含有函数记号fx有关问题解法
fx的解析式公式
fx是一个函数的符号，表示它是一个具体的函数。
其解析式公式取决于具体的函数是什么。
如果您有具体的函数，我可以告诉您它的解析式公式。
如果您有一个特定的函数，例如f(x) = x^2 + 3x + 1，那么它的解析式公式是f(x) = x^2 + 3x + 1。
这是一个二次函数，可以用来描述二次函数的形式。
其他函数也有自己的解析式公式，如指数函数f(x) = 2^x 或三角函数f(x) = sin(x)。
请注意，每种函数都有其自己的特殊解析式公式，并且在不同的场景中使用。
另外，在许多情况下，函数f(x) 没有解析式公式，因为它可能不能被数学公式表示。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来近似函数值。
例如，在机器学习中，我们可以使用深度学习网络来拟合复杂的函数，而无需知道其解析式。
总之，fx的解析式公式取决于具体的函数，如果给定函数没有解析式，可能需要使用数值方法来近似函数的值。
另外,对于复合函数f(g(x)) 也可以使用解析式公式来表示, 其中g(x)是一个具体的函数.
如f(g(x))=sin(g(x)), g(x)=x^2+3x+1, 那么f(g(x))=sin(x^2+3x+1) 就是这个复合函数的解析式公式.
总结：fx的解析式公式是一种用数学公式表示函数的方
法，对于每种函数都有其自己的特殊解析式公式，但是并不是所有函数都有解析式公式，在这种情况下可能需要使用数值方法来近似函数的值。
含有函数记fx问题解法
含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u=- ∴2()2111u u f u u u-=+=-- ∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则=22222()24ax bx a c x x +++=++ 比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
求函数f（x）解析式常用的方法
求函数)(x f 解析式常用的方法济宁一中高一数学组 贾广素（邮编272000）电话：130****4397根据实际问题求解函数的表达式，是利用函数知识解决实际问题的基础。
因此，有必要掌握函数解析式的求法，下面就介绍几种求解函数解析式的常用方法：一、直接法直接法就是从题设（已知）条件出发，执因索果，进行演绎推导，从而得出函数解式的方法。
例1、 已知432)(2++=x x x f ，求函数)1(+x f 的解析式。
解：由于432)(2++=x x x f ，∴)1(+x f ＝4)1(3)1(22++++x x ＝9722++x x。
例2、 已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时)1()(x x x f -=，求当0<x 时)(x f 的解析式。
解： 当0>x 时)1()(x x x f -=，∴当x<0时，－x>0，从而)1())(1)(()(x x x x x f +-=---=-又 )(x f 是奇函数，)()(x f x f -=-；)1()(x x x f +=∴。
注：直接法是一种正向的思维，解决问题时要善于将稍复杂的问题进行分解，各个击破，它不需要特殊的技巧。
二、待定系数法用一些字母作为待定系数，然后根据条件列出含有待定系数的方程式或方程组，解出这些待定系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法。
例3、已知)(x f 是一次函数，并且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求函数)(x f 的解析式。
解：设)0()(≠+=a b ax x f ，则)1(2)1(3--+x f x f ＝ba axb a ax 222333-+-++＝b a ax ++5，又 172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，比较系数得⎩⎨⎧=+=1752a b a 解得7,2==b a ，所以所求函数的解析为72)(+=x x f 。
例4、已知二次函数)(x f y =的最大值等于13，且,5)1()3(=-=f f 求函数)(x f 的解析式。
函数y=f(x)的解析表达式的几种求法
函数y=f(x)的解析表达式的几种求法《解析函数y=f(x)的几种求法》
在数学推导领域，解析函数(y=f(x))是一种表示关系的数学表达式，它能将包
含一个称为“参数”的变量的函数的内容简明地表达出来，而参数的值可以任意变化。
采用解析的方法求解函数，可以大大减少计算工作量，为研究数学特征，求解未知变量提供可靠依据。
精确来说，解析函数有以下几种求法：解析替代法、特征值法、下界条件法、
独立变量假设法、等级法、函数拟合法，每种方法都拥有自己的优点，便于有效的完成计算任务。
以解析替代法为例，此种方法可以用来求解函数中涉及两个变量的求解问题，
它能以比其他方法更快的速度计算出结果，且拥有极高的效率，其原理是将变量替换为固定的数值，保证变量间的函数表示和计算过程中不发生变化。
另一字特征值法，它是求解函数特征值及各特征值在研究区域内的坐标的方法。
其优点在于，当参数值在区域内变化时，该方法得出的结果更准确，且能显示出函数特征值曲线变化情况，有助于定量分析函数行为特性及工程应用。
最后，独立变量假设法是求解函数关于独立变量的表达式的方法，它的特点是
能在较高的效率下将解析函数的表达式表示为一个简单的式子，从而实现函数的可视化表示，便于进行计算。
总之，解析函数的求解是数学运算的一个重要部分，它能以实用的方式来帮助
我们研究函数表达式的特性和参数的关系，从而使我们有效解决待解问题，丰富数学分析，提升数学研究能力。
求函数fx的解析式
解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b= a2 x+ab+bLeabharlann a2 4 ab b 3
a b
12或ba
2 -3
f (x) 2x 1 或 f (x) 2x - 3
例二：已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝
解：令 t x 1，则 t 1 x (t 1)2
f ( x 1) x 2 x ， f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1, f (x) x 2 1 (x 1)
f (x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)
例二：f (x 1) x2 2x 2，求f(x)及
1、解2：、f (解x 1：) f(x(x1)2 1)2x1(x(x 11))22 22(xx1) 3
f f
( (
xx)1()xx2 ( x21x)12)
3
2
22((xx
1)
1)3
02
解得，x1f(2x,)x2 x22 2x 2
四、【待定系数法】
已知函数模型（如：一次函数，二次函数,反比例函数等） 求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系 数。
故f(x)的解析式为f(x)＝a－b 1x.
(2)在原式中用1x替换x，得f1x－2f(x)＝3x＋2，
于是有ff1xx－－22ff1xx＝＝33x＋x＋22，. f(x)＝－x－2x－2.
消去f1x，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f (x y) f (x) 2xy y2 y
求函数fx的解析式
解：令 t x 1，则 t 1 x(t 1)2
Q f( x1)x2 x ， f(t) (t 1 )2 2 (t 1 ) t2 1 , f(x)x21 (x 1)
f(x 1 ) (x 1 )2 1 x 2 2 x(x 0)
b
6
例二：f(x1)x22x2，求f(x)及
解：令 tx1,则 xf( x+t3)1
且f (0)1，求 f ( x).
解： 令xy得
f(0)f(x)2x2x2x
f(x)x2x1
b
17
b
18
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来； (3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来．
3
ff((3fxx(x11)))f((xtf)(t1)4)2 t(3t1113)2 1
4( x 1)
f (x)
3
3b
8
三、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
例二：已知
f(x1)x2 x
ft fx 1 t 1 2 2 t 1 2 t2 1
f xx21 y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
b
7
练习：
1、若 f(3x1)4x3,求f(x)的解析式 2、已f(知 x1)x21,求f(x)的解析式
12、、解：令令t t x3x 1,1则 , 则xx tt11
b
2020年高中数学教学论文 含有函数记号“f(x) ”有关问题解法
含有函数记号“()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u=- ∴2()2111u u f u u u-=+=-- ∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
[例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则 22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
1.函数符号与函数的基本问题
2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 059[决胜高考数学母题](第012号)函数符号与函数的基本问题掌握函数,要从认识函数符号f(x)开始,对f(x)我们可以把x 想象为一个口袋,在这个口袋内可以同时填入(赋值)任意一个数或式(包括f(x)自身),由此可充分体现换元方法和整体思想,并产生函数的三类基本问题.[母题结构]:(Ⅰ)(求函数值)已知函数f(x),求f(x 0)的过程,称为求函数值,求函数值的基本方法就是的赋值法.(Ⅱ)(函数方裎)含有未知函数的等式称为函数方程;函数方程的中心问题是求函数的解析式,求函数解析式的基本方法有:待定法、换元法和赋值法.(Ⅲ)(函数迭代)利用了一个函数自身复合多次,这就叫做迭代.一般地,记f (0)(x)=x,f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)),…, f(n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代,并称n 为f (n)(x)的迭代指数.[母题解析]:略.1.求函数值子题类型Ⅰ:(2015年山东高考试题)设函数f(x)=⎩⎨⎧≥<-1,21,3x x b x x,若f(f(65))=4,则b=( ) (A)1 (B)87 (C)43 (D)21[解析]:由f(65)=25-b;①若25-b<1,即b>23;由f(f(65))=4⇒3(25-b)-b=4⇒b=87,不合;②若25-b ≥1,即b ≤23;由f(f(65))=4⇒f(65)=2⇒b=21.综上,故选(D). [点评]:求参数值有而类典型问题:一是求复合函数值,尤其是求分段函数的复合函数值;一般方法是由里至外逐次求解,其中的关键是注意定义域下的函数式.二是问题一的逆向问题,即已知复合函数值,求其中的参数值,要注意分类讨论.[同类试题]:1.(2015年陕西高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-)0(2)0(1x x x x,则f(f(-2))=( ) (A)-1 (B)41 (C)21 (D)232.(2005年江苏高考试题)己知a,b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b= . 2.函数方裎子题类型Ⅱ:(2008年陕西省高考试题)己知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y ∈R),f(1)=2,则f(-3)等于( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9[解析]:设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c,与己知f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy 比较得a=1,c=0⇒f(x)=x 2+bx,又由f(1)=2⇒b=1⇒f(x)=x 2+x ⇒f(-3)=6.故选(C).[点评]:由二次函数抽象而得到的函数方程模型有:①如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(2m-x)+2f(x)=3(ax 2+bx+c)+2(2am+b)(m-x);②如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c;③如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x)f(y)=af(xy)+c[f(x)+f(y)]+ bxy[a(x+y)+(b-a)]-c(a+c);④如果f(x)=ax 2+bx+c,则f(x-f(y))=f(f(y))+f(x)-2(ax+b)f(y)-c.[同类试题]:3.(2012年安徽高考试题)下列函数中,不满足:f(2x)=2f(x)的是( )(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x| (C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x060 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题4.(2015年浙江高考试题)存在函数f(x)满足:对任意x ∈R 都有( )(A)f(sin2x)=sinx (B)f(sin2x)=x 2+x (C)f(x 2+1)=|x+1| (D)f(x 2+2x)=|x+1| 3.函数迭代子题类型Ⅲ:(2011年山东高考试题)设函数f(x)=x x +2(x>0),观察:f 1(x)=f(x)=x x +2,f 2(x)=f(f 1(x))=43+x x, f 3(x)=f(f 2(x))=87+x x ,f 4(x)=f(f 3(x))=1615+x x ,…,根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x)= f(f n-1(x))= .[解析]:由f 1(x),f 2(x),f 3(x),f 4(x)分母中的常数项分别为2,22,23,24,猜测f n (x)分母中的常数项=2n ,而一次项系数比常数项少1,为2n-1⇒f n (x)=nnx x 2)12(+-.[点评]:求f (n)(x)的一般解法是先猜后证法:先迭代几次，观察有何规律,由此猜测出f (n)(x)的表达式,然后证明.证明时,常用数学归纳法.[同类试题]:5.(2014年陕西高考试题)已知f(x)=xx+1,x ≥0,若f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n ∈N +,则f 2014(x)的表达式为 . 6.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x))n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= .4.子题系列:7.(2005年浙江高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--1||,111||,2|1|2x xx x ,则f(f(21))=( )(A)21 (B)134 (C)-59 (D)41258.(2012年陕西高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<≥)0()21()0(x x x x,则f(f(-4))= . 9.(2012年福建高考试题)设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0(1)0(0)0(1x x x ,g(x)=⎩⎨⎧∉∈∈),(0)(1Q x R x Q x ,则f(g(π))的值为( )(A)1 (B)0 (C)-1 (D)π 10.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-1,21,122x x x x x ,则))2(1(f f 的值为( ) (A)1615(B)-1627 (C)98 (D)18 11.(2010年陕西高考试题)(理)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+1,1,122x ax x x x ,若f(f(0))=4a,则实数a=( ) (A)21 (B)54(C)2 (D)9 12.(2014年浙江高考试题)设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++)0()0(2222x x x x x ,若f(f(a))=2,则a= .13.(2011年江苏高考试题)已知实数a ≠0,函数f(x)=⎩⎨⎧≥--<+)1(2)1(2x a x x a x ,若f(1-a)=f(1+a),则a 的值为 .2019年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 06114.(2006年全国高中数学联赛河南预赛试题)设函数f(x)=x 2+6x+8.如果f(bx+c)=4x 2+16x+15,那么,c-2b=( ) (A)3 (B)7 (C)-3 (D)-7 15.(2004年湖北高考试题)己知f(x x+-11)=2211x x +-,则f(x)的解析式可取为( ) (A)21x x + (B)-212x x + (C)212x x + (D)-21x x +16.(1984年全国高中数学联赛试题)若F(xx+-11)=x,则下列等式中正确的是( ) (A)F(-2-x)=-2-F(x) (B)F(-x)=F(xx +-11) (C)F(x -1)=F(x) (D)F(F(x))=-x 17.(2011年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f(x)为整式函数且满足f(x+1)+f(x-1)=4x 3-2x,则f(x)= . 18.(2010年全国高中数学联赛江西预赛试题)设多项式f(x)满足:对于任意x ∈R,都有f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,则f(x)的最小值是 .19.(1999年福建省高一数学夏令营选拔试题)关于x 的函数f(x)满足mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x(0<m<n),当x ∈[-1,1]时, f(x)的最小值是 .20.(2006年泰国数学奥林匹克试题)设函数f:R →R,对任意x ∈R,都有f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17.求f(85). 21.(2009年全国高中数学联赛湖南预赛试题)设f(x)为R →R,对任意实数x 有f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,则f(50)的值为( )(A)72 (B)73 (C)144 (D)14622.(2011年北京市中学生数学竞赛高一试题)设函数y=f(x)定义域为R,且对任意x ∈R 都有2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x- 6,则f(60)= .23.(2009年全国高中数学联赛试题)若函数f(x)=21xx +,且f (n)(x)=nx f f f f ]])([[⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则f (99)(1)= .24.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=ax+b,其中a,b 为实数,f 1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n (x)),n=1,2,3,…,若f 7(x)= 128x+381,则a+b= . 5.子题详解: 1.解:由f(-2)=41⇒f(f(-2))=f(41)=21.故选(C). 2.解:(法一)由f(x)=x 2+4x+3⇒f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a 2x 2+2a(b+2)x+b 2+4b+3=x 2+10x+24⇒a 2=1,2a(b+2)=10,b 2+ 4b+3=24⇒b=3或-7;当b=3时,a=1;当b=-7时,a=-1⇒5a-b=2.(法一)在f(ax+b)=x 2+10x+24中,令x=-5得:f(-5a+b)=-1;又由f(x)=x 2+4x+3=-1⇒x=-2⇒-5a+b=-2⇒5a-b=2. 3.解:若f(x)=kx ⇒f(2x)=k(2x)=2kx,2f(x)=2(kx)=2kx ⇒f(2x)=2f(x)⇒(D)满足条件;若f(x)=k|x|⇒f(2x)=k × |2x|=2k|x|,2f(x)=2(k|x|)=2k|x|⇒f(2x)=2f(x)⇒(A)满足条件;对于(B):当x ≥0时,f(x)=0显然满足条件,当x<0时, f(x)=2x 满足条件⇒(A),(B),(D)满足条件.故选(C).4.解:由f(x 2+2x)=|x+1|=122++x x ;令t=x 2+2x,则f(t)=1+t .故选(D).5.解:由f 1(x)=x x +1⇒f 2(x)=f(f 1(x))=x x 21+⇒f 3(x)=f(f 2(x))=xx31+⇒…⇒f 2014(x)=x x 20141+.6.解:由f 1(x)=f(x)=ax+b ⇒f 2(x)=f(f 1(x))=a 2x+(a+1)b ⇒f 3(x)=f(f 2(x))=a 3x+(a 2+a+1)b ⇒…⇒f 7(x)=a 7x+(a 6+a 5+…+a +1)b ⇒a 7=128,(a 6+a 5+…+a+1)b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5. 7.解:由f(21)=|21-1|-2=-23⇒f(f(21))=f(-23)=134.故选(B).062 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2019年课标高考母题8.解:由f(-4)=(21)-4=16⇒f(f(-4))=f(16)=4.9.解:由g(π)=0⇒f(g(π))=f(0)=0.故选(B).10.解:由f(2)=22+2-2=4⇒))2(1(f f =f(41)=1-(41)2=1615.故选(A).11.解:由f(0)=2⇒f(f(0))=f(2)=4+2a=4a ⇒a=2.故选(C).12.解:①当a ≤0时,f(a)=a 2+2a+2>0⇒f(f(a))=-(a 2+2a+2)2=2无解;②当a>0时,f(a)=-a 2<0⇒f(f(a))=a 4-2a 2+2=2⇒ a=2.13.解:①当a<0时,f(1-a)=f(1+a)⇒-(1-a)-2a=2(1+a)+a ⇒a=-43;②当a>0时,f(1-a)=f(1+a)⇒2(1-a)+a=-(1+a)-2a ⇒a=-23(舍去).综上,a=-43. 14.解:令x=-2得:f(-2b+c)=-1;由f(x)=-1⇒x=-3⇒-2b+c=-3.故选(C). 15.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒2211x x +-=2222)1()1()1()1(t t t t -++--+=212t t +,所以f(t)=212t t +⇒f(x)=212x x +.故选(C). 16.解:令x x +-11=t ⇒x=t t +-11⇒F(t)=t t +-11⇒f(-2-x)=)2(1)2(1x x --+---=-x x ++13,-2-F(x)=-2-xx +-11=-x x ++13.17.解:由方程的右边为三次函数,故设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d,由题知,2ax 3+2bx 2+(6a+2c)x+2b+2d ≡4x 3-2x ⇒2a=4,2b=0,6a+2c=-2,2b+2d=0⇒a=2,b=0,c=-7,d=0⇒f(x)=2x 3-7x.18.解:由方程的右边为二次函数,故设f(x)=ax 2+bx+c,则f(x+1)+f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c,由题知,2ax 2+2bx+2a+2c ≡2x 2- 4x ⇒2a=2,2b=-4,2a+2c=0⇒a=1,b=-2,c=-1⇒f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2的最小值=f(1)=-2. 19.解:由mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x ⇒mf(t)+nf(-t)=t+3⇒mf(-t)+nf(t)=-t+3⇒f(t)=-m n -1t+nm +1;由x ∈[-1,1]⇒ t=2x-3∈[-5,-1]⇒f(x)的最小值=f(t)的最小值=f(-1)=222m n n -.20.解:在f(x 2+x+3)+2f(x 2-3x+5)=6x 2-10x+17中,用1-x 代替x 得:f(x 2-3x+5)+2f(x 2+x+3)=6x 2-2x+13⇒f(x 2+x+3)=2(x 2+ x)+3;令x 2+x+3=85得:x 2+x=82⇒f(85)=2×82+3=167.21.解:由f(x 2+x)+2f(x 2−3x+2)=9x 2−15x,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4⇒f(50)=3×50-4=146.故选(D).22.解:由2f(x 2+x)+f(x 2-3x+2)=9x 2-3x-6,用1-x 代替条件等式中的x 得:2f(x 2−3x+2)+f(x 2+x)=9x 2−15x,由该式及原式,消去f(x 2−3x+2)得f(x 2+x)=3x 2+3x −4=3(x 2+x)−4,所以f(60)=3×60−4=176. 23.解:由f (1)(x)=f(x)=21x x +,f (2)(x)=f[f(x)]=221x x +,…,f (n)(x)=21nx x +⇒f(99)(x)=2991x x +⇒f(99)(1)=101. 24.解:由f 1(x)=ax+b ⇒f 2(x)=a 2x+ab+b ⇒f 3(x)=a 3x+a 2b+ab+b ⇒…⇒f n (x)=a nx+a n-1b+a n-2b+…+ab+b=a nx+11--a a n b,由 f 7(x)=128x+381⇒a 7=128,117--a a b=381⇒a=2,b=3⇒a+b=5.。
关于含字母参数问题的几种解法
关于含字母参数问题的几种解法[摘要]本文通过实例分析，归纳介绍了解含有字母参数问题的几种常用方法。
解含有字母参数问题要求学生必须具备坚实的基础知识和基本技能，还要灵活运用双基和多种数学思想方法，敏捷而周到地进行解题设计，讨论的过程要全面完整、条理清楚、避免重复和遗漏。
对培养学生的分析、综合能力和逻辑推理能力是大有裨益的。
本文就解这类问题的方法进行归纳。
1、数形结合法根据所给函数表达式的几何意义，巧妙的画出图形，利用数形结合的思想求解分数的取值范围，常能化难为易。
例1：设函数f(x)＝x x 42-- g(x)＝34x+1－a ，当x ∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求a 的取值范围解：函数f(x)=x x 42--的几何意义是半圆(x+2)2+y 2＝4（y ≥0）而函数g(x)= 34x+1－a 表示的是斜率为34，在y 轴上的截距为1-a 的直线，要使x ∈[-4,0]时，f(x)≤g(x)恒成立，则直线y ＝34x+1－a 在半圆y ＝x x 42--的上方且与半圆相切或相离。
当直线y ＝34x+1－a 与半圆相切时点（－2,0）到直线y＝34x+1－a的距离为22＝5| 338|a-+-⇒a=35或a=-5又1－a＞0即a＜1∴取a=-5，此时1-a=6当直线y=34x+1－a与半圆相离时，1－a＞6⇒a＜-5 综上，当 x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，a的取值范围是（－∞,-5]2、参数分离法根据所给问题的表达式，把含有参数的部分分离开来，按其分离的特点进行讨论，使问题得以完满解决，这种方法叫参数分离法例2：已知函数f(x)＝lg(x+xa-2)其中a是大于0的常数，若对于任意x∈[2,+∞）恒有f(x)＞0试确定a的取值范围解：由x∈[2,+∞）恒有f(x)＞0得lg(x+xa-2)＞0x+xa-2 ＞1得a＞－x2+3x令g(x)＝－x2+3x它在[2, +∞）上是减函数∴g)(maxx=2∴a＞2为所求3、分类讨论法通过分类，能把复杂问题化为单一的简单的问题，有利于问题的解决例3：若函数f(x)＝-21x 2+213在闭区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b ，求闭区间[a,b]解：由条件知，函数f(x)是顶点为（0, 213）对称轴x=0，开口向下的抛物线，在闭区间[a,b]上的最小值为2a ，最大值为2b直接解答难以确定闭区间[a,b]，必须对闭区间[a,b]与对称轴x=0的位置关系分三种情况求解。
方程有解问题的常用处理办法
方程有解问题的常用处理办法方程0)(=x f 有解的问题实际上是求函数)(x f y =零点的问题，判断方程0)(=x f 有几个解的问题实际上就是判断函数)(x f y =有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理办法：有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理办法： 一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程0)(=x f 的根，此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数，或由此组合的分式函数。
整式函数，或由此组合的分式函数。
例1（2010年福建理4）函数îíì>+-£-+=)0(ln 2)0(32)(2x x x x x x f 的零点个数为（的零点个数为（ ））A. 0B. 1C. 2D. 3解：当0£x 时，由32)(2-+=x x x f 得1=x （舍去），3-=x ；当0>x 时，由x x f ln 2)(+-=0=得2e x =，所以函数)(xf 的零点个数为2，故选C 。
二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程0)()(=-x g x f ，可以先转化为方程)()(x g x f =，再在同一坐标系中分别画出函数)(x f y =和)(x g y =的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。
次法一般适合于函数解析式中既含有二次（三次）函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。
（三次）函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。
例2（2008年湖北高考题）方程322=+-x x 的实数解的个数是的实数解的个数是解析：在同一坐标系中分别作出函数xx f -=2)(和3)(2+-=x x g的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。
的图象，从图中可得它们有两个交点，即方程有两个实数解。
三、导数法在考查函数零点时，需要结合函数的单调性，并且适合用求导来求的函数，常用导数法来判定有无零点。
例谈求函数（fx）解析式的方法
2013-01课堂内外求函数f （x ）的解析式是函数一章的重要内容之一，本文列举数例，进行分类剖析，供解题时参考.一、直接变换法此方法是把所给函数的解析式，通过配凑、换元等方法使之变形为关于“自变量”的表达式，然后以x 代替“自变量”即得所求函数的解析式.例1.已知：f （x √+1）=x +2x √，求f （x ）的解析式.解法1（配凑）:∵x +2x √=（x √）2+2x √+1-1=（x √）2-1，∴f （x √+1）=（x √+1）2-1（x √+1≥1）.即f （x ）=x 2-1（x ≥1）.解法2（换元）:令t =x √+1，则x=（t-1）2（t ≥1），代入原式有，f （t ）=（t -1）2+2（t -1）=t 2-2t +1+2t -2=t 2-1.∴f （x ）=x 2-1（x ≥1）.二、待定系数法此方法适用于所求函数的解析表达式是多项式的情形，首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数.例2.如果f ［f （x ）］=2x -1，求一次函数f （x ）的解析式.解：∵f （x ）为一次函数，设f （x ）=ax+b （a ≠0），∴f ［f （x ）］=a ·f （x ）+b=a （ax+b ）+b =a 2x+ab+b.则由f ［f （x ）］=2x -1f ［f （x ）］=a 2x+ab+b{⇔a 2=2ab+b=-1{解之得a =2√b =1-2√{或a =-2√b =1+2√{∴f （x ）=2√x +1-2√或f （x ）=-2√x +1+2√.三、消去法此方法是将函数中解析式的变量（或关系式）进行适当的变量代换，得到一个新的等式，然后与原式联立，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，即可求出所求的函数.例3.已知2f （x ）+f （1x）=x ，求f （x ）.解：在原式中将x 换成1x，再与原式联立，得2f （x ）+f （1x）=x2f （1x ）+f （x ）=1x⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⏐消去f （1x ），得f （x ）=2x 2-13x .四、赋值法此方法是在函数的定义域内，赋予变量一些特殊值，利用所给的函数关系式进行化简，从而使问题获得解决.例4.设f （x ）是R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意实数x 、y ，有f （x-y ）=f （x ）-y （2x-y +1），求f （x ）的表达式.解：∵对任意实数x 、y ，有f （x-y ）=f （x ）-y （2x-y +1），∴令x=y ，得f （0）=f （x ）-x （2x-x +1）=f （x ）-x 2-x .又f （0）=1，∴f （x ）=x 2+x +1.五、递推法若函数的定义域为N *，且函数关系式是由递推关系给出的，可用递推法求出f （x ）.例5.已知函数f （x ）的定义域为N *，且对任意的n ∈N *，都满足f （n +1）=f （n ）+2n +1，f （1）=1，求f （x ）.解：由f （n +1）=f （n ）+2n +1，依次令n =1，2，3，…n -1，则有f （2）=f （1）+3，f （3）=f （2）+5，…f （n ）=f （n-1）+2n -1，又f （1）=1，则有f （2）=1+3，f （3）=1+3+5，…f （n ）=1+3+5+…+（2n -1）.则f （n ）=1+3+5+…+（2n -1）=1+3+5+…+（2n -1）=n［1+（2n -1）］2=n 2.故f （x ）=x 2（x ∈N *）.（作者单位甘肃省民勤县职业中等专业学校）例谈求函数f （x ）解析式的方法文/李玉杰86--Un Re gi st er ed. All Rights Reserved.。
高一数学函数解析式(公式法)
x=1，则 f(n)=nf(1) m m m 1 m x= ，则 f(m)=nf( ) ，解得 f( )= f(m)= f(1) --------- (2) n n n n n m x=－ ，且令 y=－x＞0，则 f(x)＋f(y)=f(x＋y)=f(0)=0 n ∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3) 由上述（1） ， （2） ， （3）知：对任意有理数 x 均有 f(x)=xf(1) 另一方面，对于任意的无理数 x，因 f(x)连续，取以 x 为极限的有理数 序列{xn}，则有 ：f(x)= lim f(xn)= lim xnf(1)=xf(1)
f(x)=(2/3)x-1/(3x)
f(x)+f((x-1)/x)=1+x (x 不得 0，1）
f(x)+f((x-1)/x)=1+x ① 用(x-1)/x 取代①中的所有 x 得 f((x-1)/x)+f(1/(1-x))=1+(x-1)/x② 用(x-1)/x 取代②中的所有 x 得 f(1/(1-x))+f(x)=1+1/(1-x)③
n n
综上所述，对于任意实数 x，有 f(x)=xf(1) 函数方程的解法： 1.代换法（或换元法） 把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定 义域不会发生变化） ，得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数 例 1 （1）已知 f(2x－1)=x2＋x，那麽 f(x)=______________。 略解： 设 t=2x－1， 则 x=
求 f(x)解析式 请详细说明为什么能用 x 代替 1/x 谢谢
最佳答案 设 u=1/x,x=1/u,带入上式 2f(1/u)+f(u)=1/u; u 和 x 都是自变量的符号，可以互相替代，则用 x 来代替 u; 2f(1/x)+f(x)=1/x; 可以这样理解： 题目中条件 2f(x)+f(1/x)=x (①)是指对任意使之有意义的值 x 都成立， 比如 x=1/t 时等式也成 立，因此：2f(1/t)+f(t)=1/t。同样，该式对任意使之有意义的值 t 成立，当然对 t=x 也成立， 代入之得 2f(1/x)+f(x)=1/x(②) 实际上，函数的本质在于定义域和对应法则，用什么字母表示自变量是完全没有关系的，所 以书上常常有用 x 代替 1/x 之类的“怪事”。 联立①、②就得到
含有函数符号“f(x)”有关问题解法浅谈
含有函数符号“f(x)”有关问题解法浅谈
韩义成
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)019
【摘要】<正>由于函数概念比较抽象,学生对有关函数记号f(x)的问题感到困难.学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,同时培养学生灵活性,提高解题能力,优化学生数学思维素质具有重要意义.现将常见解法及意义谈以下看法.一、求表达式1.换元法即用中间变量u表示原自变量x的代数式,从而求出f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法,此法可培
【总页数】2页(P19-20)
【作者】韩义成
【作者单位】甘肃省积石山县积石中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
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函数基本性质题型及解题技巧
函数基本性质题型及解题技巧函数基本性质题型及解题技巧一、函数解析式的求法：1.配凑法：将关系式配凑成括号内的形式。
例如，已知$f(x+)=\frac{x^2}{2}$，求解析式$f(x)$。
解：因为$f(x+)=\frac{x^2}{2}=(x+)^2-2$，所以$f(x)=x^2-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。
2.换元法：令括号内的部分等于$t$，然后解出$x$，带入得到关于$t$的解析式，最后再换回$x$。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
解：令$t=x+1$，则$x=(t-1)^2$，$(t\geq1)$，因此$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$。
所以$f(x)=x^2-1$，$(x\geq1)$。
3.待定系数法：根据已知函数类型，设相应的函数解析式，然后根据已知条件算出相应系数。
例如，已知$f(x)$是二次函数，且$f(0)=2$，$f(x+1)-f(x)=x-1$，求$f(x)$。
解：设$f(x)=ax^2+bx+c$，由$f(0)=2$得$c=2$，由$f(x+1)-f(x)=x-1$，得恒等式$2ax+a+b=x-1$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。
因此，所求函数的解析式为$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。
4.消元法（方程组法）：若函数方程中同时出现$f(x)$与$f(-x)$，则一般用$x$代之或用$-x$代之，构造另一个方程，然后联立解方程组得到$f(x)$。
例如，已知$3f(x)+2f(-x)=x+3$，求$f(x)$。
解：因为$3f(x)+2f(-x)=x+3$，令$x=-x$得$3f(-x)+2f(x)=-x+3$，消去$f(-x)$得$f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{5}$。
二、绝对值图像的画法：5.对于函数$y=ax^2+b|x|+c$，找出$x=0$的点和两个对称轴上的点，然后将它们连起来。
抽象函数问题及解法
抽象函数问题及解法原创/O客本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。
打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。
如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.（1）函数性质法.函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.（2）特殊化法.特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.（3）模型函数法.模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).②满足关系式f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).③满足关系式f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).命题（ⅲ）等价于f( xy)=f(x)-f(y) (x，y∈R+) .④满足关系式f(xy)=f(x) f(y)的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.⑤满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.g(x)是奇函数. 证明如下：令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，所以函数g(x)是奇函数.1. 与单调性相关的问题例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.设m<n，则f(n)-f(m)=f((n-m)+m)-f(m)=f(n-m)+f(m)-f(m)=f(n-m).因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，即f(n)<f(m)，所以f(x)是减函数.根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.注意这两种证明抽象函数单调性的技巧，为创造条件利用关系式，前者是作自变量变换n=n-m +m ；后者是用奇偶性巧妙地实现了“-”向“+”的转化.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，对任意m ，n ，均有f (m +n )=f (m )+f (n )-1，且f (-12)=0，当x >-12时，f (x )>0. 求证f (x )是单调递增函数，并举出具有这种性质的一个函数. 解 设m >n ，则m -n >0，m -n -12>-12， 所以f (m )-f (n )=f (n +m -n )-f (n )=[f (n )+f (m -n )-1]-f (n )=f (m -n )+f (-12)-1=f (m -n -12)>0，即f (m )>f (n ). 从而f (x )为单调递增函数. 具有这种性质的一个函数是y =2x +1.例3 已知函数f (x )的定义域是(0，+∞），且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )>0.（1）求f (1)，并证明f (x )在定义域上是增函数；（2）如果f (13)=-1，求满足f (x )-f (1x -2)≥2的x 的取值范围. 解 （1）令x =y =1，则f (1)=f (1)+f (1)，得f (1)=0.设0<m <n ，则f (n ) - f (m )= f (n m ·m ) - f (m )= [f (n m )+f (m )] - f (m )= f (n m )>0 (因为n m>1). 即f (m )<f (n). 所以f (x )在(0，+∞）上是增函数.（2）由f (1)=0， f (1)=f (1x ·x )=f (1x )+f (x )，得f (1x)=-f (x ). 有f (13)=-f (3)=-1，得f (3)=1，故2=f (3)+f (3)=f (9)， 有f (x )-f (1x -2)=f (x )+f (x -2)=f (x (x -2))， 所以原不等式可化为f (x (x -2))≥f (9)，于是从而所求x 的取值范围是[1+10，+∞）.点评 题（2）实质上是解抽象函数不等式. 一般地，先把不等式中的常数项化成某个函数值（如这里的2=f (9))，以便利用单调性“脱去”函数符号，转化成一般不等式. 特别注意抽象函数定义域. 不等式组的前两个不等式是定义域要求（这里也是单调区间的要求，因为只有同一个单调区间，才能“脱去”函数符号），第三个是单调性的逆用.此外，我们可以写出满足题设条件的一个函数y =log 3x .2. 与奇偶性相关的问题例4（2002·北京）已知f (x )是定义域在R 上不恒为0的函数，且对任意a ，b ∈R 都满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ). 求f (0)和f (1)，判断并证明f (x )的奇偶性.解 令a =b =0，则f (0·0）=0，即f (0)=0.令a =b =1，则f (1)=2 f (1)，即f (1)=0.x >0，x -2>0， 解得x ≥1+10.x (x -2)≥9.f (x )为奇函数，证明如下.令a =-1，b =x ，则f (-x )=-f (x )+xf (-1)，又f (1)=f ((-1)·(-1))=-f (-1)-f (-1)，即f (-1)=0，从而f (-x )=-f (x ).所以f (x )为奇函数.点评 当然，也可以只令a =-1，推得f (-b )=-f (b )而得结论.例5（2009·全国）函数f (x )的定义域为R . 若f (x +1)与f (x -1)都是奇函数，则（ ）A. f (x )是偶函数B. f (x )是奇函数C. f (x )=f (x +2)D. f (x +3)是奇函数解析 由f (x +1)是奇函数，知f (-x +1)=-f (x +1)， ①由f (x -1)是奇函数，知f (-x -1)=-f (x -1)， ②在①中，用x -1代换x ，得f (2-x )= -f (x )，在②中，用x +1代换x ，得f (-2-x )=-f (x )，所以f (2-x )= f (-2-x )，再用-2-x 代换x ，得f (4+x )=f (x )，知4为f (x )的周期.于是由②，f (-x -1+4)=-f (x -1+4)，即f (-x +3)=-f (x +3)，所以f (x +3)是奇函数，可知选D.点评 我们还可以构造模型函数f (x )=cosπx 2来解此选择题，可知选 D. 事实上f (x +3)=sin πx 2. 还有，由f (x +1)是奇函数，可令h (x )=f (x +1)，则h (-x )=-h (x )，即f (-x +1)=-f (x +1).此外，对上述变量代换法可以用换元法帮助理解. 例如，令t =x +1，则x =t -1，代入①式得f (2-t )=-f (t )，即f (2-x )=-f (x ). 注意这里的代换和换元的前提是，不能改变函数f (x )的定义域.例6（2014•全国）已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，若f (x -1)>0，则x 的取值范围是 .解析 实际上是解抽象不等式f (|x -1|)>f (2).因为f (x )是偶函数，所以f (x -1)= f (|x -1|)，因为f (2)=0，f (x -1)>0，所以f (|x -1|)>f (2).又f (x )在[0，+∞)上单调递减， |x -1|，2∈[0，+∞)，所以|x -1|<2，解得-2<x -1<2，即-1<x <3综上可知，x 的取值范围是(-1，3).例7（2015•全国）设函数f ´(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A. (-∞，-1)∪(0，1)B. (-1，0)∪(1，+∞)C. (-∞，-1)∪(-1，0)D. (0，1)∪(1，+∞)解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (-x )=-f (x ) ①，对等式两边求导，注意左边用复合函数求导法则，得[f (-x )]´=[ -f (x )]´ ，f ´(-x )•(-x )´=-f ´(x )，即f ´(-x ) =f ´(x ) ②.因为当x >0时，xf ´(x )< f (x )，故当x <0时，则-x >0，-xf ´(-x )< f (-x )，将①，②代入得-xf ´(x )<- f (x )，即xf ´(x )> f (x ) (x <0).由f (x )>0，知xf ´(x )>0，得f ´(x )<0 (x <0)，因此，f (x )在(-∞，0)上是减函数，又f (-1)=0，所以x <0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (-1)，解得x <-1.由奇偶性与单调性的关系知，f (x )在(0，+∞)上也是减函数，又f (1)=-f (-1)=0，所以x >0时，由不等式f (x )>0，即f (x )> f (1)，解得0<x <1.综上可知，选A.评注（1）这里，我们由f (-x )=-f (x )，推得f ´(-x ) =f ´(x ). 这表明奇函数的导函数是偶函数. 同理可得，偶函数的导函数是奇函数.（2）另法. 我们可以构造辅助函数来解此题. 令g (x )=f (x )x ，得g ´(x )=xf ´(x )-f (x )x 2.当x >0时，g ´(x )<0，知g (x )单调递减. 由f (-1)=-f (1)及f (-1)=0，知g (1)=0，所以由不等式f (x )>0，即g (x )>g (1),解得0<x <1. 可证g (-x )=g (x )，g (x )是偶函数，知g (x )在(-∞，0)上是单调递增. 当x <0时，同理，由g (x )<g (-1)解得x <-1. 一般地，题目条件出现“xf ´(x )-f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数g (x )=f(x )x；出现“xf ´(x )+f (x )<0( >0)”时，可以考虑构造辅助函数 h (x )=xf (x ).（3）为加深对此题的理解，我们可以举出这类函数的一个特例：它的图象如图1.3. 与周期性相关的问题例8（2001·全国）设f (x )是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈[0，12 ]，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)f (x 2)，且f (1)=a >0. 求f (12)，f (14)，并证明f (x )是周期函数.解 由题设得a =f (1)=f (12+12)=f (12)f (12)，即f (12)=21a . 21a = f (12)=f (14+14)=f (14)f (14)，即f (14)=41a . 因为f (x )是偶函数，所以f (-x )= f (x )，又f (x )图象关于直线x =1对称，得f (1+x )=f (1-x )，用x +1代换x ，得f (2+x )=f (-x )，于是f (2+x )=f (x )，所以f (x )是周期函数.例9 设函数f (x )定义在R 上，且对任意的x 有f (x )=f (x +1)-f (x +2)，求证f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.解 因为f (x )=f (x +1)-f (x +2)，所以f (x +1)= f (x +2)-f (x +3)，两式相加，得f (x )= -f (x +3)，即f (x +3)= - f (x ).因此，f (x +6)=f ((x +3)+3)=-f (x +3)=-(-f (x ))=f (x ).所以，f (x )是周期函数，它的一个周期是6.点评 对于由关系式f (x +3)= - f (x )，推得f (x +6)=f (x ). 这个我们可以这样理解，“自变量每增加3，函数值反号一次”. 我们增加6，反号两次，不就“负负得正”了吗. 类似的还有f (x +2)=-x +1，x >0， 0， x =0， -x -1， x <0. f (x )= 图1±1f(x )，可得f (x +4)=f (x )等. 例10（2011·上海）设g (x )是定义在R 上的以1为周期的函数，若函数f (x )=x +g (x )在区间[3，4]上的值域为[-2，5]，求f (x )在区间[-10，10]上的值域.解 由g (x +1)=g (x )，知g (x +n )=g (x )，n ∈Z .所以f (x +n )=x +n + g (x +n )=x +g (x )+n =f (x )+n ，n ∈Z .因为x ∈[3，4]时，f (x )∈[-2，5]，故当x ∈[-10，-9]时，x +13∈[3，4]，有f (x +13)∈[-2，5]，即f (x )+13∈[-2，5]，所以f (x )∈[-15，-8].当x ∈[-9，-8]时，x +12∈[3，4]，同理，f (x )∈[-14，-7].……当x ∈[9，10]时，x -6∈[3，4]，从而f (x -6)∈[-2，5]，即f (x )-6∈[-2，5]，所以f (x )∈[4，11].综上，当x ∈[-10，10]时，有f (x )∈[-15，-8]∪[-14，-7]∪…∪[4，11]=[-15，11].所以f (x )值域为[-15，11].4. f (x )=af (x +b )的问题关于已知f (x )所满足的方程求f (x )的解析式问题，我们在7.3节讲述过. 我们现在来研究函数f (x )满足关系式f (x )=af (x +b )，求解与f (x )相关的问题.例11（2010·广东）已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=kf (x +2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0，2]上有表达式f (x )=x (x -2).（1）求f (-1)，f (2. 5)的值；（2）写出f (x )在[-3，3]上的表达式，并讨论f (x )在[-3，3]上的单调性.解析 （1）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，故f (1)=-1，f (12)=-34. 又x ∈R 时，f (x )=kf (x +2)（k <0）， 所以f (-1)=kf (-1+2)=kf (1)=-k ; f (2. 5)=f (2+12)=1k f (12)=-34k. （2）因为当0≤x ≤2时，f (x )=x (x -2)，设-2≤x <0，则0≤x +2<2，有f (x +2)=(x +2)(x +2-2)=x (x +2)，所以f (x )=kf (x +2)=k x (x +2).设-3≤x <-2，则-1≤x +2<0，有f (x +2) =k (x +2)(x +4)，所以f (x )=kf (x +2)=k 2(x +2)(x +4). 设2<x ≤3, 则0<x -2≤1，又f (x -2)=kf (x )，所以f (x )=1k f (x -2)=1k(x -2)(x -4).因为k <0，由二次函数性质知，f (x )在[-3，-1]，[1，3]上为增函数；在[-1，1]上为减函k 2(x +2)(x +4)，-3≤x <-2， k x (x +2)， -2≤x <0， x (x -2)， 0≤x ≤2， 1k (x -2)(x -4)， 2<x ≤3. 综上所述，f (x )=数. （图2）例12（2003·上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T )=Tf (x )成立.（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ，说明理由；（2）设函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M . 解 （1）对于非零常数T ，f (x +T )=Tf (x )=Tx ，因为对任意x ∈R ，x +T = Tx 不能恒成立，所以f (x )=x M .（2）因为函数f (x )=a x (a >0且a ≠1）的图象与y =x 的图象有公共点，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T .于是对于f (x )=a x 有f (x +T )=a x +T = a T ·a x = T ·a x = Tf (x )，所以f (x )=a x ∈M .所以方程组 有解，消去y 得a x =x ， y =a x ， y =x。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型解法作者：文/王新荣来源：《新课程·中学》2014年第05期不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。
一般形式为y=f （x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：题型一：求抽象函数的定义域例1.已知函数f（x－1）的定义域为［0，3］，求f［log■（3-x）的定义域。
解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定义域为［1，■］一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g （x）（x∈［a，b］）的值域。
题型二：求抽象函数值例2.已知函数f（x）满足：当x＞4时，f（x）=（■）x，当x＜4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。
解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x＜4时，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。
题型三：求抽象函数的解析式例３．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g （x）。
解析：用－x代换x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以－f（x）＋g（x）=■，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式．题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性例４．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。
高考数学秘笈：四步解题法13——寻找条件之发掘隐含
高考数学秘笈：四步解题法13——寻找条件之发掘隐含冯跃峰本节主要讨论如何发掘题中的隐含条件。
有些问题，其条件系统包含了某些隐含的结论，而这个结论不易被发现，但它又是解题的关键。
这时，常常需要通过对目标所需条件的审视，发掘所需要的隐含条件。
我们先举一个例子来说明。
例1、设f（x）=，求f（-5）+ f（-4）+…+ f（5）+ f（6）（上海市高考题）。
【分析与解】如果将每一个数都代入函数表达式去计算，显然过程很繁。
因此，本题一定隐含有一定的规律，需要我们去发掘。
从求和式的“对称”特点：多个数与其相反数同时出现，想到考察f（x）+ f（-x），期望它的值为常数（隐含结论）。
于是，我们先实现这样的子目标：f（x）+ f（-x）=常数。
这可建立如下解题主线：f（x）+ f（-x）——→ 常数。
由条件可知，f（x）+ f（-x）=+。
发现差异，为便于合并，将当前状态第二项中负指数转化为正指数，上式=+。
继续发现差异，两项分母中，的系数不同，可将其变得相同。
于是，上式=+。
至此，两项的分母并不完全一致，难以合并得到常数。
我们期望第二个项的分母也是“”，这就要在最开始时，将第二个项更换成：== f（-x+1）。
因此，我们要将子目标调整为：“f（x）+ f（-x+1）=常数”，也即“f（x+1）+ f（-x）=常数”。
建立如下主线：f（x+1）+ f（-x）——→ 常数。
按照上面逐步消除两项之间差异的方式，解题畅通无阻。
f（x+1）+ f（-x）=+=+=+===。
将上述隐含的结论，代入最终的目标求值式，便得到所求之值。
具体解答如下：【新写】因为f（x+1）+ f（-x）=+=+=+===。
所以，f（-5）+ f（-4）+…+ f（5）+ f（6）=6·（f（-5）+ f（6））=6·=3。
下面的一个例子与之类似，我们仅演示解答，分析过程留给读者作为练习。
例2、设f（x）=-2x+1，求。
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含有函数记号“()f x ”有关问题解法
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：
一、求表达式：
1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知(
)211
x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u
=- ∴2()2111u u f u u u
-=+=-- ∴2()1x f x x -=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x
x
+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||
x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .
解:设()f x =2
ax bx c ++，则
=22222()24ax bx a c x x +++=++ 比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩
∴213()22
f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
例4.已知y =()f x 为奇函数,当x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x
解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
∵-x >0,
∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,
∵()f x 为奇函数，
∴lg(1)()()x f x f x -=-=-
∴当x <0时()lg(1)f x x =--
∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩
例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =
-，求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，
∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,
不妨用-x 代换()f x +()g x =
11
x -………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1
g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =- 5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式
例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++
∵(1)f =1,
∴(2)f =(1)f +2,
……
以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =
(1)2n n + ∴1()(1),2
f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题
1.判断函数的奇偶性：
例7已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0,则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①
在①中令y =0则2(0)f =2(0)f
∵(0)f ≠0
∴(0)f =1
∴()()2()f y f y f y +-=
∴()()f y f y -=
∴()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2
(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，
∵()f x 为函数，
∴2(1)(1)f m f m -<-
又∵()f x 在（-1，1）内递减， ∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩
3.解不定式的有关题目
例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-
∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴
又∵其开口向上
∴f (2)最小，f (1)=f (3)
∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数
∴f (3)<f (4),
∴f (2)<f (1)<f (4)。