数学校本课程——

数学校本课程——数学校本课程——思考的乐趣课时:第一课——你的钱多少年可以翻一番第二课——是命运还是概率第三课——做一次生活科学家第四课——翘课的代价第五课——你敢承担风险吗, 第六课——均衡第七课——有好规矩才不悲剧第八课——思维到底什么样第一课:你的钱多少年可以翻一番 e的故事这里的是一个数的代表符号，而我们要说的，便是的故事。

这ee倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧,但是打开我们的记忆搜索器，大部分人能想到的重要数字，除了0和1外，大概就只有和圆有关的了，我们都知道，,圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数被称为圆周率，记作,,3.14159？？，了不起的话，再加上虚数单位的。

可是如果我i,,1 问你，代表了什么，你能回答吗, e在高中数学里，大家都学到过对数(logarithm)的概念。

教科书里的对数中，有以10为底的，叫做常用对数(common logarithm)。

课本里还简略提到，有一种以无理数=2.71828……为底数的对数，e称为自然对数(natural logarithm)，这个，正是我们故事的主角。

e不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢,在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗,更令人好奇的是，长得这么奇怪的数，会有什么故事可说呢,不妨先来看看维基百科是怎么说的:“e是自然对数的底数。

”但是，你去看“ 自然对数”这个条目，得到的解释却是:ee “自然对数是以为底的对数函数，是一个无理数，约等于2.718281828。

”e这构成了循环定义，完全没有说是什么。

在这种情况下，数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是一件很奇怪的事情吗,e是增长极限到底什么是,简单说来，就是增长的极限。

ee下面这个例子就是对直观含义的极好诠释: e某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。

在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。

据此我们可以写出它的增量公式:x增长率G,2，表示天数 x这个式子可以改写成如下的样子:x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内(24G,(1，100%)小时)的增长率。

根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%:100%2G,(1，),2.25 2即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为:100%3 G,(1，),2.37037？3即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢,答案是: 100%n G,lim(1，),2.718281828？n,,n当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。

数学家把这个数就称为，它的含义是单位时间内，e持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此以为e底的对数，就叫做自然对数。

你不会自成“大款”——到e为止我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。

但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次;当然计息周期愈短，本利和就会愈高。

有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间(理论上来说)，会发生什么状况,本利和会无限制地加大吗,假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱,如果我们按照刚才的思路，计息周期无限制地缩短。

按照我们刚才细胞分裂的例子，答案是:100%n lim100(1，),100e,271.8281828？,,nn但是事实上，存储利息没有这么高，如果复利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢:5%n lim100(1，),?n,,n我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000时，下式的值非常接近: e100%10001000 ，，(1，),1，0.1%,e1000为了便于计算，取n等于50:5%5050 ，，(1，),1，0.1%50当利息率是5%时，存款增长率就相当于的20分之一次方: e11000120，，5%100%,,5020 (1，),1，,e,,,,501000,,,,，，15%n5%20lim100(1，),100e,100e1/20正好等于5%，所以 ,,nn我们可以把上式改写成:rG,er表示利率。

再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为:trrt，，G,e,ee这说明可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也是这个增长率的通用计算公式。

带着这个结论再回到上面的例子。

如果银行的利息率是5%的复利，求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:5%t100e,200计算结果得13.86年:ln20.69369.372 t,,,,5%5%55可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。

这正是经济学上著名的72法则。

“72法则”其实所谓的“72法则”就是以1%的复利来计息,经过72年以后,本金会变成原来的一倍。

这个公式好用的地方在于它能以一推十,例如:利用8%年报酬率的投资工具,经过9年(72/8)本金就变成一倍;利用12%的投资工具,则要6年左右(72/12),就能让1元钱变成2元钱。

假设最初投资金额为100元，复息年利率9%，利用72法则，将72除以9，得8，即需约8年时间，投资金额滚存至200元，而准确需时为8.0432年。

虽然利用72法则不像查表计算那么精确，但也已经十分接近了，因此当你手中少了一份复利表时，记住简单的72法则，或许能够帮你不少的忙。

72法则同样还可以用来算贬值速度，例如通货膨胀率是3%，那么72?3=24，24年后你现在的一元钱就只能买五毛钱的东西了。

例1:某企业平均年收益增长率为20%，那么需要多少年企业才会实现年收益翻一倍的目标,答:72?20=3.6年例2:某企业在9年中平均年收益翻了3番，那么9年内的年平均收益增长率为多少,答:9年财务收益翻了三番，说明企业平均3年翻一番，那么年平均收益增长率为:72?3=24，即财务年平均收益增长率为24%运用“72法则”也能计算要为养老准备多少钱。

假如，你现在30岁，每月的生活费是1万元。

假设今后每年有6%的物价上涨率，那么12年(72?6=12年)之后，你42岁时，要保持同样品质的生活，每月就得2万元。

你54岁时，就得4万元;66岁时，每月就得8万元。

如果你给自己确定的财富目标是到60岁时有1000万元的财富，那么你现在需要投资多少钱购买股票型基金呢,假定今后股票型基金年平均收益率为12%，那么每6年(72?12=6年)你的投资本金就可翻番。

所以你54岁时需要本钱500万元;48岁时需要本钱250万元;42岁时需要本钱125万元;36岁时需要本钱75万元;30岁需要本钱37.5万元。

假设你是一位新闻记者，接到一个统计，你所在城市登记在册的狗的数量逐年增长10%。

你会给你的文章取个什么样的标题呢,肯定不是“养狗许可证数量每年上升10%”，这没人会理会，而是:“养狗成灾:仅仅7年，狗屎翻倍～”练习:试比较目前通过正常投资途径实现翻番目标所需要的时间。

1、储蓄。

当前一年期的定期存款利率为2.25%，税后为1.8%，假设利率保持不变，则本金翻一番所需时间多久,2、国债。

因为国债很少有一年期的，所以我们以加息后的三年期凭证式国债计算，利率为3.37%，本金翻一番所需的时间是多久,3、开放式基金。

当前开放式基金的业绩虽然参差不齐，但也有诸多业绩优秀的基金，如果选择一只好的基金，其回报率为8%，如果选择了大部分的基金，其回报率为2.5%。

4、货币基金。

货币基金的年平均收益率一般为2.8%左右。

6、人民币理财。

除了股份制银行外，目前各国有专业银行也推出了人民币理财产品，若其1年期产品的年收益为3.03%。

后续:从以上数据可以看出，银行储蓄翻番的时间最长，需要40年。

因此，要想实现家财的增值，就要转变传统的“有钱存银行”的老观念，根据自己的风险承受能力，尽量选择收益高的理财产品。

以人民币理财为例，很多人认为它和定期储蓄的收益差不了一两个百分点，但你别忘了，收益高一个百分点，本金翻番的时间就能缩短 15年。

所以，在打理家财上应当锱铢必较，分厘不让。

第二课:是命运,还是概率,(适合文科生)回归均值有位男士经常背痛，疼痛时强时弱。

有时他觉得自己充满活力，有时他几乎动弹不得。

每次碰上这种情况——幸好很少——他妻子就会开车送他去找心理治疗师。

每次这样做的第二天，他就明显好多了。

于是他逢人就推荐他的心理治疗师。

另一个年轻人，篮球打得非常好，他逢人便夸他的教练。

如果某天他的球打得糟糕，他就去这位老师那儿学上1小时，下回他就又打得很好了。

我们也有些生活经验，比如，当你状态比较差的时候你的朋友都这样劝你，手里的工作先放一放，走出去放松一下吧。

事实证明，大多数情况，放松后状态明显好多了。

将以上三个事联系在一起的其实就是回归均值。

极端成绩与不太极端的成绩总是来回交替。

已经连续3年表现优异的股票几乎不可能在接下来的3年继续走强。

因此许多运动员在比赛取得好成绩，并因此登上报刊头版后心中往往会产生恐慌的情绪:潜意识中他们预感到，下回比赛时他们可能再也不会取得这一最高成绩了——这当然与头版毫无关系，而是与他们成绩的自然波动有关。

忽视回归均值，可能会造成严重后果:比如老师(或经理)会得出结论，处罚比夸奖更有效。

因为通常考试成绩最优秀的学生会受到夸奖，最差的则会遭到处罚。

而在下次考试中——纯随机地——可能就会是另一些学生处于成绩最高和最低的位置。

老师因此得出结论:处罚有效，夸奖有害。

这当然是一个谬论。

赌徒谬误:为什么没有一种平衡命运的力量超生游击队员李四已经连生4个闺女了，但他实在太想要一个男娃，虽然家产都快被村里计生委的人给罚光，就差没上房揭瓦了，但还是要生，他想，都连生4个了，下个肯定是个男孩。

老赌棍张三没事总喜欢上一个黑赌场里下两注，但今天他赌红眼了，因为庄家已经连开10把大了，他也连输了10把，他不相信第11把还开大，还想一把就把之前输的全赢回来，于是把唯一的存折都给压上了，买小。