实验16 控制系统极点的任意配置

所以： X&1 = X 2 ， X& 2 = −20X1 − 20X 2 + 20R
X&
=
⎡0 ⎢⎣− 20
1⎤ − 20⎥⎦ X
+
⎡0⎤ ⎢⎣20⎥⎦ R
y = X1 = [1 0]X
(2) 检查能控性：
rank [b
Ab]
=
rank
⎡0 ⎢⎣20
20 ⎤ − 400⎥⎦
=
2
所以系统完全能控，即具备极点任意配置的条件。 (3) 由性能指标确定希望的闭环极点
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实验十六 控制系统极点的任意配置
一、实验原理
由于控制系统的动态性能主要取决于它的闭环极点在 s 平面上的位置，因而人
们常把对系统动态性能的要求转化为一组希望的闭环极点。一个单输入单输出的 n
阶系统，如果仅靠系统的输出量进行反馈，显然不能使系统的 n 个极点位于所希望
的位置。基于一个 n 阶系统有 n 个状态变量，如果把它们作为系统的反馈信号，则
在满足一定的条件下就能实现对系统极点任意配置，这个条件是系统能控。
u
B
x& 1
s
x
C
y
A
图 16-1 状态空间模型形式控制系统方框图
设图 16-1 所示的控制系统的状态空间模型为：
⎧x& = Ax + Bu
⎨ ⎩
y
=
Cx
图 16-4 引入状态反馈后的二阶系统方框图
图 16-5 引入状态反馈前的二阶系统模拟电路图
其中：Rx1=50k
图 16-6 引入状态反馈后的二阶系统模拟电路图
Rx2=666.6k (6) 观察加状态反馈前后系统的阶跃响应曲线。
2. 典型三统全阶系状态反馈的极点配置
(1) 系统的方框图为：
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不难看出，该极点任意配置的基础是需要状态实际信息要反馈到输入，通过输 入来进一步影响状态、改善状态。如果输入不能影响状态（状态不可控），则反馈到 输入的状态实际信息是无用的，这就是极点任意配置的充要条件——状态必须完全 可控。
理论证明，通过状态反馈的系统，其动态性能一定要优于只有输出反馈的系统。 本实验分别研究二阶和三阶系统的状态反馈，有关设计和实验系统的实例参见 本实验附录。
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附录（供实验设计参考） 1. 典型二阶系统全状态反馈的极点配置设计及实验举例
二阶系统方框图如图 16-3 所示。
(1) 由图 16－3 得
图 16-3 二阶系统方框图
(R
−
X1)
1 0.05s
+1
=
X2
,
0.05X& 2 + X2 = R − X1
(1) 设计一个三阶系统的模拟电路（可参考本实验附录），测取阶跃响应， 并与软件仿真结果相比较。
(2) 根据上面的典型三阶系统，用极点配置方法设计全状态反馈的增益矩 阵。
(3) 按确定的参数设计并连接系统的模拟电路，测取阶跃响应，并与软件 仿真结果相比较。
以上步骤中，测取阶跃响应操作方法可参照实验十一的步骤。
令性能指标： σ p ≤ 0.25 ， t p ≤ 0.5s
−ξπ
由 σ p＝e 1−ξ2 ≤ 0.25 ，选择 ξ＝ 1 ＝0.707
2
tp = ωn
π ≤ 0.5s ，选择ωn＝10
1− ξ 2
/s
于是求得希望的闭环极点：
s1，2＝－7.07 ± j7.07
(S1⋅2 = −ξωn ± jωn
1− ξ 2 = −7.07 ± j10
s
x
C
y
A
K
图 16-2 状态反馈控制系统方框图
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对应于状态反馈时的（图 16-2）的控制系统的状态空间模型为：
⎧x& = Ax + Bu = Ax + B(v − Kx) = ( A − BK )x + Bv
⎨ ⎩
[ ] 因为 Rank b Ab A2b = Rank⎢⎢0 10 - 70⎥⎥ = 3 ⎢⎣5 - 25 125⎥⎦
所以系统能控，其极点能任意配置。
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设一组理想的极点为： s1 = −10, s2,3 = −2 ± j2
sI − (A − bK ) = s
−1
20 + 20k1 s + 20 + 20k2
= s2 + (20 + 20k2 )s + 20k1 + 20
(16-2)
由式(16-1)、 (16-2)解得： k1 = 4, k2 = −0.3
(5) 引入状态反馈后的方框图和模拟电路图为图 16－4 和图 16－5。
六、实验报告
1. 画出二阶和三阶系统的实验模拟电路图（包括电子装置中的电路和自行设计搭 建的反馈部分电路）。
2. 测量以上实验电路系统的阶跃响应曲线和动态性能。 3. 根据对系统性能指标的要求，确定系统希望的特征多项式。 4. 令引入状态反馈后系统的特征多项式同希望的特征多项式相等，确定状态反馈
增益矩阵。 5. 画出引入状态反馈后的二阶和三阶系统的电路图，并由实验测量它们的阶跃响
(6) 引入状态反馈后的模拟电路图如图 16-10 所示。
(16-4)
图 16-10 引入状态反馈后的三阶系统模拟电路图
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由式(16-3)、(16-4)得
7+5k3 = 14 10+10k2+10k3 = 48
k3 = 1.4 k2 = 2.4
10+10k1 = 80
k1 = 7
所以：
200k = 7 Rx1
Rx1 = 28.5 K
200k = 2.4 Rx2
Rx2 = 83 K
200k = 1.4 Rx3
Rx3 = 142 K
二、实验目的
1. 掌握用全状态反馈的方法实现控制系统极点的任意配置； 2. 学会用电路模拟与软件仿真的方法，研究参数的变化对系统性能的影响。
三、实验内容
1. 用全状态反馈进行二阶系统极点的任意配置，并自行根据原理设计实验模拟电 路系统予以实现。
2. 用全状态反馈进行三阶系统极点的任意配置，并根据原理设计模拟实验电路予 以实现。
1− 1 =－7.07 ± j7.07) 2
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希望的闭环特征多项式为：
T (s) = (s + 7.07 − j7.07)(s + 7.07 + j7.07) = s2 +14.14s +100 (16-1)
(4) 确定状态反馈系数k1和k2： 引入状态反馈后系统的特征方程式为
应曲线。 6. 采用软件仿真进行验证。 7. 通过实验分析得到的结论。
七、实验思考题
1. 系统极点能任意配置的充要条件为什么是状态可控？ 2. 为什么引入状态反馈后的系统，其性能一定会优于输出反馈的系统？ 3. 附录中图 16-3 所示的系统引入状态反馈后，能不能使输出的稳态值高于给定
值？
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则由它们组成希望的特征方程为
(s + 10)(s + 2 − j2)(s + 2 + j2)= s3 + 14s2 + 48s + 80
(5) 确定状态反馈矩阵 K
(16-3)
sI − ( A − BK ) = s(s + 2)(s + 5 + 5k3) + 2(s + 5k1) + 10K2 = s3 + (7 + 5k3)s2 + (10 + 10k2 + 10k3)s + 10 + 10k1
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图 16-7 三阶系统的方框图
(2) 模拟系统的电路图如图 16-8 所示
图 16-8 引入状态反馈后的三阶系统模拟电路图
(3) 状态方程：
x&1 = x2 由图 16-7 得： x&2 = −2x2 + 2x3
x&3 = −5x1 − 5x3 + 5R C = y = x1
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0 1
∴ x&
=
⎢ ⎢
x&2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
0
−2
⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣− 5 0
C = y = [1 0 0]x
0 ⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
+
⎢⎢0⎥⎥ R
− 5⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦ ⎢⎣5⎥⎦
图 16-9 引入状态反馈后的三阶系统方框图
(4) 检查能控性：
⎡0 0 10 ⎤
即系统的特征方程为： det(sI − A) = sI − A = 0
方程的根就是系统的特征根 s 1 , s 2 , L , s n ，它们代表了系统的稳定性和主要
的动态性能。当这些根不在 s 平面上的希望位置时，系统就不会具有满意的性能。
采用串联校正的方法可以使极点位置发生变化以改善系统性能，但却不一定能使系
y
=
Cx
其中 v 为实际输入向量；K 为状态反馈系数矩阵。
此时系统的特征方程变为： sI − (A − BK) = 0
显然，选择合适的K值（K = [k1，k2，…，kn]），就可以使特征根 s1, s2 ,L, sn 为
任意希望值，即实现极点的任意配置。同时重新配置后的极点仍然只有n个（即状 态反馈不增加系统的阶次）。
3. 根据实验原理设计实验方案，并写出实验步骤。 4. 用软件仿真验证所设计的实验系统的正确性。
四、实验设备
1. 自动控制理论电子模拟装置 1 套。 2. 数字或模拟示波器 1 台。 3. 自行设计的状态反馈部分模拟电路。 4. 计算机 1 台。
五、实验步骤
自行设计。方案可采用“自动控制理论电子模拟装置”作为原系统；自行设计搭 建的电路板作为状态反馈部分来实现。
其中：x 为状态向量，y 为输出向量，u 为输入向量；A、B、C 均为与系统的 结构和参数有关的系数矩阵。
如果对该状态空间模拟运用 Laplace 变换，可以求出系统的传递函数阵为： Y (s)[ X (s)]−1 = C(sI − A)−1 B = C adj(sI − A) B det(sI − A)
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参考步骤： 1. 典型二阶系统
(1) 设计一个二阶系统的模拟电路（可参考本实验附录），测取阶跃响应， 并与软件仿真结果相比较。
(2) 根据上面的典型二阶系统，用极点配置方法设计全状态反馈的增益矩 阵。
(3) 按确定的参数设计并连接系统的模拟电路，测取阶跃响应，并与软件 仿真结果相比较。 2. 典型三阶系统
统极点处于理想的位置（即实现最优控制），而且将增加系统的阶数（串联校正环节
本身具有 பைடு நூலகம் 阶及以上的开环极点），系统控制的复杂度增加。
如果采用状态反馈的方式，则意味着将系统中所有 n 个状态均作为反馈变量，
反馈到系统的输入侧，通过输入变量 u 来改变系统的状态，系统的方框图变为图
16-2：
vu B
x& 1