工程电磁场理论与应用讲义-3

第3章 电磁场分析的数学模型3.1 电磁场控制方程的表述电磁场数值分析的具体任务，就是要求解一个与特定问题相联系的偏微分方程定解问题。

根据数学物理方程的理论，所谓定解问题指的是在某一确定区域内成立的微分方程加上定解条件。

对于静态电磁场问题，或者可化为复数计算的正弦稳态电磁场问题，定解条件就是微分方程中的未知函数在该区域边界上所满足的条件，亦即边界条件；对于时变电磁场问题，则定解条件除了边界条件以外，还包括整个区域未知函数在初始时刻的值，亦即初始条件。

针对这一定解问题的求解，发展了如上节所述的各种解算方法。

因此，为了得到正确的解答，第一步工作就是要写出定解问题的表达式，也就是建立特定电磁场问题的恰当的数学模型。

定解问题中的偏微分方程通常称为控制方程。

选择哪种物理量作为控制方程中的未知函数，建立什么形式的微分方程，将影响问题求解的难易程度。

本节将从麦克斯韦方程组出发，介绍各种情况下电磁场控制方程的表述方式。

3.1.1 麦克斯韦方程组[54] 100多年前，麦克斯韦对前人在实验中得出的电磁场的基本定律进行了数学上的总结和提升，引入了位移电流的概念，创立了后来以其命名的方程组，完善了电磁场理论。

其著作《Treatise on Electricity and Magnetism 》成书于1873年。

从理论框架上看，麦克斯韦方程组加上洛仑兹力的计算公式，合起来构成了静止及运动媒质中电动力学的基础，概括了发电机、电动机和其它电磁装置的工作原理，也概括了电磁波的发射、传播和接收的原理。

科学技术发展的实践证明，描述电磁场宏观性质的麦克斯韦方程组正确反映了电磁场中各物理量之间的相互关系，是电磁场的基本方程。

在大学普通物理和电类专业的电工原理课程中，都对麦克斯韦方程组作了基本的介绍。

本节主要从电磁场数值计算的需要出发来加以说明。

麦克斯韦方程组的微分形式可以表述为：t∂∂+=⨯∇D J H (3-1) t∂∂-=⨯∇B E (3-2) 0=⋅∇B (3-3)ρ=⋅∇D (3-4)式中，H 、B 、D 、E 、J 、ρ 分别为磁场强度（A/m ）、磁感应强度（或称磁通密度，T ）、电位移（或称电通密度，C/m 2）、电场强度（V/m ）、电流密度（A/ m 2）和电荷密度（C/ m 3）。

式（3-1）右端第二项t ∂∂/D 具有电流密度的量纲，称为位移电流密度。

事实上，上面的四个方程并不是独立的，可以证明（见文献[54]第1.3节），后两个方程（式（3-3）和（3-4））是基于高斯定理和斯托克斯定理从前两个方程导出的。

前两个方程，即式（3-1）和（3-2），分别称为麦克斯韦第一方程和第二方程。

在这两个矢量方程中，含有5个独立的矢量函数，为了得到确定的解答，还需要增加3个独立的矢量方程，这就是E D ε= (3-5)H B μ= (3-6)在电源以外区域，有E J σ= (3-7)其中ε、μ、σ 分别为介电常数（或称电容率）、磁导率和电导率。

式（3-5）~（3-7）说明了5个场矢量之间的关系，通常称为电磁性能关系式，或本构方程。

对于方程（3-1）~（3-7），如果假设所有场矢量的分量在所考察点的邻域内是连续可微的，且在该邻域内媒质的电磁参数ε、μ和σ是线性、各向同性的，则这些参数可以分别用一个标量来表示。

对于非线性和（或）各向异性媒质，则情况要复杂得多，这将在以后的章节中详述。

如果所研究的场域内包含不同的媒质，则在媒质的交界面上电磁参数和场矢量都将发生突变，从而在这种交界面上麦克斯韦方程组的微分形式将不再适用，此时可以采用其积分形式来研究场矢量在交界面上的特性。

与式（3-1）~（3-4）的微分形式相对应，麦克斯韦方程组的积分形式为：s D J l H d d ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰S l t (3-8) s B l E d d ⋅∂∂-=⋅⎰⎰Sl t (3-9) q v V S ==⋅⎰⎰d d ρs D (3-10)0d =⋅⎰s B S (3-11)其中，式（3-8）正是全电流定律，式（3-9）是电磁感应定律，式（3-10）和（3-11）则分别对应于电场的通量定律和磁场的磁通连续性定律。

麦克斯韦方程组是解决各种电磁场问题的出发点，但是由于包含了5个矢量未知函数，它的直接求解比较困难。

在电磁场数值分析中，通常需要引入不同的电位和磁位作为辅助函数，从而使计算得到简化。

3.1.2 场矢量和位函数的微分方程在麦克斯韦第一方程和第二方程中，磁场与电场的场矢量是互相耦合的，本节首先将磁场与电场解耦，假设所研究区域内媒质为线性、各向同性，并设不包含电源区，且自由电荷体密度为零，在这种条件下推出单一场矢量满足的微分方程，然后给出不同规范下的电磁位方程。

1. 场矢量的微分方程对式（3-1）取旋度，有D J D J H ⨯∇∂∂+⨯∇=∂∂⨯∇+⨯∇=⨯∇⨯∇tt 考虑到电磁性能关系式（3-5）、（3-6）、（3-7），并代入麦克斯韦第二方程（3-2），容易推出22tt ∂∂-∂∂-=⨯∇⨯∇B B B μεμσ (3-12) 根据矢量分析恒等式B B B 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇并考虑到B 的散度为零, 式(3-12)就成为0B B B =∂∂-∂∂-∇222t t μεμσ (3-13) 同样，对式（3-2）取旋度，并代入麦克斯韦第二方程（3-1），按照相似的推理方式，可以得出0E E E =∂∂-∂∂-∇222t t μεμσ (3-14) 由于H B μ=、E J σ=，且在线性、各向同性媒质中μ、σ皆为常数，因此将式（3-13）、（3-14）分别乘以μ/1和σ，可以直接得出0H H H =∂∂-∂∂-∇222t t μεμσ (3-15) 0J J J =∂∂-∂∂-∇222t t μεμσ (3-16) 式（3-13）、（3-14）、（3-15）和（3-16）就是由场矢量B 、E 、H 和J 单独满足的微分方程，它们均属于一般化齐次波动方程，并且均为矢量方程。

不过，如果直接求解这些方程，在很多实际问题中并不方便，而且不容易给出恰当的边界条件。

为了简化计算，可以引入电磁位作为辅助函数建立微分方程。

2．时变电磁场中的电磁位根据式（3-3），B 的散度恒等于零，故可定义一个新的矢量函数A ，令A B ⨯∇= (3-17)显然式 (3-17) 与式 (3-3) 相容，因为旋度场的散度为零。

A 称为矢量磁位。

将式(3-17) 代入(3-2)，同时考虑到时间导数和旋度的运算顺序可以交换，就得出0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇t A E (3-18) 上式括号中的二项之和构成一个无旋的矢量场，由于无旋场可以表示成一个标量函数的梯度，因此可推出φ∇-∂∂-=tA E (3-19) φ称为标量电位。

将式（3-18）和（3-19）代入方程（3-1）和（3-4），并考虑到电磁性能关系式（3-5）和（3-6），就得到J A A μμεφμε=∂∂+∂∂∇+⨯∇⨯∇22tt (3-20) 和ερφ-=∂∂⋅∇-∇t A 2 (3-21) 可以看出，若能在某一定解条件下由方程（3-20）、（3-21）得到A 和φ的一组解答，则根据式（3-18）和（3-19），场矢量B 和E 就完全确定；但对应于确定的B 和E ，通过式（3-17）、（3-19）定义的A 和φ却并不是唯一的。

这是因为，如果令ψ∇+=1A A (3-22)t∂∂-=ψφφ1 (3-23) 则将式（3-22）、（3-23）代入（3-17）、（3-19），容易得出1A B ⨯∇= (3-24)11φ∇-∂∂-=tA E (3-25) 这就证明对于满足条件（3-40）、（3-41）的任意一组矢量磁位和标量电位1A 和1φ，有唯一的B 和E 与之对应。

式（3-22）、（3-23）的变换称为规范变换，其中ψ是空间坐标的任意标量函数，称为规范函数。

由规范变换所决定的B 和E 的不变性称为规范不变性。

在以上讨论中，电磁位的多值性是因为虽然式（3-17）规定了A 的旋度，但是A 的散度尚未确定。

A 与φ的任意性允许任意选择A ⋅∇，为了简化计算，存在着几种常用的选择，下面将分别讨论。

3．电磁位的波动方程，洛仑兹规范当所研究的区域内不存在导电媒质，且电流密度J 为已知函数时，取t∂∂-=⋅∇φμεA （洛仑兹规范） (3-26) 将式（3-26）代入（3-20），有 ()J A A A μμε=∂∂+⋅∇∇-⨯∇⨯∇22t(3-27) 利用矢量微分关系式()()A A A A A 2∇-⋅∇∇=∇⋅∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (3-28)式（3-27）化简为J A A μμε-=∂∂-∇222t (3-29)将式（3-26）代入（3-21），则有 ερφμεφ-=∂∂-∇222t (3-30) 式（3-29）、（3-30）即为A 与φ满足的非齐次波动方程。

由于这两个方程解的时间变化滞后于场源的变化，因此称解出的A 与φ为延迟电磁位，可用于研究电磁波的辐射问题。

式（3-26）对A ⋅∇的规定称为洛仑兹规范。

可以看出，由于应用了洛仑兹规范，使原本存在耦合关系的方程（3-20）和（3-21）解耦，成为A 与φ单独满足的微分方程。

4．电磁位的涡流方程，电导率规范在时变电磁场中，如果求解区域内存在导电媒质，则在其中将感应涡流。

在许多工程问题中，特别是在电气设备、电力传输和生物医学等领域，时变电磁场的频率较低（通常低于1010Hz ），此时麦克斯韦方程（3-1）右端的两项中，位移电流密度t∂∂D 与传导电流密度J 相比较可以忽略不计，这类电磁场通常称为涡流场。

在涡流场中，传导电流密度J 可以分为两种情况，其一是作为已知函数的源电流密度，记为s J ；其二是由于磁场的时间变化感应出来的涡流密度，记为e J 。

对于一般情况，总的传导电流密度可表示为e s J J J += (3-31)e J 的空间分布和时间变化是未知的，可利用电磁性能关系式，将e J 表示成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+∂∂-==φσσt e A E J (3-32) 此外，在似稳电磁场中，位移电流密度t∂∂D 与传导电流密度相比较可以忽略不计，因此与式（3-20）相对应，有 J A μ=⨯∇⨯∇ (3-33)将式（3-32）代入（3-31），再代入（3-33），同时利用矢量微分关系式（3-28），得到()s t J A A A μφσμ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇+∂∂-=∇-⋅∇∇2 (3-34)将A 的散度规定为μσφ-=⋅∇A （电导率规范） (3-35)式（3-34）就变成s tJ A A μσμ-=∂∂-∇2 (3-36) 将式（3-35）代入（3-21），可得 ερφμσφ-=∂∂-∇t 2 (3-37) 式（3-36）和（3-37）即为涡流场中电磁位满足的非齐次涡流方程，规定A ⋅∇的式（3-35）称为电导率规范。