最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-5

同济大学第六版高等数学上下册课后习题

答案7-5

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习题7-5

1. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.

2. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.

解 所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为 2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0.

3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3),

n 1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0),

所求平面的法线向量为 k j i k j i n n n 6930

1332021++-=-=⨯=, 所求平面的方程为

-3(x -1)+9(y -1)+6(z +1)=0, 即x -3y -2z =0.

4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面:

(1)x =0;

解 x =0是yOz 平面.

(2)3y -1=0;

解 3y -1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,3

1 ,0(. (3)2x -3y -6=0;

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解 2x -3y -6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和-2. (4)03=-y x ;

解 03=-y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为3

3. (5)y +z =1;

解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.

(6)x -2z =0;

解 x -2z =0是通过y 轴的平面.

(7)6x +5-z =0.

解 6x +5-z =0是通过原点的平面.

5. 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦.

解 此平面的法线向量为n =(2, -2, 1).

此平面与yOz 面的夹角的余弦为 3

21)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==i n i n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为 3

21)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为 3

11)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==k n k n k n γ.

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6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.

解 所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30

11112-+=-=⨯=, 所求平面的方程为

(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.

7. 求三平面x +3y +z =1, 2x -y -z =0, -x +2y +2z =3的交点.

解 解线性方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++3

220213z y x z y x z y x

得x =1, y =-1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, -1, 3).

8. 分别按下列条件求平面方程:

(1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);

解 所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为 0⋅(x -2)-5(y +5)+0⋅(z -3)=0, 即y =-5.

(2)通过z 轴和点(-3, 1, -2);

解 所求平面可设为Ax +By =0.

因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以

-3A +B =0,

将B =3A 代入所设方程得

Ax +3Ay =0,

所以所求的平面的方程为

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(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7).

解 所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n 1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即

b +9

c =0, b =-9c ,

于是 n =(0, -9c , c )=-c (0, 9, -1).

所求平面的方程为

9(y -0)-(z +2)=0, 即9y -z -2=0.

9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离.

解 点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为 12

21|1012221|222=++-⨯+⨯+=

d .