3分段函数

3.分段函数

I ．题源探究·黄金母题

【例1】已知函数()()()4,0;

4,0.

x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩求()1f ，()3f -，()1f a +的值．

【解析】因为()()()4,0;4,0.

x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨

-<⎪⎩，

所以(1)1(14)5f =⨯+=，(3)3(34)21f -=-⨯--=，

()(1)(5),1,

1(1)(3), 1.a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨

+-<-⎩ II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，

,10,

()2,01,

5x a x f x x x +-≤<⎧⎪

=⎨-≤<⎪⎩

．其中.a ∈R ，若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是_____．

【答案】25

-

【解析】∵5191

()()()()222

2

f f f f -=-==，

∴112225a -+=-，即35

a =，

因此32(5)(3)(1)(1)155

f a f f f ===-=-+=-． 【例3】【2016高考北京理】设函数33,()2,x x x a

f x x x a

⎧-≤=⎨->⎩

①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.

3()3g x x x =-与直线2y x =-【解析】如图作出函数的图象，它们的交点是(1,2)A -，

(0,0)O ，(1,2)B -，由

2'()33g x x =-，知1x =-是函数

()g x 的极大值点，

33,0()2,0

x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此

①

当

0a =时，

()f x 的最大值是(1)2f -=；

②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由3

32a a a -<-，得()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-

【例4】【2016年山东高考理数】已知函数2||,

()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩

其中0m >，若

存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________．

【答案】(3,)+∞

【解析】由题意画出函数()y f x =与y b =的图像如下图时才符合题意，要满足存在实

数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根应满足240

m m m m ⎧-<⎨>⎩解得3m >，即m

的取值范围是(3,)+∞．

理论基础·解题原理

考点一 分段函数的概念

（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量x 不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数x ，此函数实质上也是分段函数．

（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象

（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．

（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心．

考点三 分段函数的性质 1．分段函数的单调性：

判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性．

2．分段函数的奇偶性：

判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据

定义，一般分两步进行：①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数x ，判断()f x -与()f x 的关系．

IV ．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系．

【技能方法】

已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）．若能利用数形结合可加快求解的速度.

【易错指导】

（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解； （2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在0x =有定义时，忽视对(0)f 的验证；

（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；

（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；

V ．举一反三·触类旁通

考向1 求解分段函数的函数值

【例1】【2015全国新课标Ⅱ卷理】设函数211log (2),1,()2,1,

x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,

2(2)(log 12)f f -+=（ ）

A ．3

B ．6

C ．．9

D ．12

【例2】【2012高考江苏10】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，

0111()201

x x ax f x bx x <+-⎧⎪

=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．

若1322f f ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则3a b +的值为___________． 【例3】【2015高考山东理10】设函数()31,1

,2,1

x

x x f x x -<⎧=⎨

≥⎩则满足()()()2f a f f a =的

a 取值范围是（ ）