数学校本课程——

数学校本课程——

数学校本课程——

思考的乐趣课时:

第一课——你的钱多少年可以翻一番第二课——是命运还是概率第三课——做一次生活科学家第四课——翘课的代价

第五课——你敢承担风险吗, 第六课——均衡

第七课——有好规矩才不悲剧第八课——思维到底什么样

第一课:你的钱多少年可以翻一番 e的故事

这里的是一个数的代表符号，而我们要说的，便是的故事。这ee倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧,但是打开我们的记忆搜索器，大部分人能想到的重要数字，除了0和1外，大概就只有和圆有关的了，我们都知道，,

圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数被称为圆周率，记

作,,3.14159？？，了不起的话，再加上虚数单位的。可是如果我i,,1 问你，代表了什么，你能回答吗, e

在高中数学里，大家都学到过对数(logarithm)的概念。教科书里的对数中，有以10为底的，叫做常用对数(common logarithm)。课本里还简略提到，有一种以无理数=2.71828……为底数的对数，e

称为自然对数(natural logarithm)，这个，正是我们故事的主角。e

不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢,在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗,更令人好奇的是，长得这么奇怪的数，会有什么故事可说呢,

不妨先来看看维基百科是怎么说的:

“e是自然对数的底数。”

但是，你去看“ 自然对数”这个条目，得到的解释却是:

ee “自然对数是以为底的对数函数，是一个无理数，约等于2.718281828。”

e这构成了循环定义，完全没有说是什么。在这种情况下，数学家

选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是一件很奇怪的事情吗,

e是增长极限

到底什么是,简单说来，就是增长的极限。 ee

下面这个例子就是对直观含义的极好诠释: e

某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情

况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式:

x增长率G,2，表示天数 x

这个式子可以改写成如下的样子:

x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内(24G,(1，100%)

小时)的增长率。

根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新

产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶

段的基础上增长50%:

100%2G,(1，),2.25 2

即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天

内时间细胞的总数会增至为:

100%3 G,(1，),2.37037？3

即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即

和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢,答案是: 100%n G,lim(1，),2.718281828？n,,n

当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828

倍。数学家把这个数就称为，它的含义是单位时间内，e

持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此以为e底的对数，

就叫做自然对数。

你不会自成“大款”——到e为止

我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本

利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可

以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次;当然计息周期愈

短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分

钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间(理论上来说)，会发生什么状况,本利和会

无限制地加大吗,

假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱,如果我们按照刚才的思路，计息周期无限制地缩短。

按照我们刚才细胞分裂的例子，答案是:

100%n lim100(1，),100e,271.8281828？,,nn

但是事实上，存储利息没有这么高，如果复利率只有5%，那么100

元存一年可以拿到多少钱呢:

5%n lim100(1，),?n,,n

我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000时，下式的值非常接

近: e

100%10001000 ，，(1，),1，0.1%,e1000

为了便于计算，取n等于50:

5%5050 ，，(1，),1，0.1%50

当利息率是5%时，存款增长率就相当于的20分之一次方: e

11000120，，5%100%,,5020 (1，),1，,e,,,,501000,,,,，，

15%n5%20lim100(1，),100e,100e1/20正好等于5%，所以 ,,nn

我们可以把上式改写成:

rG,e

r表示利率。

再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为:

trrt，，G,e,e

e这说明可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也

是这个增长率的通用计算公式。

带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利，

求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:

5%t100e,200

计算结果得13.86年:

ln20.69369.372 t,,,,5%5%55

可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。

“72法则”