1)，我们有：y = logₐb ⇔ a^y = b其中，a称为底数，b称为真数，y称为对数。
2.常用对数函数和自然对数函数3.对数函数的特性- 对于任意正实数a，logₐ(1) = 0，因为a^0 = 1- 对于任意正实数a，logₐ(a) = 1，因为a^1 = a。
- 对于任意正实数a和b (a>0, a≠1)，logₐ(a^x) = x，其中x是任意实数。
- 对于任意正实数a和b (a>0, a≠1)，a^(logₐ(b)) = b。
- 对于任意正实数a (a>0, a≠1)和b (b>0, b≠1)，logₐ(x * y) = logₐ(x) + logₐ(y)，其中x和y是任意正实数。
- 对于任意正实数a (a>0, a≠1)和b (b>0, b≠1)，logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)，其中x和y是任意正实数。
- 对于任意正实数a (a>0, a≠1)和b>0，logₐ(x^b) = b * logₐ(x)，其中x是任意正实数。
4.对数函数的图像和性质对数函数的图像通常为左开右单调增的曲线。
当x>1时，对数函数呈现出单调增长趋势；当0<x<1时，对数函数呈现出单调减少的趋势。
5.常用对数函数和自然对数函数的换底公式- 换底公式1：logₐ(b) = log(c, b) / log(c, a)，其中a、b、c是任意正实数(a, b, c>0, a≠1, b≠1)。
- 换底公式2：logₐ(b) = ln(b) / ln(a)，其中a是任意正实数(a>0, a≠1)，b是任意正实数 (b>0)。
6.对数函数的常用性质- log(a^b) = b * log(a)- log(a*b) = log(a) + log(b)- log(a/b) = log(a) - log(b)- log(1) = 0- log(10) = 17.对数函数的应用对数函数在许多领域有广泛的应用，包括：-统计学中，通过使用对数函数，可以将一些数据转换为更易于处理的形式。
对数函数常用知识点汇总
对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学中有着广泛的应用。
本文将从基础定义、性质、常见变形以及实际应用等方面，进行对数函数常用知识点的汇总介绍。
一、基础定义1.对数的定义：对于任意正数a和正数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作log_a(b) = x。
2.常用对数和自然对数：当底数a为10时，称为常用对数，记作log(b)；当底数a为自然常数e时，称为自然对数，记作ln(b)。
3.对数函数的定义：对于任意正数a（a≠1），对数函数y = log_a(x)表示一个数x的以a为底的对数。
二、性质总结1.对数函数的定义域：对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)。
2.对数函数的值域：对数函数的值域为实数集R。
3.对数函数的图像特点：当底数a>1时，对数函数的图像上升；当0<a<1时，对数函数的图像下降；对数函数的图像经过点(1,0)。
4.对数函数与指数函数的关系：对数函数y = log_a(x)与指数函数y =a^x是互为反函数的关系。
三、常见变形1.对数函数的平移：对数函数y = log_a(x)的图像向左平移h个单位，可表示为y = log_a(x-h)；向右平移h个单位，可表示为y = log_a(x+h)。
2.对数函数的伸缩：对数函数y = log_a(x)的图像纵向伸缩k倍，可表示为y = log_a(kx)；横向伸缩k倍，可表示为y = log_a(x/k)。
3.对数函数的反转：对数函数y = log_a(x)的图像关于y = x对称。
四、实际应用对数函数在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是一些常见的实际应用场景：1.音乐和声音的测量：声音的强度通常使用分贝（dB）来表示，而分贝就是以对数函数为基础进行计算的。
2.化学中的pH值：pH值是衡量溶液酸碱性的指标，它是以对数函数为基础计算的。
3.经济学中的财富分配：洛伦兹曲线和基尼系数中，对数函数被用来度量收入和财富的不平等程度。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种特殊函数，其函数表达式为y = logb(x)，其中b是底数，x是自变量，y是函数值。
对数函数有许多特别的性质和应用，本文将对对数函数的基本性质、图像特征和应用等进行详细总结。
一、对数函数的基本概念和性质1.底数是正实数且不等于1：对数函数中的底数b必须是一个正实数，并且不能等于1，因为否则函数将不存在。
2.自变量x必须大于0：对数函数的自变量x必须大于0，否则函数值将无意义。
3.对数函数的定义域和值域：定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。
值域：对数函数的值域是实数集，即(-∞,+∞)。
4. 对数与指数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即y = logb(x)与y = b^x互为反函数。
5. 乘法性质：logb(xy) = logb(x) + logb(y)，即对数函数中两个实数的乘积的对数等于这两个实数的对数之和。
6. 除法性质：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，即对数函数中两个实数的商的对数等于这两个实数的对数之差。
7. 幂性质：logb(x^p) = p · logb(x)，即对数函数中一个实数的幂的对数等于该实数的对数乘以这个幂。
二、对数函数的图像特征1.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即{x，x>0}。
2.x轴和y轴的渐近线：当x趋近于0时，对数函数的y值趋近于负无穷，故x轴是对数函数的水平渐近线；当y趋近于正无穷时，对数函数的x值趋近于正无穷，故y轴是对数函数的垂直渐近线。
3.对数函数的基准点(1,0)：对于任意正实数b，对数函数在点(1,0)上均有一个特殊点，即对数函数的基准点。
4.对数函数的图像特征：当底数b>1时，对数函数在(0,+∞)上是递增的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐增加的；当0<b<1时，对数函数在(0,+∞)上是递减的，并且对数函数在基准点(1,0)附近是逐渐减少的；对数函数的图像在x轴的右侧趋近于x轴，并且通过点(1,0)。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于数学、物理、经济学等领域。
本文将对对数函数的定义、性质和应用进行详细总结，帮助读者全面了解对数函数。
一、对数函数的定义1. 对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1）和正实数x，称y=logₐx为以a为底x的对数，其中x被称为真数，a被称为底数，y被称为对数。
记作y=logaₐx。
2. 以10为底的对数函数：y=log₁₀x，通常将其简写为y=logx。
3. 自然对数函数：以e≈2.71828为底的对数函数，记作y=loge x或y=lnx。
二、对数函数的基本性质1. 对数函数与指数函数的互为反函数性质：对数函数y=logₐx与指数函数y=aˣ满足关系方程aˣ=x，x>0，a>0且a≠1。
2. 对数函数的定义域和值域：对数函数y=logₐx的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
3. 对数函数的对称关系：对于任意正实数x和定义域内的正实数a，有对称关系logₐx=y↔aʸ＝x。
4. 对数函数的性质：（1）等式性质：logₐx=logₐy→x=y；logₐx=logb x/lobb a；logₐ1=0；l ogₐa=1。
（2）倒数性质：loga(1/x)=-logₐx。
（3）指数性质：logₐxⁿ=nlogₐx。
（4）乘法性质：logₐ(xy)=logₐx+logₐy。
（5）除法性质：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy。
三、对数函数的图像与性质1. 对数函数y=logₐx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
（4）曲线在x轴的右侧均为上升曲线。
（5）曲线在x=1处有一垂直渐近线。
2. 自然对数函数y=lnx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
对数的概念知识点总结
对数的概念知识点总结一、对数的概念1.1 对数的定义对数是指数的倒数。
设a和b是正实数，且a≠1，a的x次幂等于b，那么x叫做以a为底数的对数，记作loga b=x。
其中，a称为底数，b称为真数，x称为对数。
1.2 对数的性质（1）对数的基本性质：①对数的法则：loga (MN) = loga M + loga N。
②对数的乘积法则：loga(M/N) = loga M − loga N。
③对数的幂法则：loga (M^x) = x loga M。
④对数的换底公式：loga b = logc b / logc a。
（2）对数的特殊性：loga 1 = 0。
1.3 对数函数对数函数是以对数为自变量的函数，一般记作y = loga x。
对数函数是单调递增的，其图像是一个不断向上增长的曲线。
1.4 对数的应用对数在实际生活中有着广泛的应用，比如在科学和工程领域，对数可以用来简化和解决复杂的计算问题。
在财务和经济领域，对数可以用来描述复利和增长速度。
此外，在信息论和统计学中，对数也有着重要的应用。
二、对数的运算2.1 对数的运算规则（1）对数方程的求解：利用对数的性质和公式，可以将对数方程转化为指数方程，从而求解未知数的值。
（2）对数的应用：利用对数的特性和公式，可以将复杂的计算问题简化为更容易处理的形式，从而提高计算的效率和精度。
2.2 对数的反运算对数的反运算是指数运算，即将以a为底数的对数转化为以a为底数的指数形式，从而得到真数的值。
2.3 对数的实际应用对数在实际中有广泛的应用，比如在科学和工程领域中，对数可以用来描述复杂的物理现象和工程问题。
在金融和经济领域中，对数可以用来描述复利和增长速度。
在信息论和统计学中，对数可以用来处理大量数据和计算概率。
三、对数的性质3.1 对数的底数对数的底数一般取为10，自然对数的底数为e。
对数的底数不同，其计算和性质都有所不同。
3.2 对数的长度对数的长度是指对数所具有的位数，一般取整数部分。
根据对数函数知识点及题型归纳总结
根据对数函数知识点及题型归纳总结一、对数函数的基本概念- 对数函数是指以某个正数为底数的幂运算与常用对数的函数关系。
- 常用对数是以10为底的对数，通常用符号log表示。
- 自然对数是以常数e（约等于2.718）为底的对数，通常用符号ln表示。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：- 对数函数的定义域为正实数集合。
- 对数函数的值域为实数集合。
2. 对数函数的图像特点：- 对数函数的图像是一条平滑的曲线，且过点(1, 0)。
- 对数函数的图像在(0, +∞)上是递增的。
- 自然对数函数ln(x)的图像在(0, +∞)上是上凸的。
3. 对数函数的性质和运算法则：- 对数函数中，底数为1的对数函数恒等于0。
- 对数函数的乘法法则：loga(mn) = loga(m) + loga(n)。
- 对数函数的除法法则：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)。
- 对数函数的幂运算法则：loga(m^k) = k·loga(m)。
三、对数函数的常见题型1. 简单计算题型：- 计算给定底数和真数的对数值。
- 根据对数值计算给定底数和真数。
2. 方程求解题型：- 将对数方程转化为指数方程求解。
- 求解含对数的复合方程。
3. 不等式求解题型：- 将对数不等式转化为指数不等式求解。
- 求解含对数的复合不等式。
4. 图像应用题型：- 根据对数函数的图像特点作图。
- 根据图像解决实际问题。
总结：对数函数是数学中常用的函数之一，掌握对数函数的基本概念、性质和运算法则，能够灵活运用对数函数解决各种题型和实际问题。
希望通过这份文档，能够帮助大家系统地研究和掌握对数函数相关知识。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结定义：对于正实数aaa（a≠1a \neq 1a=1）和正实数xxx，如果ay=xa^y = xay=x，那么数yyy就是xxx以aaa为底的对数，记作y=logaxy = \log_a xy=logax。
性质：非负性：logax≥0\log_a x \geq 0loga x≥0 当且仅当x≥1x \geq 1x≥1（a>1a > 1a>1）。
单调性：当a>1a > 1a>1时，logax\log_a xlogax随xxx的增大而增大；当0<a<10 < a <10<a<1时，logax\log_a xlogax随xxx的增大而减小。
换底公式：logba=logcalogcb\log_b a = \frac{\log_ca}{\log_cb}logba=logcblogca，其中a,b,c>0a, b, c > 0a,b,c>0且b≠1,c≠1b \neq 1, c \neq 1b=1,c=1。
乘积的对数：loga(mn)=logam+logan\log_a(mn) = \log_a m + \log_a nloga(mn)=logam+logan。
商的对数：loga(mn)=logam−logan\log_a\left(\frac{m}{n}\right) =\log_a m - \log_a nloga(nm)=logam−logan。
幂的对数：loga(mn)=nlogam\log_a(m^n) = n\log_a mloga(mn)=nlogam。
对数的指数法则：loga(bx)=xlogab\log_a(b^x) = x\log_a bloga (bx)=xlogab。
特殊对数：自然对数：以自然数eee（约等于2.71828）为底的对数，记作lnx\ln xlnx，即lnx=logex\ln x = \log_e xlnx=logex。
对数型函数知识点总结
对数型函数知识点总结一、对数的基本概念对数是指数的逆运算。
设a和b是正数，且a≠1，如果a的x次方等于b，那么x叫做以a为底b的对数，记作x=log_ab。
其中a叫做对数的底数，b叫做真数，x叫做对数。
对数的定义及运算规则见下表：1、对数的定义：log_ab=x 当且仅当 a^x=b2、对数的运算规则：对数的性质主要有：（1）a^x=b ⇔ x=logy=logeb/logea（2）log_a(m*n)=log_am+log_an（3）log_a(m/n)=log_am-log_an（4）log_ab*log_ba=1二、对数函数的图像及性质对数函数y=log_ax (a>0,a≠1)的图像特点：1、定义域：x>02、值域：(-∞,∞)3、关于y轴对称4、渐近线：x=0对数函数的变形：1、对数函数y=log_ax的变形：a>1时，是增函数；0<a<1时，是减函数。
2、指数函数y=a^x和对数函数y=log_ax的关系：如果a^x=y，那么x=log_ay三、对数方程及不等式的解法对数方程及不等式的解法：1、对数方程的解法：对数方程a^x=b (a>0,a≠1)的解法：a>1时，（1）当b>0时，两边取对数得x=log_ab；（2）当b=0时，方程无解；a=1时，方程a^x=1的解为x=0。
0<a<1时，（1）当b>0时，两边取对数得x=log_ab；（2）当b=0时，两边无解；2、对数不等式的解法：对数不等式a^x>b (a>0,a≠1)的解法：a>1时，分两种情况，大于时取对数得x>log_ab；0<a<1时，同样分两种情况，大于时取对数得x>log_ab；四、对数函数和指数函数的关系1、对数函数和指数函数的定义：指数函数y=a^x (a>0,a≠1) 是对数函数y=log_ax的逆函数。
高中数学对数函数知识点
高中数学对数函数知识点对数函数是高中数学中的重要内容，以下是关于对数函数的主要知识点：一、对数的定义与性质：1. 对数的定义：设a为正实数，且a≠1，b为正实数，若满足a^x=b，则称x为以a为底b的对数，记作x=logab。
其中，a称为底数，b称为真数。
2.对数的性质：- loga1=0，其中a为任意正实数，且a≠1；- logaa=1，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m*n)=logam+logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- loga(m/n)=logam-logan，其中a为任意正实数，且a≠1；- logam^n=n*logam，其中a为任意正实数，且a≠1；- logab=logcb/logca，其中a、b、c为任意正实数，且a≠1、b>0、c>0；二、对数函数的图像与性质：1. 对数函数：设a为正实数，且a≠1，函数y=logax (x>0) 称为以a为底的对数函数。
其中，a称为底数。
2. 对数函数y=logax的图像特点：-定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)；-x轴为渐进线，即y趋近于负无穷大；-当x=1时，y=0，是对数函数的特殊点；-当x>1时，y>0，y随着x的增大而增大，呈现增函数的特点；-当0<x<1时，y<0，y随着x的减小而减小，呈现减函数的特点；-当x=a时，y=1，是对数函数的特殊点。
三、对数方程与对数不等式：1.对数方程：对数方程是指含有对数的方程。
解对数方程的一般步骤为：-用对数的定义化简方程；-化简后的方程，得到一个以指数形式表示的方程；-解指数方程；-检验解是否符合原方程的定义域。
2.对数不等式：对数不等式是指含有对数的不等式。
解对数不等式的一般步骤为：-用对数的定义化简不等式；-不等式中含有对数，要确定其定义域；-将不等式拆分成多个小不等式；-解每个小不等式的解集；-根据定义域的限制，得到最终的解集。
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对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果a xN ( a 0, a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 的对数，． ．． N记作： x log a N （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明： ○ 注意底数的限制 a 0 ，且 a 1 1 ； ○2a x Nlog a N x ；○3 注意对数的书写格式．两个重要对数：○常用对数：以 10 为底的对数 lg N ； 1○2 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 ln N ．（二）对数的运算性质如果 a 0 ，且 a1 ， M 0 ， N 0 ，那么：○1 log a (M · N ) log a M ＋ log a N ； ○2 log a Mlog a M － log a N ； N○3 log a M n n log a M (n R)．注意：换底公式log a b log c b 0 ，且a 1； c 0 ，且c 1； b 0 ）． log c （a a 利用换底公式推导下面的结论（1） log am b nnlog a b ；（ 2） log ab 1 ．m log b a（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y log a x(a 0 ，且 a 1) 叫做对数函 数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0， +∞）．注意： ○对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意 1辨别。
如：y 2 log 2 x ，y log5x都不是对数函数，而只能称5 其为对数型函数．○ 对数函数对底数的限制： ( a 0 ，且 a 1) ．2 2、对数函数的性质：a>10<a<1 332 . 5 2 . 5 221 . 5 1 . 51 1 1 10 . 5 0 . 5-1 0-.51 23 45 6 7 8-1 0-.512 3456 781 1-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域 x＞ 0 定义域 x＞0 值域为 R 值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都函数图象都过定点过定点（ 1，0）（ 1，0）对数函数·例题解析例 1． 求下列函数的定义域：（1） y log a x 2； （ 2） y log a (4 x) ； （ 3） y log a (9 x 2) ．解：（ 1）由 x 2>0 得 x 0 ，∴函数 y log a x 2的定义域是x x 0 ；（ 2）由 4 x 0 得 x 4 ，∴函数 y log a (4 x) 的定义域是 x x 4 ；（ 3 ） 由 9-x 2 0 得 -3 x 3 ， ∴ 函 数 y l og(9 x 2 ) 的 定 义 域 是 ax1x 3 x 3 ．例 2． 求函数 y 5x 解：（ 1） 1y 2 ∴ f 1(x) log 1 5 5 x 2 1（ 2） 1y - 2 ∴ f -1 ( x) 2 例 4． 比较下列各组数中两个值的大小：x 21 12 ( x 0) 的反函数。
2 和函数 y2( x 2) (x -2) ；log 1 ( x - 2) (2 x 5) ． 2 2（ 1） log 2 3.4 ， log 2 8.5 ； （ 2） log 0.3 1.8 ， log 0.3 2.7 ； （3） log a 5.1 ， log a 5.9 . 解：（ 1）对数函数（ 2）对数函数y log 2 x 在 (0, ) 上是增函数，于是log 2 3.4 log 2 8.5 ； y log 0.3 x 在(0, ) 上是减函数，于是log 0.3 1.8 log 0.32.7 ；（ 3）当 a 1 时，对数函数 y log a x 在(0, ) 上是增函数， 于是 log a 5.1 log a5.9 ，当 o a 1时，对数函数 y log a x 在 (0, ) 上是减函数，于是 log a 5.1 log a5.9 ． 例 5． 比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1） log 6 7 ， log 7 6 ；（ 2） log 3，log20.8 ；（3） 1.10.9， log 1.1 0.9 ， log0.70.8 ；（ 4） log 5 3 ，log 63 ， log 73 ．解：（ 1）∵log67 log 6 6 1 ， log 7 6 log 7 7 1，∴ log6 7 log 7 6 ；（ 2）∵ log3log3 1 0 ，log 20.8 log 210 ，∴ log 3log 2 0.8 ．(3 ）∵10 . .19 ，1. log11.1 0.91log 1.1 1 0 ，0 log 0.7 1 log 0.70.8 log 0.7 0.71，∴ 1.10.9log 0.70.8 log 1.1 0.9 ．（ 4）∵ 0 log 35 log 3 6log3 7 ，∴ log 5 3 log6 3 log7 3 ．例 7．求下列函数的值域：（ 1）ylog 2(x3) ；（ 2） y log 2 (3x2 ) ；（ 3）y log a (x24x 7) （ a 0 且a1）．解：（ 1）令t x 3 ，则 y log 2t ，∵ t 0 ，∴ yR ，即函数值域为R ．（ 2）令t 3 x2，则 0t 3 ，∴ y log 2 3 ，即函数值域为 ( ,log 2 3] ．（ 3 ）令t x24x 7 (x 2) 2 3 3 ，当 a 1 时， ylog a3 ，即值域为[log a 3, ) ，当 0 a 1时， y log a 3 ，即值域为( ,log a 3] ．例 8．判断函数f ( x) log 2( x2 1 x) 的奇偶性。
解：∵x2 1 x 恒成立，故 f (x) 的定义域为 ( , ) ， f ( x) log 2 ( x2 1 x)log 2 1 log 2x2 1 x log2 x2 1 xf ( x) ，所以， f (x)x 2 1 x (x2 1)2 x2为奇函数。
例 9．求函数y2log 1 ( x23x 2) 的单调区间。
3解：令u x23x 2 (x 3 )2 1 在[ 3 ,) 上递增，在( , 3] 上递减，2 4 2 2又∵23x 2 0 x 2 x 1 x，∴或，故 u x23x 2 在 (2, ) 上递增，在(,1) 上递减，又∵ y 2 log 1 u 为减函数，3所以，函数 y 2log 1 ( x23x2)在(2,) 上递增，在( ,1) 上递减。
3例 10．若函数 y log 2( x2axa) 在区间( ,1 3) 上是增函数， a 的取值范围。
解：令 u g( x) x2ax a ，∵函数 y log 2 u 为减函数，∴ u g(x)x2ax a 在区间 ( , 13上) 递减，且满足 u 0 ，∴a312 3 a 2 ，2 ，解得 2g (1 3) 0所以， a 的取值范围为[2 2 3, 2] ．【例 1】(1) 求函数 y=log13x2 的定义域．22 x 1(2 ) 求函数 1 ＞，且≠1)的定义域．y =a)(a 0 a1 log a( x(3 ) 已知函数 f(x) 的定义域是[0， 1]，求函数 y = f[log 1 (3－ x)]的定义3log 1 3x 2≥ 0 3x 2 x 1 ≤02 2x 12x≤1 2x 1(1)由3x2＞ 011或x＞2解(3x2)( 2x 1) ＞0 x＜2x 1x≠12 32x 1≠ 0x≠1221＜x≤ 12x＜1或＞2 2 ＜≤2x x13 3x≠ 12∴所求定义域为 {x| 2＜x≤1}3解(2) ∵ 1－ log a(x ＋ a) ＞ 0，∴ log a(x ＋ a) ＜ 1．当 a＞ 1 时， 0＜ x＋ a＜ a，∴函数的定义域为当 0＜ a＜ 1 时， x＋ a＞ a，∴函数的定义域为( －a， 0) ．(0 ，＋∞ ) ．解(3) ∵f(x) 的定义域为 [0，1]，∴函数 y = f[log 1 (3－x)] 有意义，3必须满足≤－≤ ，即1≤log 1－x)≤log11 ，∴1 ≤ －log 1 (3x) 1log 1(3 33 3 3 3 3 3x≤ ，∴≤x≤ 8．故函数y =f[log－的定义域为[2，8．12 3 1 (3x)] ]3 3【例 2】已知函数 y =10x域和值域．1 10x ，试求它的反函数，以及反函数的定义x x 解 已知函数的定义域为 R ，∵ y = 10 x ∴ y ≠1，由 y = 10 x 得 10 101 1x x y＞ 0 0＜ y ＜1，即为函数的值域． (1－y)10 = y ，∴ 10 =1 y由 10x= y 得 x = lg y ，即反函数 f 1(x) =lg x ． 1 y 1 y 1 x反函数的定义域为(0 ， 1) ，值域为 y ∈ R ． 【例 3】 作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg( －x)(2)y=log 2|x ＋ 1|(3)y =|log 1 (x －1)|， (4)y ＝log 2 (1－x) ．2解 (1)y=lg( － x) 的图像与 y=lgx 的图像关于 y 轴对称，如图 2．8－ 3 所示，单调减区间是 ( －∞， 0) ．解 (2) 先作出函数 y=log 2|x| 的图像，再把它的图像向左平移1 个单位就得y ＝ log 2|x ＋ 1| 的图像如图 2．8－ 4 所示．单调递减区间是 ( －∞，－ 1) ． 单调递增区间是 ( － 1，＋∞ ) ．解 (3) 把 y = log 1 x 的图像向右平移 1个单位得到 y = log 1 (x － 1) 的图像，保留其在x2 2 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，就得到 y =|log 1 (x － 1)|的图像．如图 2． 8－ 5 所示 2单调减区间是 ( － 1， 2] ． 单调增区间是 [2 ，＋∞ ) ．解 (4) ∵函数 y=log 2( －x) 的图像与函数y=log 2x 的图像关于y 轴对称，故可先作y=log 2( －x)的图像，再把y＝ log 2( － x) 的图像向右平移1 个单位得到y=log 2(1 －x) 的图像．如图2． 8－ 6 所示．单调递减区间是( －∞， 1) ．【例4】图 2．8－ 7 分别是四个对数函数，①y=log ax② y=log bx③ y=log cx④y=logdx的图像，那么 a、 b、 c、 d 的大小关系是[ ] A． d＞ c＞ b＞ a B． a＞ b＞ c＞ dC． b＞ a＞ d＞ c D． b＞ c＞ a＞ d解选 C，根据同类函数图像的比较，任取一个x＞ 1 的值，易得b＞a＞ 1＞d＞c．【例5】已知log a3＞ log b3，试确定a和b 的大小关系．解法一令y1=log ax，y2=log bx，∵ log ax＞ log b3，即取x＝ 3 时，y1＞y2 ，所以它们的图像，可能有如下三种情况：(1) 当 log a3＞ log b3＞ 0 时，由图像2．8－ 8，取x=3，可得b＞ a＞1．(2) 当 0＞ log a3＞ log b3 时，由图像2．8－ 9，得0＜ a＜ b＜ 1．(3) 当 log a3＞ 0＞ log b3 时，由图像2．8－ 10，得a＞ 1＞ b＞ 0．【例6】若 a2＞ b＞ a＞ 1，则 logaa、 logbb、 logb a、 log a b的大小顺序是：b a_____．解∵a2＞b＞ a＞ 1，∴ 0＜a＜1，b＞ 1，∴ log a ＜，log b b ＞b a a b0 a，＜＜，＞．由 2 ＞＞＞得＞b＞∴log b b ＜＜0 0 log b a 1 log a b 1 a b a 1 a a 1 a log b aa b1，故得： log a b＜log b a＜log b a＜log a b．【例 8】已知函数 f(x) = log a (x＋1x 2 )(a＞ 0，且 a≠ 1)，判断其奇偶性．解法一已知函数的定义域为R，则－ x∈ R f(－ x) = log a( 1+ x 2－ x)( 1 x 2x)( 1 x2x)= log a1 x2x1 x 2x2= log a = log a 1 x 2x11 x 2x= log a ( 1 x 2x) f (x)∴f(x) 是奇函数．解法二已知函数的定义域为R由 f(x) ＋f( －x) = log a ( 1+ x 2＋x) ＋log( 1+ x 2－ x)= log a [( 1+ x 2x)( 1+ x 2x)]=log a1=0∴f(x)= － f(x) ，即 f(x) 为奇函数．单元测试一、选择题（每小题 5 分，共 50 分） .1．对数式 loga2(5a) b 中，实数 a的取值范围是（）A． ( ,5) B． (2,5) C． (2, )D． ( 2,3) (3,5)2．如果lgx=lga+3lgb － 5lgc ，那么（）A． x=a+3b－ c3ab ab 3D． x=a+b3－ c3 B． x C． xc55c3．设函数y=lg(x 2－5x) 的定义域为 M，函数 y=lg(x －5)+lgx的定义域为 N，则（）A． M∪N=R B． M=N C． M N D． M N4．若 a＞ 0， b＞ 0， ab＞ 1， log 1 a =ln2 ，则 log ab与 log 1 a的关系是（）2 2A． lo g ab＜log 1a ．loga log 1aBb=2 2C． lo g a log 1a ．loga log 1aDb＞b≤2 25．若函数 log 2(kx 2+4kx+3) 的定义域为 R，则 k的取值范围是（）A． 0, 3B． 0, 3C． 0,3D． ( ,0] 3 ,4 4 4 46．下列函数图象正确的是（）ABC D7．已知函数g(x) f (x) 1，其中 log 2f(x)=2x， x R ，则 g(x) （）f ( x)A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数9．如果 y=log 2 x 在 (0 ， +∞ ) 内是减函数，则 a 的取值范围是（）a － 1A ．｜ a ｜＞ 1B ．｜ a ｜＜2 C ． a 2 D ． 1 a210．下列关系式中，成立的是（） 1 0A ． log 3 4log 1 10 B ． log 1 101 log 3 4 5 5 3 3 0C ． log 3 4 1D ． log110 1 log 1 10log 3 4 3 5 3 5 二、填空题：（每小题 6 分，共 24 分） .11．函数 y log 1 (2 x 2) 的定义域是 ，值域是. 2 12．方程log(2 x +1)log (2 x+1+2)=2 的解为 . 2 213．将函数 y 2 x 的图象向左平移一个单位，得到图象 C1，再将 C1 向上平移一个单位得到图象 C ，作出 C 关于直线 y=x 对称的图象 C ，则 C 的解析式为 .2 23 314．函数 y= log 1 (x 24x 12) 的单调递增区间是. 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 共 76 分 ). 15．（ 12分）已知函数f ( x) log 2 x 1log 2 ( x 1) log 2 ( p x) . x 1(1) 求函数 f (x) 的定义域； (2) 求函数 f (x) 的值域 .16．（ 12分）设 x ， y ， z ∈ R +，且 3x=4y=6z.(1)求证： 11 1 ; (2) 比较 3x ， 4y ，6z 的大小 . zx 2 y17．（ 12分）设函数 f ( x ) lg( xx 21) .(1) 确定函数 f (x) 的定义域； (2) 判断函数 f (x) 的奇偶性；(3) 证明函数 f (x) 在其定义域上是单调增函数； (4) 求函数 f(x) 的反函数 .18．现有某种细胞 100个，其中有占总数 1的细胞每小时分裂一次，即由 1个细胞分裂成 2个 2细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过 1010个？（参考数据：lg3 0.477,lg 2 0.301 ） .20．（ 14 分）已求函数 ylog a ( xx 2)( a 0,a 1) 的单调区间 .必修 1 数学章节测试（ 7）—第二单元（对数函数）一、 DCCAB BDBDA二、 11 ． 2 1 1, 2 ， 0, ；12 ． 0 ； 13 ． y log 2 ( x 1)1 ； 14． ( , 2) ；三、15． 解：(1) 函数的定义域为 (1 ， p).(2) 当 p ＞ 3时， f( x ) 的值域为 ( －∞， 2log 2( p +1) －2) ；当1＜ p 3 时， f (x) 的值域为( －， 1+log2(p+1)).16． 解： (1) 设 3x =4y =6z=t. ∵ x ＞0， y ＞ 0，z ＞ 0，∴ t ＞ 1，lgt ＞ 0，x log 3 t lg t , y lg t , z lg tlg 3 lg 4 lg 6∴ 1 1 lg 6 lg 3 lg 2 lg41 . z x lg t lg t lg t2 lgt 2y(2)3 x＜ 4y＜ 6z.17．解： (1) 由 x x 21 0 得 x ∈ R ，定义域为 R. (2) 是奇函数 . (3) 设 x 1， x 2∈ R ，且 x 21 0x1＜ x2，则f (x1 ) f(x2 )lg x1 x12 1 .令 tx x 21 ，x 2 x 221则t 1t 2 ( x 1x 12 1) ( x 2 x 221).=( x 1 x 2 )( x 12 1 x 221) =( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 )(x 1 x 2 )x 2 1 x 211 2=( x 1 x 2 )( x 12 1 x 221 x 1 x2 x 12 x 221 1∵ x 1－x 2＜ 0， x 121x 1 0 ，x 221 x2 0 ，x 12 1x 221 0 ， ∴ t 1－t 2＜ 0，∴ 0＜ t 1＜t 2，∴ 0t 11，t 2∴ f (x 1) － f (x2) ＜ lg1=0 ，即 f (x1) ＜ f(x2) ，∴ 函数f(x)在 R 上是单调增函数 .(4) 反函数为y 102 x 1 (x R). 2 10 x18．解：现有细胞 100 个，先考虑经过 1、 2、 3、4 个小时后的细胞总数，1 小时后，细胞总数为 1 100 1 10023 100 ；2 2 2 2 小时后，细胞总数为 13 1001 3 1002 9 100；2 22 243 小时后，细胞总数为 1 9 1001 9 1002 27 100；2 42 4 84 小时后，细胞总数为 1 27 1001 27 1002 81 100 ；2 8 2 8 16xy 与时间 x （小时）之间的函数关系为：3 可见，细胞总数y 100 ， x N 2x x由 100 3 1010，得 108 ，两边取以 10 为底的对数，得 3 2 2∴ x 8 ， ∵8 845.45 ，lg3lg3 lg 2x lg 38，2∴ x 45.45.答：经过46 小时，细胞总数超过 1010个 . 19．解：（ 1）过 A,B,C, 分别作 AA ,BB ,CC 垂直于 x 轴，垂足为A ,B ,C ，1 1 1 1 1 1则S=S梯形 AA1B1B +S 梯形 BB1C1C － S 梯形 AA1C1C.log 1 t 24t log 3 (1 4(t 2) 2 t 2 ) 3 4t-----（2）因为 v= t 24t 在 [1,) 上是增函数 , 且v 5,v 14在 5.上是减函数，且1<u9; S log 3 u 在 1,9上是增函数，v55所以复合函数S=f(t)log 3 (1 4 )在 1, 上是减函数t 24t9（3）由（ 2）知 t=1 时， S 有最大值，最大值是f (1) log 3 2 log 3 5 520．解：由 x x 2>0得 0<x<1，所以函数ylog a ( x x 2) 的定义域是 (0,1) 因为 0< x x 2=( x 1 )2 1 1 ，2 4 4 1所以，当 0<a<1时 ,log a ( x x 2 ) log a 4函数 y log a ( xx 2) 的值域为 log a 1 , ;4当a>1时 ,log a (x x 2 ) log a 14 函数 y log a ( xx 2) 的值域为 ,log a14当 0<a<1时，函数ylog a ( x x 2) 在0, 1 上是减函数，在 1 ,1 上是增函数；2 2当 a>1 时，函数y log a ( x x 2) 在 0, 1 上是增函数，在 1 ,1 上是减函数 .2 2。