23.3实践与探索(2)

草坪矩形的长（横向）为: （32-x)米
草坪矩形的宽（纵向:）为：(20-x)米 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即
32 x 20 x 540.
x2 52x 100 0, x1 50, x2 2
化简得：
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习：
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？
探究1
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽 21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比 例相同的矩形,如果要使四周的边衬所
27
占面积是封面面积的四分之一,上、下
边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩 形两边之比也为9:7
化简得，
35x 123 041 2x
2
( x 3)(2 x 41) 0
x1 3 41 , x2 2
其中x=-20.5应舍去 答:小路的宽为3米.
例3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙
的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱
笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S 米2 ，
样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),
把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的 面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
解:设道路宽为x米， 则
化简得，(32 2 x)(20 2 x) 570
x2 36 x 35 0
( x 35)( x 1) 0
（1）求S与x的函数关系式; （2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是
多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25
天才能挖完渠道．
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方 形拼成，则每个小长方形的面积为【 A 】 A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果 要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为
1 2
答:应围成一个边长为9米的正方形.
例4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形 的渠道，断面面积为1.6m2，• 口宽比渠深多2m，渠 上 底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能 把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深 为xm，则上口宽为（x+2）m，• 底为（x+0.4）m， 渠 那么，根据梯形的面积公式便可建模．
积不能增加2平方米. 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的 长为x米，则宽为（16-x）米.
x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0，
b2 4ac (16)2 4 1 65 4 0
∴此方程无解. ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增 加2平方米
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
练习：
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面 靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,
应该怎么设计?
解:设苗圃的一边长为xm,则
x(18 x) 81
化简得， x2
18 x 81 0
( x 9)2 0
x x 9
分析：此题的相等关系是矩形面 积减去道路面积等于540米2。 解法一、 如图，设道路的宽为x米， (2)
则横向的路面面积为 32x 米2，
纵向的路面面积为 20x 米2 。 所列的方程是不是 32 20 (32 x 20 x) 540 ？ 注意：这两个面积的重叠部分是 x2米2 图中的道路面积不是
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为x米，
则
(32 2 x)( 20 2 x) 540
化简得，
x2 26 x 25 0
(1)
( x 25)( x 1) 0
x 25, x 1
1 2
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1米.
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得 解得
9x 7x
x1
3 27 21 4
3 2
3
x
2
= -
3 2
3
(不合题意 , 舍去 )
27 9 x 故上下边衬的宽度为: 2
21 7 x 左右边衬的宽度为: 2
27 9
3 3 2 54 27 3 1.8 2 4
•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用 题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
• 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所
得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问 题的要求．
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为
7xcm依题意得
3 (27 18x)(21 14 x) 27 21 4 63 3 解方程得 x 4 方程的哪个
(以下请自己完成) 根合乎实际意义? 为什么?
例1. 学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的
长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃. （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它 的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米， 请你给出你认为合适的三种不同的方案.
32x 20x 米2。
而是从其中减去重叠部分，即应是(32x+ 20x-x2 ) m2
32 20 32 x 20 x x 2 540 所以正确的方程是：
化简得，
x2 52 x 100 0,
x1 2, x2 50
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时， 道路总面积为： (32×2 + 20× 2 - 22 ) =100 (米2)
草坪面积= ( 32×20 - 100 )= 540（米2）
答：所求道路的宽为2米。
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改 变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容
易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按
原图的位置修路）
如图，设路宽为x米， 横向路面: 32x米2 纵向路面面积为: 20x米2
xcm，那么x满足的方程是【 B 】
A．x2+130x-1400=0 C．x2-130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 D．x2-65x-350=0
x x
ห้องสมุดไป่ตู้80cm
x
50cm
x
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为
2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个
有效数字）【 C 】 A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m
解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
1 依题意，得： ( x 2 x 0.4) x 1.6 2
整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去） ∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
(2) 1.6 750 25 （天） 48
练习：
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若 能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
20 解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 ( 2 x)
cm,
20 x( x) 30 2
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4 1 30 20 0
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，
长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出 长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
解: (1)
方案1：长为 9 1 米，宽为7米; 方案2：长为16米，宽为4米; 方案3：长=宽=8米;
7
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面
∴此方程无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米
的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并 请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种 方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道 路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
实际问题与一元二次方程 ——面积、体积问题 复习：列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才 能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率
问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”。
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形 的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？
a
练习：
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所
围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别
为_______．
练习：
5、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的 面积为4800m2.求这个公园的长与宽.
280 2 x x 4800 2
x 35, x 1
1 2
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
练习：
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着 宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽 度. A D
B
C
解:设小路宽为x米，则
(20 2 x)(15 2 x) 246 15 20
21 7
3 3 2 42 21 3 1.4 2 4
要设计一本书的封面,封面长27㎝, 宽21㎝,正中央是一个与整个封面长
27
宽比例相同的矩形,如果要使四周的
上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应 如何设计四周边衬的宽度?
边衬所占面积是封面面积的四分之一,
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边 之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度 之比也为9:7