最新历年大学生高等数学竞赛试题及答案
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
高等数学竞赛试题4答案
高等数学竞赛试题4答案一、计算题 1．求9解 原积分=55551155==3522(1)15x c + 2．求1120(1)(12)limsin x xx x x x→+-+解 由洛比塔法则，原极限=112220(1)ln(1)12(12)ln(12)lim (1)(12)(1)2(12)x xx x x x x x x x x x x x x →⎡⎤-++-+++-+⎢⎥++⎣⎦而20(1)ln(1)1lim(1)2x x x x x x →-++=-+ 2012(12)ln(12)lim 12(12)x x x x x x →-++=-+ 2e∴原极限=3．求p 的值，使22007() ()0bx p ax p e dx ++=⎰解：当取p 满足()a p b p +=-+即2b ap +=-时 积分2222007()2007200722()0b a bb px p x x b a aa px p edx xe dx x e dx -++-+-+===⎰⎰⎰4．设(,)x ∀∈-∞+∞，''()0f x ≥，且20()1x f x e -≤≤-，求()f x 的表达式 解：由条件'()f x 单调增。
且(0)0f =易知'()0f x ≡，若不然，不妨设0x ∃ 0'()0f x >则当0x x >时0000()()'()'()()'()xxx x f x f x f x dx f x dx x x f x -=≥=-→+∞⎰⎰矛盾'()0f x ∴≤ 同理可让'()0'()0f x f x ≥⇒≡()(0)0f x f ∴≡='A'B 5．计算2()sx y dS+⎰⎰，其中S为圆柱面224x y+=，（0≤z≤1）解： S圆柱面关于y对称，且y是奇函数∴原积分=22221()2482s s sx ds y ds x y dsππ==+=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、设1211211212345632313nun n n=+-++-+++---111123nvn n n=+++++求（1）1010uv（2）limnnu→∞解：111121113()()32313323133n nnk kUk k k k k k k===+-=++-----∑∑111111111(32313123n nn k kVk k k k n n n===++-=+++=--++∑∑（1）10101UV=（2）22111111n nnk kUkn k nn====++∑∑21lim ln31nxU dxx→∞∴==+⎰三、有一张边长为4π的正方形纸（如图），C、D分别为'AA、'BB的中点，E为'DB的中点，现将纸卷成圆柱形，使A与'A重合，B与'B重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在Y轴正向上，此时，求：（1）通过C，E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。
大学生数学知识竞赛试题及答案
大学生数学知识竞赛试题及答案本文为大学生数学知识竞赛试题及答案的整理和汇总。
以下是一系列数学试题及答案，涵盖了各个层次和难度的题目，以供大学生参考和练习。
试题分门别类，内容全面且有层次感。
读者可根据自身情况选择适合的题目进行学习和应用。
一、代数题1. 求下列方程的根：x^2 - 5x + 6 = 0。
答案：x = 2, x = 3。
2. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 2，求 f(x) = 0 的解。
答案：x = -2/4, x = 1/2。
二、几何题1. 在平面直角坐标系中，已知 A(2, 3) 和 B(5, -1)，求 AB 的长度。
答案：AB 的长度为√26。
2. 已知直线 L1 过点 A(3, 4)，斜率为 -2，求直线 L1 的方程。
答案：直线 L1 的方程为 y = -2x - 1。
三、概率题1. 甲、乙、丙三个人按顺序抛掷一枚均匀的硬币，甲获得先抛中正面，乙获得后抛中正面，丙获得最后抛中正面的机会。
已知甲乙丙依次抛掷的概率分别为 1/4，1/3，1/2，求丙最后抛中正面的概率。
答案：丙最后抛中正面的概率为 1/24。
2. 在一副扑克牌中，红心和黑桃的总数分别为 26 张，从中随机抽取一张牌，求抽到红心或黑桃的概率。
答案：抽到红心或黑桃的概率为 1/2。
四、微积分题1. 求函数 f(x) = x^3 的导数。
答案：f'(x) = 3x^2。
2. 求曲线 y = x^2 在点 (2, 4) 处的切线方程。
答案：切线方程为 y = 4x - 4。
五、数论题1. 判断数 n = 12345678 是否为质数。
答案：n 不是质数。
2. 求最大公约数和最小公倍数：8 和 12。
答案：最大公约数为 4，最小公倍数为 24。
六、线性代数题1. 已知矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵 A 的逆。
答案：A 的逆矩阵为 [[-2, 1], [1.5, -0.5]]。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
南昌大学第十一届高等数学竞赛(理工类)试题及答案
得分
评阅人
十、 （本题满分 10 分）
设曲线 y y x 经过原点和点 M 1, 2 ,且满足二阶微分方程 y 令 p y ，则 y p
2 y2 0 ，求 y2 . 1 y
dp ，原方程化为 dy
dp 2 2 p 0 dy 1 y 由题设知 yx c （常值函数） ，于是 1 2 2 dp dy ，通解为 p c1 y 1 ， p y 1 dy 1 2 c1 y 1 ， 即 通解为 将 y0 0 ，y1 2 代入解得 c1 2, c2 1 ， c1 x c2 ， dx y 1 4 1 1 ， y 2 于是 y x 3 2x 1 p
x 0
a
0
g x f x dx 0 f x g x dx f a g 1 .
1
令 F x g t f t dt f t g t dt f x g 1 ，则
1
F x f xg x g 1 0 . 于是，对任意 a 0, 1 有
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评阅人
七、 （本题满分 10 分）
求级数 arctan
n 1
1 的和. n n 1
2
arctan
i 1 i arctani 1 arctani 1 arctan i i 1 1 ii 1 n 1 sn arctan 2 arctann 1 arctan1 i i 1 i 1 s lim sn n 2 4 4
2
得分
评阅人
八、 （本题满分 9 分）
y2 z2 1 设 为曲线 L : 绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲面 与平面 z 1 ， z 1 围成 x0 的立体. 求三重积分 x 2 y 2 dv .
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。
数学竞赛数学专业试题及答案
数学竞赛数学专业试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数\( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，求\( f(-2) \)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知等差数列\( a_n \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。
A. 37B. 38C. 39D. 403. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 求下列无穷数列的和：\( 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \ldots \)。
A. 0B. 1C. 2D. 无穷大5. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C.\( \frac{3}{5} \) D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个正方体的体积为27，求其表面积。
A. 54B. 108C. 216D. 486二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为________。
8. 根据勾股定理，若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度为________。
9. 一个等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值。
10. 求\( e^{i\pi} \)的值。
三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 \)。
12. 已知函数\( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求\( g(x) \)的最大值。
四、附加题（共30分）13. 考虑一个由正整数构成的数列，其中每个数都是前一个数的两倍加一。
高数竞赛题
1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。
若存在ξ∈ (a,b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - aB. ∃x₁, x₂∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)D. ∃x₀∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？A. {a_n} 是递减数列B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥√(2n + 1)（答案）3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？A. -1B. 0C. 1 - √2（答案）D. 2 - 2√24、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数λ的值为？A. -1/2B. 1/2（答案）C. -2D. 25、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 36、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？A. [0 -2; 2 0]（答案）B. [2 2; -2 -2]C. [0 2; -2 0]D. [-1 -2; 3 4]7、设函数 f(x) = ex - x - 1，则不等式 ex > x2 + x + 1 的解集为？A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（答案）C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-1, 0) ∪ (0, 1)8、设函数 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，其中 a, b, c 是互不相等的实数。
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)-无答案
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe .五、（10分）已知xx e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x等价的无穷大量.2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
大三数学竞赛试题及答案
大三数学竞赛试题及答案题目一：极限问题题目描述：求下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0或无穷大时，可以使用洛必达法则。
由于分子和分母都趋向于0，我们可以对分子和分母同时求导数，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]题目二：微分方程问题题目描述：解下列微分方程：\[ y'' - y' - 6y = 0 \]答案：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。
设其特征方程为：\[ r^2 - r - 6 = 0 \]解得特征根为 \( r_1 = 3 \) 和 \( r_2 = -2 \)。
因此，微分方程的通解为：\[ y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-2x} \]题目三：级数问题题目描述：判断级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 的收敛性，并求其和。
答案：这个级数可以通过部分分式分解来化简：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \]解得 \( A = 1 \) 和 \( B = -1 \)，因此：\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]利用级数的可加性，我们发现这是一个可裂项求和的级数，其和为：\[ S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots = 1 \]题目四：多元函数微分问题题目描述：设函数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 - 3x \)，求 \( f \) 在点\( P(1, 1) \) 处的偏导数 \( f_x \) 和 \( f_y \)。
2023年高等数学竞赛试题答案
高等数学竞赛试题１一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x x01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上旳持续函数,则a = -1 。
２．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上旳最大值为332+π 。
3.()=+⎰--22d e x x x x26e 2-- 。
4.由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到旳旋转面在点()230,,处旳指向外侧旳单位法向量为{}32051,,。
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----xy z x x y z 所确定,则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。
二、选择题:1． 设函数 f (x ）可导,并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x处微分ｄy 是y ∆旳( A ）(A ）等价无穷小; （B )同阶但不等价旳无穷小; (Ｃ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2． 设函数ｆ (x )在点x = a 处可导,则()x f 在点x = ａ处不可导旳充要条件是（ C ) （A ）f (a ) = ０,且()0='a f ； （B )ｆ (ａ)≠0，但()0='a f ; （C )f (a ) ＝ ０,且()0≠'a f ； （D )f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3． 曲线12+-+=x x x y （ Ｂ )(Ａ)没有渐近线; (B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C )有一条铅直渐近线; (Ｄ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数,且()0≠'x,y yϕ。
已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下旳一种极值点,下列选项中旳对旳者为（ D )（A )若()00=',yx f x，则()00=',yxf y ; (B )若()00=',yx f x，则()00≠',yxf y；(C )若()00≠',yx f x,则()00=',yxf y; (D ）若()00≠',yx f x,则()00≠',yxf y。
大专数学竞赛试题及答案
大专数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的解？A. \(x = 1\)B. \(x = 2\)C. \(x = 3\)D. \(x = 4\)答案：B2. 函数 \(f(x) = \sin(x)\) 在区间 \([0, 2\pi]\) 上的值域是？A. \([-1, 1]\)B. \([0, 1]\)C. \([-1, 0]\)D. \([0, 2]\)答案：A3. 集合 \(A = \{1, 2, 3\}\) 和集合 \(B = \{2, 3, 4\}\) 的交集是什么？A. \(\{1, 2, 3\}\)B. \(\{2, 3\}\)C. \(\{1, 3, 4\}\)D. \(\{4\}\)答案：B4. 以下哪个选项是复数 \(z = 3 + 4i\) 的共轭复数？A. \(3 - 4i\)B. \(-3 + 4i\)C. \(-3 - 4i\)D. \(3 + 4i\)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是________。
答案：16. 给定函数 \(f(x) = x^3 - 3x\)，求 \(f'(x)\) 的值。
\(f'(x) = ________\)。
答案：\(3x^2 - 3\)7. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值是 ________。
答案：\(\frac{1}{3}\)8. 已知 \(\log_2(3) = a\)，那么 \(\log_2(9) = ________\)。
答案：\(2a\)三、解答题（每题10分，共30分）9. 证明：如果 \(a^2 + b^2 = c^2\)，则 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)构成直角三角形。
证明：由 \(a^2 + b^2 = c^2\)，根据勾股定理的逆定理，可以得出\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 构成直角三角形。
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案一、单项选择题1. 设函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)，则f(-1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. -∞答案：A2. 设矩阵A = [[a, b], [c, d]]，则A的行列式det(A)的值为（）A. ad - bcB. a + b + c + dC. ab + bd + ca + dcD. |a| |b| |c| |d|答案：A3. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x)的值为（）A. 3x^2 - 6B. x^3 - 6C. 9 - 6xD. 3x^2答案：A4. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的值为（）A. 1/xB. xC. 1D. e^x答案：A5. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积a·b的值为（）A. -5B. 4C. 7D. 0答案：A二、多项选择题6. 以下哪个选项是正确的矩阵乘法规则？（）A. AB = BAB. (AB)C = A(BC)C. (A+B)C =AC+BC D. A(B+C) = AB+AC答案：B7. 以下哪个选项是正确的导数运算法则？（）A. (f+g)' = f' + g'B. (fg)' = fg' + gf'C. (f/g)' = f'/g - f/g^2D. (f^n)' = nf^(n-1)答案：A、C三、填空题8. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像是一个________。
答案：抛物线9. 设矩阵A = [[1, 2], [3, 4]], 则矩阵A的逆矩阵A^-1为________。
答案：[[2, -1], [-3, 1]]10. 设向量a = (2, 3), 向量b = (-1, 2), 则向量a与向量b的夹角θ的值为________。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)
目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
第三十二届高等数学竞赛试题(最终)答案
1 n
1 n
1
1
1
n n
1
（2）当 a 1 时，则 lim(1 a n ) n lim 2 n 1 ------------2 分 （3）当 1 a 时， a (1 a n ) 2 a ，又 lim 2 n 1 ，则 lim(1 a n ) n a ------------3 分
本页满分 12 分 本 页 得 分
tf () (1 t ) f () 0 ，----------2 分
由题意得
3 2 3 ，所以 t . t 1 t 5
3 3 (0, ) ( ， 1). ，使得 3 f () 2 f () 0 . ----------2 分 即存在 5 ， 5
两边关于 x 求导得
f ( x)
1 1 f ( x) xf ( x) 1 ， f ( x) xf ( x) 2 ，----------2 分 2 2
f ( x) 2 xf ( x) f ( x) 2 ) ( ) 2 ，( 2 x x x x
f ( x) 2 Cx ，----------2 分
又 f (1) 5 ， 所以 f ( x) 2 3x ----------2 分
-1-
四、 （本题满分 20 分） 1. （10 分） 设 D {( x, y ) | x y t , t 0} ， 且 I t e ( x
D
2
本页满分 20 分
y )
2
dxdy ， 求极限 lim I t .
n n
1 n
1 n
1
1
（注：此题还可以用海涅定理，转化为函数极限用洛必达法则）