北京大学自主招生数学试题

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初中数学北大自主招生试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3.5B. -2.3C. -1.8D. -1.62. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）3. 下列方程中，解集为空集的是（）A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 5 = 04. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S10 = 50，则数列的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(-1)的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则a10 = ________。

7. 在直角坐标系中，点P（-3，2）到直线2x - 3y + 6 = 0的距离是 ________。

8. 函数f(x) = x^3 - 3x在x = 0处的导数是 ________。

9. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 3，则S5 = ________。

10. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，∠C = 75°，则cosA + cosB + cosC = ________。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 3，f(2) = 7，f(3) = 11，求a、b、c的值。

12. （10分）已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，公差d = 3，求前n项和Sn的表达式。

13. （10分）在直角坐标系中，已知点A（2，3）和B（-3，-2），求直线AB的方程。

14. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值。

北京大学自主招生数学试题及答案

所有球队总得分为 =210
南方球队总得分为 =189
北方球队总得分为 =21
南方球队内部比赛总得分 =105
北方球队内部比赛总得分 =15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
因为11×15=165<189
所以南方球队中至少有一支得分超过11分．
冠军在南方球队中
当x=8时
所有球队总得分为 =300
4 排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）
解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队总得分为
南方球队总得分为
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分
北方球队内部比赛总得分
解得：
因为为整数
x=6或x=8
当x=6时
南方球队总得分为 =270
北方球队总得分为 =30
南方球队内部比赛总得分 =136
北方球队内部比赛总得分 =28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
因为9×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9分．
冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
5 （理科）O-XYZ坐标系内xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体在点(1,0,1)设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π，求C上未被照到的长度。
北京大学自主招生数学试题及答案
1 求证：边长为1的正五边形对角线长为
略解：三角形ABE∽三角形DAE，则：
2．已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1，

北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案

北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案北京大学2024年强基计划招生考试数学试题及参考答案引言：北京大学作为国内一流的高等学府，一直致力于选拔具有学术潜力和创新精神的优秀人才。

为了全面考查学生的数学素养和解决问题的能力，北京大学2024年强基计划招生考试数学试题难度适中，紧扣考试大纲，注重基础知识的掌握和综合运用。

本文将结合参考答案，深入剖析试题特点及解题技巧，为广大考生提供有益的备考启示。

试题特点及解题技巧：1、基础知识考查：试题中涉及到的知识点包括函数、数列、几何、概率与统计、微积分等，考查学生对数学基础知识的掌握程度。

针对这部分内容，考生需要在平时的学习中认真理解概念，熟练运用公式，注重知识点的巩固和拓展。

2、综合能力考查：试题在基础知识的基础上，注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。

例如，解答题中的函数与几何结合的问题，需要考生通过分析题意，挖掘几何与函数的联系，综合运用所学知识解决问题。

3、解题技巧：选择题和填空题在解题方法上可以采用逆推法、特殊值法、排除法等技巧，以简化计算，节省时间。

解答题则要求考生在掌握知识点的基础上，灵活运用各种解题方法，如分析法、综合法、反证法等。

备考建议：1、夯实基础：考生要在掌握基本概念、公式的基础上，注重知识体系的建立，将各个知识点串联起来，形成完整的知识框架。

2、提升综合能力：在备考过程中，要有意识地培养自己的数学思维能力和实际应用能力，注重知识的迁移和运用。

3、解题技巧训练：通过大量练习，熟练掌握各种解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。

4、模拟测试：在备考阶段，要进行模拟测试，模拟真实考试环境，提高应试能力和心理素质。

总之，北京大学2024年强基计划招生考试数学试题注重基础知识的掌握和综合运用，要求考生在备考过程中全面复习、查漏补缺，不断提高解题能力和思维能力。

希望本文的解析能为广大考生提供有益的参考和启示，祝愿大家在考试中取得优异的成绩！。

2023年北京大学自主招生考试数学试题及答案详解

北京大学 2023 年优秀中学生寒假学堂数学试题说明：本试题为考生回忆版，共 20 题，每题 5 分，考试时间 60 分钟。

1．设复数,,a b c 满足2223330,3a b c a b c a b c ++=++=++=，则202320232023a b c ++的值为A ．0B ．3C ．2023D ．其它三个答案都不对2．方程组2223334,6,10x y z x y z x y z ++=++=++=的解的个数为A ．0B ．3C ．6D ．其它三个答案都不对3．设三角形ABC 的三个顶点为复平面上的三点123,,z z z ，满足1231231223310,82i,1510i z z z z z z z z z z z z =++=+++=+，则三角形ABC 内心的复数坐标z 的虚部所在区间为A ．(0.0,5) C ．(1,2)B ．(0,0.5)D ．其它三个答案都不对4．若P 是三角形ABC 的外心，0,120PA PB BC C λ++==︒∠，则实数λ的值为B ．其它三个答案都不对2A ． -1C ． −3D ．12-5．在四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成60︒的二面角，顶点A 在BCD 的投影H 是三角形BCD 的垂心，G 是三角形ABC 的重心，若4,AH AB AC ==，则GH 的长度是ABC ．其它三个答案都不对D6．过单位正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 做截面，则截面面积的最小值为A．3B．4C ．其它三个答案都不对D ．627．已知直线l 与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>两支分别交于点,P Q ，O 为原点，若OP OQ ⊥，则O 到直线l 的距离为A ．abb a-B ．2ab b a -C ．其它三个答案都不对D8．在三角形ABC 中，444222,,,2(),72AB c AC b BC a a b c c a b A ===++=+∠=︒，则B ∠=A ．其它三个答案都不对B ．63︒C ．45︒D ．60︒9．设222121011133520212023S =+++⋅⋅⋅ ，则[]S 的值为A ．251B ．252C ．其它三个答案都不对D ．25310．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点1F 做倾角为60︒的直线l 交椭圆与,A B 两点，若2AF BF =，则椭圆的离心率为A ．34B ．23C ．其它三个答案都不对D ．1211．以一个正方体的顶点为顶点构成的棱锥的个数为A ．其它三个答案都不对B ．104C ．106D ．10812．已知函数:f →R R 的图像关于点3(,0)4-中心对称且3()(),(1)1,(0)22f x f x f f =-+-==-，则(1)(2)(2022)f f f +++ 的值为A ．其它三个答案都不对B ．6-C ．6D ．013．已知数列{}n a 满足12111,1,,2n n n a a a a a n +-===+≥，则2020202320212022a a a a ⋅-⋅的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．其它三个答案都不对14．对于任意的实数z ，方程组22,231,x ay z xy z z +=⎧⎨=++⎩有实数解(,)x y ，则参数a 的变化范围是A ．[4,0)-B ．[2,2)-C ．其它三个答案都不对D ．[0,4)15．以一个给定正2022边形的4个顶点为顶点的梯形称为好梯形，好梯形的个数为A ．100910101011⋅⋅B ．100810091010⋅⋅C ．100010111012⋅⋅D ．其它三个答案都不对16．已知圆内接四边形的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 的面积为A．B．C．D ．其它三个答案都不对17．设π,(0,)2x y ∈，则222211cos sin sin cos x x y y+的最小值为A ．8B ．10C ．9D ．其它三个答案都不对18.设=2023,x y =20232023，且y nn n=a x ,x n=b y ，则（）A.∃N ∈ n ∀n >,N a n <b ,n +a b n <∀n > ∀∈n ,n a b C. ++，使得nB.D. 其它三个选项<均不对19.数列{a }n 满足a 012=1,=2,a a =6且+32+1=7n n n n a a a a +5++，记k =(2023)!，则a k −1模） B.13179的余数为（ A.166C.1D.其它三个选项均不对20.有六件货物，其中两件为次品，其余四件合格，每次从中抽取一件检验后不放回，求恰好需要四次检验就能确定出次品的概率.2023年北京大学优秀中学生寒假学堂数学测试题答案1.解：因为2222()2220a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=+++++⇒++=且3332223()()=1a b c abc a b c a b c ab bc ca abc ++-=++++---⇒从而我们有=001a b c ab bc ca abc ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩由韦达定理知,,a b c 是方程310x -=的三个根.由于20231(mod 3)≡，所以202320232023=0a b c a b c ++++=故选择A .2.解：类似于上题，我们可以得到=452x y z xy yx zx xyz ++⎧⎪++=⎨⎪=⎩从而,,x y z 是方程324520t t t -+-=的三个根，注意到322452(1)(2)t t t t t -+-=--从而,,x y z 是1,1,2的一个排列，即原方程组的解有3组，故选择B .3.解：不失一般性，设10z =，则1212+=8+21510z z i z z i=+，从而有23=532z z i=+，不妨设23,z z 对应的点为A 和B ，内心为I ，从而有5,13,8OA OB AB ===且3Im()()OA z OA AB OB r ⋅=++⋅所以105138r =++于是我们有510100.5165169594r <=<<=++++从而选择B 4.解：设AB 的中点为D ，则2PA PB PD +=.由0PA PB PC λ++=，有20PD PC λ+= 所以向量,PD PC共线，又P 是ABC ∆外心，故PA PB PD AB =⇒⊥，从而CD AB ⊥，因为120ACB ∠=，所以120APB ∠=，即四边形APBC 是棱形，于是2PA PB PD PC+== 所以20PD PC PC PC λλ+=+= 所以1λ=-，故选择A .5.设平面AHD 交BC 于F ，则BC DF ⊥，从而BC ADF ⊥面，于是BC AF ⊥，这说明AFH ∠为平面ABC 与平面BCD 成的二面角，即60AFH ∠=.在ABC ∆中，由AB AC =可知BF CF =，从而G 在AF 上且13GF AF =.在直角三角形AHF 中，4AF =，所以FH AF GF ===.在GFH ∆中，由余弦定理可得2221122cos 27GH GF FH GH HF AFH =+-⋅∠=从而9GH ==，故选择B6.解：由对称性，我们只需要考虑截面与面1AD 的交线交线段1AA 于E 的情形.注意到截面面积1112BD A BED F S S S BD d ∆===⋅=四边形其中d 为点E 到线段1BD 的距离.要使得截面面积S 最小，只需要考虑1AA 上的点到1BD 的距离d 最小.取E 为1AA 的中点，易得1OE BD ⊥，且1OE AA ⊥，此时d OE =为异面直线1AA 到1BD 的距离，为d 的最小值且min 122d EF ==.于是截面面积min min 2622S ===故选择D .7.解：不妨设OP m OQ n ==，且POx θ∠=。

北大数学单招试题答案详解

北大数学单招试题答案详解【试题一】题目：证明对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

答案详解：首先，我们考虑等式左侧的求和公式，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\cdots + n^2 \)。

我们可以通过数学归纳法来证明这个等式。

基础步骤：当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。

归纳步骤：假设对于某个正整数\( k \)，等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)。

现在我们需要证明当\( n = k + 1 \)时，等式仍然成立。

将\( k + 1 \)代入等式左侧，我们得到：\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 \)。

根据归纳假设，我们可以将前\( k \)项的和替换为\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)，所以：\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 \)。

将\( (k+1)^2 \)展开并合并同类项，我们得到：\( \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} =\frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} \)。

进一步化简，我们得到：\( \frac{k(k+1)(2k+1) + 6k^2 + 12k + 6}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} \)。

最后，我们可以将分子中的\( 2k^2 + 7k + 6 \)重写为\( 2(k+1)^2 + 1 \)，得到：\( \frac{(k+1)(2(k+1)^2 + 1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} \)。

2019北京大自主招生考试数学(网传试题与解析)

综上可知 x 2ab ab
法二：
2
2
考虑到
x2
2ax a2
x2
2bx b2 =
x
2 2
a

a2
2
x
2 2
b

b2 可视为 2
点
P

x,
0
到点
A

2 a, 2
2 2
a

与点
B

2 b, 2
2 2
b ຫໍສະໝຸດ 的距离之和.显然 OA a, OB b ， AB a2 b2
A
显然有 PA PB AB ，结合题意，故 PA PB = AB
即 P 在 AB 上。
2a 2b
2a
由 kPA kPB 可得
2 2 a
2 2b
2 2 ax
22
2
O
P‘
P
B
求得 x 2ab ab
2. 复数 z1, z2 满足 z1 3i 2, z2 8 1 ，则由复数 z1 z2 所确定区域的面积是
解析：考虑到 z1 3i z2 8 z1 z2 3i 8 z1 3i z2 8
即1 z1 z2 3i 8 3
5+
2
5 + 5
5 2 62 3 1 2sin2 sin
2 5+ 5 5 5
5
1 5
故 IP 1 5 sin
8.已知数列an 满足： ak1 ak 4k 3k 1, 2, ，求 a2 a2020
解析：
a2 a1 a3 a2 a4 a3 a2019 a2018 a2020 a2019 a1 a2020 41009+4 2019+3=4043

北京大学自主招生北大自招数学2018+解析

2018年北京大学自主招生数学试卷选择题共20小题：在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 把实数2018)335(+=a 写成十进制小数，则a 的十分位、百分位和千分位上数字之和等于（ C ） A.0 B. 9 C. 27 D. 前三个答案都不对解答：记2018(5b =−，容易知道b 是一个很小的正数，进一步，0.00001b <.由二项式展开，容易知道20182018*(5(5a b N +=++−∈，从而a 是一个正整数减去一个很小的正数，从而a 的十分位、百分位和千分位上数字都是9. 答案C.2. 已知b a ≠，1)()(22=+=+c a b c b a ，则abc b a c −+)(2的值为（ A ）A. 2B. 1C. 0D. 前三个答案都不对解法一：由22()()()()()0()()0a b c b a c ab a b c a b a b a b ab bc ca +=+⇒−+−+=⇒−++=，又a b ≠，所以0ab bc ca ++=，2()1()1()11a b c a ab ca a bc abc ∴+=⇔+=⇔−=⇒=−，2()()()22c a b abc c ca cb abc c ab abc abc ∴+−=+−=−−=−=。

解法二:记()21ab c +=……①，()21b a c +=……②，①-②有()()()()2200ab a b c a b a b ab c a b −+−=⇔−++=⎡⎤⎣⎦，由b a ≠，()()0ab c a b ab c a b ++=⇔=−+，从而原式=22()2c a b abc +=−.另一方面，由21b c a +=……③，21a c b+=……④，④-③有 222211a b a b a b b a −=−⇒=+，与()ab c a b =−+比较可知道11c abc ab=−⇒=−，从而原式=22()22c a b abc +=−=. 答案A. 3. 设1,0≠>a a ，函数14)(2−−=x xa ax f 在区间[-1,2]上的最小值为-5，则a 的取值范围是（ C ）A. 221≥=a a 或 B. 210≥<<a a 或 C .2210≥<<a a 或 D. 前三个答案都不对解答：()22()4125x x x f x a a a =−−=−−，则()22xa −在[]1,2x ∈−时的最小值为0，即当[]1,2x ∈−时，xa 的取值范围包含2，根据指数函数的单调性，有()()(21220210a a a a a a ⎛⎫−−≤⇔−≥ ⎪⎝⎭，考虑到0a >，可得2210≥<<a a 或. 答案C. 4. 设n S 为一等差数列的前n 项和，已知2501510==S S ，，则n nS 的最小值是（ D ）A. -25B. -36C. -48D. 前三个答案都不对解答：由等差数列常用性质：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且10010S =，155153S =，可知()1103n S n n =−，则 ()21110(202)36n nS n n n n n =−=−⋅⋅−，根据均值不等式可知7n =时，n nS 有最小值-49. 答案D.5. 以梯形ABCD 的下底BC 上一点为圆心做半圆，此半圆与这个梯形的上底AD 和两腰AB 、CD 都相切，则 |AB|+|CD|-|BC|的值（ D ）A. 为正B. 为负C. 可正可负D. 前三个答案都不对解答：当ABCD 特别接近矩形时，12AB CD BC r ===，可知|AB|+|CD|-|BC|无限趋近于0；事实上，当ABCD 四点共圆的时候，可以证明|AB|+|CD|-|BC|=0（1985年IMO 几何问题）；另一方面，当A,D 重合，也就是ABCD 退化成一个三角形时，明显有|AB|+|CD|-|BC|大于零.从而|AB|+|CD|-|BC|的值可零可正. 答案D.6. 在ABC ∆中，0tan tan tan >++C B A 是ABC ∆为锐角三角形的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 前三个答案都不对解答：根据三角形中的常用恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，可知tan ,tan ,tan 0A B C >，从而ABC ∆为锐角三角形，反之亦然. 答案C.7. 满足对任意实数a ，b 都有)()()(b f a f b a f +=+和)()()(b f a f ab f =的实函数)(x f 的个数是（ B ）A. 1B. 2C.无穷多D. 前三个答案都不对解答：容易猜测满足题意的实函数)(x f 只有两个：()f x x =或()0f x =. 事实上，有柯西方程可知()f x kx =（这样说并不严谨，只有证明了()f x 单调性或者连续性之后才能严谨地证明()f x kx =，事实上，不难借助两个条件方程证明：当()f x 不恒等于零时，其一定是单调递增的），代入()()()f x x f x f x ⋅=⋅ 有2k k = ，从而0,1k =. 答案B.8. 设函数t t t f 2)(2+=，则点集{})()(2)()(|),(y f x f y f x f y x ≥≤+且所构成的图形的面积是（ B ）A. 4πB. 2πC. πD. 前三个答案都不对解答：平面区域问题()()()()22222222114f x f y x x y y x y +≤⇔+++≤⇔+++≤；()()()()222220f x f y x x y y x y x y ≥⇔+≥+⇔−++≥；如图，画出平面区域后可知，满足两个不等式的区域是两个圆心角为90的扇形，并且扇形半径为2.所以区域面积为2π. 答案B.9. 不等式122>+yx 且3,3≥≥y x 的正整数解),(y x 的个数是（ D ） A. 3B. 4C. 6D. 前三个答案都不对解答：本质上是不定方程问题:()()()22120224xy x y x y x y+>⇒−+<⇒−−<, 所以()()()()()()2,21,1,1,2,2,1,1,3,3,1x y −−=，所以正整数解),(y x 的个数是5. 答案D. 10. 设数列{}1≥n a n 的首项20191=a ，前n 项和n S =n a n 2，则2018a 的值为（ C ）A.20191B.20181 C. 10091D. 前三个答案都不对解答：n S =n a n 2，1n S +=()211n n a ++，作差可得()()22111112n n n n n n n a S S n a n a n a na ++++=−=+−⇒+=，()()()111211222019n n n n a n n a a +⇒++=+==⋅⋅=⋅，所以2018220191.201820191009a ⋅==⋅ 答案C.11. 在ABC ∆中，AB=13，AC=15，BC=14，AD 为边BC 上的高，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为（ D ）A. 2B. 3C. 5D. 前三个答案都不对解答：根据AD 垂直BC 于D,且AB=13，AC=15，BC=14，容易根据勾股数的性质求得：BD=5，CD=9，AD=12，则三角形ABD 的内切圆半径为5121322+−=，三角形ACD 的内切圆半径为1291532+−=，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为d ==答案D.12. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，满足3cos cos c A b B a =−，则BAtan tan 等于（ A ） A. 2B. 1C.21D. 前三个答案都不对解答：根据正弦定理 ()11sin cos sin cos sin sin 33A B B A C A B −==+展开可得，24tan sin cos sin cos 233tan AA B B A B=⇒=. 13. 设实数y x ,满足1422=+y x ，则1243−+y x 的取值范围为（ B ）A. [)+∞,0B. []13212132-12+， C. []13212,0+ D. 前三个答案都不对解答：记()(),2cos ,sin x y θθ=，则()34126cos 4sin 121212x y θθθϕ⎡+−=+−=+−∈−+⎣，答案B.14. 过椭圆14922=+y x 上一点M 做圆222=+y x 的两条切线，过切点的直线与坐标轴交于Q P ,两点，O为坐标原点，则POQ ∆面积的最小值为（ B ）A.21 B.32 C.43 D. 前三个答案都不对解答：记()220000,,194x y M x y +=，则由切点弦的性质00:2PQ x x y y +=，则00220,,,0P Q y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，000012222POQS x y x y ∆==，另一方面2200001943x y x y =+≥=，所有0022.3POQ S x y ∆=≤ 答案B.15. 设正实数b a ,满足1=+b a ，则3271ba +的最小值为（ A ） A.2131347+ B. 2131555+ C. 218D. 前三个答案都不对解答：记1a b =−，3127,1u b b =+− 则()241811du db b b =−−，令()2418101du db bb =−=−，根据 10,0a b b =−>>，则()29912b b b −+=−⇒=（舍负），代入可得3271ba +的最小值为 2131347+. 答案A.16. 在正方体1111D C B A ABCD −中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足M DD A DD 11∠=∠,则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（ A ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线一支的一部分D. 前三个答案都不对解答：1145DD M DD A ∠=∠=，从而1DM DD =，答案A.17. 已知21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是椭圆与双曲线的一个交点，且321π=∠PF F ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ D ）A. 32B. 3C.331D. 前三个答案都不对解答：设椭圆和双曲线的短半轴（虚半轴）分别为12,b b ，则由常用面积结论：122212tancot33F PF S b b ππ∆==，于是22213b b =，记两曲线的半焦距为c ，则两条曲线的离心率的倒数之和1211e e +==12111e e +=≤= 答案D.18. 设三个实数c b a ,,组成等比数列，c b a c 320+≤>且，则实数acb 2−的取值范围是（ B ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞161-，B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞81-， D. 前三个答案都不对解答：由2,0b ac c =>，可知0a > ，则()()223231233110b ca b c q q q q a a≤+⇒≤+=+⇒−+≥，所以13q ≥或1q ≤− . 进一步， 222max2111111222483489b c q q q a −⎛⎫⎛⎫=−=−−+=−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以实数a c b 2−的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，. 答案B. 19. 设实函数0,)(2≠++=a c bx ax x f ，定义)2))((()(),()(11≥==−n x f f x f x f x f n n ，已知方程x x f =)(1无实根，则方程x x f =)(2018的实根个数是（ A ）A. 0B. 2018C. 4036D. 前三个答案都不对解答：方程x x f =)(1无实根，则1()f x x >恒成立或1()f x x <恒成立，进而()11()()f f x f x x >>或()11()()f f x f x x <<恒成立，依次类推，()20172017()()f f x f x x >>>或()20172017()()f f x f x x <<<恒成立，从而方程x x f =)(2018没有实根. 答案A.20. 三棱锥ABC P −中，底面ABC 是以A ∠为直角的直角三角形，PA 垂直于底面ABC ，且AC AB PA +=，则三个角CPA BPC APB ∠∠∠与,的和是（ C ）A. 60°B. 75°C. 90°D. 前三个答案都不对解答：记,,APB BPC CPA αγβ∠=∠=∠=，则tan tan 1αβ+=；所以()sin cos sin cos 1sin cos cos cos cos αββααβαβαβ+=⇒+=，另一方面，对二面角B PA C −−用二面角余弦定理可知，cos cos cos cos 0sin sin 2λαβπαβ−==，从而cos cos cos λαβ=，所以()sin cos αβγ+=，又因为,,αβγ都是锐角，所以2παβγ+=−，所以答案C.。

北京大学2024年强基计划笔试数学试题

北京大学2024年强基计划笔试数学试题考试时间 2024年6月30日上午9：00-11：00以下为理科数学试题，共20题.2024ii=1模 7 的余数.1. 求∑�19ii20�2. 求sin36∘−sin3114∘+sin3126∘ .3. 求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78 .4. 已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… ,求第 2024 项模 5 的余数.5. 求四元组(aa1,aa2,aa3,aa4)的个数,使得aa ii∈{1,2,3} ,且10<aa1aa2aa3aa4< 20.6. 求(0,2ππ]上方程2cosxx=sin xx的解的个数.7. 求ℝ上方程xx�ee xx4−1−1�+(xx−1)(xx4−1)=0的解的个数.8. 求ℝ上方程xx2−13[xx]+11=0的解的个数.9. 在体积为 1 的正方体内取一个点, 过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为 8 个长方体,求这些小长方体中体积不大于18的长方体个数的最小值.10. 在离心率为√32的椭圆中, FF1,FF2是两个焦点, PP是椭圆上一点,且∠FF1PPFF2=ππ3,|PPFF1|−|PPFF2|=3 ,求SS△PPFF1FF2 .11. 用SS(nn)表示正整数nn的数码和,求满足SS(nn+1)与SS(nn)均为 5 的倍数的nn的最小值.112. 称正整数nn为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数mm满足�nn10mm�>0 ,都有�nn10mm�∣nn ,求最大的好数的范围. (选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000) .)13. 在△AAAAAA中,求cos AA cos AA cos AA的最小值.14. 在△AAAAAA中,若AAAA边上的高为13aa ,求(bb+cc)2bbcc的范围.15. 在△AAAAAA中,若aa=2,bb=√2,cc=2√2,DD在AAAA上,比较AADD2与2DDAA×DDAA的大小.16. 在△AAAAAA中,若OO为形外一点,满足∠AAOOAA=2∠AAAAAA ,线段OOAA与线段OOAA交于DD ,且OOAA=OOAA=3,OODD=2 ,求AADD×AADD .17. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,△AADDAA的内心与△AAAAAA的外心重合,求∠AA .18. 在△AAAAAA中,若DD在AAAA上, AADD平分∠AAAAAA,AAAA=AADD=3,AADD= 2 , 求△AAAAAA的周长.19. 在△AAAAAA中,求2sin AA+sin AA+sin AA的最小值.20.aa1=√2, aa nn+1=[aa nn]+1{aa nn} ,求∑aa kk2024kk=1 .2北京大学2024年强基计划笔试数学试题解析345678。

北大自主招生试题整理(舒展)

北大自主招生试题整理(2008--2012)2012北大自主招生数学试题(理科)1.求x 的取值范围,使得()21f x x x x =+++-是增函数.2.求1162271021x x x x +-+++-+=的实数根的个数.3.已知22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成首项为14的等差数列,求m n -. 4.如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ,求O 到三角形三边的距离之比.5.已知点(2,0),(2,0)A B -,若点C 是圆2220x x y -+=上的动点,求ABC ∆面积的最小值.6.在1,2,,2012 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？7.求使得sin 4sin 2sin sin 3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a .8.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.9.求证:对于任意的正整数n ,(12)n +都可以表示成1s s +-的形式,其中s N +∈. 2011北大自主招生数学试题(文科)1.已知平行四边形的两边长分别为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线长.2.求过抛物线2221y x x =--与2523y x x =-++的交点的直线方程.3.在等差数列{}n a 中,313a =-,73a =,n S 为其前n 项和,问数列{}n S 的哪一项最小？并求出最小项值.4.在ABC ∆中,若2a b c +≥,证明:60C ≤︒.5.是否存在四个正实数,使得两两之积分别为2,3,5,6,10,16？2010北大自主招生数学试题(文科)1.已知02απ<<,求证:sin tan ααα<<.（25分） 2.已知,A B 是边长为1的正五边形边上的点.证明:AB 最长为512+.（25分） 3.已知,A B 为21y x =-上在y 轴两侧的点,求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值.（25分）4.已知向量OA 与OB 夹角为θ,1OA =,2OB =,(1)OP t OA =-,OQ tOB =,01t ≤≤.PQ 在0t 时取得最小值,问当0105t <<时,夹角θ的取值范围.（25分） 2010北大自主招生数学试题(理科)1.已知,A B 是边长为1的正五边形边上的点.证明:AB 最长为512+.（25分） 2.已知,A B 为21y x =-上在y 轴两侧的点,求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值.（25分）3.已知向量OA 与OB 夹角为θ,1OA =,2OB =,(1)OP t OA =-,OQ tOB =,01t ≤≤.PQ 在0t 时取得最小值,问当0105t <<时,夹角θ的取值范围.（25分） 4.是否存在02x π<<,使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列？（25分） 2009北大自主招生数学试题(理科)1.已知在圆内接四边形ABCD 中,1,2,3,4AB BC CD DA ====,求圆的半径.2.已知一无穷等差数列中有三项13,25,41,求证:2009为此数列中一项.3.是否存在实数x 使tan 3x +与cot 3x +均为有理数？4.已知对任意x 均有cos cos 21a x b x +≥-恒成立,求a b +的最大值.5.某次考试共有333名学生做对了1000道题.做对三道及以下为不及格,六道及以上为优秀,问不及格和优秀的人数哪个多？2008北大自主招生数学试题(理科) 1.求证:边长为1的正五边形对角线长为512+.2.已知六边形111AC BACB 中,11AC AB =,11BC BA =,11CA CB =,111A B C A B C ∠+∠+∠=∠+∠+∠.求证:ABC ∆面积是六边形111AC BACB 的一半.3.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a b b b b b b ++=++,且123{,,}min a a a 123{,,}min b b b ≤,求证:123{,,}max a a a 123{,,}max b b b ≤.4.排球单循坏赛,南方球队比北方球队多九支南方球队总得分是北方球队的九倍,求证:冠军是一支南方球队(胜得1分,败得0分).5.(理科)在空间直角坐标系内xoy 平面系内,平面区域202y x ≤≤-绕y 轴旋转一周构成一个不透光的几何体.在点(1,0,1)处设置一光源,在xoy 平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π,求圆C 上未被照到的长度.。

2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案

2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。

5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。

．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。

10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。

北大初中自主招生数学试卷

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个数是整数？A. √4B. √9C. √16D. √252. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，它的周长是多少？A. 18cmB. 20cmC. 24cmD. 28cm3. 下列哪个数是负数？A. 2B. -3C. 5D. 04. 小明有5个苹果，小红有7个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 12B. 15C. 20D. 225. 下列哪个图形是正方形？A. 矩形B. 菱形C. 三角形D. 圆形二、填空题（每题5分，共25分）6. 2的平方根是______。

7. 下列数中，最小的数是______。

8. 一个圆的半径是10cm，它的直径是______cm。

9. 下列算式中，正确的算式是______。

A. 3 + 4 = 7B. 5 - 2 = 3C. 6 × 2 = 12D. 4 ÷ 2 = 210. 小华有20元，他买了一个书包花去了10元，他还剩下______元。

三、解答题（每题10分，共20分）11. （10分）一个数加上它的倒数等于2，求这个数。

12. （10分）一个长方体的长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm，求它的体积。

四、应用题（共15分）13. （5分）小明家住在楼层高度为15米的住宅楼，他从一楼走到五楼，他走了多少层楼梯？（每层楼梯高度为3米）14. （5分）一个圆形的面积是50π平方厘米，求这个圆的半径。

15. （5分）小明骑自行车从家出发，向东行驶了8km，然后向北行驶了6km，他现在距离家有多远？（答案需用勾股定理计算）答案：一、选择题1. B2. C3. B4. A5. B二、填空题6. ±27. -38. 209. C10. 10三、解答题11. 解：设这个数为x，则x + 1/x = 2，解得x = 1或x = -1。

12. 解：长方体的体积V = 长×宽×高= 4cm×3cm×2cm = 24cm³。

北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)

2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。

二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。

北大自主招生数学试题

北大自主招生数学试题一、下列哪个数列不是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, ...B. 2, 4, 8, 16, ...C. 10, 8, 6, 4, ...D. -1, 0, 1, 2, ...（答案：B）二、若复数z满足(1+i)z=2i，则z等于？A. 1-iB. 1+iC. -1+i（答案）D. -1-i三、设函数f(x) = x3 - 3x2 + 2，则f(x)的极小值点为？A. x = 0B. x = 1C. x = 2（答案）D. x = 3四、在三角形ABC中，若sinA:sinB = 3:4:5，则cosC的值为？A. 1/5B. -1/5（答案）C. 3/5D. 4/5五、已知向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与b的夹角θ的余弦值为？A. √5/5B. 2√5/5（答案）C. 1/√5D. -1/√5六、设集合A = {x | x2 - 5x + 6 = 0}，B = {x | x2 - ax + a - 2 = 0}，若B是A的子集，则a的取值范围是？A. a = 2或a = 3或a = 5B. a = 3或a = 5（答案）C. a = 2或a = 5D. a = 2或a = 3七、已知圆C的方程为x2 + y2 - 2x - 5 = 0，直线l的方程为2x - y - 1 = 0，则圆心C到直线l的距离为？A. √5B. 2√5/5C. √5/5（答案）D. 3√5/5八、若实数x, y满足约束条件x + y ≤ 2, x - y ≤ 1, x ≥ 0，则z = 2x + y的最大值为？A. 2B. 3C. 4D. 5（答案）九、设函数f(x) = ex - e(-x)，则不等式f(x + 2) < f(1 - x)的解集为？A. (-∞, 3/2)B. (-3/2, +∞)（答案）C. (-∞, -1/2)D. (1/2, +∞)十、已知矩阵A = [1 2; 3 4]，向量β = [5; 6]，若向量α满足Aα = β，则α为？A. [-1; 2]B. [2; -1]（答案）C. [1; 1]D. [-2; 1]。

2019年北京大学自主招生数学试题及答案

2019年北京大学自主招生数学试题2019.061. 若,a b +∈R ≤x 的取值范围.2. 复数1z 、2z 满足1|3i |2z -=，2|8|1z -=，则由复数12z z -围成的面积是（）A. 4πB. 8πC. 10πD. 以上全错3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个不同的数，分别记为a ，b ，c ，d ，求a b +和c d +奇偶性相同的概率.4. 正方形ABCD ，K 为△BCD 内一点，满足10KDB KBC ∠=∠=︒，则KAD ∠=（）A. 45°B. 60°C. 70°D. 以上全错5. 设,x y ∈Z ，若2222(1)(1)x x y y +++++为完全平方数，则数对(,)x y 有（）组A. 0B. 1C. 无穷多D. 以上全错6. 方程sin 13x x =根的个数为（） A. 3个 B. 7个 C. 1个 D. 以上全错7. 设P 为椭圆2212516x y +=上一点，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，O 为△12PF F 的内心，若内切圆半径为1，求OP 的长度.8. 已知数列{}n a 满足：143k k a a k ++=+（1,2,k =⋅⋅⋅），求22020a a +.参考答案1. P=上式的几何意义为：平面直角坐标系xOy中，x轴上一动点到两个动点()22A、()22B的距离之和，设B关于x轴的对称点为B'，则P≥而P≤x为直线B A'与x轴交点的横坐标，则:()B Ab al y xb a'+=-，令0y=，解得：xa b=+.2. 设111iz x y=+，222iz x y=+，由题意可知：2211(3)4x y+-=，2222(8)1x y-+=，令112cos2sin3xyαα=⎧⎨=+⎩，22cos8sinxyββ=+⎧⎨=⎩，1212x x xy y y=-⎧⎨=-⎩，则22(8)(3)54cos()x yαβ++-=--，∴复数12z z-围成得面积为一个圆环的面积(91)8Sππ=-=，∴选B.3.422411114455544349241121A A A A C C C CPA+++==.4. 设正方形边长为1，在△BKD中，由正弦定理可知：sin35sin135DK=︒︒，则2sin35DK=︒，在△ADK中，由余弦定理可知：2214sin354sin35cos551AK=+︒-︒︒=，则△DAK为等腰三角形，∴70KAD∠=︒，∴选C.5. 令21A x x=++，21B y y=++，情形一：当x为奇数时，则A为奇数，情形二：当x为偶数时，则A也为奇数，同理可得：B也为奇数，而两个奇数的平方和一定不会是完全平方数，综上：选A.6. 令()sin f x x =，()13x g x =的图像可知，只有7个根，∴选B. 7. 设内切圆半径为r ，△12PF F 的面积为S ，12F PF α∠=，∵222S r a c =+，解得：8S =，又2tan 2S b α=，解得：1tan 22α=，则sin 2α=，∴sin 2r IP α==8. ∵143k k a a k ++=+，则24n n a a +-=，情形一：当n 为偶数时，则224(1)242n n a a n a =+-=+-，情形二：当n 为奇数时，则1114(1)222n n a a n a +=+-=+-， ∴22020240362a a a +=+，∵2a 不确定，∴22020a a +也不确定.。

2019清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题

清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题（考试时间：90分钟，总分100分）一、选择题：本大题共6小题．每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设12,z z 为一对不相等的共轭复数，且2112=3,z z z 为实数，则12-z z 的值为（）A ．3B ．6C ． 3D ．232.若点P 在曲线2=--1y x 上，点Q 在曲线2=1+x y 上，则PQ 的最小值为（）A ．32B ．322 C ．324 D ．3283.在ABC 中，三边和三角满足3cos -cos =5a B b A c 则tan =tan AB（） A 。

3 B 。

4 C 。

5 D 。

64.如图，在正四棱锥P−ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A−PB−C 的平面角的余弦值为（）A.71 B. 71-C. 21D. 21-5.设P 是函数()2=+>2y x x x图像上任意一点，过点P 分别向直线=y x 和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则=PA PB ⋅（）A ．1B ．2C ．-1D ．-26.某情报站有A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每DABC PM周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使用A 密码，则第七周也使用A 密码的概率为（）（用最简分数表示）A ．4381 B ．61243 C ．48243 D ．6181选择题答题处： 1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( ) 6.( )二、解答题(每题16分,共64分)7.设函数()()2=1-n n f x x x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为n a ()=1,2,3,n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：对任何正整数()2n n ≥，都有()21+2n a n ≤成立；（3）设数列{}a n 的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有7S <16n 成立。