多自由度振动系统微分方程的建立
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
3振动系统的运动微分方程
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration
制作与设计 贾启芬
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第3章 振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理 3.2 拉格朗日运动方程 3.3 刚度影响系数 作用力方程 3.4 柔度影响系数 位移方程
1 δ 13 k1 1 δ 23 = k δ 33 11 k1
1 k1 1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2
1 1 + k1 k 2 1 1 1 + + k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
K =K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章 振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 ， 在单自由度的弹簧 质量系统中，若弹簧常数是k，则 质量系统中
画出各物块的受力图根据平衡条件， 画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 = k1 + k 2，k 21 = −k 2，k 31 = 0
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
同理， 同理，令 x1 = 0，x 2 = 1，x 3 = 0
&& && && m11 x1 + m12 x 2 + ⋅L+ m1n x n + k 11 x1 + k 12 x 2 +L+ k 1n x n = 0 m x + m x +L+ m x + k x + k x +L+ k x = 0 21 &&1 22 &&2 2 n &&n 21 1 22 2 2n n LL mn1 x1 + mn 2 x 2 +L+ mnn x n + k n1 x1 + k n 2 x 2 +L+ k nn x n = 0 && && &&
两个自由度体系的自由振动.
1 1,2 m1 22 m 2 11
Y1 12 m2 1 Y2 11m1 2
22 m2
1
21m1
2
1
1
1
1
Y1 12 m2 (1) 1 Y2 11m1 2
(1)
1
2
2
Y1 12 m2 (2) 1 Y2 11m1 2
2 (1) (2) 2 2
(1)
(2) (2)
m21 Y2 Y2
Y Y
0 称第一正交关系 0 第一主振型惯性力在第二 0 主振型上所做的虚功为零
2 (1) 2
（2）刚度法
•微分方程建立
思路：取质量m1和m2为 隔离体，建立动力平衡方 程。0 m2 y
1 t 11 m2 2 t 12 y1 t m1 y y y2 t m1 y1 t 21 m2 y2 t 22
ij 是体系的柔度系数
设 y1 t Y1sin t y1 t Y1 常数 y t Y 2 y2 t Y2sin t 2 惯性力 惯性力幅值 1 t m1Y1 2sin t m1 2Y1 m1 y 2 2 t m2Y2 sin t m 2 2Y2 m2 y
15.4 两个自由度体系的自由振动
两种方法：刚度法和柔度法。 刚度法通过建立动力平衡方程求解 ，柔度法通过建立位移协调方程求解。
（1）柔度法
•微分方程建立
y2
y1
2 m y 1 m y
21
22
11
P 1 1 12
思路： P2 1 各质量的位 移等于体系 在当时惯性 力作用下所 产生的静力 位移。
第2章——多自由度系统的振动——多自由度方程的建立
船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2上节课内容的回顾1.几个重要概念主振型第阶主振型第二阶主振型多自由度系统主振型，第一阶主振型，第二阶主振型基频，第一阶固有频率，第二阶固有频率,……主振动，模态个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P37)⎬⎫=++−=−++00)(2212111x k k x k xm x k x k k xm &&&&⎭)(2321222个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P41-43)m &&⎭⎬⎫=++−=−++0)(0)(23212222212111x k k x k xm x k x k k x&&①假设简谐形式的解振动时，两个质量按相同频率和相位角作简谐振动。
()()⎭⎬⎫+=+=θωθωt A x t A x n n sin sin 2211上节课内容的回顾将简谐振动解代入运动方程式上节课内容的回顾解特征方程式的根，可以得到：上节课内容的回顾将特征值代入②的振幅A1和振幅A2，得到对应于和的振幅A1和振幅A2之间的两个确定的比值：21ω上节课内容的回顾⑥主振动的确定。
z 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，z 称为系统的主振动(1)(1)⎫第一阶主振动为：()1111(1)(1)(1)22111111sin()sin()sin x A t xA t A t ωθωθβωθ=+⎪⎬=+=+⎪⎭第二阶主振动为：(2)(2)1122sin()x A t ωθ⎫=+⎪()(2)(2)(2)22222122sin()sin x A t A t ωθβωθ⎬=+=+⎪⎭z 系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，z 以确定的频率和振型作简谐振动。
上节课内容的回顾⑦一般情况下自由振动的通解。
并非在任何情况下系统都会作主振动形式的运动，一般情况下系统运动方程的通解为上述两种主振动的叠加：o在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的线性组合，其结果不一定是简谐振动。
多自由度系统振动理论及应用
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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多自由振动系统拉格朗日与影响系数法
k2 (x1
x2 )
0
L x&2
L x2
m2&x&2 k2 (x2
x1) k3x3
0
m1
m2
&x&x&&12
k1 k2
k2
k2 k3 k2
x1 x2
0 0
拉格朗日法是建立微分方程一种简单的 方法：先求出系统的动能、势能，进而 得出质量矩阵和刚度矩阵
优点：系统的动能和势能都是标量，无需 考虑力的方向。
k11 k1 k2 , k21 k2 , k31 0
只考虑动态 ：
由受力分析得知，为维持这种状态 ，在各个坐标上施加 的力应是：
因此，质量矩阵为： 运动微分方程为：
2.位移方程—柔度影响系数法
用柔度系数法建立系统的微分方程：
0 L 0 1 0 L 0T
Kx P, x 0 L 0 1 0 L 0T
k11 L
P
k21
L
L L
kn1
L
k1 j L k2 j L LL knj L
0
k1n k2n L
M
0
1
k1 k2 L
j j
knn
0 M
knj
0
施加的外力在数值上正式刚度矩阵K的第j列，其中Kij (i=1…n)是在第i个坐标上施加的力。
第一章 振动理论基础
1.1 振动系统简介 1.2 单自由度系统 1.3 多自由度系统 1.4 连续振动系统 1.5 随机振动
11
多自由度系统微分方程的建立
一：牛顿第二定律
解：建立如图所示坐标系，原点取在各自静平衡位置。受 力分析：
建立运动微分方程： 矩阵形式：
第四章多自由度系统
kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )
4二自由度系统振动
)
)
0
0
sin( t ) 0
( a 2 )A1 bA2 0
cA1
(
d
2
)A2
0
这是关于 A1 和 A2 的线性齐次代数方程组。显然，A1 A2 0 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 A1 与 A2 具有非零解，此方程组
的系数行列式必须等于零，即：
2
F1(t ) F2 (t )
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
其中定义：
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
M
m1
0
0
m2
,
C
c1 c2
但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加
x1 x2
x1(1) x2(1)
x1(2) x2(2)
x1 r (1) A2(1) sin(1t 1) r (2) A2(2) sin(2t 2 )
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
扭转振动系统
两者坐标形式相同
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：x x1 x2 T x x1 x2 T
x x1 x2 T
F(t) F1(t) F2 (t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程Mx Cx Kx F(t)
第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
题4-2图
用瞬心法求 ：
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
自由度，选 为广 义坐标。 半圆柱体在任意位 置的动能为：
故 系统具有理想约束，重力的元功为
图中：kx、m 应反向。方程应为
4-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题4-9图所 示。试求机座在图示平面内的运动方程。
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
(h) 与运动方程
(i) 两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
4-7 应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。
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题4-7图
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第5章 多自由度系统振动的运动微分方程
/gchzhd/xlxt/class/ch4.htm
质量矩阵
刚度矩阵 位移列阵 4-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭 转弹簧的弹性系数为kT，如题4-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位 置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标q，求出运动方程。
（b）
运动的分离体图如图（b）所示。 地震中可设q为微小角度，因此
应用动能定理的微分形式
等式两边同除 ，
，等式两边同除 故微分方程为
若为小摆动
，
动的微分方程为
① ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k3u2
c1u1
m1
c2 (u2 u1 ) c2 (u2 u1 )
m2
c3u2
受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.
根据牛顿第二定律，得到系统的运动方程：
m1u1 k1u1 k2 (u2 u1 ) c1u1 c2 (u2 u1 ) f1 (t ) m2u2 k2 (u2 u1 ) k3u2 c2 (u2 u1 ) c3u2 f2 (t )
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
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用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
D
C
M
质量影响系数
用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
Mu Cu Ku f
0 第j行 k1 j 0 k 2j 1 0 k Nj 0
0, u2 1
u1 0
u2 1
k12
m1
k2
k2
k22
m2
k3
k12 k2
k22 k2 k3 k1 k2 k2 刚度矩阵： K k 2 k2 k3
k11 K k21
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
激振力向量
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
多自由度系统振动微分方程的建立
多自由度系统振动微分方程的建立如下图所示三个自由度系统的有阻尼强迫振动，分别用达朗贝尔原理、牛顿第二定律、拉格朗日方程、能量法、虚位移原理建立其振动微分方程。
1、直接平衡法建立方程（1）达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理，当系统振动时，将受到干扰力、惯性力、阻尼力以及弹性恢复力作用，这四种力在系统的每一个广义坐标上的分量应保持平衡。
对于n 个自由度结构系统，力的平衡关系可以表示成为：)(t P F F F S D I =++I F 为惯性力列阵，D F 为阻尼力列阵；S F 为弹性恢复力列阵)(t P 为干扰力列阵。
设系统位移矢量为Tn t y y y y Y ]......,[21=，则： ..X M F I =, .X C F D = , KX F S = ∴)(...t P KX X C X M =++对以上三自由度系统进行受力分析如下图所示：11x k )(1t F )(122x x k - )(2t F )(233x x k - )(3t F.11x c ..11x m .1.22)(x x c - ..22x m .2.33)(x x c - ..33x m由达朗贝尔原理列平衡方程：1m ：0)()()(..11.11.1.22111221=---+--+x m x c x x c x k x x k t F1m2m 3m2k2c3k 3c1k 1c1x2x3x)(1t F )(2t F)(3t F1m2m2m2m ：0)()()()()(..22.1.22.2.331222332=----+---+x m x x c x x c x x k x x k t F 3m ：0)()()(..33.2.332333=-----x m x x c x x k t F整理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-++--++-=-++-++)()()()()()()(33323.33.23..3323323212.33.232.12..22122121.22.121..11t F x k x k x c x c x m t F x k x k k x k x c x c c x c x m t F x k x k k x c x c c x m 写成矩阵形式得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--++⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--++⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(0)(0)(0)(0)(00000321321333322221.3.2.1333322221..3..2..1321t F t F t F x x x k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c x x x m m m 2、牛顿第二定律由牛顿第二定律建立上述系统振动微分方程，与达朗贝尔原理类似，分析各质量单元受力图，只是此时将不加惯性力。
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D x1
D
.
.
c1 x1 c2 ( x2 x1 ) (c1 c2 ) x1 c2 x2
c2 ( x2 x1 ) c3 ( x3 x2 ) c2 x1 (c2 c3 ) x2 c3 x3
. . . . . . .
.
.
.
.
.
x2
D x3
解毕
拉格朗日方程法
系统存在粘性阻尼时：
• 其中：qi为广义坐标；T为体系的总动能；V为体系的势能；Qi为 广义坐标qi对应的非保守主动力；D为耗能函数
弹性势能 耗能函数
体系动能
分别计算偏导
பைடு நூலகம்
T 0 xi
T xi
.
mi xi
.
.. d T ( . ) m xi dt x i
写成矩阵形式得
m1 0 0 m 2 0 0 .. . 0 x1 (c1 c2 ) c2 0 x1 (k1 k2 ) k2 0 x1 F1 (t ) .. . x k x F (t ) 0 x c ( c c ) c ( k k ) k 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 ..2 . m3 c3 c3 k3 k3 x3 0 x3 0 x3 F3 (t )
V k1 x1 k2 ( x2 x1 ) (k1 k2 ) x1 k2 x2 x1
V k2 ( x2 x1 ) k3 ( x3 x2 ) k2 x1 (k2 k3 ) x2 k3 x3 x2
V k3 x2 k3 x3 x3
多自由度系统振动微分方 程的建立
例：如下图所示三个自由度系统的有阻尼强迫振动，分别用牛顿第二定律、
拉格朗日方程建立其振动微分方程。
牛顿第二定律法
由牛顿第二定律建立上述系统振动微分方程，分析各质量单元受力图，此时 不加惯性力。 牛顿第二定律表达式: F=ma 其中F为物体所受所有外力之和
• 分别以m1，m2，m3为研究对象列方程
.
c （ c3 x2 c3 x3 3 x3 x2 ）
.
.
.
.
以上式中i=1,2,3
带入拉格朗日方程，得出
写成矩阵形式得：
• 整理得：
. . .. m1 x1 (c1 c2 ) x1 c2 x2 (k1 k2 ) x1 k 2 x2 F1 (t ) . . . .. m2 x2 c2 x1 (c2 c3 ) x2 c3 x3 k2 x1 (k2 k3 ) x2 k3 x3 F2 (t ) .. . . m3 x3 c3 x2 c3 x3 k3 x2 k3 x3 F3 (t )