非诚勿扰的数学模型

做出接受的选择时遇到3，这样我们就把
这种概率增大到 3/3!=1/2。
现在我们的问题就归结为，对于一般的
N，什么样的M才会使这种概率达到最大值 呢？ 根据上面的模型假设，我们先找到对于
给定的和，女生选择到Mr.Right的概率的表
达式。
把1到N进行排列共有N!种可能。对于 某个固定的M，如果最适合的人出现在了 第P个位置（M<P≤N），要想让他有幸正 好被女生选中，就必须得满足前P-1个人中 的最好的人在前M个人里，这有M/(P-1)的 可能。即可归纳为下面的两点：
基于上面这些假设和模型，聪明的姑娘会想到一个好办
法：先和前面几个男生玩玩，大致摸清了男生们的底细后， 再开始认真考虑，对于最先表白的M个人，无论女生感觉如 何都选择拒绝，以后遇到男生向女生表白的情况，只要这个 男生的编号比前面M个男生的编号大，那么女生就选择接受，
否则选择拒绝。
从数学模型上说，就是先拒掉前面M个人，不管这些人 有多好，然后从第M+1个人开始，一旦看到比之前所有人都
面几条合理的假设：
3、N个男生以不同的随机顺序向女生依次表
白，即在任一时刻不存在两个或两个以上的男生
wenku.baidu.com向这位女生表白的情况发生，而且任何一种顺序
都是完全等概率的。
4、面对表白后的男生，女生只能做两种选择：
接受和拒绝，不存在暧昧或者其它选择。
5、任一时刻，女生最多只能和一位男生谈恋
爱，不存在脚踏多只船的情况。 6、已经被拒绝的男生不会再次追求这位女生。
N
1 M N P M 1 P 1
N
1 PM P
N 1
模型求解
这个问题可以方便的通过计算机进行
数值求解。
若用 x 来表示 M/N 的值，并且假设N
充分大，则上述公式可以写成：
1 P ( M ) x dx x ln x x t
1
N 1 M 1 M 1 1 1 事实上, P( M ) ( ) N PM P N M M 1 N 1 M 1 1 1 1 ( ) N M N ( M 1) N ( N 1) N N
要好的人，就毫不犹豫地选择他。因此M的取值很讲究，太
小了达不到试的效果，太大了又会导致真正可选的余地不多。 这就变成了一个纯数学问题：在男生总数N已知情况下，
M取何值时，按上述策略选中最佳男生的概率最大？
下面以为例说明： 三个男生追求女生，共有六种排列方 式： 123，132，213，231，312，321
选中最佳男生，可见37%法则确实有效。
计算机模拟10000次后得到的结果
该模型是残酷的，指出了炮灰（37%）存在的现实意义。 不过，该模型的量化指标都是采自女生主观臆断，各个指标 的合理性希望广大姑娘慎思之。 结论推广与讨论 1、众所周知生活中涉及到感情的事情是很复杂的，而且 也是很微妙的，把所有可能影响的因素都考虑到几乎是不可 能的。不过也说明了数学的强大。 2、设女性最为灿烂的青春为18-28岁，在这段时间中将 会遇到一生中几乎全部的追求者（之前之后的忽略不计）， 且追求者均匀分布，则女性从18+10/e≈21.7，即22岁左右开 始接受追求对自己最有利。 3、在文章中只考虑了N个男生表白的先后顺序是完全随 机的，并没有考虑相邻两次之间的时间隔。
如果你预计求爱者有N个人，你应该 先拒绝掉前 N/e 个人，静候下一个比这些 人都好的人。假设你一共会遇到大概30个， 就应该拒绝掉前30/e≈11个求爱者，然后从 第12个求爱者开始，一旦发现比前面11个 求爱者都好的人，就果断接受他。由于1/e 大约等于37%，因此这条爱情大法也叫做 37%法则。
背景介绍
“非诚勿扰”的数学模型
在由两光头主持的“非诚勿扰”节目上， 面对一位位男嘉宾，24位单身女生要做出不止 一次“艰难的决定”：到底要不要继续亮灯？ 把灯灭掉意味着放弃这一次机会，继续亮灯
则有可能结束节目之旅，放弃未来更多的选
择。
问题分析 由于没人能知道真正的缘分何时到 来，没人能知道下一个来表白的男生会
的，而且没有相等的情况。(对这个男生从1到N进行编号，
其中数字越大表示越适合这个女生，在这段时间中，女生的 Mr.Right就是男生N了。)
现在问题变成：面对这N个追求者应该以怎样
的策略才能使得在第一次选择接受的男生就是N的
可能性最大，注意到这N个男生是以不同的先后顺
序来追求这位女生的。
为了将实际复杂的问题简化，我们再给出下
接受了，万一下一个更好的话可就亏大了；如果为
此而拒绝掉一个又一个好男人，就会面对“过了这
个村就没这个店”的风险。说不定白马王子们都已
经擦肩而过，到最后就只剩下完全看不上的，当初
的拒绝就明显得不偿失了。
模型假设
1、假设一个女生愿意在一段时间和一位男生开始一段 感情，并且在这段时间有N个男生追求这位女生。(这里N的 不是事先确定的，每个女生根据自身条件，并结合以往的经 历和经验，要猜测确定这个数字。一般来说，漂亮女生就要 比不漂亮的女生N值相对要大一些。) 2、假设追求者有好有坏，任何两个男生都是可以比较
当数字N出现在第P位置(M≤N)，如果 使上述策略在第一次选择接受时遇到的是N，
排列需要满足下面两个条件：
1、N在第P位置；
2、从M+1到P-1位置的数字要比前M位
置的最大数字要小。
考虑所有可能的P，我们便得到了试
探前M个男生之后能选中最佳男生的总概
率P(M)：
1 M M P( M ) N P M 1 N P 1
是什么样子，接受表白的时机实在很难
决定。运用数学中概率论的知识对女生
选择追求者这一过程进行数学建模，可
以得到女生选择的最优策略以作参考。
每一个女生都渴望找到自己心中的白马王子，但
是面对追求者们，女生应该是选择还是拒绝，怎样
才能以最大的可能找到自己的Mr.Right呢？如果遇
到了一个优秀的男生，应该接受还是拒绝呢？如果
如果女生采用上述最简单的策略，那
么，只有最后两种排列方式选择到Mr.Right，
概率为 2/3!=1/3。
如果女生采用上面我们提出的策略， 这里我们取，即无论第一个人是否适合， 女生都选择拒绝。然后对于之后的追求者， 只要他比第一个男生更适合女生就选择接 受，否则拒绝。 基于这种策略，132、213、 231这三种排列顺序下女生都会在第一次
37%法则有一个小问题：如果最佳人 选本来就在这37%的人里面，错过这37% 的人之后，她就再也碰不上更好的了。但 在游戏过程中，她并不知道最佳人选已经 被拒，因此她会一直痴痴地等待。也就是 说，女生将会有37%的概率“失败退场”， 或者以被迫选择最后一名求爱者的结局而 告终。
37%法则“实测模拟” 37%法则的效果究竟如何呢？在计算机 上编写程序模拟，当时利用37%法则进行选 择的过程（如果女生始终未接受求爱者，则 自动选择最后一名求爱者）。编号越小的男 生越次，编号为30的男生则表示最佳选择。 程序运行10000次之后，竟然有大约4000次
M N
1

1 N
P
M N
1 1 P N
1 (步长为 ) N
当N→∞时，无穷次求和变为定积分，由定积分的定义，
即为
1 P ( M ) x dx x ln x x t
1
对求导 -xlnx，并令这个导数为0，可以解出 x 的最优值，它就是欧拉研究的神秘常数的倒数 1/e， 即此时 M=N/e。 结果分析：由上述分析可以得到如下结论：为了使 一个女生以最大的概率在第一次选择接受男生时遇 到的正是Mr. Right，女生应该采用以下的策略： 拒绝前M=[N/e]或者[N/e]+1个追求者，当其后的追 求者比前个追求者更适合则接受，否则拒绝。
基于上述假设，我们想要找到这样一种策略， 使得女生以最大的概率在第一次选择接受的那个 男生就是N=Mr.Right。 模型建立 先考虑最简单的一种策略，如果一旦有男生 向女生表白，女生就选择接受。这种策略下女生 以1/N 的概率找到自己的Mr.Right。当N比较大时， 这个概率就很小了，显然这种策略不是最优的。
微软的面试题目： 一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石， 钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼，每层 楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎 样才能拿到最大的一颗？ 结论：因此对于微软钻石选择问题的策略是：前3 层都不拿钻石，并记录下最大的钻石的大小，然 后从第四层开始，只要遇到比前三层都大的钻石 就拿。