2.3空间直角坐标系典型习题
空间直角坐标系中的规律问题经典练习题
空间直角坐标系中的规律问题经典练习题一、题目描述本练题旨在加强对空间直角坐标系中规律问题的理解和应用能力。
通过解答以下题目，掌握在三维空间中确定点的坐标、计算线段长度和角度等相关技巧。
二、题目列表1. 已知点A坐标为(3, 2, 4)，点B坐标为(-1, 5, -2)，求线段AB 的长度。
2. 点C在点A(1, 3, -2)和点B(4, -1, 5)的连线上，并且AC:CB = 2:3，求点C的坐标。
3. 已知点D(-2, 6, 1)和点E(5, -3, 2)，求线段DE的中点坐标。
4. 点F在x轴上，且点F到点A(3, -4, 2)的距离为5，求点F的坐标。
5. 已知直线L过点G(2, 1, -3)且与平面P: 2x - y - z = 4垂直，求直线L的方程。
6. 给定点H(4, -2, 1)和平面P: 3x + 2y - z = 8，求点H到平面P 的距离。
7. 已知直线L1的方程为(x - 1) / 2 = (y + 3) / -1 = (z - 2) / 4，直线L2经过点I(3, -2, 1)且与直线L1平行，求直线L2的方程。
三、解答1. 线段AB的长度可以通过两点之间的距离公式求解：线段AB的长度= √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]将点A(3, 2, 4)和点B(-1, 5, -2)代入计算可得：线段AB的长度= √[(-1 - 3)^2 + (5 - 2)^2 + (-2 - 4)^2]= √[16 + 9 + 36]= √61≈ 7.812. 设点C的坐标为(x, y, z)。
根据点C在点A和点B的连线上，并且AC:CB = 2:3的条件，可得以下方程组：(x - 1) / (4 - 1) = (y - 3) / (-1 - 3) = (z - (-2)) / (5 - (-2))(x - 1) / 3 = (y - 3) / (-4) = (z + 2) / 7解方程组可得：x = 2, y = 0, z = 1。
高中北师大版数学选修2-1学案：2.3.3 空间向量运算的坐标表示 含答案
值．
解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)
＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
3π
＝ 32＋02＋12· k2＋22＋ －1 2·cos 4
10 ＝－
2
k2＋5.
3π ，求实数 k 的
4
则 3k－1＝－
10 k2＋5，
2
3－ 105
3＋ 105
解得 k＝
BA AM
aλ )．
→→ ∵ BM⊥AC1，∴ BM· ＝0.
AC1
1 即 a2λ ＋a2λ －a2＋a2λ ＝0，解得 λ ＝ ，
3
→
aaa
∴ AM＝ ， ， ，
(－ 3)
33
→ → → 2a a a
＝＋ ＝
.
(
3)
DM DA AM ， ，
33
( ∴ M 点坐标为
2a a a
3).
，， 33
规律方法 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下
CA
→→ AB·CA
→→ |AB||CA|
－7
1
＝
＝－ .
14 × 14 2
Earlybird
晨鸟教育
已知三点 P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和 P3(1,0,1)，O 为坐标原点，求|OP1＋
→→ OP2
→ →→
＋OP3|及 与 夹角的余弦值． P1P2 P1P3
→→→
解：OP1＋ ＋ ＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)， OP2 OP3
或 k＝
4
4
(舍)，
Earlybird
晨鸟教育
苏教版必修2第2章第三节空间直角坐标系1空间直角坐标系(习题+解析)
高中数学空间直角坐标系（答题时间： 40 分钟）*1. 在空间直角坐标系中，过点 P （ 1， 2 ， 3 ）作平面 xOy 的垂线 PQ ，垂足为 Q ，则 Q 的坐标为 __________ 。
**2 如图，在正方体ABCD － A ′B ′C ′D ′中，棱长为1 1， BP ＝ BD ′，则 P 点的坐标为3____________ 。
*3. 点 P （ a ，b ， c ）对于原点的对称点 P ′在 x 轴上的射影 A 的坐标为 __________ 。
*4. 在空间直角坐标系中， 自点 P （－ 4，－ 2，3）引 x 轴的垂线， 则垂足的坐标为 ________。
*5. 如下图，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，此中 AB ＝ 4，BC ＝1， BE ＝ 3， CF ＝4，按图成立空间直角坐标系，则G 的坐标为 __________ 。
**6. 如图， M — OAB 是棱长为 a 的正四周体，极点 M 在底面 OAB 上的射影为H ，则 M的坐标是 ____________。
*7. 如图，正四棱柱ABCD － A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 ＝ 2AB ＝ 4，点 E 在 CC 1 上且 C 1 E ＝ 3EC 。
试成立适合的坐标系，写出点 B 、 C 、 E 、A 1 的坐标。
*8. 如图，在长方体 OABC — D ′A ′B ′C ′中， OA ＝ 3，OC ＝ 4， OD ′＝ 2。
写出 D ′、 C 、A ′、 B ′ 四点的坐标。
**9. 如图（ 1），已知矩形 ABCD 中， AD ＝ 3， AB ＝4。
将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起， 使得面 BCD ⊥ 面 ABD 。
现以 D 为坐标原点，射线 DB 为 y 轴的正方向，成立如图（2）所示的空间直角坐标系，此时点A 恰幸亏 xDy 平面内，试求 A ，C 两点的坐标。
2.3.3空间两点间的距离公式
2
2
2
A
o
x
探究
如果 OP 是定长r,那么 x2 y2 z 2 r 2 表示什么图形？ z
在空间中，到定点的距离 等于定长的点的轨迹是
P
O
y
以原点为球心，
半径长为 r 的球面．
x
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． 作一个以 M 1 和 M 2为对角 线顶点的长方体，使其三个相 邻的面分别平行于三个坐标 面 ．
z1
与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
x
y
O
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． z
作一个以 M 1 和 M 2 为对角线 顶点的长方体，使其三个相邻的
M2
面分别平行于三个坐标面．
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， 与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
P M1 Q
z
M2
y
y2
O
y1
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点． 作一个以M 1和M 2为对角
线顶点的长方体，使其三个相
邻的面分别平行于三个坐标．
z2
M2 M1 P Q
z
与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|， 与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，
P
M1Qy源自O x| M1M2 | 2 = | M1Q | 2 + | M2Q | 2= | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 ． 因 为 2 2 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) ． 2 1 2 1 2 1 所以 d | M1M2 |
空间直角坐标系练习题含详细答案
A 、（ -3， -1， 4） B、（ -3， -1， -4） C、（ 3， 1， 4）
D、（ 3， -1， -4）
4、点（ 1，1， 1）关于 z 轴的对称点为（ A ）
A 、（ -1， -1， 1） B、（ 1， -1， -1）
C、（ -1， 1， -1）
D、（ -1， -1， -1）
5、点（ 2，3， 4）关于 xoz 平面的对称点为（ C ）
2、解 由题意得 B(0，－ 2,0)， C(0,2,0) ， 设 D(0， y， z)，则在 Rt△ BDC 中，∠ DCB ＝ 30°，
∴ BD＝ 2，CD ＝ 2 3， z＝ 3， y＝－ 1．
∴ D(0，－ 1， 3)．又∵ A( 3， 1， 0)， 22
∴ |AD |＝
3、已知空间三点的坐标为 A(1,5,-2) 、 B （2， 4， 1）、 C（ p， 3， q+2），若 A 、 B、 C 三点共 线，则 p =_________ ，q=__________ ．
4、已知点 A(-2, 3, 4), 在 y 轴上求一点 B , 使|AB|=7 , 则点 B 的坐标为 ________________ ．
A 、（ 2， 3， -4）
B、（ -2， 3，4）
6、点 P(2,0,3) 在空间直角坐标系中的位置是在
C、（ 2，-3， 4） (C)
D、（ -2， -3， 4）
A ． y 轴上
B． xOy 平面上
C． xOz 平面上
D． x 轴上
7、以正方体 ABCD — A 1B 1C1D1 的棱 AB 、 AD 、 AA 1 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标
1、 如图，在长方体 OABC－ D′A′B′C′中， |OA|＝ 1， |OC|＝ 3， |OD ′＝｜2，点 E 在线段 AO 的延长线上，且 |OE|＝ 1，写出 B′， C， E 的坐标．
空间直角坐标系与空间向量典型的的例题
空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原如此：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。
作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下：〔一〕用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如此C 1〔０，1，2〕、B 〔2，4，０〕， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成的角为θ， 如此11317cos 17BC CD BC CDθ==． 〔二〕利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π，∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B 〔０，０，０〕、A 〔０，０，2〕、B 1〔０，2，０〕、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<，由EA ⊥EB 1，得10EAEB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12a =或32a =〔舍去〕．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=〔三〕利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． 〔1〕证明AB ⊥平面VAD ；〔2〕求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析：〔1〕取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，如此A 〔1，０，０〕、D 〔－1，０，０〕、B 〔1，2，０〕、V 〔０，０，3〕，∴AB ＝〔０，2，０〕，VA ＝〔1，０，－3〕．由(020)(103)0AB VA =-=，，，，，得AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直， ∴AB ⊥平面VAD ；〔2〕设E 为DV 的中点，如此13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)DV =，，． ∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角． ∴21cos7EA EB EA EB EA EB==，． 故所求二面角的余弦值为217． 〔四〕利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ． 〔1〕求∠DEB 的余弦值；〔2〕假如BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．解析：〔1〕如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，如此由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B 〔a ，a ，０〕、C 〔-a ，a ，０〕、D 〔-a ，-a ，０〕、V 〔0，0，h 〕、222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．∴22226cos 10BE DEa h BE DE a hBE DE -+==+，， 即22226cos 10a h DEB a h-+=+∠； 〔2〕因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ， 所以0BEVC =，即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，，∴22230222a h a --=，∴2h a =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3DEB =-∠．引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题防止了传统方法进展繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进展向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．〔五〕利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系〔如正三棱柱、正四棱柱等〕，利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． 〔1〕证明：PQ ⊥平面ABCD ； 〔2〕求异面直线AQ 与PB 所成的角； 〔3〕求点P 到面QAD 的距离． 简解：〔1〕略；〔2〕由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由〔1〕，PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CADB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系〔如图1〕，易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PBAQ PB AQ PB <>==，．所求异面直线所成的角是1arccos3． 〔3〕由〔2〕知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =〔x ，y ，z 〕是平面QAD 的一个法向量，如此00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第〔3〕问也可用“等体积法〞求距离． 二、向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算b a,是两个非零向量，它们的夹角为θ，如此数θcos ||||⋅⋅b a 叫做a 与b 的数量积〔或内积〕，记作b a ⋅，即.cos ||||θ⋅⋅=⋅b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：假如),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，如此①212121z z y y x x b a ++=⋅；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<（二）例题讲解 题型：求角度相关1. 异面直线n m ,所成的角分别在直线n m ,上取定向量,,b a如此异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角〔如图1所示〕，如此.||||||cos b a b a⋅⋅=θ 2. 直线L 与平面α所成的角在L 上取定AB ，求平面α的法向量n 〔如图2所示〕，再求||||cos n AB n AB ⋅=θ如此θπβ-=2为所求的角.3． 二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、〔都取向上的方向，如图3所示〕，如此图1图①假如二面角βα--l 是“钝角型〞的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n n n ⋅=θ② 假如二面角βα--l 是“锐角型〞的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n n n ⋅=θ.方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、〔如图4所示〕，如此二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n n n ⋅=θ题型：求距离相关1. 异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a求与向量b a 、都垂直的向量n ，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，如此异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即||n n AB d=证明：设CD 为公垂线段，取b DB a CA==,||||)(n AB n CD n BD AB CA n CD BD AB CA CD ⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++= ||||n n AB CD d ==∴设直线n m ,所成的角为θ，显然.||||||cos b a b a⋅⋅=θ 2. 平面外一点p 到平面α的距离n 图图4图1求平面α的法向量n ，在面内任取一定点A ，点p 到平面α的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即||||n n AP d ⋅=.三、法向量 例题解析题型：求空间角1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n =〔x, y, 1)，如此直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos(2π-θ) = |cos<AB , n >| =AB AB n n••2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,n n ，如此<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。
2.3 空间直角坐标系典型习题
§2.3 空间直角坐标系典型习题 一、选择题 1．以棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（ ）A ．（0，0.5，0.5）B ．（0.5，0，0.5）C ．（0.5，0.5，0）D ．（0.5，0.5，0.5）2．设点B 是点A （2，-3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ）A ．10B ．10C ．38D ．383．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）A ．a 2B ．a 22C ．aD ．a214．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A ．37B ．47C ．33D ．575．点P （x ，y ，z ）满足222)1()1()1(++-+-z y x =2，则点P 在（ ）A ．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B ．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定6．若A 、B 两点的坐标是A （3cosα，3sinα），B （2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ）A ．[0，5]B ．[1，5] C.（1，5） D ．[1，25]7．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是（ ） ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，﹣y ，z ）；②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，﹣y ，﹣z ）；③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．A．3B．2C．1D．08．设A（3,3,1）、B（1,0,5）、C（0,1,0），则AB中点M到C点的距离为（）A．B．C．D．9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（）B A．B．C．D．10．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，﹣5），则点D 的坐标为（）A．（3.5，4，﹣1）B．（2，3，1）C．（﹣3，1，5）D．（5，13，﹣3）11．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（）A．0.5，4 B．1，8 C．-0.5，﹣4 D．﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= ____14．已知三角形的三个顶点为A（2，-1，4），B（3，2，-6），C（5，0，2），则BC边上的中线长为_____________15．已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是____________ 16. 已知点A（﹣3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为；AB的长为．三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．21．在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．参考答案：一、选择题1．以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A．（0，0.5，0.5）B．（0.5，0，0.5）C．（0.5，0.5，0）D．（0.5，0.5，0.5）【解答】解：由题意如图，平面AA 1B 1B 对角线交点是横坐标为AB 的中点值，竖坐标为AA 1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（0.5，0，0.5）．故选B ．2．设点B 是点A （2，-3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ）A ．10B ．10C ．38D ．38【解答】解：点B 是A （2，-3，5）关于xoy 平面对称的点，∴B 点的横标和纵标与A 点相同，竖标相反，∴B （2，-3，-5）∴AB 的长度是5-（-5）=10，故选A ．3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）A ．a 2B ．a 22C ．aD ．a21【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′， ∵A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），A′（a ，0，a ），A′C 的中点E 与AB 的中点F ，∴F （a ，2a ，0），E （2a ，2a ，2a ）， |EF|=222)0()2()(aa a a a a a -+-+-=22a ． 4．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A ．37B ．47C ．33D ．57【解答】解：点P （1，1，1）平面xoy 的对称点的M 坐标（1，1，-1），一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：222)16()13()13(++-+-=57．故选D ．5．点P （x ，y ，z ）满足222)1()1()1(++-+-z y x =2，则点P 在（ ） A ．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B ．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定【解答】解：式子222)1()1()1(++-+-z y x =2的几何意义是动点P （x ，y ，z ）到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合．故选C ．6．若A 、B 两点的坐标是A （3cosα，3sinα），B （2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ）A ．[0，5]B ．[1，5] C.（1，5） D ．[1，25]【解答】解：由题意可得|AB|=22)sin 2sin 3()cos 2cos 3(βαβα-+- =βαβαsin sin cos cos 1249+-+ =)cos(1213βα--．∵-1≤cos （α-β）≤1，∴1≤13-12cos （α-β）≤25，∴1≤)cos(1213βα--≤5，故选B ． 7．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是（ ）C ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，﹣y ，z ）；②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，﹣y ，﹣z ）；③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，﹣y ，z ）；④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（﹣x ，﹣y ，﹣z ）．A ． 3B ． 2C ． 1D ． 08．设A （3,3,1）、B （1,0,5）、C （0,1,0），则AB 中点M 到C 点的距离为（ ）CA ．B ．C ．D ．9．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）BA ．B ．C ．D ．10．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，﹣5，1），C （3，7，﹣5），则点D 的坐标为（ ）DA ． （3.5，4，﹣1）B ． （2，3，1）C ． （﹣3，1，5）D ． （5，13，﹣3）11．已知点A （1，﹣2，11），B （4，2，3），C （x ，y ，15）三点共线，那么x ，y 的值分别是（ ）CA ． 0.5，4B ． 1，8C ． -0.5，﹣4D ． ﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（ A ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，则|P 1P 2|= ____214【解答】解：∵点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，所以P 1（-1，2，-3），P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，所以P 2（1，-2，3），∴|P 1P 2|=222)33()22()11(--+++--=214．故答案为：21414．已知三角形的三个顶点为A （2，-1，4），B （3，2，-6），C （5，0，2），则BC 边上的中线长为 _____________211【解答】解：∵B （3，2，-6），C （5，0，2），∴BC 边上的中点坐标是D （4，1，-2） ∴BC 边上的中线长为222)42()11()24(--+++-=22，故答案为：21115．已知x ，y ，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z 2=2，那么x 2+y 2+z 2的最小值是 ____________27-102．【解答】解：由题意可得P （x ，y ，z ），在以M （3，4，0）为球心，2为半径的球面上， x 2+y 2+z 2表示原点与点P 的距离的平方，显然当O ，P ，M 共线且P 在O ，M 之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=432+-2=52，所以|OP|2=27-102．故答案为：27-102．16. 已知点A （﹣3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 ；AB 的长为 ．（3，-1，-4）2三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP 、BP 、CP 、DP ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，以O 为原点，射线OM 、ON 、OP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E 、F 分别为PA 、PB 的中点，求A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．解：【解答】解：如图所示，B 点的坐标为（1，1，0），因为A 点关于x 轴对称，得A （1，-1，0），C 点与B 点关于y 轴对称，得C （-1，1，0）， D 与C 关于x 轴对称，的D （-1，-1，0），又P （0，0，2），E 为AP 的中点，F 为PB 的中点，由中点坐标公式可得E （0.5，-0.5，1），F （0.5，0.5，1）．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x 轴上求一点P ，使它与点P 0（4，1，2）的距离为30；（2）在xOy 平面内的直线x+y=1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．解：【解答】解：（1）设点P 的坐标是（x ，0，0），由题意|P0P|=30，即22221)4(++-x =30，∴（x-4）2=25．解得x=9或x=-1．∴点P 坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点M （x ，1-x ，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（2）设点M （x ，1-x ，0）则|MN|=51)1(22+-x ∴当x=1时，|MN|min=51．∴点M 的坐标为（1，0，0）时到点N （6，5，1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系O-xyz 中点A （1，1，1），平面α过点A 且与直线OA 垂直，动点P （x ，y ，z ）是平面α内的任一点．（1）求点P 的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．解：【解答】解：（1）因为OA ⊥α，所以OA ⊥AP ，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x 2+y 2+z 2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面α与x 轴、y 轴、z 轴的点分别为M 、N 、H ，则M （3，0，0）、N （0，3，0）、H （0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=32， 所以等边三角形MNH 的面积为：3/4×(32)2=93/2．又|OA|=3，故三棱锥0-MNH 的体积为：31×93/2×3=4.5．20．如图，已知正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，M 为BD′的中点，点N 在A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求MN 的长．【解答】解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），C'（0，a ，a ），D'（0，0，a ）．由于M 为BD'的中点，取A'C'中点O',所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a ，a ）．因为|A'N|=3|NC'|，所以N 为A'C'的四等分,从而N 为O'C'的中点，故N （4a ，43a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得|MN |＝222)2()432()42(a a a a a a -+-+-＝46a21．在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，﹣3），试问（1）在y 轴上是否存在点M ，满足|MA|=|MB|？（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．【解答】解：（1）假设在y 轴上存在点M ，满足|MA|=|MB|．因M 在y 轴上，可设M （0，y ，0），由|MA|=|MB|，可得2222223113++=++y y 显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说y 轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|．（2）假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由（1）可知，y 轴上任一点都有|MA|=|MB|，所以只|MA|=|AB|就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA|=222)01()0()03(-+-+-y ＝210y +|AB |=222)13()00()31(-+-+-＝20于是210y +＝20，解得y ＝±10 故y 轴上存在点M 使△MAB 等边，M 坐标为（0，10，0），或（0，−10，0）．空间直角坐标系 优化训练1．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为( )A ．(－1，－2，－7)B ．(－1，－2,7)C ．(1，－2，－7)D ．(1,2，－7)2．点P (－2,0,3)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．5．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P (2,3,4)在x 轴上的射影的坐标为______，在平面xOy 上的射影的坐标为______，在yOz 平面上的射影的坐标为______．1．如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A ．(13，13，13)B ．(23，23，23) C ．(13，23，13) D ．(23，23，13) 2．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)，Q (－2,3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．关于y 轴对称3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限B ．一定在第Ⅷ卦限C ．可能在第Ⅰ卦限D ．可能在xOz 平面上 4. 在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1)、B (4,1，－2)、C (6,3,7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8，143，4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76，1 6．设z 是任意实数，相应的点P (2,2，z )运动的轨迹是( )A ．一个平面B ．一条直线C ．一个圆D ．一个球7．在xOy 平面内有两点A (－2,4,0)，B (3,2,0)，则AB 的中点坐标是________．8．已知▱ABCD 的两个顶点A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)以及它的对角线交点E (4，－1,7)，则顶点C 的坐标为________，D 的坐标为________．9．点P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′在x 轴上的投影A 的坐标为________．10．在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S 、A 、B 、C 、D 、E 的坐标．11. 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．12. 如图，有一个棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，以点D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz .一只小蚂蚁从点A 出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．空间直角坐标系 优化训练1．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称点的坐标为( )A ．(－1，－2，－7)B ．(－1，－2,7)C ．(1，－2，－7)D ．(1,2，－7)答案：A2．点P (－2,0,3)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内解析：选C.由点P 纵坐标为零知P (－2,0,3)，在xOz 平面内．3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C4．点P (－3,2,1)关于Q (1,2，－3)的对称点M 的坐标是________．解析：设M 坐标为(x ，y ，z )，则有1＝x －32，2＝2＋y 2，－3＝1＋z 2，解得x ＝5，y ＝2，z ＝－7∴M (5,2，－7)．答案：(5,2，－7)5．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P (2,3,4)在x 轴上的射影的坐标为______，在平面xOy 上的射影的坐标为______，在yOz 平面上的射影的坐标为______．答案：(2,0,0) (2,3,0) (0,3,4)1．如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，|BP |＝13|BD ′|，则P 点的坐标为( )A ．(13，13，13)B ．(23，23，23) C ．(13，23，13) D ．(23，23，13) 解析：选D.连接BD ，点P 在xDy 平面的射影落在BD 上，∵|BP |＝13|BD ′|，∴Px ＝Py ＝23，Pz ＝13，故P (23，23，13)． 2．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)，Q (－2,3，－4)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．关于y 轴对称 解析：选D.由P 、Q 两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标分别互为相反数知P 、Q 关于y 轴对称．3．已知空间直角坐标系中有一点M (x ，y ，z )满足x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，则M 点的位置是( )A ．一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限B ．一定在第Ⅷ卦限C ．可能在第Ⅰ卦限D ．可能在xOz 平面上解析：选D.由x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0知，x >0，z <0，y ∈R ，故点M 可能在第Ⅴ、第Ⅷ卦限或在xOz 平面上．故选D.4. 在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)解析：选D.由P 、Q 两点的横坐标、纵坐标相等知．5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1)、B (4,1，－2)、C (6,3,7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6，72，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，73，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫8，143，4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，76，1 答案：B6．设z 是任意实数，相应的点P (2,2，z )运动的轨迹是( )A ．一个平面B ．一条直线C ．一个圆D ．一个球解析：选B.由P 的x 、y 坐标是定值，则过(2,2,0)作与xOy 平面垂直的直线，直线上任意一点都满足x ＝2，y ＝2，故P 的轨迹是一条直线．7．在xOy 平面内有两点A (－2,4,0)，B (3,2,0)，则AB 的中点坐标是________． 解析：设AB 中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝3－22＝12， y ＝4＋22＝3，z ＝0 ∴中点坐标为(12，3,0)． 答案：(12，3,0) 8．已知▱ABCD 的两个顶点A (2，－3，－5)，B (－1,3,2)以及它的对角线交点E (4，－1,7)，则顶点C 的坐标为________，D 的坐标为________．解析：E 为AC 、BD 的中点．答案：(6,1,19) (9，－5,12)9．点P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′在x 轴上的投影A 的坐标为________． 解析：由题意得P ′(－a ，－b ，－c )，∴P ′(－a ，－b ，－c )在x 轴上的投影A 坐标为(－a,0,0)．答案：(－a,0,0)10．在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S 、A 、B 、C 、D 、E 的坐标．解：∵在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AS 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示空间直角坐标系，∵SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，∴A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (0，a,0)，S (0,0，a )，D (a 2，a 2，0)，连接AD ， ∵SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，∴SA ⊥平面ABC ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，则EF ⊥平面ABC .∵E 为SD 的中点，∴F 为AD 的中点，∴|EF |＝12|AS |，∴E (a 4，a 4，a 2)， 即点S (0,0，a )，A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (0，a,0)，D (a 2，a 2，0)，E (a 4，a 4，a2)． 11. 如图，在长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝1，|OC |＝3，|OD ′|＝2，点E 在线段AO 的延长线上，且|OE |＝12，写出B ′，C ，E 的坐标．解：点C 在y 轴上，x 坐标，z 坐标均为0，且|OC |＝3，故点C 的坐标为(0,3,0)． 因为B ′B 垂直于xOy 平面，垂足为B ，所以点B ′与B 的x 坐标和y 坐标都相同，又|BB ′|＝|OD ′|＝2，且点B ′在xOy 平面的上方，所以点B ′的坐标为(1,3,2)．点E 在x 轴负半轴上，且|OE |＝12， 所以点E 的坐标为(－12，0,0)． 12. 如图，有一个棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，以点D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz .一只小蚂蚁从点A 出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．解：小蚂蚁沿着A －B －C 或A －B －B 1或A －D －C 或A －D －D 1或A －A 1－B 1或A －A 1－D 1任一条路线爬行，其终点为点C 或B 1或D 1.点C 在y 轴上，且DC ＝1，则其y 坐标为1，x 坐标与z 坐标均为0，所以点C 的坐标是(0,1,0)；同理可知D 1的坐标是(0,0,1)；点B 1在xOy 平面上的射影是B ，点B 在xOy 平面上的坐标是(1,1)，且|B 1B |＝1，则其z 坐标为1，所以点B 1的坐标是(1,1,1)．。
空间直角坐标系试题(含答案)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则 （ ）A ．||AB >||CD B ．||AB <||CDC ．||AB ≤||CDD ．||AB ≥||CD4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM （ ）A ．4B ．532C ．2D ．25．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1，CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（ ）ABC ．2D 6．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于 （ ）A ．14B ．13C ．32D ．117．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（ ）A ．（27，4，－1）B ．（2，3，1）C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3）8．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（ ）A ．22b a +B ．cC ．cD ．b a +9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是 （ ）A ．21，4B ．1，8C ．21-，－4 D ．－1，－810．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ） A ．26B ．3C ．23D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．如右图，棱长为3a 正方体OABC －''''D A B C ， 点M 在|''|B C 上，且|'|C M =2|'|MB ，以O 为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M 的坐标为 ．12．如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ， ||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求△ABC 的重心G 的坐标 _ _．13．若O （0，0，0），P （x ，y ，z ），且||1OP =，则2221x y z ++=表示的图形是 _ _．14．已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点 B 的坐标为 ；AB 的长为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，长方体''''ABCD A B C D -中，||3AD =，||5AB =，|'|3AA =，设E 为'DB 的中点，F 为'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，'A ，'B ，'C ，'D ，E ，F 各点的坐标．16．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．17．（12分）如图，已知矩形ABCD中，||3AD=，||4AB=．将矩形ABCD沿对角线BD折起，使得面BCD⊥面ABD．现以D为原点，DB作为y 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．18．（12分）已知)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ，)4,1,6(-C ，求证其为直角三角形．19．（14分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．20．（14分）在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足||||？MA MB（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．参考答案一、CADCB BDCCA二、11．（2a ，3a ，3a ）； 12．G （3,3,3b c a ） ； 13．以原点O 为球心，以1为半径的球面；14．（3，－1，－4）； 三、15．解：设原点为O ，因为A ，B ，C ，D 这4个点都在坐标平面 xOy 内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用||3AD =，||5AB =写出，所以 A （3，0，0），B （3，5，0），C （0，5，0），D （0，0，0）；因为平面''''A B C D 与坐标平面xOy 平行，且|'|3AA =，所以A '，B '，'C ，D '的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A ，B ，C ，D 的相同，所以'A （3，0，3），'B （3，5，3），'C （0，5，3），'D （0，0，3）；由于E 分别是'DB 中点，所以它在坐标平面xOy 上的射影为DB的中点，从而E 的横坐标和纵坐标分别是'B 的12，同理E 的竖坐标也是'B 的竖坐标的12，所以E （353,,222）；由F 为'BC 中点可知，F 在坐标平面xOy 的射影为BC 中点，横坐标和纵坐标分别为32和5，同理点F 在z 轴上的投影是AA '中点，故其竖坐标为32，所以F （32，5，32）．16．解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ， 由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ）， 同理G （0，a ，b ）；F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．17．解： 由于面BCD ⊥面ABD ，从面BCD 引棱DB 的垂线CF 即为面ABD 的垂线，同理可得AE 即为面BCD 的垂线，故只需求得DF DE CF AE ,,,的长度即可。
空间直角坐标系(2.3)
[创新拓展实践]:
11.(综合2)已知三点A,B,C的坐标分别是A(3,–2,–1),B(–1,–3,2),C(–5,-4,5).求证:A,B,C三点共线.
12.(知能点2)试在平面 内的一条直线
上确定一点M,使M到点N(6,5,1)的距离最小.
A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形
C.三点构成等腰直角三角形 D.三点构不成三角形
6.(知能点2)与两点A(3,4,5),B(–2,3,0)距离相等的点M( )满足的条件是……‥…‥( )
[自主迁移]:
8.结晶体的基本单位称为晶胞,下图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其中圈点代表钠原子,黑点代表氯原子,如下图建立空间直角坐标系 后,试写出全部钠原子所在的位置的坐标.
[典题研究]:
例2 (探究题)(1)求到定点A(–3,2,2),B(1,0,–2)
距离相等的点的坐标满足的条件.
综合1 空间直角坐标系与对称问题的综合
[典题研究]:
例3 (探究题)求点A(1,2,–1)关于点M(1,0,1), 轴以及坐标平面 对称的点的坐标.
综合2 利用直角坐标系求解析几何问题
[典题研究]:
13.(综合24,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.
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[能力培养]:
7.(知能点2)已知点A(1, ,–5),B(2 ,–7,–2)(
),则AB的最小值是…‥…‥‥…‥( )
8.(知能点1)在空间直角坐标系中,已知点 ,过P作平面 的垂线PQ,则垂足Q的坐标是…………‥………‥…‥‥…‥( )
9.(综合1)设点B是点A(2,–3,5)关于 平面的对称点,则AB等于‥………‥…‥‥…‥( )
(word完整版)高中数学必修二空间直角坐标系习题
课后练习与提升1.P(1， 2， 3) ，过点 P作平面 xOy的垂线 PQ，则 Q的坐标为（）在空间直角坐标系中，点Ａ． (0， 2，0) Ｂ． (0， 2， 3) Ｃ． (10，， 3) Ｄ． (1， 2，0)2.已知点 A( 31，，4) ，则点 A 对于原点的对称点的坐标为（）Ａ． (1， 3， 4) Ｂ． ( 41，， 3)Ｃ． (3， 1， 4)Ｄ． (4， 1，3)3.坐标原点到以下各点的距离最小的是（）Ａ． (111)，，Ｂ． (1，2，2)Ｃ． (2， 3，5)Ｄ． (3，0，4)4.在空间直角坐标系O xyz 中， z 1的全部点组成的图形是．5.点 P( 3，2， 1) 对于平面 xOy 的对称点是，对于平面 yOz 的对称点是 ，对于平面 zOx 的对称点是，对于 x 轴的对称点是，对于 y 轴的对称点是，对于 z 轴的对称点是．6. 求证：以 A( 4， 1， 9) ， B( 101，， 6) ， C ( 2， 4， 3) 为极点的三角形是等腰直角三角形．7. 已知空间中两点 P(－１，２，－３ ) ，Ｑ ( ３，－２，－１） ，则 P 、 Q 两点间的距离是 （ ）A. ６ B ． 22C ． 36D ． 2 58.点 A(3，－ 2,4)对于点 (0,1，－ 3)的对称点的坐标是 ( )A ．(－ 3,4，－ 10)B ． (－ 3,2，－ 4)3，－ 1，1D ． (6，－ 5,11)C ．22 219.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0) 和 B(x ，－ 1,6)的距离为 86，则 x 的值为 ()A ．2B ．－ 8C ． 2 或－ 8D ． 8 或－ 210.若 A(1,3，－ 2)、 B(－ 2,3,2)，则 A 、 B 两点间的距离为 ()A ． 61B ． 25C ． 5D ． 5711.在空间直角坐标系中，点P(3,4,5) 对于 yOz 平面的对称点的坐标为()A ．(－ 3,4,5)B ． (－ 3，－ 4,5)C ． (3，－ 4，－ 5)D ． (－ 3,4，－ 5)12.在空间直角坐标系中，P(2,3,4) 、 Q( － 2，－ 3，－ 4)两点的地点关系是 ()A ．对于 x 轴对称B ．对于 yOz 平面对称C ．对于坐标原点对称D ．以上都不对13.点 P(a ，b ， c)到坐标平面 xOy 的距离是 ()A ． a 2＋ b 2B ． |a|C ．|b|D ． |c|14. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的表示图 (可当作是八个棱长为 12的小正方体聚积成的正方体 )．此中实圆 ?代表钠原子，空间圆 代表氯原子．成立空间直角坐标系 Oxyz 后，图中最上层中间的钠 原子所在地点的坐标是 ( )11A ． 2，2， 1B ． (0,0,1)C ． 1， 1， 1D ． 1，1， 122215.在空间直角坐标系中，点 A(1,2，－ 3)对于 x 轴的对称点为 ()A ．(1，－ 2，－ 3)B ． (1，－ 2,3)C ．(1,2,3)D ． (－ 1,2，－ 3)16.设 y ∈ R ，则点 P(1 ，y,2)的会合为 ()A ．垂直于 xOz 平面的一条直线B ．平行于 xOz 平面的一条直线C ．垂直于 y 轴的一个平面D ．平行于 y 轴的一个平面17. 已知 A(2,1,1) ，B(1,1,2) ， C(2,0,1) ，则以下说法中正确的选项是( )A ．A 、B 、C 三点能够组成直角三角形 B ．A 、 B 、 C 三点能够组成锐角三角形 C ．A 、 B 、 C 三点能够组成钝角三角形D ．A 、 B 、 C 三点不可以组成任何三角形18.已知 A(x,5－ x,2x － 1)， B(1， x ＋2,2－ x)，当 |AB |取最小值时， x 的值为 ()A ．19B ．－ 8C ． 8D ． 197 7 14219.到点 A(－ 1，－ 1，－ 1)， B(1,1,1) 的距离相等的点C(x， y， z)的坐标知足 ()A ．x＋ y＋ z＝－ 1B． x＋ y＋ z＝0C．x＋ y＋ z＝ 1D． x＋ y＋ z＝420.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D (0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为 ()A ．9B．29C． 5D． 2621.点 P(x， y， z)知足x－ 1 2＋ y－1 2＋ z＋ 1 2＝ 2，则点 P 在()A ．以点 (1,1，－ 1)为球心，以2为半径的球面上B ．以点 (1,1，－ 1)为中心，以2为棱长的正方体内C．以点 (1,1，－ 1)为球心，以 2 为半径的球面上D ．没法确立22. 点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（）.A.、B.、C.、D.、23. 点分别在面（）.A.上 B .上C.上D.上24. 在空间直角坐标系中，以下说法中：①在x 轴上的点的坐标必定是；②在平面上的点的坐标必定可写成；③在 z 轴上的点的坐标可记作；④在平面上的点的坐标是.此中正确说法的序号挨次是（）.A.①②B.②③C.①④D.②③④25、连结平面上两点、的线段的中点 M的坐标为，那么，已知空间中两点、，线段的中点 M的坐标为.26、点对于原点对称的点的坐标是.27、连结平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2， y2)的线段 P1P2的中点 M 的坐标为121＋ y2x＋ x，y，那么，已知22空间中两点 P1(x1， y1，z1)、 P2(x2， y2， z2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为 ____________________．28、在空间直角坐标系中，点P 的坐标为 (1，2，3)，过点 P 作 yOz 平面的垂线PQ，则垂足Q 的坐标是______．329、x 轴上的点的坐标必定是(0，b，c) ；②在 yOz 平面上的点的在空间直角坐标系中，以下说法中：①在坐标必定可写成(0，b，c)；③在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是________．30、在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的极点A(3，－1,2)，此中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为 ________．31、已知P 3，5， z 到直线 AB 中点的距离为3，此中 A(3,5，－ 7)， B(－2,4,3) ，则 z＝ ________．2232、在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2) ，B(1，－ 3,1)，点 M 在 y 轴上，且M 到 A 与到 B 的距离相等，则M 的坐标是 ________．33. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点 B 是点 A(1,2,3) 在座标平面yOz 内的正射影，则OB＝ ______．34.已知点 A(－ 2,3,4) ，在 y 轴上有一点B，且 |AB |＝ 3 5，则点 B 的坐标为 ________．4。
空间直角坐标系
o
4
x
图2 3 1
空间直角坐标系
从空间某一个定点O引三条互相垂直且 有相同单位长度的数轴这样就建立了 空间直角 , , 坐标系 O xyz.O叫做坐标原点 x轴、y轴、z轴叫 做坐标轴, 这三条坐标轴每两条确 定一个 坐标平 面 , 分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.
通常, 将空间直角坐标系画在 纸上时, x轴与y轴、
借助平面直角坐标系, 我们就可以用坐标 来表示平面上任意一点的位置 .那么, 怎样 用坐标来表示空间任意一点的位置呢 ?
2. 3 空间直角坐标系
学习目标
• 1 通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性； • 2 了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的 位置； • 3感受类比思想在探索新知识过程中的作用。
x
P R
z
Ax, y, z
o
z
y
ห้องสมุดไป่ตู้Q y
x
图2 3 2
的坐标依次为x, y, z, 我们将有序数对 x, y, z 叫做
点 A 的坐标 图2 3 2, 记为Ax, y, z .
P, Q, R称为点A在三条坐标轴上的射影 .
在空间直角坐标系中让右手拇指指向 轴的正方 , x 向, 食指指向y 轴的正方向 若中指指向z 轴的正方 , 向, 则称这个坐标系为 右手直角坐标系.本书建立 的坐标系都是右手直角 坐标系.
z
3
P4,5,3
5
在地面上建立直角坐标 xOy, 系 则地面任一点的位置只 需两个 坐标 x, y 就可确定.为了确定不 在地面内的物体 如电灯) 的位 ( 置, 需要用到第三个数表 示 物 体离地面的高度 , 即需要第三 个坐标 z.
数学ⅱ2.3.3空间两点间的距离公式练习
数学ⅱ2.3.3空间两点间的距离公式练习本卷须知1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第3.3节空间两点间的距离公式1、正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A〔－6，－6，－6〕，B〔8，8，8〕，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为〔〕A、14 3B、314C、542D、42 52、以A〔4，1，9〕，B〔10，－1，6〕，C〔2，4，3〕为顶点的三角形是〔〕A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形3、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，假设D〔0，0，0〕，A〔4，0，0〕，B〔4，2，0〕，A1〔4，0，3〕，那么对角线AC1的长为〔〕A、9 B.29C、5D、2 64、点M〔2，－3，5〕到X轴的距离D等于〔〕A.38B.34C.13D.295、设A〔3，3，1〕、B〔1，0，5〕、C〔0，1，0〕，那么AB的中点M到点C的距离｜CM｜＝〔〕A.534B.532C.532D.1326、假设点A〔－1，2，－3〕关于Y轴的对称点为B，那么AB的长为＿＿＿＿＿＿＿＿、7、在空间中，点A 〔－2，3，4〕在Y 轴上有一点B 使得｜AB ｜＝7，那么点B 的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿、8、在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A1B1C1D1的顶点A 〔3，－1，2〕，其中心M 的坐标为〔0，1，2〕，那么该正方体的棱长等于＿＿＿＿＿＿＿＿、参考答案1.【答案】A【解析】D 〔A ，B 〕＝(－6－8)2＋(－6－8)2＋(－6－8)2＝14 3.2.【答案】D【解析】｜AB ｜＝(10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝7，｜BC ｜＝(2－10)2＋[4－(－1)]2＋(3－6)2＝72，｜AC ｜＝(2－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2＝7，∴｜BC ｜2＝｜AB ｜2＋｜AC ｜2，∴△ABC 为等腰直角三角形、3.【答案】B【解析】如下图，由题设条件可知：｜AA1｜＝3，｜AB ｜＝2，∴C1〔0，2，3〕，∴｜AC1｜＝29.4.【答案】B【解析】点M 在X 轴上射影N 的坐标是〔2，0，0〕，∴D ＝(2－2)2＋(－3)2＋52＝34.5.【答案】C【解析】∵AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，C 〔0，1，0〕， ∴｜CM ｜＝(2－0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－0)2＝532. 6.【答案】210【解析】∵A 〔－1，2，－3〕关于Y 轴的对称点B 〔1，2，3〕，∴｜AB ｜＝[1－(－1)]2＋(2－2)2＋[3－(－3)]2＝210.7.【答案】〔0，3＋29，0〕或〔0，3－29，0〕 【解析】设点B 的坐标为〔0，B ，0〕，由题意得(0＋2)2＋(b －3)2＋(0－4)2＝7，解得B ＝3±29.∴点B 的坐标为〔0，3＋29，0〕或〔0，3－29，0〕8.【答案】2393【解析】∵｜AM ｜＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2 ＝13，∴对角线｜AC1｜＝213，设棱长为X ，那么3X2＝〔213〕2，∴X ＝2393.。
空间两点间距离公式新
z M A H y
B
2、给定空间直角坐标系，在x轴上找一 点P，使它与点P0(4,1,2) 距离为 30 (9,0,0)或(-1,0,0) 3、在xoy平面内的直线x+y=1上确定一 点M，使M到N(6,5,1)的距离最小.
例２：在xoy平面内的直线x+y=1上确定 一点M，使M到N(6,5,1)的距离最小. 略解：设M(x,1-x,0),利用距离公式构造 出一个二次函数后求最值
2.3.2空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，点P（x1，y1，z1） 和点Q（x2，y2，z2）之间的距离为：
d ( x 2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 )
2 2
2
练习：1、若点B是点（1,2,3）在坐标平 面yOz内的射影，则OB等于（ ） 13
x y z 1
2 2 2
轨迹是球面
练习：已知点 P( x, y, z) 的坐标满足 x2 y2 z 2 4 ，且点 A(2,3, 2 3) ，则PA的 最小值是（ ）
3
练3:设A(3,3,1),B(1,-1,5),C(0,1,0),则AB 的中点M到C的距离为_________ 13 分析：介绍空间直角坐标系中的中点坐标 公式；
MN ( x 6) (1 x 5) (1 0)
2 2
2
2( x 1) 512 Nhomakorabea当x 1时， MN min 51
例３.平面上到坐标原点的距离为１的点 的轨迹是单位圆，其方程 2 2 为 x y 1 ． 在空间中，到坐标原点的距离为１ 的点的轨迹是什么？试写出它的方程．
已知点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) 则线段AB中点C的坐标是
【精品】空间直角坐标系练习题
空间直角坐标系练习一班级姓名一、基础知识、1、将空间直角坐标系画在纸上时,x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成，而z 轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的，2、坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点P 的坐标的特点：Ｐ（，，），纵坐标和竖坐标都为零．y 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（,，）,横坐标和竖坐标都为零．z 轴上的点的坐标的特点：Ｐ（,，），横坐标和纵坐标都为零．x Ｏy 坐标平面内的点的特点：Ｐ（，,)，竖坐标为零．x Ｏz 坐标平面内的点的特点:Ｐ（，,)，纵坐标为零．y Ｏz 坐标平面内的点的特点:Ｐ（，,）,横坐标为零．3、已知空间两点Ａ（1x ,1y ,1z ），Ｂ(2x ，2y 2z ），则AB 中点的坐标为（，,）.4、一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标：点P （x ，y,ｚ）关于坐标原点的对称点为1P （,，)；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标横轴（ｘ轴)的对称点为2P （，，);点P （x,y,ｚ）关于坐标纵轴(ｙ轴）的对称点为3P （，,)；点P （x ，y ，ｚ）关于坐标竖轴(ｚ轴)的对称点为4P (,，）;点P(x ，y ，ｚ）关于ｘＯｙ坐标平面的对称点为5P （，，）；点P （x,y ，ｚ）关于ｙＯｚ坐标平面的对称点为6P （，,）点P(x,y ，ｚ）关于ｚＯｘ坐标平面的对称点为7P (,，）．二、选择题1、有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c）；②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）;③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0,0，c）；④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a,0，c)。
其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、42、已知点A（—3，1,4），则点A关于原点的对称点的坐标为（)A、(1，-3，—4）B、（—4,1，-3）C、（3,-1，4)D、（4，-1,3）3、已知点A（—3，1，-4),点A关于x轴的对称点的坐标为(）A、(—3，—1，4）B、（—3,—1，—4）C、（3,1，4)D、(3，-1，—4)4、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为(）A、（2，3，-4）B、（—2，3，4）C、（2，-3，4)D、(-2，—3,4)5、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（）A、(12，1，1）B、（1，12,1）C、（1，1，12）D、(12,12,1)6、点（1，1,1)关于z轴的对称点为（）A、（—1，-1，1）B、(1，—1，-1）C、（-1，1，-1）D、（—1，-1，—1）三、填空题7、点（2，3，4）关于yoz平面的对称点为—-—-——--—-——--—---。
空间直角坐标系 习题(含答案)
22．在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 .
（1）若 为 的直角顶点，且顶点 在 轴上，求 边所在直线方程；
（2）若等腰 的底边为 ，且 为直线 上一点，求点 的坐标.
23．求函数 的最小值．
24．如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的，其中
（1）求 的长；
【详解】
设z轴上任意一点Q的坐标为 ，
由空间中两点间的距离公式可得： ，
当 时取得最小值.
故选C.
【点睛】
本题考查空间中两点间的距离，掌握空间内两点间的距离公式，会根据解析式求最值，注意计算的准确性.
3．C
【解析】
【分析】
先根据线面平行的性质和中位线定理说明M为EF的中点，再根据中点坐标公式求M的坐标。
设F(0，0，z)．
∵AEC1F为平行四边形， ∴由AEC1F为平行四边形，
∴由 = 得，(-2，0，z)=(-2，0，2)，
∴z=2．∴F(0，0，2)．∴ =(-2，-4，2，于是| |=2 ，即BF的长为2 ；
(2)设 为平面AEC1F的法向量，显然 不垂直于平面ADF，故可设 =(x，y，1)．
故答案为
12．168
【解析】
【分析】
由题意，设 ，得 ，根据坐标对应相等，列出方程组，求得 的值，得到向量 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
由题意， ，设 ，
又 ， ，
所以
即 ，
解得 ，
则 .
故 .
【点睛】
本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的坐标表示与向量共线的运算，以及向量的夹角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
高中数学 2.32.3.1空间直角坐标系及其应用同步检测试
2．3 空间直角坐标系2．3.1空间直角坐标系及其应用基础巩固知识点一空间中点的位置的确定1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系的位置是在________平面上．解析：∵x A＝0，∴A在yOz平面上．答案：yOz2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④3．如右图所示，空间直角坐标系中OABCD′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0,1,2)的点是________．解析：点的横坐标为0，∴点在平面yOz 上，竖坐标为2，∴点在正方体的上底面上，又纵坐标为1，故点为D ′C ′的中点G .答案：G 点知识点二 空间中点的坐标的确定4．已知ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：连接AC 、BD 交于P 点，则P 为AC 与BD 的中点，由A 、C 点坐标求得中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B (2，－5,1)求得D 的坐标(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)5．点M (－1,2,1)在x 轴上的射影为M ′，则M ′关于原点的对称点是________．解析：M (－1,2,1)在x 轴上的射影M ′的坐标为(－1,0,0)，则M ′关于原点的对称点为(1,0,0)．答案：(1,0,0)6．若x 轴上一点A 到z 轴上一点B 的距离为4，并且AB 的中点到平面xOy 的距离为1，则A 点坐标为________．解析：设A (a,0,0)，B (0,0，c )，则AB 中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，c2，∴|c|2＝1，∴|c|＝2，又a2＋c2＝16，∴a2＝12，a＝±2 3.答案：(±23，0,0)知识点三空间中点的对称7．点(1,1,1)关于z轴的对称点为________．解析：由对称知点(x，y，z)关于z轴的对称点为(－x，－y，z)．答案：(－1，－1,1)8．点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为________．解析：点(a，b，c)关于yOz平面的对称点为(－a，b，c)．答案：(－3,4,5)9．点M(2，－3,1)关于点P(1,1,1)的对称点是________．解析：点M(a，b，c)关于点P(1,1,1)的对称点是(2－a,2－b,2－c)．答案：(0,5,1)能力升级综合点一求空间中点的坐标10．如右图，三棱锥OABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．解析：∵A (a,0,0)，B (0,0，b )，C (0，c,0)，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 311．已知矩形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝10，将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面BCD ⊥平面ABD .以D 为原点，射线DB 为y 轴的正半轴，建立如下图所示空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．解析：如下图，过C 作CF ⊥BD 于F ，过A 作AE ⊥BD 于E ，由面BCD ⊥面ABD ，得CF ⊥面ABD ，AE ⊥面BCD .又在Rt△BCD 中，BD ＝152＋102＝5，∴DF ＝CD 2BD ＝3，CF ＝CD ·BC BD＝6， 同理可得AE ＝6，DE ＝2，故A (6，2,0)，C (0,3，6)．综合点二空间中的对称问题12．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)；其中正确命题的序号是________．解析：点P关于x轴、平面yOz，y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)，(－x，y，z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．答案：①④13．如图，已知一长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，顶点A的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解析：∵A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2,3，－1)，C(2,3，－1)，D(2，－3，－1)．A1、B1、C1、D1与A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．。
数学ⅱ2.3.2空间直角坐标系中点的坐标练习
数学ⅱ2.3.2空间直角坐标系中点的坐标练习本卷须知1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第3.2节 空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中， 点)3,2,1(P 关于x 轴对称的点的坐标为 〔 〕A 、〔－1，2，3〕B 、〔1，－2，－3〕C 、〔－1， －2， 3〕D 、〔－1 ，2， －3〕 2、在空间直角坐标系中， 点)1,0,1(A 与点)1,1,2(-B 之间的距离为 〔 〕A 、6B 、 6C 、3D 、 23、在空间直角坐标系中， 点)5,4,3(P 关于yoz 平面对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4、在空间直角坐标系中，点)2,3,1(-P 在xoz 平面上的射影为'P ，'P 那么关于原点的对称点P ／的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、点)3,4,1(-P 与点)5,2,3(-Q 的中点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、在长方体1111D C B A ABCD -中，假设)3,0,5(),0,4,5(),0,0,5(),0,0,0(1A B A D ，那么对角线1AC 的长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.7、以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -为顶点的三角形的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8、点),,21,1(x x x A -- 点),2,1(x x B -， 那么A 与B 两点间距离的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.9、点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，且边长为a 2，棱PD ⊥底面ABCD ，b PD 2=，取各侧棱PD PC PB PA ,,,的中点H G F E ,,,，试建立空间直角坐标系，并写出点H G F E ,,,的坐标、参考答案：),,(),,(1z y x P z y x P x --−−−−→−轴对称关于),,(),,(1z y x P z y x P y --−−−−→−轴对称关于),,(),,(1z y x P z y x P z --−−−−→−轴对称关于答案：B那么212212212)()()(z z y y x x AB -+-+-=答案：A 3.命题意图：此题主要考察关于各坐标平面对称的两点，其坐标分量的关系。
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§2.3空间直角坐标系典型习题一、选择题1．以棱长为 1 的正方体ABCD-A 1B 1C1D1的棱 AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（）A ．（ 0， 0.5， 0.5） B．（ 0.5， 0， 0.5 ） C．（ 0.5， 0.5 ， 0） D．（ 0.5， 0.5 ， 0.5 ）2．设点 B 是点 A （ 2， -3， 5）关于 xOy 面的对称点，则A、 B 两点距离为（）A．10 B．10 C．38 D．383．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体ABCO- A′ B′ C，′AD′C的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为（）221A ．B ．C． a D ．a2a2a4．一束光线自点 P（ 1，1， 1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q（ 3， 3， 6）被吸收，那么光所走的路程是（）A．37 B．47 C．33D．575．点 P（ x， y， z）满足( x1) 2( y 1) 2( z 1) 2=2，则点P在（）A ．以点（ 1， 1， -1）为圆心，以 2 为半径的圆上B ．以点（ 1， 1， -1）为中心，以 2为棱长的正方体上C．以点（ 1， 1， -1）为球心，以 2为半径的球面上D．无法确定6．若A 、B 两点的坐标是A（ 3cos α，3sinα），B（2cos θ，2sinθ，则） |AB| 的取值范围是（）A．[0，5]B．[1，5] C.（1， 5） D ． [1， 25]7．在空间直角坐标系中，已知点P（ x， y， z），下列叙述中正确的个数是（）①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是P1（ x，﹣ y， z）；②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是P2（x，﹣ y，﹣ z）；③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是 P3（ x，﹣ y， z）；④点 P 关于原点对称的点的坐标是P4（﹣ x，﹣ y，﹣ z）．A ． 3B ． 2C． 1 D ． 08．设 A （3,3,1）、 B（ 1,0,5）、 C（0,1,0），则 AB 中点 M 到 C 点的距离为（）A ．B ．C． D ．9．点 B 是点 A （1， 2， 3）在坐标平面yOz 内的正投影，则 |OB|等于（） BA ．B ．C． D ．10．已知 ABCD 为平行四边形，且 A （ 4，1，3），B（2，﹣ 5，1），C（ 3， 7，﹣ 5），则点 D 的坐标为（）A ．（ 3.5， 4，﹣ 1）B．（ 2，3，1）C．（﹣3，1，5） D ．（5， 13，﹣ 3）11．已知点 A （ 1，﹣ 2，11）， B（ 4，2， 3）， C（ x，y， 15）三点共线，那么x， y 的值分别是（）A．0.5，4B．1，8C． -0.5，﹣ 4D．﹣1，﹣ 812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（）A ． B ．C． D ．二、填空题（每小题 5 分，共20 分）13．点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为P1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为 P2，则 |P1P2|= ____14．已知三角形的三个顶点为 A （2， -1，4）， B（ 3，2， -6）， C（ 5，0， 2），则 BC 边上的中线长为 _____________15．已知 x， y， z 满足（ x-3）2+（ y-4 ）2+z 2=2，那么 x2+y 2+z2的最小值是____________ 16. 已知点 A （﹣ 3，1， 4），则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为；AB 的长为．三、解答题（共70 分）17．如图所示，过正方形ABCD 的中心 O 作 OP⊥平面 ABCD ，已知正方形的边长为2，OP=2，连接 AP、BP 、 CP、 DP， M、 N 分别是 AB 、 BC 的中点，以 O 为原点，射线OM 、ON 、 OP 分别为 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F 分别为 PA 、PB 的中点，求 A 、B 、 C、 D、 E、 F 的坐标．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0（ 4， 1，2）的距离为30 ；（2）在xOy平面内的直线x+y=1 上确定一点 M ，使它到点 N （6， 5， 1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系O-xyz 中点 A（ 1， 1，1），平面α过点A且与直线OA 垂直，动点 P（x， y，z）是平面α内的任一点．（ 1）求点 P 的坐标满足的条件；（ 2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．20．如图，已知正方体 ABCD ﹣A′ B′ C的′棱D′长为 a， M 为 BD′的中点，点 N 在 A′ C 上′，且 |A ′ N|=3|NC，′|试求 MN 的长．21．在空间直角坐标系中，已知 A （ 3，0， 1）和 B （ 1， 0，﹣ 3），试问（ 1）在 y 轴上是否存在点M ，满足 |MA|=|MB| ？（ 2）在 y 轴上是否存在点M ，使△ MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．参考答案：一、选择题1．以棱长为 1 的正方体ABCD-A 1B 1C1D1的棱 AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（）A ．（ 0， 0.5， 0.5） B．（ 0.5， 0， 0.5 ） C．（ 0.5， 0.5 ， 0） D．（ 0.5， 0.5 ， 0.5 ）【解答】解：由题意如图，平面 AA 1B 1B 对角线交点是横坐标为 AB 的中点值，竖坐标为AA 1的中点值，纵坐标为 0，所以平面 AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（ 0.5， 0， 0.5 ）．故选 B ．2．设点 B 是点 A （ 2， -3， 5）关于 xOy 面的对称点，则 A、 B 两点距离为（）A．10 B．10 C．38 D．38【解答】解：点 B 是 A （ 2， -3， 5）关于 xoy 平面对称的点，∴ B 点的横标和纵标与 A 点相同，竖标相反，∴ B （2， -3， -5）∴ AB 的长度是5-（ -5） =10，故选 A．3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO- A′ B′ C，′AD′C的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为（）A ．221B ．C． a D ．a2a2a【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体∵ A（ a， 0， 0）， B（ a， a，0）， C（ 0， a，0）， A′（ a， 0， a），ABCO- A′B′C′，D′A′C的中点E 与AB的中点F，∴ F（a，a ，0），E（a，a ，a ），2222|EF|=( a a) 2(a a) 2( 0a) 2=2a ．a2a24．一束光线自点P（ 1，1， 1）发出，遇到平面xoy被反射，到达点Q（ 3， 3， 6）被吸收，那么光所走的路程是（）A．37B．47C．33 D．57【解答】解：点 P（ 1， 1， 1）平面 xoy 的对称点的M 坐标（ 1，1， -1），一束光线自点 P （ 1， 1， 1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q（ 3，3， 6）被吸收，那么光所走的路程是：(31) 2(3 1)2(61)2=57．故选D．5．点 P（ x， y， z）满足( x1) 2( y1) 2( z1) 2=2，则点 P 在（）A ．以点（ 1， 1， -1）为圆心，以 2 为半径的圆上B ．以点（ 1， 1， -1）为中心，以 2 为棱长的正方体上C．以点（ 1， 1， -1）为球心，以 2 为半径的球面上D．无法确定【解答】解：式子( x 1 ) 2( y 1 ) 2( z 1 ) 2=2 的几何意义是动点 P（ x，y， z）到定点（ 1，1， -1）的距离为 2 的点的集合．故选C．6．若 A 、B 两点的坐标是 A（ 3cos α，3sin α），B（2cos θ，2sin）θ，则 |AB| 的取值范围是（）A．[0，5]B．[1，5] C.（1， 5） D ． [1， 25]【解答】解：由题意可得 |AB|=( 3cos 2 cos) 2( 3s in2sin)2= 9 4 12cos cos sin sin= 1312cos()．∵ -1≤cos（α-β）≤1，∴ 1≤13-12cos（α-β）≤25，∴ 1≤1312cos()≤5，故选 B．7．在空间直角坐标系中，已知点P（ x， y， z），下列叙述中正确的个数是（）C①点 P 关于 x 轴对称点的坐标是P1（ x，﹣ y， z）；②点 P 关于 yOz 平面对称点的坐标是P2（x，﹣ y，﹣ z）；③点 P 关于 y 轴对称点的坐标是P3（ x，﹣ y， z）；④点 P 关于原点对称的点的坐标是P4（﹣ x，﹣ y，﹣ z）．A ． 3B ． 2C． 1 D ． 08．设 A （3,3,1）、 B（ 1,0,5）、 C（0,1,0），则 AB 中点 M 到 C 点的距离为（）CA ．B ．C． D ．9．点 B 是点 A （1， 2， 3）在坐标平面yOz 内的正投影，则|OB|等于（） BA ．B ．C． D ．10．已知 ABCD 为平行四边形，且 A （ 4，1，3），B（2，﹣ 5，1），C（ 3， 7，﹣ 5），则点 D 的坐标为（） DA ．（ 3.5， 4，﹣ 1）B．（ 2，3，1）C．（﹣3，1，5） D ．（5， 13，﹣ 3）11．已知点 A （ 1，﹣ 2，11）， B（ 4，2， 3）， C（ x，y， 15）三点共线，那么x， y 的值分别是（） CA．0.5，4B．1，8C． -0.5，﹣ 4D．﹣1，﹣ 812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（ A ）A ． B ．C． D ．二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13．点 P（1，2，3）关于 y 轴的对称点为P1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为 P2，则 |P1P2|= ____2 14【解答】解：∵点 P（ 1， 2， 3）关于 y 轴的对称点为 P1，所以 P1（ -1， 2， -3）， P 关于坐标平面 xOz 的对称点为 P2，所以 P2（ 1， -2， 3），∴|P1P2|= ( 1 1)2(2 2)2( 3 3)2 =2 14．故答案为： 2 1414．已知三角形的三个顶点为 A （2， -1，4）， B（ 3，2， -6）， C（ 5，0， 2），则 BC 边上的中线长为 _____________2 11【解答】解：∵ B （ 3， 2， -6）， C（ 5，0， 2），∴ BC 边上的中点坐标是D（ 4， 1， -2）∴ BC 边上的中线长为(42) 2(11) 2(24) 2=2 2，故答案为： 2 1122222215．已知 x，y，z 满足（ x-3）+（ y-4）+z=2，那么 x +y+z的最小值是 ____________27-10 2．【解答】解：由题意可得 P（ x， y， z），在以 M （ 3，4， 0）为球心， 2 为半径的球面上，x2+y 2+z2表示原点与点P 的距离的平方，显然当O， P，M 共线且 P 在 O， M 之间时， |OP|最小，此时 |OP|=|OM|- 2 =32 4 -2=5 2 ，所以|OP|2=27-10 2 ．故答案为：27-10 2 ．16. 已知点 A （﹣ 3，1， 4），则点 A 关于原点的对称点 B 的坐标为；AB 的长为．（ 3， -1， -4） 2三、解答题（共70 分）17．如图所示，过正方形ABCD 的中心 O 作 OP⊥平面 ABCD ，已知正方形的边长为2，OP=2，连接 AP、BP 、 CP、 DP， M、 N 分别是 AB 、 BC 的中点，以 O 为原点，射线OM 、ON 、 OP 分别为 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F 分别为 PA 、PB 的中点，求 A 、B 、 C、 D、 E、 F 的坐标．解：【解答】解：如图所示， B 点的坐标为（1， 1， 0），因为 A 点关于 x 轴对称，得 A （ 1，-1，0）， C 点与 B 点关于 y 轴对称，得 C（ -1，1，0）， D 与C 关于 x 轴对称，的 D （ -1， -1，0），又 P（ 0， 0，2）， E 为 AP 的中点， F 为 PB 的中点，由中点坐标公式可得E（0.5， -0.5， 1）， F（ 0.5， 0.5 ， 1）．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在 x 轴上求一点 P，使它与点 P0（ 4， 1，2）的距离为30 ；（2）在xOy平面内的直线x+y=1 上确定一点 M ，使它到点 N （6， 5， 1）的距离最小．解：【解答】解：（ 1）设点 P 的坐标是（ x， 0， 0），由题意 |P0P|= 30 ，即( x 4) 212 2 2= 30，∴（x-4）2=25．解得x=9或x=-1．∴点 P 坐标为（ 9， 0， 0）或（ -1，0， 0）．先设点 M （x ， 1-x ， 0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（ 2）设点 M （ x ， 1-x ， 0）则 |MN|=2(x 1) 2 51 ∴当 x=1 时， |MN|min=51 ．∴点 M的坐标为（ 1， 0， 0）时到点 N （ 6， 5，1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系 O-xyz 中点 A （ 1， 1，1），平面 α过点 A 且与直线 OA 垂直，动点 P （x ， y ，z ）是平面 α内的任一点．（ 1）求点 P 的坐标满足的条件；（ 2）求平面 α与坐标平面围成的几何体的体积．解： 【解答】 解：（ 1）因为 OA ⊥α，所以 OA ⊥ AP ，由勾股定理可得：|OA| 2+|AP|2=|OP|2，即 3+（ x-1） 2+（ y-1）2 +（ z-1）2 =x 2+y 2 +z 2，化简得： x+y+z=3 ．（ 2）设平面 α与 x 轴、 y 轴、 z 轴的点分别为 M 、N 、H ，则 M （3， 0， 0）、 N （0， 3， 0）、 H （ 0， 0， 3）．所以 |MN|=|NH|=|MH|=3 2 ，所以等边三角形 MNH 的面积为：3 /4 ×(3 2 )2 =9 3 /2 ．又 |OA|= 3 ，故三棱锥 0-MNH 的体积为：1×93 /2 × 3 =4.5．320．如图，已知正方体 ABCD ﹣A ′ B ′ C 的′棱D ′长为 a ， M 为 BD ′的中点，点 N 在 A ′ C 上′，且 |A ′ N|=3|NC ，′|试求 MN 的长．【解答】 解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为 a ，所以 B （ a ，a ，0）， A' （a ， 0， a ）， C'（ 0， a ， a ）， D'（ 0， 0， a ）．由于 M 为 BD' 的中点，取 A'C' 中点 O',所以 M （ a ， a ， a ）， O'（a，a 2 2 22 2从而 N 为 O'C' 的中点，故 N （ a，3， a ）．因为 |A'N|=3|NC'| ，所以 N 为 A'C' 的四等分 ,a ， a ）．根据空间两点距离公式，可得 |MN |＝44(aa ) 2(a3a ) 2 (aa ) 2＝ 6a2 4 2 42421．在空间直角坐标系中，已知 A （ 3，0， 1）和 B （ 1， 0，﹣ 3），试问 （ 1）在 y 轴上是否存在点 M ，满足 |MA|=|MB| ？（ 2）在 y 轴上是否存在点M ，使 △ MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．【解答】 解：（ 1）假设在 y 轴上存在点 M ，满足 |MA|=|MB| ．因 M 在 y 轴上，可设 M （ 0，y ， 0），由 |MA|=|MB| ，可得 32y 2 12 12 y 2 32 显然，此式对任意 y ∈ R 恒成立．这就是说 y 轴上所有点都满足关系|MA|=|MB| ．（ 2）假设在 y 轴上存在点 M ，使△ MAB 为等边三角形．由（ 1 ）可知， y 轴上任一点都有|MA|=|MB| ，所以只 |MA|=|AB| 就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|=(30)2(0y)2(10)2 ＝10 y2|AB |=(1 3)2(0 0)2(31) 2＝20 于是10y 2＝20 ，解得y＝± 10故 y 轴上存在点M 使△ MAB 等边， M 坐标为（ 0，10， 0），或（ 0， - 10，0）．空间直角坐标系优化训练1．已知点 ( － 1,2,7) ，则点A关于x轴对称点的坐标为 ()AA． ( － 1，－ 2，－ 7)B． ( － 1，－ 2,7)C． (1 ，－ 2，－ 7)D． (1,2 ，－ 7)2．点P( －2,0,3) 位于 ()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为()A． 1B． 2C． 3D． 44．点P( －3,2,1)关于Q(1,2，－3)的对称点M的坐标是________．5．在空间直角坐标系Oxyz中，点 P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为______，在平面xOy上的射影的坐标为______，在yOz平面上的射影的坐标为______．11．如图，在正方体ABCD－ A′ B′ C′ D′中，棱长为1， | BP| ＝3| BD′| ，则P点的坐标为 ()111222A． ( 3，3，3) B． ( 3，3，3)121221C．(，，) D．(，，)3333332．在空间直角坐标系中，(2,3,4) ， ( － 2,3 ，－ 4) 两点的位置关系是 ()P QA．关于x轴对称B．关于 yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．关于 y 轴对称3．已知空间直角坐标系中有一点M( x， y， z)满足 x>y>z，且 x＋ y＋ z＝0，则 M点的位置是 ()A．一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限B．一定在第Ⅷ卦限C．可能在第Ⅰ卦限D 4.在空间直角坐标系中，点．可能在P(1，2，xOz平面上3) ，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则 Q的坐标为()A．(0 ， 2，0)B．(0 ， 2， 3)C． (1,0， 3)D．(1，2， 0)5．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、 B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ ABC的重心坐标为 ()7B.7A. 6，，34，，223147C. 8，3，4D. 2，6，16．设z是任意实数，相应的点P(2,2， z)运动的轨迹是()A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球7．在xOy平面内有两点A(－2,4,0)， B(3,2,0)，则 AB的中点坐标是________．8．已知 ?ABCD的两个顶点A(2 ，－ 3，－ 5) ，B( － 1,3,2) 以及它的对角线交点E(4，－1,7)，则顶点 C的坐标为________， D的坐标为________．9．点P( a，b，c) 关于原点的对称点P′在 x 轴上的投影 A的坐标为________．10．在三棱锥S－ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，且SA＝AB＝AC＝a，D为BC的中点，E 为 SD的中点，建立适当的坐标系，求点S、 A、 B、C、 D、 E的坐标．11. 如图，在长方体－′′′′中，|| ＝1，|| ＝3，|′| ＝ 2，点E在OABCD A B C OA OC OD1线段 AO的延长线上，且| OE|＝2，写出 B′，C， E 的坐标．12.如图，有一个棱长为 1 的正方体ABCD— A1B1C1D1，以点 D 为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA， DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴， y 轴，z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz.一只小蚂蚁从点A出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．空间直角坐标系优化训练1．已知点A(－1,2,7)，则点A关于x轴对称点的坐标为()A． ( － 1，－ 2，－ 7)B． ( － 1，－ 2,7)C． (1 ，－ 2，－ 7)D． (1,2，－ 7)答案：A2．点P(－2,0,3)位于 ()A．y轴上C．xOz平面内B．z轴上D．yOz平面内解析：选 C.由点P纵坐标为零知P(－2,0,3)，在xOz平面内．3．如图所示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为()A． 1B． 2C． 3D． 4答案：C4．点P(－3,2,1)关于Q(1,2，－ 3) 的对称点M的坐标是________．x－32＋y1＋z解析：设M坐标为( x，y，z) ，则有1＝2， 2＝2，－ 3＝2，解得x＝5， y＝2，z＝－7∴ M(5,2，－7)．答案： (5,2 ，－ 7)5．在空间直角坐标系Oxyz中，点 P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为上的射影的坐标为______，在yOz平面上的射影的坐标为______．答案： (2,0,0)(2,3,0)(0,3,4)______，在平面xOy11．如图，在正方体ABCD－ A′ B′ C′ D′中，棱长为1， | BP| ＝3| BD′| ，则P点的坐标为 ()A ． ( 1， 1，1 )3 3 3 B ． ( 2， 2，2 )3 3 3 C ． ( 1， 2，1 )3 3 32 2 1D ． ( 3， 3，3)解析：选 D. 连接，点 P 在 xDy 平面的射影落在 上，∵ || ＝ 1 | ′| ，∴ ＝BDBDBP 3 BD Px Py21 2 2 1＝ 3， Pz ＝ 3，故 P ( 3， 3，3) ．2．在空间直角坐标系中， P (2,3,4) ，Q ( － 2,3 ，－ 4) 两点的位置关系是 ()A ．关于 x 轴对称B ．关于 yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．关于 y 轴对称解析：选 D.由 P 、 Q 两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标分别互为相反数知P 、 Q 关于 y轴对称．3．已知空间直角坐标系中有一点 M ( x ， y ， z ) 满足 x >y >z ，且 x ＋ y ＋ z ＝ 0，则 M 点的位置是( )A ．一定在第Ⅴ或第Ⅷ卦限B ．一定在第Ⅷ卦限C ．可能在第Ⅰ卦限D ．可能在 xOz 平面上 解析：选 D. 由 > > 且 x ＋ ＋ ＝0 知， x >0， <0， ∈R ，故点 M 可能在第Ⅴ、第Ⅷ卦x y z y z z y限或在 xOz 平面上．故选 D.4. 在空间直角坐标系中，点 (1 ， 2， 3) ，过点 P 作平面 xOy 的垂线 ，垂足为 ，PPQ Q则 Q 的坐标为 ()A ．(0 ， 2， 0)B ．(0 ， 2， 3)C ． (1,0 ， 3)D ．(1 ， 2， 0)解析：选 D.由 P 、 Q 两点的横坐标、纵坐标相等知．5．已知△ ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,3,1) 、B (4,1 ，－ 2) 、C (6,3,7) ，则△ ABC的重心坐标为 ( )A. 6，7，3B. 4， 7，22 3 147 C. 8，3，4 D. 2， 6，1答案： B6．设 z 是任意实数，相应的点 P (2,2， z ) 运动的轨迹是 ()A ．一个平面B ．一条直线C ．一个圆D ．一个球解析：选 B. 由 P 的 x 、y 坐标是定值，则过 (2,2,0) 作与 xOy 平面垂直的直线，直线上任意一点都满足 x ＝ 2， y ＝2，故 P 的轨迹是一条直线．7．在 xOy 平面内有两点 ( －2,4,0) ， (3,2,0) ，则 的中点坐标是 ________．A BAB解析：设 AB 中点坐标为 ( x ，y ， z ) ，3－2 1 则 x ＝ 2 ＝ 2， 4＋ 2y ＝2 ＝3， z ＝ 0∴中点坐标为 (1， 3,0) ．21答案： ( 2， 3,0)8．已知 ?ABCD 的两个顶点 A (2 ，－ 3，－ 5) ，B ( － 1,3,2)以及它的对角线交点 E (4 ，－ 1,7) ，则顶点 C 的坐标为 ________， D 的坐标为 ________．解析： E 为 AC 、 BD 的中点．答案： (6,1,19) (9 ，－ 5,12)9．点 ( ， ， ) 关于原点的对称点′在x 轴上的投影A 的坐标为 ________．P a bcP解析：由题意得 P ′( － a ，－ b ，－ c ) ，∴ P ′( － a ，－ b ，－ c ) 在 x 轴上的投影 A 坐标为 ( － a, 0,0) ． 答案： ( － a, 0,0)10．在三棱锥 S － ABC 中，SA ⊥ AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥ AC ，且 SA ＝ AB ＝AC ＝ a ，D 为 BC 的中点，E 为 SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S 、 A 、 B 、C 、 D 、 E 的坐标．解：∵在三棱锥S －ABC 中， SA ⊥ AB ，SA ⊥ AC ，AB ⊥ AC ，∴以点 A 为坐标原点， AB 、 AC 、 AS 所在直线分别为 x 轴， y 轴和 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，∵ SA ＝ AB ＝AC ＝ a ，D 为 BC 的中点，a a∴ A (0,0,0) ， B ( a, 0,0) ， C (0 ， a, 0) ，S (0,0 ， a ) ， D ( 2，2， 0) ，连接 AD ， ∵ SA ⊥ AB ，SA ⊥ AC ，AB ∩ AC ＝ A ，∴ SA ⊥平面 ABC ，过点 E 作 EF ⊥ AD ，垂足为 F ，则 EF ⊥平面 ABC .∵ E 为 SD 的中点，∴ F 为 AD 的中点，1 a a a∴ |EF |＝ |AS |，∴E ( ，， )， 2442a aa aa即点S (0,0， a ) ， A (0,0,0)，B ( a, 0,0)， C (0 ， a, 0) ， D ( 2， 2， 0) ，E ( 4， 4， 2) ．11. 如图，在长方体 OABC － D ′ A ′ B ′ C ′中， | OA | ＝ 1， | OC |＝ 3， | OD ′| ＝ 2，点 E 在1线段 AO 的延长线上，且 | OE | ＝ 2，写出 B ′， C ， E 的坐标．解：点 C在 y 轴上， x 坐标， z 坐标均为0，且| OC|＝3，故点 C的坐标为(0,3,0)．因为 B′ B垂直于 xOy平面，垂足为 B，所以点 B′与 B的 x 坐标和 y 坐标都相同，又| BB′|＝ | OD′| ＝ 2，且点B′在xOy平面的上方，所以点B′的坐标为 (1,3,2) ．点E在x轴负半轴1上，且 | OE| ＝2，1所以点 E 的坐标为(－2，0,0)．12.如图，有一个棱长为 1 的正方体ABCD—A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC， DD1的方向为正方向，以线段DA， DC， DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x 轴， y 轴，z 轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz.一只小蚂蚁从点 A 出发，不返回地沿着棱爬行了 2 个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．解：小蚂蚁沿着A－ B－C或 A－ B－ B1或 A－ D－ C或 A－D－ D1或 A－A1－ B1或 A－ A1－D1任一条路线爬行，其终点为点与 z 坐标均为0，所以点面上的射影是B，点 B在C或 B1或 D1.点 C在 y 轴上，且 DC＝1，则其 y 坐标为1， x 坐标C的坐标是(0,1,0)；同理可知D1的坐标是(0,0,1)；点B1在xOy平xOy平面上的坐标是(1,1) ，且 | B1B| ＝ 1，则其z坐标为 1，所以点B1的坐标是(1,1,1)．。