七年级数学上册人教版期末复习角的计算专题导学案及配套作业(解析版)

期末复习角的计算专题（解析版）第一部分 教学案类型一 方程思想1．（2012秋•高淳区期末）已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小30°，求∠α．思路引领：根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．解：根据题意得{α+β=180°①α−12β=30°②， ①﹣②得，32β＝150°，解得β＝100°，把β＝100°代入①得，α+100°＝80°，解得α＝80°．总结提升：本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2021秋•潜江期末）如图，已知∠BOC ＝2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD ＝20°，求∠AOB 的度数．思路引领：此题可以设∠AOC ＝x ，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．解：设∠AOC ＝x ，则∠BOC ＝2x ．∴∠AOB ＝3x ．又OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝1.5x ．∴∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝1.5x ﹣x ＝20°．∴x ＝40°∴∠AOB ＝120°．总结提升：本题考查了角平分线的定义及角的计算，设出适当的未知数，运用方程求出角的度数是解决此类问题的一般方法．3．如图，A 、O 、B 三点在一条直线上，∠AOC ＝2∠COD ，OE 平分∠BOD ，∠COE ＝77°，求∠COD的度数．思路引领：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，根据∠COE＝77°，表示出∠DOE的度数，然后根据∠AOB＝180°，列方程，求出x的值即可．解：设∠COD＝x，则∠AOC＝2x，∵∠COE＝77°，OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝77°﹣x，∴2x+x+2（77°﹣x）＝180°，解得：x＝26°．即∠COD＝26°．总结提升：本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．4．如图，已知∠AOB内有两条射线OC，OD，∠AOD＝2∠BOD，∠AOC=13∠COB，∠COD＝70°．求∠AOC的度数．思路引领：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，根据∠AOC=13∠COB，即可列方程求得∠BOD的度数，进而求得∠AOC的度数．解：设∠BOD＝x°，则∠AOD＝2x°，∠AOC＝（2x﹣70）°，∠COB＝（x+70）°，∵∠AOC=13∠COB，∴2x﹣70=13（x+70），解得：x＝56，则∠AOC＝2×56°﹣70°＝42°．总结提升：本题考查了角度的计算，理解图中角度之间的关系，转化为方程问题是关键．5．（2019秋•东西湖区期末）如图，∠AOC与∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝4∠AOE．（1）若∠AOD＝70°，求∠AOE的度数；（2）若∠DOE＝63°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）根据互余得到∠AOB ，再根据角平分线的定义表示出∠BOC ，可求∠AOC ，再根据∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC 列方程求解即可；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4，由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°列方程求出x 的值，再求解即可．解：（1）∵∠AOC 与∠BOC 互余，∴∠AOC +∠BOC ＝90°，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOD ＝70°，∴∠BOD ＝20°，∵OD 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠BOD ＝40°，∴∠AOC ＝50°，又∵∠EOC ＝4∠AOE ，且∠EOC +∠AOE ＝∠AOC ，∴4∠AOE +∠AOE ＝50°，∴∠AOE ＝10°；（2）设∠COD ＝∠BOD ＝x °，则∠EOC ＝63°﹣x °，∠AOE =63°−x°4， 由∠AOE +∠EOC +∠COB ＝90°可得63°−x°4−63°﹣x °+2x °＝90°，解得x ＝15，∴∠EOC ＝63°﹣x °＝63°﹣15°＝48°．总结提升：本题考查了余角和补角，角平分线的定义，准确识图是解题的关键． 类型二 分类讨论思想6．已知∠AOB ＝70°，∠COB ＝40°，则∠AOC 的度数是 ．思路引领：分OC 在∠AOB 内和OC 在∠AOB 外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠AOB 、∠BOC 的度数，即可求出∠AOC 的度数．解：当OC 在∠AOB 内时，如图1所示．∵∠AOB ＝70°，∠BOC ＝40°，∴∠AOC ＝∠AOB ﹣∠BOC ＝30°；当OC在∠AOB外时，如图2所示．∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°．故答案为：30°或110°．总结提升：本题考查了角的计算，分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑是解题的关键．7．如图，∠AOB＝120°，∠AOC＝70°，过点O作射线OD，使∠BOD＝3∠BOC．求∠AOD的度数．思路引领：分两种情况，表示出∠AOD，即可求解．解：（1）∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，∴∠BOC＝120°﹣70°＝50°，∵∠BOD＝3∠BOC，∴∠BOD＝150°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝30°；（2）∵∠AOD＝360°﹣∠BOD﹣∠AOB，∴∠AOD＝360°﹣120°﹣150°＝90°．答：∠AOD的度数是30°或90°．总结提升：本题考查角的计算，关键是要分两种情况，准确表示出有关的角．类型三单角平分线8．（2022秋•萧山区期末）已知O为直线AB上一点，射线OD，OC，OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝50°，设∠BOE＝n．（1）若射线OE在∠BOC的内部（如图1），①若n＝43°，求∠COD的度数；②当∠AOD＝3∠COE时，求∠COD的度数．（2）若射线OE恰为图中某一个角（小于180°）的角平分线，试求n的值．思路引领：（1）①先求出∠BOC，再求出∠COE，即可求出得出∠COD的大小；②根据题意可知2∠COE+50°＝120°据此即可求出∠COE的大小，进而求出∠COD的大小；（2）OE平分∠BOC时，需要分类讨论，并根据角平分线的定义解答即可．解：（1）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，由n＝43°，可得∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝17°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣17°＝33°；②∵∠AOD＝3∠COE，∠AOD+∠COD＝120°，∠DOE＝50°，∴3∠COE+50°﹣∠COE＝120解得∠COE＝35°，∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝50°﹣35°＝15°；（2）当OE平分∠BOC时，如图所示：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BOE=12∠BOC=30°．即n＝30°；当OE平分∠AOC时，如图所示：∠BOE＝2∠BOC＝120°，即n＝120°；当OE平分∠BOD时，如图所示：∠BOE＝∠DOE＝50°，即n＝50°；当OE平分∠COD时，∠BOE＝∠EOC+∠BOC＝50°+60°＝110°，即n＝110°；OE平分∠AOD是不成立．所以n＝30°、50°、110°或120°．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．9．（2021秋•未央区校级期末）如图，已知∠AOB＝150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝60°．若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=12∠BOD，求∠DOE的度数．思路引领：根据∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可．解：∵∠AOB＝150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=12∠AOB＝75°，∵∠BOC＝60°，∠COD=12∠BOD，∴∠BOD＝40°，∠COD＝20°，∴∠EOD＝∠EOB﹣∠DOB＝75°﹣40°＝35°．总结提升：本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，灵活应用角的和差关系是解题的关键．10．（1）如图1，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC 内，∠COE＝2∠BOE，∠DOE＝70°，求∠COE的度数．（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．①请你数一数，图中有个小于平角的角；②求出∠BOD的度数；③请通过计算说明OE是否平分∠BOC．思路引领：（1）先设∠BOE＝x，根据∠BOE=12∠EOC，得出∠COE＝2x，再根据角平分线的定义，得出∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，最后根据∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，列出方程70°﹣x+70°+2x＝180°，求得x的值即可；（2）①根据图形即可得出小于平角的角；②根据∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，得出∠AOD＝25°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD进行计算即可；③先根据∠AOC＝50°，得出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，再根据∠DOE＝90°，求得∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，进而得出∠BOE=12∠BOC，即可得出结论．解：（1）如图1，设∠BOE＝x，∵∠BOE=12∠EOC，∴∠COE＝2x，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠DOB＝70°﹣x，∵∠AOD+∠DOE+∠EOC＝180°，∴70°﹣x+70°+2x＝180°，解得x＝40°，∴∠EOC＝80°；（2）①由图可得，图中有9个小于平角的角，故答案为：9；②如图2，∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝25°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣25°＝155°；③如图2，∵∠AOC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，∵∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝155°﹣90°＝65°，∴∠BOE=12∠BOC，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算．11．（2018秋•兴业县期末）如图，已知OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠BOE=1 3∠EOC，∠AOC＝170°．（1）若知∠AOB＝70°，求∠EOC的度数；（2）若知∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．思路引领：（1）可以设∠BOE为x°，根据条件列方程解决，求出∠BOE，进而求出∠EOC的度数；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，根据条件列方程解决，求出∠BOE．解：∵∠AOC＝170°，∠AOB＝70°，∴∠BOC＝100°，设∠BOE＝x，则∠ECO＝3x，∴∠BOC＝∠BOE+∠EOC＝x+3x＝100°，∴x＝25°，∴∠EOC＝75°；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，∵∠DOE＝70°，OD平分∠AOB，∴∠AOD﹣∠BOD＝70°﹣a，∴∠AOC＝2∠AOD+∠BOE+∠EOC＝2（70°﹣a）+a+3a＝170°，∴a＝15°，∴∠EOC＝3a＝45°．总结提升：考查了根据角平分线的性质和已知条件列方程求解，难度适中，方程思想是解决问题的基本思考方法．类型四双角平分线12．（2019秋•岳阳楼区校级期末）如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON 分别平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．（2）若去掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．思路引领：（1）先利用角平分线的性质得到∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM+∠CON计算；（2）根据角平分线的性质解答即可；（3）先利用角平分线的性质得到∠CON=12∠AOC，∠COM=12∠BOC，再利用∠MON＝∠COM﹣∠CON计算，即可解答．解：（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12×80°=40°，∠NOC=12∠BOC=12×40°=20°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；（2）如图1，∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°；（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，所以∠MON＝∠COM﹣∠CON=12∠AOC−12∠BOC=12（∠AOC﹣∠BOC）=12∠AOB=12×120°＝60°，∠MON=12∠AOB．总结提升：此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．13．（2017秋•梁子湖区期末）如图，已知OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，求∠AOE的度数．思路引领：设∠EOD＝∠DOC＝x°，求出∠AOB＝∠COB＝100°﹣2x°，根据∠AOD ＝110°得出方程，求出x的值，即可求出答案．解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∴设∠EOD＝∠DOC＝x°，∠AOB＝∠COB，∵∠AOD＝110°，∠BOE＝100°，∴∠AOB＝∠BOC＝100°﹣2x°，∴∠COD+∠COB+∠AOB＝110°，∴x+100﹣2x+100﹣2x＝110，解得x＝30，即∠EOD＝∠DOC＝30°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°+30°＝140°．总结提升：本题考查了角平分线性质和角的有关计算的应用，关键是能根据题意得出方程．14．（2020秋•和平区期末）如图：∠AOB：∠BOC：∠COD＝2：3：4，射线OM、ON，分别平分∠AOB与∠COD，又∠MON＝84°，则∠AOB为（）A．28°B．30°C．32°D．38°思路引领：首先设出未知数，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB的度数．解：设∠AOB＝2x°，则∠BOC＝3x°，∠COD＝4x°，∵射线OM、ON分别平分∠AOB与∠COD，∴∠BOM=12∠AOB＝x°，∠CON=12∠COD＝2x°，又∵∠MON＝84°，∴x+3x+2x＝84，x＝14，∴∠AOB＝14°×2＝28°．故选：A．总结提升：本题主要考查了角平分线的定义和角的计算，解题时要能根据图形找出等量关系列出方程，求出角的度数．类型五整体思想15．如图，∠AOC与∠BOC互补，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，试说明∠COE与∠COF具有怎样的数量关系．思路引领：根据角平分线的性质，可得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB，根据角的和差，可得答案．解：∠COF与∠COE互余，理由如下：由OF平分∠AOC，OE平分∠BOC，得∠FOC=12∠AOC，∠COE=12∠COB．由角的和差，得∠COF+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×180°＝90°，故∠COF与∠COE互余．总结提升：本题考查了余角和补角，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．16．（2019秋•天峨县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE＝90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠MOE＝27°，求∠AOC的度数；（2）当∠BOD＝x°（0＜x＜90）时，求∠MON的度数．思路引领：（1）根据余角性质得到∠MOE＝27°，∠AOM＝90°﹣27°＝63°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝x°，求得∠AOD＝180°﹣x°，∠DOE ＝90°﹣x°，根据角平分线的定义即可得到结论．解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝90°，∴∠MOE＝27°，∴∠AOM＝90°﹣27°＝63°，∵OM平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠AOM＝126°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝54°；（2）∵∠BOD＝x°，∴∠AOC＝∠BOD＝x°，∴∠AOD＝180°﹣x°，∵∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠DOE＝90°﹣x°，∵ON平分∠DOE，OM平分∠AOD，∴∠DOM=12∠AOD＝90°−12x°，∠DON=12∠DOE＝45°−12x°，∴∠MON＝∠DOM﹣∠DON＝45°．总结提升：此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD的度数是解题关键．17．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF、OE平分∠AOC，OF 平分∠DOB（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数（3）从（1）、（2）的结果，你能看出什么规律吗？思路引领：（1）（2）通过角的和差关系角平分线的性质，得到∠EOF与已知角∠AOB、∠AOC的关系，代入求值；（3）根据（1）（2）的结论，得出规律．解：（1）∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝160°，∠DOC＝40°∴∠EOF＝80°+20°＝100°．（2），∵∠EOF＝∠EOC+∠DOC+∠FOD=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12∠AOB+12∠COD∵∠AOB＝α，∠COD＝β，∴∠EOF=12α+12β=12(α+β)．（3）若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE、OC、OD、OF，OE平分∠AOC，OF平分∠DOB，那么∠EOF=12(∠AOB+∠COD)．总结提升：本题考查了角平分线的性质及角的和差关系．通过和差关系角平分线的性质得到∠EOF=12(∠AOB+∠COD)是解决本题的关键．类型六射线的转动19．（2021秋•盱眙县期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC=12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？思路引领：（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．解：（1）∵OB 是∠BOC 的平分线， ∴∠BOD ＝∠COD ， ∵∠COA =12∠BOC ， ∴∠BOD =12∠AOD ，∴射线OD 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”． 故答案为：是．（2）∵射线OM 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”，∠AOB 的度数为n ， ∴∠BOM =13∠AOB =13n ， ∵ON 平分∠AOB ， ∴∠BON =12∠AOB =12n ，∴∠MON ＝∠BON ﹣∠BOM =12n −13n =16n ． 故答案为：16n ．（3）设运动时间为x （x ≤36）秒时，射线OA 、OB 、OC 中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．当射线OB 是射线OA 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠AOB =12∠COB ， 所以3x =12（180﹣5x ﹣3x ）， 解得x =907（符合题意）， 即运动时间为907秒时，射线OB 是射线OA 的“友好线”．当射线OB 是射线OC 在∠AOC 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOB ， 所以180﹣5x ﹣3x =12×3x ， 解得x =36019（符合题意）， 即运动时间为36019秒时，射线OB 是射线OC 的“友好线”．当射线OC 是射线OB 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠COB =12∠AOC ， 所以3x +5x ﹣180=12（180﹣5x ）， 解得x =1807（符合题意）， 即运动时间为1807秒时，射线OC 是射线OB 的“友好线”．当射线OC 是射线OA 在∠AOB 内的一条“友好线”时，则∠AOC =12∠COB ，所以180﹣5x =12（5x +3x ﹣180）， 解得x ＝30（符合题意），即运动时间为30秒时，射线OC 是射线OA 的“友好线”． 综上所述，当运动时间为907或36019或1807或30秒时，符合题意要求．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．20．已知，OC 是∠AOB 内部的一条射线，且∠AOC =13∠AOB ．（1）如图1所示，若∠AOB ＝120°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数；（2）如图2所示，∠AOB ＝x °，射线OP 、射线OQ 分别从OC 、OB 出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O 顺时针旋转，OP 和OQ 分别只在∠AOC 和∠BOC 内部旋转；①当运动t 秒时，请分别写出∠AOP 和∠COQ 的度数（用x 、t 表示）；∠AOP 和∠COQ 的数量关系如何？②若∠AOB ＝150°，当t 为何值时，OP ⊥OQ ？（3）如图3所示，∠AOB 是直角，从O 点出发引射线OD ，且∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ，请直接写出∠COD 与∠AOB 的度数之比．思路引领：（1）先根据已知得：∠AOC ＝40°，再由角平分线的定义和角的和差可得结论；（2）①直接根据速度和时间表示：∠COP ＝t ×1＝t °，∠BOQ ＝t ×2＝2t °，最后由角的和与差表示结论，从而由结论可得∠AOP 和∠COQ 的数量关系；②由图可知：当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ，根据∠COQ +∠COP ＝90°列等式可得结论；（3）先计算∠AOC 的度数，由已知等式可得：∠AOC ＝∠BOD ，所以得∠COD ＝30°，可得最后的比的关系．解：（1）如图1，∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOM =12∠AOB =12×120°＝60°，∵∠AOC =13∠AOB =13×120°＝40°， ∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON =12∠AOC ＝20°，∴∠MON ＝∠AOM ﹣∠AON ＝60°﹣20°＝40°；（2）①∵∠AOC =13∠AOB =13x°， 由题意得：∠COP ＝t ×1＝t °， ∠BOQ ＝t ×2＝2t °，∴∠AOP ＝∠AOC ﹣∠COP ＝（13x −t ）°，∠COQ ＝∠BOC ﹣∠BOQ ＝（23x −2t ）°，∴∠COQ ＝2∠AOP ，②当∠COQ +∠COP ＝90°时，OP ⊥OQ ， 即（23x ﹣2t ）+t ＝90，把x ＝150代入得：23×150﹣2t +t ＝90，t ＝10，∴当t ＝10秒时，OP ⊥OQ ；（3）如图3，∵∠AOB ＝90°，∠AOC =13∠AOB ， ∴∠AOC ＝30°，∵∠AOD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC +∠COD ﹣∠BOD ＝∠COD ， ∴∠AOC ＝∠BOD ＝30°，∴∠COD ＝90°﹣30°﹣30°＝30°， ∴∠COD ：∠AOB ＝30°：90°＝1：3．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、垂直的定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． 一．选择题1．（2019秋•青山区期末）如图，∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ，OH 平分∠AOC ，下列结论：①∠MON ＝∠HOC ；②2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ；③2∠MON ＝∠AOC +∠BOH ；④2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：本题考查了角度的计算问题，根据角平分线和角的和差进行计算便可得出结论．解：①∵OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COB ， ∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOC ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∵OH 平分∠AOC ，∴∠HOC =12∠AOC =12（∠AOB +∠BOC ）=12(α+β)， ∴∠MON ＝∠HOC ， 故①正确；②∵2∠MOH ＝2（∠AOH ﹣∠AOM ）＝2（12∠AOC −12∠AOB ）＝∠AOC ﹣∠AOB ＝α+β﹣α＝β，∠AOH ﹣∠BOH =12∠AOC ﹣（∠COH ﹣∠BOC ）=12∠AOC −12∠AOC +∠BOC ＝∠BOC ＝β，∴2∠MOH ＝∠AOH ﹣∠BOH ， 故②正确；③∵2∠MON ＝2（∠BOM +∠BON ）＝2×12（∠AOB +∠BOC ）＝α+β，∠AOC +∠BOH ＝（∠AOB +∠AOC ）+（∠COH ﹣∠BOC ）＝α+β+12α+12β−β=32α+12β， ∴2∠MON ≠∠AOC +∠BOH ， 故③错误；④∵2∠NOH ＝2（∠COH ﹣∠CON ）＝2（12α+12β−12β）＝α，∠COH +∠BOH ＝∠COH +∠COH ﹣∠BOC ＝2∠COH ﹣∠BOC =2×(12α+12β)−β=α，∴2∠NOH ＝∠COH +∠BOH ， 故④正确；∴正确的答案有3个．故选：C ．总结提升：本题始终运用角的和差与角的平分线进行角度的切换是解决本题的一个技巧，本题关系复杂，计算时要细心，不能弄错角与角的关系． 二．填空题2．（2021秋•江岸区期末）如图，射线OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD 的度数为 ．思路引领：设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，由∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝200°求出x ，进而求解． 解：∵OB 、OC 为锐角∠AOD 的三等分线， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD 的度数为x ，∴∠AOB +∠BOC +∠COD +∠AOC +∠AOD +∠BOD ＝x +x +x +2x +3x +2x ＝10x ＝200°， ∴x ＝20°，∴∠AOD ＝∠AOB +∠BOC +∠COD ＝3x ＝60°， 故答案为：60°．总结提升：本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°． 三．解答题（共16小题）3．（2010秋•南长区期末）一个角的补角比这个角的三倍多10度，求这个角的余角． 思路引领：利用题中“一个角的补角＝这个角的三倍+10度”作为相等关系列方程求解即可．解：设这个角为x 度，根据题意得： 180°﹣x ＝3x +10°， x ＝42.5°，所以这个角的余角为90°﹣42.5°＝47.5°．总结提升：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的找出角之间的数量关系，从而计算出结果．4．（2019秋•宜州区期末）已知一个角的余角比这个角的补角的12小12°，如果设这个角为x 度，请求出这个角的余角和补角的度数．思路引领：互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角为∠A，则这个角余角为90°﹣∠A，这个角的补角为180°﹣∠A，然后列方程求解即可．解：根据题意得：90﹣x=12（180﹣x）﹣12，解得：x＝24，90﹣x＝90﹣24＝66°，180﹣x＝180﹣24＝156°，答：这个角的余角为66°，补角为156°．总结提升：本题主要考查的是余角和补角的定义，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．5．（2021春•奎文区期中）下面是小明参加七年级数学期中考试解的一道题．题目：在同一平面内，若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．解：根据题意可画出图形．因为∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，所以∠AOC＝50°．若你是老师，你会给小明判满分吗？若会，请说明理由；若不会，请你指出小明的错误，并给出正确的解答．思路引领：分OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况，画出图形，用角的和差即可得答案．解：不会给小明判满分，小明解答不全面，还有另一种情况，正确解答如下：当OC在∠AOB的外部时，如图1，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+20°＝90°；当OC在∠AOB的内部时，如图2，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°，综上所述，∠AOC的度数为90°或50°．总结提升：本题考查了角的计算、分类讨论等知识；根据题意得出OC在∠AOB的外部和OC在∠AOB的内部两种情况是解题的关键．6．（2020秋•苏州期末）补全下面的解题过程：如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC＝2∠BOC，且∠BOC＝40°，求∠COD的度数．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°．∴∠AOB＝∠AOC+∠＝120°．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠＝60°．∴∠COD＝∠﹣∠AOD＝20°．思路引领：根据题目的已知条件先求出∠AOC，进而求出∠AOB，再根据角平分线的定义求出∠AOD即可解答．解：∵∠AOC＝2∠BOC，∠BOC＝40°，∴∠AOC＝80°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠AOB＝60°，∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝20°，故答案为：80，BOC，120，AOB，60，AOC．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．7．（2021秋•石景山区期末）如图，已知∠AOB＝120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C．（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数是°．（2）完成下列证明过程：证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠．（角平分线的定义）∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝°．∵∠BOC＝°．∴∠AOP＝∠BOC．（）思路引领：（1）补全图形，利用平角的定义即可求得∠BOC＝60°；（2）由角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOB＝60°，从而可求得∠AOP＝∠BOC．（1）解：如图，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOB＝60°，故答案为：60；（2）证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=12∠AOB（角平分线的定义）．∵∠AOB＝120°，∴∠AOP＝60°．∵∠BOC＝60°．∴∠AOP＝∠BOC（等量代换）．故答案为：AOB；角平分线的定义；60；60；等量代换．总结提升：本题主要考查角的计算，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．8．（2022秋•长丰县期末）如图，已知∠AOD＝90°，∠BOE＝90°，OC平分∠BOD，∠COD＝30°，求∠AOE的度数．思路引领：根据角平分线的定义可得∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，再根据角的和差关系可得∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，进而得出∠AOE的度数．解：∵OC平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠COD＝2×30°＝60°，∵∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝30°，∵∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝120°．总结提升：此题综合考查角平分线及角的和差关系，注意数形结合，便于解决问题．9．（2018秋•开州区期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC＝38°，求∠COD的度数．思路引领：由角平分线的定义，角的和差计算得∠COD的度数为19°．解：如图所示：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOC＝38°，∴∠BOC＝2×38°＝76°∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC∴∠AOB＝76°+38°＝114°∵OD平分∠AOB∴∠AOD=12∠AOB=12×114°＝57°，又∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∴∠COD＝57°﹣38°＝19°．总结提升：本题综合考查了角平分线的定义，角的和差等相关知识点，重点掌握角的计算．10．（2021秋•滨江区期末）如图，OC⊥AB于点O，∠COD=14∠BOD，OE平分∠BOD．（1）求∠COE和∠AOE的度数．（2）过点O作射线OF，若OF⊥OE，求∠BOF的度数．思路引领：（1）由垂线的定义结合∠COD=14∠BOD可求解∩BOD＝120°，再根据角平分线的定义可求解∠BOE的度数，进而可求解∠COE，∠AOE的度数；（2）可分两种情况：当OF在直线AB上方时，当OF在直线AB下方时，分解计算可求解．解：（1）∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°，∵∠COD=14∠BOD，∴∠COD=13∠BOC＝30°，∴∠BOD＝120°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°；（2）如图，当OF在直线AB上方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝60°+90°＝150°；当OF在直线AB下方时，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∵∠BOE＝60°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°，故∠BOF的度数为150°或30°．总结提升：本题主要考查垂线，角平分线的定义，角的计算，分类讨论是解题的关键．11．将分别含有30°和45°的三角板如图放置，且30°和45°角的顶点重合在一起，OM 平分∠AOC，ON平分∠DOC．（1）画出几何图形，并求出∠MON的大小；（2）若将30°角的三角板换成一个任意角的纸三角板，其他条件不变，则（1）中的结论是否变化？说明理由．思路引领：由图可得角之间的关系：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B），∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD），∠MON=12∠COD−12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），由此解答即可．解：（1）根据题意可作图如下：根据图中所示：∠COM=12∠AOC=12（∠BOC+∠A0B）；∠CON=12∠COD=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）；∠MON=12∠COD−12∠AOC，=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B），=12（30°+∠A0B+45°）−12（30°+∠A0B），=12×75°−12×30°，＝22.5°；故答案为：∠MON＝22.5°．（2）将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．证明：由（1）可知∠MON=12（∠BOC+∠A0B+∠AOD）−12（∠BOC+∠A0B）=12∠AOD=12×45°＝22.5°，故：将30°角三角板换成一个任意锐角的纸板，其他条件不变，（1）中的结论不变化．总结提升：本题考查了角的计算，此题很复杂，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求．在计算分析的过程中注意动手操作，在计算中消去共同的未知量．12．（2019秋•高新区期末）如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝48°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）图中有个小于平角的角；（2）求出∠BOD的度数；（3）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．思路引领：（1）按起始边分别是：OA，OD，OC，OE终边向右旋转得到角的顺序，即可写出所有小于平角的角；（2）根据OD是∠AOC的度数，即可求得∠AOD的度数，利用∠AOD与∠BOD是临补角，即可求解；（3）分别求得∠COE与∠EOB的度数，即可判断．解：（1）小于平角的角有：∠AOD，∠AOC，∠AOE，∠DOC，∠DOE，∠DOB，∠COE，∠COB，∠EOB共有9个．故答案是：9；（2）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC=12×48°＝24°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣24°＝156°；（3）∵∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣24°＝66°，∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣24°﹣90°＝66°，∴∠COE＝∠BOE，∴OE平分∠BOC．总结提升：本题考查了角平分线的定义，以及互补、互余的计算，正确确定（1）中数角的个数的顺序是难点．13．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOD 的度数．思路引领：根据角平分线的定义得到∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，由于∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，则∠NOC+∠MOB＝40°，然后利用∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB进行计算．解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠MOB=12∠AOB，∠NOC=12∠COD，∵∠NOC+∠BOC+∠MOB＝∠MON，即∠NOC+20°+∠MOB＝60°，∴∠NOC+∠MOB＝40°，∴∠AOD＝∠COD+∠BOC+∠MOB＝2（∠NOC+∠MOB）+∠BOC＝2×40°+20°＝100°．总结提升：本题考查了角度的计算：学会计算角的和、差、倍、分．也考查了角平分线的定义．14．（2017秋•荔湾区期末）已知，∠AOD＝160°，OB、OM、ON是∠AOD内的射线（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，则∠MON ＝ 80 °（2）如图2，OC 是∠AOD 内的射线，若∠BOC ＝20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，当射线OB 在∠AOC 内时，求∠MON 的大小；（3）如图2，在（2）的条件下，当∠AOB ＝2t °时，∠AOM ：∠DON ＝2：3，求t 的值． 思路引领：（1）根据角平分线的定义求出∠BOM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠BOM +∠BON 代入数据进行计算即可得解；（2）设∠AOB ＝x ，表示出∠BOD ＝160°﹣x ，根据角平分线的定义表示出∠COM 和∠BON ，然后根据∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC 列式计算即可得解；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，列式计算即可．解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ，∴∠BOM =12∠AOB ，∠BON =12∠BOD ，∴∠MON ＝∠BOM +∠BON =12（∠AOB +∠BOD ），∵∠AOD ＝∠AOB +∠BOD ＝160°，∴∠MON =12×160°＝80°；故答案为：80；（2）设∠AOB ＝x ，则∠BOD ＝160°﹣x ，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，∴∠COM =12∠AOC =12（x +20°），∠BON =12∠BOD =12（160°﹣x ），∴∠MON ＝∠COM +∠BON ﹣∠BOC =12（x +20°）+12（160°﹣x ）﹣20°＝70°；（3）由∠AOB ＝2t °，∠BOC ＝20°，则∠AOC ＝2t °+20°，∠BOD ＝160°﹣2t °， ∴∠AOM =12∠AOC ＝t °+10°，∠DON =12∠BOD ＝80°﹣t °，∵∠AOM ：∠DON ＝2：3，∴t+1080−t =23， 解得：t ＝26．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．15．（2017秋•兴隆台区期末）如图，OC、OD为∠AOB内部的两条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．（1）若∠AOB＝90°，∠MON＝70°，求∠COD的度数；（2）若∠AOB＝α，∠M0N＝β，求∠COD的度数（用含有α、β的式子表示）．思路引领：由OM平分∠AOC，ON平分∠BOD可知∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）将∠AOB＝90°，∠MON＝70°代入可得∠AOM+∠BON＝20°，那么∠AOC+∠BOD＝40°，∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝50°；（2）将∠AOB＝α，∠MON＝β代入可得∠AOM+∠BON＝α﹣β，那么∠AOC+∠BOD＝2（α﹣β），∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝2β﹣α．解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON．（1）∵∠AOB＝90°，∠MON＝70°，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝20°，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠＝2（∠AOM+∠BON）＝40°，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝90°﹣40°＝50°；（2）∵∠AOB＝α，∠MON＝β，∴∠AOM+∠BON＝∠AOB﹣∠MON＝α﹣β，∴∠AOC+∠BOD＝2∠AOM+2∠BON＝2（∠AOM+∠BON）＝2（α﹣β）＝2α﹣2β，∴∠COD＝∠AOB﹣（∠AOC+∠BOD）＝α﹣（2α﹣2β）＝2β﹣α．总结提升：本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．16．（2020秋•徐州期末）如图，AB与OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝60°，求∠AOE的度数；（2）∠COD与∠EOC存在怎样的数量关系？请说明理由．思路引领：（1）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；（2）根据角平分线的定义表示出∠COD与∠EOC，然后整理即可得解．解：（1）∵∠BOC＝60°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC=12×120°＝60°；（2）∠COD+∠EOC＝90°．理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=12∠BOC，∠EOC=12∠AOC，∴∠COD+∠EOC=12（∠BOC+∠AOC）=12×180°＝90°．总结提升：本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．17．射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图（1），∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．（1）如图（2），∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是α6；（用含α的代数式表示）（2）如图（3），若∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针转动，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针转动，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②当t的值为多少时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？思路引领：（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．解：（1）如图（2），∠AOB ＝120°，射线OM 是射线OA 的伴随线，则∠AOM ＝40°，若∠AOB 的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是∠AOB 的平分线，则∠NOC 的度数是α6． 故答案为：40，α6； （2）射线OD 与OA 重合时，t =1805=36，①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t ﹣3t ＝20，∴t ＝20；若在相遇之后，则5t +3t ﹣180＝20，∴t ＝25；所以，综上所述，当t ＝20或25时，∠COD 的度数是20°．②相遇之前：（i ）如图1，OC 是OA 的伴随线时，则∠AOC =12∠COD ，即 3t =12（180﹣5t ﹣3t ），∴t =907；（ii ）如图2，。