23.3实践与探索(2)
23.3.2实践与探索(二)
23.3 .2实践与探索(二)教学目标：1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。
2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。
重点难点：1、重点：列一元二次方程解决实际问题。
2、难点：寻找实际问题中的相等关系。
教学方法：三疑三探教学过程：一、设疑自探（考考你）1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的27，求这个两位数。
（这个两位数是63）2、如图，一个院子长10cm ，宽8cm ，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。
（花圃的宽度为1m ）二、解疑合探：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？三、尝试探索，合作交流，解决问题1、翻一番，你是如何理解的？（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）2、“平均年增长率”你是如何理解的。
（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。
即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）3、独立思考后，小组交流，讨论。
4、展示成果，相互补充。
解：设平均年增长率应为x ，依题意，得2(1)2x += 1x +=11x =21x =，10.414x = 2 3.414x =-因为增长率不能为负数 所以增长率应为41.4%。
三、质疑再探：同学们还有什么问题或疑问？四、拓展运用若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。
人教版初中数学九年级上册 23.3 课题学习 图案设计 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
鼓励学生
利用 EZClick
根据自己在实 电子表决器即时评
践中的收获和 选出最优秀“地球
体会，各抒己 名片”作品，体验
见，互相交流. 成功.
反思图案 设计的过程和 欣赏变换产生 的美，展现了 数学的应用价 值和美学价值.
六、做一做（运用拓展，完善发 展）
课后完善自己的作品.
鼓励学生 课后继续完善 自己的作品.
完善作品.
完善作品 的过程既是对 知识的研究和 探讨，又是美 的追求和感悟 的过程，让学 生感受生活是 数学之源.
为主展示其创
交流、评价.
学生代表展示 作成果，在促
引导学生反思 设计成果, 说出作品 进学生进行数
图案设计的关 的设计技巧和优胜 学交流的基础
键，即选取简 之处.
上增强学生表
单的基本几何
达与交流的意
图形，通过不
识.
同的变换组合
出丰富的图案.
五、评一评（民主评价，体验成 功）
1、利用 EZClick 电子表决器即时 评价.
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、赏一赏（图片欣赏，知识再
现）1. 视频欣赏：神秘的麦田圆 电脑演示
圈. 视频.
2.提出基本问题: 如何用数学创造
美妙的图案世界？
二、说一说（复习回顾，掌握本
质） [活动 1] 1、观察变换，《几何画板》动态演
示三种变换的过程.
教师引导 学生回顾三种 图形变换.
2、归纳三种图形变换的共性.
提出问题：
[活动 2]
①请你说说这
1、展示麦田圆圈图片.
幅图案是由什 么“基本图
23.3已修改
23．3 实践与探索——面积问题导学提纲一、教学目标：1、会将实际问题建模，转化为一元二次方程解决。
2、会根据问题的实际问题，检验所得的结果是否合理。
二、教学重、难点：1、面积的设计问题。
2、利用等量关系列出方程。
三、创设情景引入新知：在经过半年多的星际旅行后，美国宇航局“勇气”号火星车于2004年北京时间1月4日12时35分左右成功的在火星表面着陆，并于12时52分向地球发回了第一个成功登陆信号，随后美国宇航局宣布“勇气”号登陆计划获得成功，接下来“勇气”号将进行一周自检，之后才开始在火星表面移动和勘测，这是人类又一次尝试对火星上是否有生命存在的可能性的实践与探索。
你会在数学中运用一元二次方程这个工具探索具有规律的实际问题吗？四、联系实际建立知识：1、举例：让学生举出生活中这样的事例，以小组为单位交流。
2、明确：典型的实际生活的问题，应结合题目实际要求综合分析，分类讨论，再通过比较得出最优方案。
3、形成：根据每个小组的举例说明列一元二次方程解决实际问题，小组内交流，小组代表发言，教师评价。
五、应用知识解决问题：1、若两个连续偶数的积是168，则此两偶数为____．2、若从一块正方形的铁板上一侧裁去一块3米宽的长方形铁板，剩下的面积为40平方米，则原来这块铁板的面积为____．3、若把100厘米长的铁丝折成一个面积为525平方厘米的长方形，则长方形的长为____，宽为___．4、在旧城改造中，市建委计划在恐龙公园内修一条横断面为等腰梯形的水渠，横断面面积为10.5平方米，上口比底宽3米，比深多2米，求上口应挖多宽．5、现有长方形塑料片一块，长19cm，宽15 cm，给你锋利小刀一把、粘胶、直尺，你能做一个底面积为77 cm2 的无盖的长方形水槽吗？说说你是怎样做的。
6、小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子，如图。
如果要求长方形的底面积为81 cm2 ，那么剪去的正方形边长为多少？7、要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料。
23.3.2实际与探索(根与系数的关系)
方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0
2x2+3x-2=0
3
1
-2
-
3 2
-1
一元二次方程根与系数关系的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
+
b 2b = = 2a a
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
2 4ac b b 2a
X=
(b2-4ac≥ 0)
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 两根积 X1+x2 x 1x 2 12 7 -3 -4
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6
(3) x1 = - 7 , x2 = 7 (4) x1 = -2+ 5, x2 = -2- 5
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根 是1，求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两 个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
3 x1+x2= 2
x1+x2=3 x1+x2=0
1 x1x2= 4
x1x2=0
4 x1x2= 3
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2
华师大版九年级上册电子课本(新版) 第23章 一元二次方程
第23章一元二次方程 (2)§23.1 一元二次方程 (3)§23.2 一元二次方程的解法 (4)阅读材料 (13)§23.3 实践与探索 (14)小结 (16)复习题 (17)第23章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为x 米，可列出方程900)10(=+x x ，整理得0900102=-+x x ．方程0900102=-+x x 中未知数x 的最高次数是2，它是一个一元二次方程．§23.1 一元二次方程问题1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程x （x ＋10）＝900，整理可得0900102=-+x x ． （1）问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．分析设这两年的年平均增长率为x ．已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即2)1(5)1)(1(5x x x +=++万册．可列得方程2.7)1(52=+x ， 整理可得02.21052=-+x x ． （2）思考这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown ）．通常可化成如下的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，a ≠0），其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）232=-x x ；（2）2237x x =-；（3）0)2(3)12(=---x x x x ；（4）4)5(3)1(2-+=-x x x ．习题23．11．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2．已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值．3．根据题意，列出方程（不必求解）：（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径．（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？§23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．（1）42=x ；（2）012=-x ．概括对于方程（1），有这样的解法：方程 42=x ， 意味着x 是4的平方根，所以4±=x ，即 x ＝±2．这种方法叫做直接开平方法．对于方程（2），有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x －1）（x ＋1）＝0，必有 x －1＝0或x ＋1＝0，分别解这两个一元一次方程，得1,121-==x x ．这种方法叫做因式分解法．思考（1）方程42=x 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程012=-x 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程09002=-x ．例1 解下列方程：（1）022=-x ；（2）025162=-x ．解 （1）移项，得22=x ．直接开平方，得2±=x ．即 2,221=-=x x ．（2）移项，得25162=x ．方程两边都除以16，得16252=x直接开平方，得45±=x ．即 45,4521=-=x x ．例2 解下列方程：（1）0232=+x x ；（2）x x 32=．解 （1）方程左边分解因式，得x （3x ＋2）＝0．所以 x ＝0或3x ＋2＝0．得 32,021-==x x ．（2）移项，得032=-x x ．方程左边分解因式，得x （x －3）＝0．所以 x ＝0或x －3＝0，得 3,021==x x ．练习1．解下列方程：（1）1692=x ；（2）0452=-x ；（3）025122=-y ；（4）022=-x x ；（5）0)1)(2(=+-t t ；（6）05)1(=-+x x x ．2．小明在解方程x x 32=时，将方程两边同除以x ，得到原方程的解x ＝3，这种做法对吗？为什么？例3 解下列方程：（1）04)1(2=-+x ；（2）09)2(122=--x ．分析两个方程都可以转化为 a =2的形式，用直接开平方法求解．解（1）原方程可以变形为4)1(2=+x ， 直接开平方，得x ＋1＝±2．所以 3,121-==x x ．（2）原方程可以变形为____________________，有 ____________________，得____________,21==x x ．读一读小张和小林一起解方程x （3x ＋2）－6（3x ＋2）＝0．小张将方程左边分解因式，得（3x ＋2）（x －6）＝0， 所以3x ＋2＝0或x －6＝0． 得 6,3221=-=x x ．小林的解法是这样的：移项，得 x （3x ＋2）＝6（3x ＋2），方程两边都除以（3x ＋2），得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个根32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）016)2(2=-+x ；（2）018)1(2=--x ；（3）1)31(2=-x ；（4）025)32(2=-+x ．例4 解下列方程：（1）522=+x x ；（2）0342=+-x x ．思考能否经过适当变形，将它们转化为a =2的形式，用直接开平方法求解？解（1）原方程两边都加上1，得6122=++x x ， _______________________,_______________________,_______________________．（2）原方程化为43442+-=+-x x ，_______________________，_______________________，_______________________．归 纳上面，我们把方程0342=+-x x 变形为1)2(2=-x ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．例5用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ． 解（1）移项，得762=-x x ． 方程左边配方，得32237332+=+⋅⋅-x x ， 即 16)3(2=-x ．所以 x －3＝±4．得 1,721-==x x ．（2） 移项，得132-=+x x ．方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ， 即45)23(2=+x ． 所以2523±=+x ． 得2523,252321--=+-=x x x ．练习1．填空：（1）2x +6x+( )=(x+ )2；（2）2x -8x+( )=(x- )2；（3）x x 232++( )=(x+ )2；（4）42x -6x+( )=4(x- )2=(2x- )2．2．用配方法解下列方程：（1）2x ＋8x －2＝0；（2）2x －5x －6＝0．试一试用配方法解方程2x ＋px ＋q ＝0（q p 42-≥0）．思考如何用配方法解下列方程？（1）42x －12x －1＝0；（2） 32x ＋2x －3＝0．讨论请你和同桌讨论一下： 当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．因为a ≠0，方程两边都除以a ，得02=++a cx a bx ． 移项，得a c x a bx -=+2． 配方，得a c a b a b a bx x -=+⋅⋅+222)2()2(22， 即22244)2(a acb a bx -=+．因为a ≠0，所以42a ＞0，当2b －4ac ≥0时，直接开平方，得aac b a bx 2422-±=+． 所以aacb a bx 2422-±-=， 即a ac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=．由以上研究的结果，得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a acb b x ． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例6 解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0；（2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ． 解（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49， 所以47122491242±-=⨯±-=-±-=aacb b x ， 即23,221=-=x x ．（2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24， 所以622244±-=±-=x ． 即62,6221--=+-=x x ．（3） 因为2b －4ac ＝256， 所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ． 得2,5621=-=x x ． （4） 整理，得42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0， 所以812±-=x ， 即2321-==x x ．练习用公式法解下列方程：（1）2x －6x ＋1＝0；（2）22x －x ＝6；（3）42x －3x －1＝x －2；（4）3x （x －3）＝2（x －1）（x ＋1）．思考根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下．应用现在我们来解决§23．1的问题1：x （x ＋10）＝900，2x ＋10x －900＝0，3755±-=x ，3755,375521+-=--=x x ． 它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取x ＝3755+-≈25．4，x ＋10≈35．4，符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米．例7学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm ，则两条小道的面积分别为32x 2m 和20x 2m ，其中重叠部分小正方形的面积为2x 2m ，根据题意，得 32×20－32x －20x ＋2x ＝540．图23.2.1图23.2.2试一试如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．练习1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的32时较美观，求镶上彩纸条的宽．（精确到0．1厘米）2．竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=．爆竹点燃后以初速度0v ＝20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g ≈10米/秒2）例8某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．分析 若一次降价百分率为x ，则一次降价后零售价为原来的（1－x ）倍，即56（1－x ）元；第二次降价百分率仍为x ，则第二次降价后的零售价为56（1－x ）的（1－x ）倍．解设平均降价百分率为x ，根据题意，得56（1－x ）2＝31．5．解这个方程，得75.1,25.021==x x ．因为降价的百分率不可能大于1，所以75.12=x 不符合题意，符合本题要求的是x ＝0．25＝25%．答： 每次降价百分率为25%．练习1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%）2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．习题23．21．解下列方程： （1）22x －6＝0； （2）27＝42x ；（3）32x ＝4x ； （4）x （x －1）＋3（x －1）＝0； （5）2)1(+x ＝2；（6）32)5(-x ＝2（5－x ）．2．解下列方程： （1）2)12(-x －1＝0； （2）212)3(+x ＝2；（3）2x ＋2x －8＝0；（4）32x ＝4x －1；（5）x （3x －2）－62x ＝0； （6）2)32(-x ＝2x ． 3．求满足下列要求的x 的所有值： （1）32x －6的值等于21；（2）32x －6的值与x －2的值相等． 4．用适当的方法解下列方程： （1）32x －4x ＝2x ；（2）312)3(+x ＝1；（3）2x ＋（3＋1）x ＝0； （4）x （x －6）＝2（x －8）；（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22；（6）x （x ＋8）＝16； （7）（x ＋2）（x －5）＝1；（8）2)12(+x ＝2（2x ＋1）．5．已知A ＝22x ＋7x －1，B ＝6x ＋2，当x 为何值时A ＝B ？6．已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数．7．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）8．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？ 9．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式 我们在一元二次方程的配方过程中得到 22244)2(aac b a b x -=+．（1）发现当且仅当2b －4ac ≥0时，右式2244aac b -有平方根.直接开平方，得aac b ab x 2422-±=+．也就是说，一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）当且仅当系数a 、b 、c 满足条件2b －4ac ≥0时有实数根．观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当2b －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当2b －4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==；③ 当2b －4ac ＜0时，方程没有实数根．这里的2b－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程2x－x＋1＝0，可由2b－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：m取什么值时，关于x的方程++-mx-xm222=2)2(有两个相等的实数根？求出这时方程的根．§23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．图23.3.1（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍．若设原值为1，那么两年后的值就是2．探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的1．5倍、1．2倍、……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1．某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）．2．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3．某市人均居住面积14．6平方米，计划在两年后达到18平方米．在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等．请你把问题补充完整，再予解答．问题3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？ （1） 2x －2x ＝0； （2） 2x ＋3x －4＝0； （3） 2x －5x ＋6＝0．一般地，对于关于x 的一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0（p 、q 为已知常数，2p －4q ≥0），试用求根公式求出它的两个根1x 、2x ，算一算21x x +、21x x ⋅的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？习题23．31．一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0．1米）2．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）4．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？5．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形．要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等．请你给出设计方案．（画图并标注尺寸）(第5题)6．解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：（1）已知关于x的方程2x－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；（2）已知关于x的方程2x－6x＋2p－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．小结一、知识结构二、概括1．要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性．2．掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法．着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流．3．在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意．复习题A组1．解下列方程：（1）32x＝2x；（2）62x－40＝0；（3）x（3x－1）＝3－x；（4）y（y－2）＝4－y；（5）4x（1－x）＝1；（6）t（t－2）－32t＝0．2．已知A＝22x＋7x－1，B＝4x＋1，分别求出满足下列条件的x的值：（1）A与B的值互为相反数；（2）A的值比B的值大3．3．已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值．4．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．5．要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米．求原正方形广场的边长．（精确到0．1米）6．村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1．6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0．4米．求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度．7．求出本章习题23．1中第3题小题（2）所列方程解的近似值（精确到0．1米），并在学校举行大型活动时实地观察、比较一下效果．8．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？（第8题）B组9．解下列方程：（1）4（x －2）2－（3x －1）2＝0； （2）（2x －1）2＋3（2x －1）＋2＝0； （3）2x ＋5＝x 52；（4）32x 32--x ＝0．10．解下列关于x 的方程（a 、b 是常数，且ab ≠0）： （1）2x ＋ax －22a ＝0；（2）ab 2x －（2a －2b ）x －ab ＝0．11．已知x ＝1是一元二次方程（a －2）2x ＋（2a －3）x －a ＋1＝0的一个根，求a 的值． 12．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值． 13．已知代数式2x －5x ＋7，先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？14．学校原有一块面积为1500平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了5米，另一边减少了5米，结果使场地的面积增加了10%，求现在场地的长和宽．C 组15．试求出下列方程的解：（1）（2x －x ）2－5（2x －x ）＋6＝0；（2）112122=+-+x xxx ．16．证明： 不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝2m 总有两个不相等的实数根．17．已知xy ≠0，且32x －2xy －82y ＝0，求yx 的值．18．已知关于x 的方程（m －1）2x －（m －2）x －2m ＝0.它总是二次方程吗？试求出它的解．19．某产品每件生产成本为50元，原定销售价65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．。
华东师范版数学九年级上册目录
华东师范版九年级数学上册目录第22章二次根式
22.1二次根式
22.2二次根式的乘除法
1. 二次根式的乘法
2. 积的算术平方根
3. 二次根式的除法
22.3二次根式的加减法
第23章一元二次方程
23.1一元二次方程
23.2一元二次方程组的解法
23.3 实践与探索
第24章图形的相似
24.1相似的图形
24.2相似图形的性质
1. 成比例线段
2. 相似图形的性质
24.3相似三角形
1. 相似三角形
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
4. 相似三角形的应用
24.4中位线
24.5画相似图形
24.6图形与坐标
1. 用坐标确定位置
2. 图形的变换与坐标
第25章解直角三角形
25.1测量
25.2 锐角三角函数
1. 锐角三角函数
2. 用计算器求锐角三角函数值
25.3解直角三角形
第26章随机事件的概率
26.1概率的预测
1. 什么是概率
2. 在复杂情况下列举所有机会均等的结果
26.2 模拟实验
1．用替代物做模拟实验
2. 用计算器做模拟实验。
23.3.2 实践与探索(2)
作
业
Ｐ35 习题2、3
问题思考
思考：原价和现在的价格没有具体数 字，如何列方程？请同学们联系已有的 知识讨论、交流。
问题解答
解:设原价为1个单位，每次降价的百分率 为x.根据题意，得 解这个方程，得
问题解答
由于降价的百分率不可能大于1，所以 不符合题意，因此符合 本题要求的x为 ≈29.3 ％
答：每次降价的百分率为29.3%.
1 、党的十六大提出全面建设小康 社会，加快推进社会主义现代化建设， 力争国民生产总值到 2020 年比 2000 年 翻两番，在本世纪的头二十年（ 2001 年至 2020 年），要实现这一目标，以 十年为单位计算，设每个十年的国民 生产总值的平均增长率为 x，那么 x 满 2=4 (1+x) 足的方程为_____________
答：平均每月增长的百分率是
练习2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降 价, 现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价 百分之几?
例1：耒阳市市政府考虑在两年 后实现市财政净收入翻一番，那么 这两年中财政净收入的平均年增长 率应为多少？ （精确到0.1%）
尝试探索，合作交流，解决问题
1、翻一番，你是如何理解的？ （翻一番，即为原净收入的2倍，若设原 值为1，那么两年后的值就是2） 2、“平均年增长率”你是如何理解的。 （“平均年增长率”指的是每一年净收入 增长的百分数是一个相同的值。即每年按 同样的百分数增加，而增长的绝对数是不 相同的）
解这个方程，得
2
2 但x 1 >1不合题意，舍去 2 2 x 1 29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 2
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
小结
九年级上册数学同步练习册参考答案
三一文库（）/初中三年级〔九年级上册数学同步练习册参考答案[1]〕第22章二次根式§22.1 二次根式（一）一、1. D 2. C 3. D 4. C二、1. x2#1 2. x＜-7 3. x≤3 4. 1 5. x≥2y1 2. x＞-1 3. x=0 2§22.1 二次根式（二）三、1. x≥一、1. B 2. B 3. D 4. B22二、1.（1）3 （2）8 （3）4x2 2. x-2 3. 42或(-4)2 或（#）7）4. 15. 3a三、1. (1) 1.5 (2) 3(3) 25 (4) 20 2. 原式=(x-1)+(3-x)=273. 原式=-a-b+b-a=-2 a§22.2 二次根式的乘除法（一）一、1. D 2. B二、1. ,a 2. 3. n2#1#n#1#n#1(n≥3,且n为正整数)212三、1. （1）（2）（3） -108 2. cm 32§22.2 二次根式的乘除法（二）一、1. A 2. C 3. B 4. D二、1. 3 2b 2. 2a 2 3. 5三、1. (1) 52 (2) 62 (3) 22 (4) 4a2b 2. cm §22.2 二次根式的乘除法（三）一、1. D 2. A 3. A 4. C, 2. x=2 3. 6 3222三、1.(1) (3) 10 (4) 2 2 (2) 3-32二、1.2. 82nn#8#2,因此是2倍. 553. (1) 不正确，#4#(#9)##9#4#；(2) 不正确，4121247. #4###2525255§22.3 二次根式的加减法一、1. A 2. C 3. D 4. B二、1. 2 #35(答案不) 2. 1 3. ＜x＜34. 5#25. 3三、1.（1）43 （2）（3） 1 （4）3-52 （5）52-2 （6）3a-2 32. 因为42##）#42#32#42）#4#82#2#45.25＞45所以王师傅的钢材不够用.3. (#2)2#23#2第23章一元二次方程§23.1 一元二次方程一、1．C 2．A 3. C二、1. ≠1 2. 3y2-y+3=0，3，-1，3 3．-1三、1. (1) x2-7x-12=0，二次项系数是1，一次项系数是-7，常数项是-12(2) 6x2-5x+3=0，二次项系数是6，一次项系数是-5，常数项是32. 设长是xm,根据题意,列出方程x(x-10)=3753. 设彩纸的宽度为x米,根据题意得(30+2x)(20+2x)=2#20#30（或2(20+2x)x+2#30x=30#20 或2×30x+2×20x+4x2=30×20）§23.2 一元二次方程的解法(一)一、1．C 2．D 3．C 4. C 5. C1二、1. x=0 2. x1=0，x2=2 3. x1=2，x2=# 4. x1=-22，x2=22 2三、1. (1) x1=-，x2=； (2) x1=0，x2=1；(3) x1=0，x2=6； (4) x1=#§23.2 一元二次方程的解法(二)一、1．D 2. D 3. B二、1. x1=3，x2=-1 2. x1=3+3，x2=3-；3．直接开平方法，移项，因式分解，x1=3，x2=1三、1.（1） x1=3，x2=0 （2） x1=3，x2=-5 2, x2=1 2. 11米 3（3） x1=-1+22，x2=-1-22 （4）x1=75，x2= 241 3§23.2 一元二次方程的解法(三)一、1．D 2．A 3. D 2. x=1或x==#1； 2. 移项，1 3．3或7 二、1. 9，3；193三、1. （1）x1=1，x2=-5；（2） x1=5#，x2=5#；（3）x1=7，x2=-1； 22（4）x1=1，x2=-9.#p#p2#4q#p#p2#4q5#5#2. x=或x=. 3. x1=，x2=. 2222§23.2 一元二次方程的解法(四)一、1．B 2．D。
23.3.2实践与探索(二)
23.3 .2《实践与探索》学案(二)教学目标：1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。
2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。
重点难点：1、重点：列一元二次方程解决实际问题。
2、难点：寻找实际问题中的相等关系。
研讨过程：一、设疑自探1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的27，求这个两位数。
2、如图，一个院子长10cm，宽8cm，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。
二、解疑合探：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？三、尝试探索，合作交流，解决问题1、翻一番，你是如何理解的？（翻一番，即为原净收入的2倍）2、“平均年增长率”你是如何理解的。
（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。
即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）解：设平均年增长率应为x，依题意，得2(1)2x+=因为增长率不能为负数所以增长率应为。
三、质疑再探：同学们还有什么问题或疑问？四、拓展运用若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？（2）又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？五、巩固练习：1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。
平均每次降价百分之几？3．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．求这两年投入教育经费的年平均增长率？六、课堂小结：谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流。
海南省华东师大版九年级数学上同步练习答案
《新课程课堂同步练习册²数学(华东版九年级上)》参考答案 第22章二次根式§22.1 二次根式（一）一、1. D 2. C 3. D 4. C二、1. 12+x 2. x ＜-7 3. x ≤3 4. 1 5. x ≥2y 三、1. x ≥21 2. x ＞-1 3. x =0§22.1 二次根式（二）一、1. B 2. B 3. D 4. B二、1.（1）3 （2）8 （3）4x 2 2. x -2 3. 42或(-4)2 27）（或27）（-4. 15. 3a三、1. (1) 1.5 (2) 73(3) 25 (4) 20 2. 原式=(x -1)+(3-x )=23. 原式=-a -b +b -a =-2 a §22.2 二次根式的乘除法（一） 一、1. D 2. B二、1. 14,a 15 2. 30 3. 112-=-n n ²1+n (n ≥3,且n 为正整数) 三、1. （1）15 （2）32 （3） -108 2.1021 cm 2§22.2 二次根式的乘除法（二） 一、1. A 2. C 3. B 4. D二、1. 53 b b 2 2. a 32 72 3. 5三、1. (1) 52 (2) 26 (3) 22 (4) b a 234 2. 14cm §22.2 二次根式的乘除法（三）一、1. D 2. A 3. A 4. C 二、1.33,210 2. x =2 3. 6三、1.(1)232 (2) 3-22 (3) 10 (4) 22. 258528=÷n n ,因此是2倍.3. (1) 不正确，9494)9(4⨯=⨯=-⨯-；(2) 不正确，574251122512425124==+=.§22.3 二次根式的加减法一、1. A 2. C 3. D 4. B二、1. 52 53-(答案不唯一) 2. 1 3. 3＜x ＜334. 10255+5. 33 三、1.（1）34 （2）33 （3） 1 （4）3-25 （5）25-23 （6）3a -22. 因为25.45232284242324321824≈=⨯=++=++）（）（＞45所以王师傅的钢材不够用. 3. 2322)26(-=-第23章一元二次方程§23.1 一元二次方程一、1．C 2．A 3. C二、1. ≠1 2. 3y 2-y +3=0，3，-1，3 3．-1三、1. (1) x 2-7x -12=0，二次项系数是1，一次项系数是-7，常数项是-12(2) 6x 2-5x +3=0，二次项系数是6，一次项系数是-5，常数项是3 2. 设长是xm ,根据题意,列出方程x (x -10)=375 3. 设彩纸的宽度为x 米,根据题意得(30+2x )(20+2x )=2³20³30（或2(20+2x )x +2³30x =30³20 或2×30x +2×20x +4x 2=30×20）§23.2 一元二次方程的解法(一)一、1．C 2．D 3．C 4. C 5. C 二、1. x =0 2. x 1=0，x 2=2 3. x 1=2，x 2=21-4. x 1=-22，x 2=22三、1. (1) x 1=-3，x 2=3； (2) x 1=0，x 2=1；(3) x 1=0，x 2=6； (4) x 1=32-, x 2=1 2. 11米§23.2 一元二次方程的解法(二) 一、1．D 2. D 3. B二、1. x 1=3，x 2=-1 2. x 1=3+3，x 2=3-3； 3．直接开平方法，移项，因式分解，x 1=3，x 2=1 三、1.（1） x 1=3，x 2=0 （2） x 1=3，x 2=-5（3） x 1=-1+22，x 2=-1-22 （4）x 1=27，x 2=452. x=1或x=31-§23.2 一元二次方程的解法(三) 一、1．D 2．A 3. D二、1. 9，3；3191，； 2. 移项，1 3．3或7三、1. （1）x 1=1，x 2=-5；（2） x 1=2135+，x 2=2135-；（3）x 1=7，x 2=-1；（4）x 1=1，x 2=-9. 2. x=2175+或x=2175-. 3. x 1=242qp p -+-，x 2=242qp p ---.§23.2 一元二次方程的解法(四) 一、1．B 2．D 二、1. 3x 2+5x=-2，3，32352-=+x x ，(65)2，222)65(32)65(35+-=++x x ，65+x ，361，x 1=32-，x 2=-1 2.41，1625 3. 4三、1.(1)222±=x ； (2)4173±-=x ； (3)aacbb x 242-±-=.2. 原式变形为2(x -45)2+87，因为2452）（-x ≥0，且87＞０，所以2x 2-5x -4的值总是正数，当x=45时，代数式2x 2-5x +4最小值是87.§23.2 一元二次方程的解法(五)一、1．A 2．D二、1. x 2+3x -40=0，169，x 1=5，x 2=-8； 2. b 2-4ac ＞0，两个不相等的；3. x 1=251+- ，x 2=251--三、1.-1或-5； 2. 222±=x ； 3. 3102±=x ； 4.2979±-§23.2 一元二次方程的解法(六)一、1．A 2．B 3. D 4. A二、1. 公式法；x 1=0，x 2=-2.5 2. x 1=0，x 2=6 3. 1 4. 2 三、1. x 1=2155+，x 2=2155-； 2. x 1=4+42，x 2=4-42 ；3. y 1=3+6，y 2=3-64. y 1=0，y 2=-21；5. x 1=21，x 2=-21（提示：提取公因式(2x -1），用因式分解法） 6. x 1=1，x 2=-31§23.2 一元二次方程的解法（七） 一、1．D 2．B二、1. 90 2. 7三、1. 4m ； 2. 道路宽应为1m §23.2 一元二次方程的解法（八）一、1．B 2. B 3．C二、1. 500+500(1+x )+500(1+x )2=2000, 2. 30% 三、1. 20万元； 2. 10% §23.3 实践与探索(一) 一、1．D 2．A二、1. x (60-2x )=450 2. 50 3. 700元（ 提示：设这种箱子底部宽为x 米，则长为(x +2)米，依题意得x (x +2)³1=15，解得x 1=-5，（舍），x 2=3.这种箱子底部长为5米、宽为3米．所以要购买矩形铁皮面积为(5+2)³(3+2)=35（米2），做一个这样的箱子要花35³20=700元钱）. 三、1. （1）1800 （2）2592 2. 5元3．设道路的宽为xm ，依题意，得(20-x )(32-x )=540 整理，得x 2-52x +100=0解这个方程，得x 1=2，x 2=50（不合题意舍去）.答：道路的宽为2m .§23.3 实践与探索(二) 一、1．B 2．D二、1. 8, 2. 50+50（1+x ）+50(1+x )2=182 三、1.73%； 2. 20%3.（1）（i ）设经过x 秒后，△PCQ 的面积等于4厘米2，此时，PC=5-x ，CQ=2x . 由题意，得21(5-x )2x=4，整理，得x 2-5x +4=0. 解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8＞7，此时点Q 越过A 点，不合题意，舍去. 即经过1秒后，△PCQ 的面积等于4厘米2.（ii ）设经过t 秒后PQ 的长度等于5厘米. 由勾股定理，得(5-t )2+(2t )2=52 .整理，得t 2-2t=0. 解得t 1=2，t 2=0(不合题意，舍去). 答：经过2秒后PQ 的长度等于5厘米.（2）设经过m 秒后，四边形ABPQ 的面积等于11厘米2. 由题意，得21(5-m ) ³2m=21³5³7-11，整理得m 2-5m +6.5=0，因为15.614)5(422-=⨯⨯--=-ac b ＜0，所以此方程无实数解. 所以在P 、Q 两点在运动过程中，四边形ABPQ 的面积不能等于11厘米2.. §23.3 实践与探索(三)一、1．C 2．A 3. C二、1. 1,-2, 2. 7, 3. 1，2 4.（x -1）(x +3） 三、1.3； 2. 32-=q ．3. k 的值是1或-2. 当k =1时，方程是一元一次方程，只有-1这一个根；当k =-2时，方程另一个根为-31.第24章图形的相似§24.1 相似的图形1．(2)(3)(4) 2. 略 3. 略 §24.2 相似图形的性质（一）一、1．D 2．C 3. A 4. D 二、1. 23, 38 2．22221=(或22221=……等) 3．57三、1. 51 2.511 3. 95§24.2 相似图形的性质（二）一、1．A 2．D 3. C二、1. 1:40 000 2. 5 3．180 4．③⑤ 三、1. ∠β=81°，∠α=83°，x =28.2．(1)由已知，得MN =AB ，MD =21AD =21BC ．∵ 矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，D M M N A BB C=，∴21AD 2=AB 2，∴ 由AB =4得，AD =42(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为2D M A B=§24.3 相似三角形（一） 一、1．D 2．B二、1. AB ,BD ,AC 2. 21 3．45 ，31三、1．x =6，y =3.5 2．略 §24.3 相似三角形（二）一、1．B 2．A 3. A 4. B二、1. 310 2. 6 3．答案不唯一（如：∠1=∠B 或∠2=∠C 或AD :AB=AE :AC 等）4．28三、1. 因为∠A =∠E =47°，75==EDAC EFAB ，所以△ABC ∽△EFD . 2．CD=213．（1）① △ABE ∽△GCE ，② △ABE ∽△GDA .① 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ，∴ ∠ABE=∠GCE ，∠BAE=∠CGE ，∴ △ABE ∽△GCE ．② 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠ABE=∠GDA ， AD ∥BE ，∴ ∠E=∠DAG ，∴ △ABE ∽△GDA . （2）32.4.（1）正确的结论有①，②，③； （2）证明第①个结论：∵ MN 是AB 的中垂线，∴DA =DB ，则∠A =∠ABD =36°，又等腰三角形ABC 中AB =AC ，∠A =36°，∴ ∠C =∠ABC =72°，∴ ∠DBC =36°， ∴ BD 是∠ABC 的平分线．§24.3 相似三角形（三）一、1．B 2．D 3. C二、1. 3:2, 3:2, 9:4 2. 18 3．2:5 4. 答案不唯一.（如：△ABC ∽△DAC ,5:4 或△BAD∽△BCA ,3:5 或△ABD ∽△CAD ,3:4） 三、1．（1）31,（2）54cm 2.2. 提示:设正方形的边长为x cm.由PN ∥BC ，得△APN ∽△ABC ,BCPN ADAE =, 1288x x=-, 解得x =4.8cm.3．（1）8,（2）1:4. §24.3 相似三角形（四） 一、1．B 2．A二、1. 1.75 2. 100 3．10 4. 712或2三、1．过E 作EF ⊥BD ，∵∠AEF =∠CEF ，∴∠AEB =∠CED .又∵∠ABE =∠CDE =90°，∴ △ABE ∽△CDE ，∴DEBE CDAB = ，即1850.050.16=⨯=⨯=DE CD BE AB (米).2.（1）△CDP ∽△P AE .证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠D=∠A=90°，∴ ∠PCD +∠DPC=90°.又∵ ∠CPE=90°,∴ ∠EP A +∠DPC=90°, ∴ ∠PCD=∠EP A . ∴ △CDP ∽△P AE .（2）在Rt △PCD 中，CD=AB=6,由tan ∠PCD =CDPD .∴ PD=CD •tan ∠PCD=6•tan 30°=6³33=23. ∴ AP=AD -PD=11-23.解法1：由△CDP ∽△P AE 知APCD AEPD=， ∴ AE=233116)3211(32-=-⨯=⋅CDAPPD解法2：由△CDP ∽△P AE 知∠EP A =∠PCD =30°，∴ AE=AP •tan ∠EAP=(11-23)•tan 30°=23311-.（3）假设存在满足条件的点P ，设DP=x ，则AP=11-x 由△CDP ∽△P AE 知2=APCD，∴2116=-x，解得x=8，∴ DP=8．§24.4 中位线（一）一、1．D 2．C 3．C二、1. 26 2. 2.5 3．25 4. 12 三、1．（1）提示：证明四边形ADEF 是平行四边形； （2）AC =AB ； （3）△ABC 是直角三角形(∠BAC =90°)；（4）△ABC 是等腰直角三角形(∠BAC =90°，AC =AB ) 2. 提示：∵ DC =AC ，CE ⊥AD ，∴ 点E 是AD 的中点. §24.4 中位线（二） 一、1．D 2．D二、1. 7.5 2. 2 3．15 三、1．ab 21 2．2§24.5 画相似图形一、1．D 2．B二、1. 4,画图略 2. P 3. 略 三、1．略 2．略 §24.6 图形与坐标（一） 一、1．D 2．B 二、1．（-2, 1） 2．（7,4） 三、1．略 2．略 §24.6 图形与坐标（二）一、1．C 2．C 3. C 二、1．（1,2） 2．x 轴，横，纵 3.（-a ,b ） 三、1．略 2．略3.（1）平移，P 1(a -5,b +3).（2）如图所示. A 2(-8,2), B 2(-2,4),C 2(-4,0),P 2(2a -10,2b +6).第25章解直角三角形§25.1 测量 一、1. B 2.Ｃ 二、1．30 2．200 三、1．13.5m§25.2 锐角三角函数（一）一、1．C 2．B 3．C 4．A 二、1．53 2．21 3．54三、1. sinB =53,cosB =54,tanB =43,cotB =34 2．sinA =55,cosA =552,tanA =21,cotA =2§25.2 锐角三角函数（二）一、1. A . 2. C 3. A 4．A 5．C 6．C 二、1. 1 2. 1 3．70三、1．计算：（12（2）-3 （3）0 （4）-12.(1)在Rt △ADC 中55sin =α, 552cos =α, tan α=21,cot α=2(2)在Rt △ABC 中，BC =AC ²cot α=2³2=4，∴BD =BC -CD =4-1=3. §25.2 用计算器求锐角三角函数（三） 一、1. A 2. B二、1. 0.7344 2. 0.464 3. ＞ 三、1．（1）0.9943 （2）0.4188 （3）1.76172．（1）17°18′ （2）57°38′ （3）78°23′ 3. 6.21§25.3 解直角三角形（一） 一、1．A 2．C二、1. 2．5 3．4. 8三、1．答案不唯一. 2．10 §25.3 解直角三角形（二） 一、1．D 2．B二、1．20sin α 2. 520cos 50°(或520sin 40°) 3．1.66 三、1. 3.93米.2. 作CD ⊥AE 交AB 于D ，则∠CAB =27°，在Rt △ACD 中，CD =AC ²tan ∠CAB =4³0.51=2.04（米） 所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险．§25.3 解直角三角形（三） 一、1. B 2. B二、132. 263 3. 30三、1．15米2．如图，由已知，可得∠ACB =60°，∠ADB =45°． ∴在Rt △ABD 中，BD=AB ．又在Rt △ABC 中，tan 60AB BC= ，AB BC∴=，即3B CA B=．BD BC CD =+ ，3AB AB C D ∴=+．∴ CD =AB -33AB =180-180³33=180-603（米）．ABC D 60° 45°答：小岛C ,D 间的距离为(180-米． 3．有触礁危险．理由：过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD =90°-45°=45°．∴ BD =PD =x ．在Rt △P AD 中，∵∠P AD =90°-60°=30°，∴x ．x AD 330tan =︒=∵ AD =AB +BD ，∴ x ．x +=123∴ )13(61312+=-=x ．∵ ，＜18)13(6+∴ 渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．§25.3 解直角三角形（四） 一、1．C 2．A二、1. 30° 2．2+3．34 三、1. 作AE ⊥BC ,DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ， 在Rt △ABE 中，tan A E B B E =，∴ tan A E B E B==6tan 55．∴6221624.4tan 55B C B E A D =+=⨯+≈（cm ）．答：燕尾槽的里口宽BC 约为24.4cm ．2．如图所示，过点A 、D 分别作BC 的垂线AE 、所以△ABE 、△CDF 均为Rt △， 又因为CD =14，∠DCF =30°， 所以DF =7=AE ，且FC =12.1， 所以BC =7+6+12.1=25.1m ． 3．延长CD 交PB 于F ,则DF ⊥PB ． ∴ DF =BD ²sin 15°≈50³0.26=13.0． ∴ CE =BF =BD ²cos 15°≈50³0.97=48.5． ∴ AE =CE ²tan 10°≈48.5³0.18=8.73． ∴ AB =AE +CD +DF =8.73+1.5+13 =23.2． 答:树高约为23.2米.3.（1）在Rt △BCD 中，CD =BCsin 12°≈10³0.21=2.1（米） （2）在Rt △BCD 中，BD =BCcos 12°≈10³0.98=9.8（米） 在Rt △ACD 中，︒=5tan CD AD ≈09.01.2≈23.33（米），AB =AD -BD ≈23.33-9.8=13.53≈13.5（米）答：（1）坡高2.1米，（2）斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．第26章 随机事件的概率§26.1 概率的预测——什么是概率（一）西东PACBN M 60° 45°F一、1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 二、1. 20，30 2. 0.18 3.124. 0.2三、1.（1）2583，5839，8396，3964，9641，6417 （2）62. ①—D ②—C ③—A ④—B ⑤—E §26.1 概率的预测——什么是概率（二） 一、1. B 2. C3. C4. A 二、1.252. 353.（1）14（2）113（3）4134. 1三、1.不公平，红色向上概率对于甲骰子是31，而其他色向上的概率是612. 提示：任意将其中6个单个的小扇形涂黑即可.3. 24个球分别为4个红球、8个白球、12个黄球.§26.1 概率的预测——在复杂情况下列举所有机会均等的结果 一、1. A 2. C 二、1.132.343.124.（1）32；（2）61；（3）21三、1. 树形图：第一张卡片上的整式 x x -1 2第二张卡片上的整式 x -1 2 x 2 x x -1 所有可能出现的结果 1x x -2x1x x-12x -2x21x -也可用表格表示： 所以P （能组成分式）4263==．2.（1）设绿球的个数为x ．由题意，得21212x=++．解得x=1．经检验x=1是所列方程的根，所以绿球有1个． （2）根据题意，画树状图：开始由图知共有12种等可能的结果，即（红1，红2），（红1，黄），（红1，绿），（红2，红1），（红2，黄），（红2，绿），（黄，红1），（黄，红2），（黄，绿）， （绿，红1），（绿，红2），（绿，黄），其中两次都摸到红球的结果有两种（红1，红2），（红2，红1）∴ P （两次摸到红球）21126==．由表格知共有12种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有两种．∴ P （两次都摸到红球）21126==．3. 这个游戏对小慧有利．每次游戏时，所有可能出现的结果如下：（列表）土口木土 （土，土） （土，口） （土，木） 口 （口，土） （口，口） （口，木） 木（木，土） （木，口） （木，木）（树状图）土 口木开始土（土，土）口（土，口） 木（土，木） 土（口，土）口（口，口） 木（口，木） 土（木，土）口（木，口） 木（木，木）华东版九年级数学（上） 第11页总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同， 其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：（土，土）“圭”，（口，口）“吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆”或“杏”．()49P =小敏获胜∴，()59P =小慧获胜，∵()P <小敏获胜()P 小慧获胜．∴ 游戏对小慧有利§26.2 模拟实验——用替代物做模拟实验 一、1. A 2. C二、1．两张分别标有0、1的纸片 2. 三张纸片进行抽签，两张写“1”一张写“2”．3．合理 三、1. 略 2.14，后者答案不唯一3. 点数和为偶数与点数和为奇数的机会各占50%，替代物不唯一 §26.2 模拟实验——用计算器做模拟实验 一、1. B 2. B二、1．1 6 6 2．1 30 13 三、1.（1）0.6；（2）0.6；（3）16、242.（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张，故甲摸出“石头”的概率为31155=．（2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为84147=．（3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出．若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为71142=；若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为42147=；若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为63147=；若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为514．故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大． 3.（1）填18，0.55 ；（2）画出正确图形；（3）给出猜想的概率的大小为0.55±0.1均为正确.。
都匀市九中九年级数学上册 第二十三章 旋转23.3 课题学习 图案设计导学案新人教版
23.3 课题学习图案设计一、导学1.导入课题：请同学们观察欣赏下列图案（投影）.你能用平移、旋转或轴对称分析下图中各个图案的形成过程吗？这节课我们一起走进图案设计——板书课题.2.学习目标：（1）学会利用旋转变换进行图案设计，设计出各种图案.（2）学会利用平移、轴对称、旋转的知识，进行多角度、多手法的组合设计方案.（3）会分析一种图案的设计方法.3.学习重、难点：重点：会分析寻求一些图案的设计手法.难点：学会利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合设计出图案．4.自学指导：（1）自学内容：教材第72页的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：动手操作，小组合作交流.（4）自学参考提纲：①观看引入中的图形，相互交流一下：它们是由哪些基本图形通过怎样的变换得到的？②学生亲自动手操作：按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案.第一步：准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a）；第二步：把纸片任意撕成两部分（如图b、c）；第三步：将撕好的一部分（如图b）沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形（如图d）；第四步：并将上一步中得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到图e；第五步：把图e平移到图c的右边，得到图f；第六步：对图e进行适当的修饰，得到一个别致美丽的的图案（如图g）.A b c d e f g③试分析说明下面右边的图案是通过左边的基本图形（等腰直角三角形）进行怎样的变换得到的？右边的图案是由左图的图案绕点A逆时针依次旋转45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°得到的.④以所给图案为基本图形，运用平移、轴对称或旋转设计一个图案.二、自学学生可参考自学指导进行动手操作，互相交流体会.三、助学1.师助生：（1）明了学情：明了学生参与活动的情况.（2）差异指导：根据学情进行相应指导.2.生助生：小组内相互交流、研讨.四、强化1.展示自己的作品，交流创作心得.2.图案设计的基本方法.五、评价[HT〗1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中有何收获？能否感受到学以致用的成功体验？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的动手操作，创意设计等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:在教学过程中，引导学生动手实践，以创造性地运用数学知识进行图案设计为主线，增强学生学好数学的信念，更好地提高学生的动手操作能力和实践能力.从课堂表现和学生表现来看，学生能够充分发挥主观能动性，创造性地进行图案设计，较好地完成学习任务.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)图案可以通过将字母 S 经过 旋转 变换得到.2.(10分)图案可以通过将 正方 形经过 平移 变换得到. 3.(10分)图案可以看做将汉字 弓 经过 轴对称 变换得到.4.(20分)如图，在网格中有一个四边形图案．（1）画出此图案绕点O 顺时针方向旋转90°，180°，270°的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；（2）若网格中每个小正方形的边长均为1，旋转后点A 的对应点依次为A 1、A 2、A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积；（3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．解：(1)如图所示;(2)S 四边形AA1A2A3=S 正方形BB1B2B3-4S △ABC =8×8-4×12×5×3=34. (3)由图可知：()22142a c acb +=⨯+，整理得：c 2+a 2=b 2，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，这就是著名的勾股定理.5.(20分)如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的立体图形，但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果.解：如图所示.二、综合应用（20分）6.(20分) 如图已知每个网格中小正方形的边长都是1，图中的图案是由三段以格点（每个小正方形的顶点叫格点）为圆心，半径分别为1、2、3的圆弧围成．（1）填空：图中三段圆弧所围成的封闭图形的面积是3π-6 （结果保留π）；（2）请你在图中以（1）中的图为基本图案，借助轴对称变换和旋转变换设计一个完整的图案．解：如图所示.三、拓展延伸（10分）7.(10分) 请利用图中的基本图案，通过平移、旋转、轴对称，在方格纸中设计一个美丽的图案．解：如图所示.22.3实践与探索【学习目标】（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关：数字问题、面积问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等．（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，以及学生近似数运算的能力。
九年级数学上册(人教版)23.3课题学习图案设计优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，并给出一个图案设计任务，如设计一个对称的图案或创作一个具有特定主题的图案。
2.学生分组讨论，分享自己的设计思路和想法，互相交流和借鉴。
3.教师巡回指导，给予学生必要的帮助和反馈，鼓励他们发挥创造力和想象力。
在实际教学中，教师发现部分学生在学习图案设计时，对基本原理和变换方法掌握不扎实，导致在实际操作中无法灵活运用。另外，学生在创新设计方面存在一定的局限性，缺乏独立思考和创意表达的能力。针对这些问题，教师需要设计一份优秀教学案例，以提高学生的学习效果。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解图案设计的基本原理，包括旋转、平移、轴对称等变换方法，并能够运用这些方法进行创意图案设计。
2.创设生活中的实际情境，让学生感受到图案设计在现实生活中的应用，提高他们的学习动力。
3.设计有趣的图案设计任务，激发学生的创造力和想象力，培养他们的创新意识。
（二）问题导向
1.提出具有挑战性和引导性的问题，引导学生主动思考和探索图案设计的原理和方法。
2.鼓励学生提问，培养他们的问题意识和解决问题的能力。
九年级数学上册（人教版）23.3课题学习图案设计优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以人教版九年级数学上册23.3课题学习图案设计为例，该课题旨在让学生掌握图案设计的基本原理和方法，培养学生的创新意识和实践能力。通过对常见几何图形的旋转、平移、轴对称等变换方法的学习，使学生能够运用所学知识进行创意图案设计，提高他们的审美情趣和审美素养。
1.引导学生对自己的设计过程和结果进行反思，培养他们的自我评价和自我改进能力。
2.设计评价标准，引导学生对他人设计的图案进行评价，培养他们的批判性思维和评价能力。
华师大版23.3实践与探索第一节导学案
23.3 实践与探索（第一课时）学案同学们，本节课我们的目标是在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
一、回顾旧知：1.原始量、现在量、增长率为x 、增长次数为n 则增长率公式为__ _____2.原始量、现在量、减少率为x 、减少次数为n 则减少率公式为___________二、自学课本P33页－P34页内容，思考下列问题：1.在问题1中：①、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？②、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？③、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
④、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。
⑤、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？⑥、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
2.在问题2中①、翻一番，你是如何理解的？②、“平均年增长率”你是如何理解的。
三、例1.一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体容器。
求这块铁皮的长和宽。
例2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。
平均每次降价百分之几？四、本课小结：五、课堂练习：1、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。
初三一元二次方程同步练习题
初三数学一元二次方程同步练习 班级 座号 姓名23.1一元二次方程1、若 是关于x 的一元二次方程，求p 的取值范围2、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x3、方程（2a —4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程4、已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。
5、 是关于未知数x 的一元二次方程，求m 的值。
6、根据题意，列出一元二次方程。
（1）、两个数的和是12，积是35，求这两个数。
（2）、一个三角形的一边比这边上的高长2cm ，这个三角形的面积是30cm 2（3）、一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，再和原数相乘得736，求这个两位数。
7、把下列方程整理成一元二次方程的一般形式，分别指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项。
（1）（x-5）（2x-1）=3 （2）3x （5x-2）=0（3）(2x-1)2=4 （4）()()()()2311222-+=+--y y y y 8、已知实数a 、b 、c 满足等式0||2)1(2=-++++-b a c b a ，那么一元二次方程02=++c bx ax 的一般形式为 。
9、根据题意，列出一元二次方程并化为一般形式。
（1）、在一块长为30m ，宽为20m 的矩形土地中间，有一种植面积为551m 2的矩形绿地，在绿地四周铺设宽度相等的鹅卵石道路，求鹅卵石道路的宽。
（设鹅卵石道路的宽都是xm ）（2）、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值（列出方程）．10、关于x 的方程01)3()1(12=--+++x m x m m(1) m 取何值时，它是一元二次方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程，并解之。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25
天才能挖完渠道．
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方 形拼成，则每个小长方形的面积为【 A 】 A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果 要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为
x 35, x 1
1 2
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去. 答:道路的宽为1米.
练习：
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着 宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽 度. A D
B
C
解:设小路宽为x米，则
(20 2 x)(15 2 x) 246 15 20
∴此方程无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米
的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并 请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种 方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道 路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
练习：
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若 能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
20 解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 ( 2 x)
cm,
20 x( x) 30 2
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4 1 30 20 0
草坪面积= ( 32×20 - 100 )= 540（米2）
答：所求道路的宽为2米。
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改 变”的道理，把纵、横两条路移动一下， Nhomakorabea列方程容
易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按
原图的位置修路）
如图，设路宽为x米， 横向路面: 32x米2 纵向路面面积为: 20x米2
分析：此题的相等关系是矩形面 积减去道路面积等于540米2。 解法一、 如图，设道路的宽为x米， (2)
则横向的路面面积为 32x 米2，
纵向的路面面积为 20x 米2 。 所列的方程是不是 32 20 (32 x 20 x) 540 ？ 注意：这两个面积的重叠部分是 x2米2 图中的道路面积不是
实际问题与一元二次方程 ——面积、体积问题 复习：列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才 能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率
问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”。
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形 的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？
化简得，
35x 123 041 2x
2
( x 3)(2 x 41) 0
x1 3 41 , x2 2
其中x=-20.5应舍去 答:小路的宽为3米.
例3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙
的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱
笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S 米2 ，
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？ 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？
探究1
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽 21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比 例相同的矩形,如果要使四周的边衬所
27
占面积是封面面积的四分之一,上、下
边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设 计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩 形两边之比也为9:7
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为x米，
则
(32 2 x)( 20 2 x) 540
化简得，
x2 26 x 25 0
(1)
( x 25)( x 1) 0
x 25, x 1
1 2
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1米.
1 2
答:应围成一个边长为9米的正方形.
例4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形 的渠道，断面面积为1.6m2，• 口宽比渠深多2m，渠 上 底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能 把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深 为xm，则上口宽为（x+2）m，• 底为（x+0.4）m， 渠 那么，根据梯形的面积公式便可建模．
积不能增加2平方米. 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的 长为x米，则宽为（16-x）米.
x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0，
b2 4ac (16)2 4 1 65 4 0
∴此方程无解. ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增 加2平方米
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得 解得
9x 7x
x1
3 27 21 4
3 2
3
x
2
= -
3 2
3
(不合题意 , 舍去 )
27 9 x 故上下边衬的宽度为: 2
21 7 x 左右边衬的宽度为: 2
27 9
3 3 2 54 27 3 1.8 2 4
草坪矩形的长（横向）为: （32-x)米
草坪矩形的宽（纵向:）为：(20-x)米 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 即
32 x 20 x 540.
x2 52x 100 0, x1 50, x2 2
化简得：
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习：
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同
xcm，那么x满足的方程是【 B 】
A．x2+130x-1400=0 C．x2-130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 D．x2-65x-350=0
x x
80cm
x
50cm
x
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为
2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个
有效数字）【 C 】 A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m
32x 20x 米2。
而是从其中减去重叠部分，即应是(32x+ 20x-x2 ) m2
32 20 32 x 20 x x 2 540 所以正确的方程是：
化简得，
x2 52 x 100 0,
x1 2, x2 50
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时， 道路总面积为： (32×2 + 20× 2 - 22 ) =100 (米2)
•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用 题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
• 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所
得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问 题的要求．
（1）求S与x的函数关系式; （2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是
多少米？
【解析】(1)设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
21 7
3 3 2 42 21 3 1.4 2 4
要设计一本书的封面,封面长27㎝, 宽21㎝,正中央是一个与整个封面长
27
宽比例相同的矩形,如果要使四周的
上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应 如何设计四周边衬的宽度?
边衬所占面积是封面面积的四分之一,
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边 之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度 之比也为9:7
（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，
长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出 长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
解: (1)
方案1：长为 9 1 米，宽为7米; 方案2：长为16米，宽为4米; 方案3：长=宽=8米;
7
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面
a
练习：
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所
围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别
为_______．
练习：
5、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的 面积为4800m2.求这个公园的长与宽.
280 2 x x 4800 2
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
练习：
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面 靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,
应该怎么设计?
解:设苗圃的一边长为xm,则
x(18 x) 81
化简得， x2
18 x 81 0
( x 9)2 0
x x 9
解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
1 依题意，得： ( x 2 x 0.4) x 1.6 2