通信原理课后答案第二章

2．2 设一个随机过程 X (t ) 可以表示成： X (t ) = 2 cos(2π t + θ )
−∞ < t < ∞ ，判断它是
功率信号还是能量信号？并求出功率谱密度或能量谱密度。 （ θ 是一个随机变量，且在 0 ∼ 2π 内均匀分布） 解：这是一个周期信号，时间取值无限，所以是一个功率信号，有功率谱密度。 要求随机过程的功率谱密度， 可以由自相关函数的傅立叶变换而求得， 但首先得证明这 是一个广义平稳的随机过程。
图略 （2） X (t ) 的功率谱密度 PX ( f ) 为自相关函数 RX (τ ) 的傅立叶变换：
+∞
PX ( w) =
−∞
∫R
X
(τ )e − jwτ dτ
w + w0 w − w0 1 = [ Sa 2 ( ) + Sa 2 ( )] 4 2 2
功率为自相关函数的零点值： P = RX (0) = 2．10 已知一噪声 n(t ) 的自相关函数为： Rn (τ ) = （1）试求其功率谱密度 Pn ( f ) 和功率 P； （2）试画出 Rn (τ ) 和 Pn ( f ) 的曲线。 解： （1）功率谱密度 Pn ( f ) 为自相关函数的傅立叶变换：
2
E[ x(t )] = E[ x1 cos 2π t − x2 sin 2π t ] = cos 2π t ⋅ E[ x1 ] − sin 2π t ⋅ E[ x2 ] =0
E[ x 2 (t )] = E[ x12 cos 2 2π t + x2 2 sin 2 2π t − 2 x1 x2 sin 2π t cos 2π t ] = cos 2 2π t ⋅ E[ x12 ] + sin 2 2π t ⋅ E[ x2 2 ] =σ2
2．4 设 X (t ) = x1 cos 2π t − x2 sin 2π t 是一个随机过程，其中 x1 和 x2 是互相统计独立的高 斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 σ 。试求：
2
τ = t2 − t1
由自相关函数可求得功率谱密度
由上可得这是一个平稳的随机过程。
（1） E[ X (t )] ， E[ X (t )] ； （2） X (t ) 的概率分布密度； （3） RX (t1 , t2 ) 。 解:(1)
2．6 试求 X (t ) = A cos ωt 的自相关函数，并根据自相关函数求出其功率。 解： 首先求自相关函数：
Rx (τ ) = E[ x(t ) x(t + τ )] = E[ A2 cos ωt cos ω (t + τ )] 1 = A2 E[cos ωτ + cos ω (2t + τ )] 2 1 = A2 cos ωτ 2
1 1 jwC 解：首先求传输函数： H ( w) = = 1 1 + jwRC R+ jwC
由传输函数可得输出噪声的功率谱密度： P0 ( w) =
n0 n 1 2 H ( jw) = 0 2 2 1 + ( wRC ) 2
1 τ n0 − RC 根据常用函数的傅立叶变换可知，输出噪声的自相关函数为： R0 (τ ) = e 4 RC
功率 P 为自相关函数的零点值： P = Rn (0) = （2）图略。 2．13 设输入信号为： x(t ) = ⎨
⎧e − t / τ ⎩ 0
t ≥ 0⎫ ⎬ ，它加到由一个电阻 R 和一个电容 C 组成的 t<0 ⎭
高通滤波器上， RC = τ 。试求其输出信号 y (t ) 的能量谱密度。 解：首先求传输函数：
2
得出输出信号的能量谱密度为： G ( w) = Y ( w)
2 ． 14 设 有 一 周 期 信 号 x(t ) 加 于 一 个 线 性 系 统 的 输 入 端 ， 得 到 的 输 出 信 号 为 ：
y (t ) = τ [ dx(t ) / dt ] ，式中， τ 为常数。试求该线性系统的传输函数 H ( f ) 。
H ( w) =
R 1 R+ jwC
=
jwRC jτ w = jwRC + 1 1 + jτ w
已知输入信号 x(t ) ，可求其傅立叶变换：
X ( w) =
1 jw + 1
=
τ
1 + jwτ
τ
输出信号的傅立叶变换Байду номын сангаас：
Y ( w) = X ( w) ⋅ H ( w) =
jwτ 2 (1 + jwτ ) 2
得到 σ = R0 (0) − R0 (∞) =
2
n0 4 RC
由以上所求，输出随机过程的均值和方差分别为：
E[ξ o (t )] = E[ξi (t )] ⋅ H (0) = 0 ； D[ξo (t )] = σ 2
· 因为高斯过程通过线性系统之后的输出仍为高能斯过程， 所以输出噪声的一维概率密度 为：
+∞
1 2 k = 常数
k −k τ e 2
Pn ( w) =
+∞
−∞
∫ R (τ )e
n −k τ
− jwτ
dτ
=
−∞
∫ 2e
0
k
e − jwτ dτ
+∞
k = [ ∫ ekτ e− jwτ dτ + 2 −∞
∫e
0
− kτ
e − jwτ dτ ]
1 1 k ] = [ + 2 k − jw k + jw = k2 k 2 + w2 k 2
解：由傅立叶变换性质可知：
Y ( w) = τ ⋅ jwX ( w) ，所以 H ( w) = Y ( w) / X ( w) = jwτ ，即 H ( f ) = j 2π f τ
2． 17 若通过图 2.10.4 中滤波器的是高斯白噪声， 它的均值为 0、 双边带功率谱密度为 n0 / 2 。 试求输出噪声的概率密度。
E[ X (t )] = E[2 cos(2π t + θ )] = 2 ∫ cos(2π t + θ )
0 2π
1 dθ 2π
=
1
π
2π sin(2π t + θ )0
=0
RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[2 cos(2π t1 + θ )2 cos(2π t2 + θ )] = 2 E[cos(2π t1 + 2π t2 + 2θ )] + cos(2π t2 − 2π t1 )] = 2 cos(2πτ ) PX ( f ) = f [ RX (τ )] = 2π [δ ( w + 2π ) + δ ( w − 2π )]
（1）试画出自相关函数 RX (τ ) 的曲线； （2）试求出 X (t ) 的功率谱密度 PX ( f ) 和功率 P。 解： （1）求随机过程 X (t ) 的自相关函数：
RX (τ ) = E[ x(t ) x(t + τ )] = E[m(t ) cos( w0t + θ ) ⋅ m(t + τ ) cos( w0t + w0τ + θ )] 1 1 = Rm (τ ) ⋅ E[ cos(2 w0t + w0τ + 2θ ) + cos w0τ ] 2 2 1 = Rm (τ ) cos w0τ 2
− 2 1 f ( x) = e 2σ = 2πσ
x2
1 n 2π 0 4 RC
e
−
2 RCx 2 n0
(2) 高斯随机变量的线性变换仍然是高斯随机变量， 所以要求概率密度即求其均值和方
2
差，由(1)得，其均值为 0，方差为 σ 。所以概率密度为：
− 2 1 f ( x) = e 2σ 2πσ
x2
(3)
RX (t1 , t2 ) = E[( x1 cos 2π t1 − x2 sin 2π t1 )( x1 cos 2π t2 − x2 sin 2π t2 )] = E[ x12 cos 2π t1 cos 2π t2 + x2 2 sin 2π t1 sin 2π t2 ] = σ 2 cos 2π (t1 − t2 )
要求功率只需求自相关函数的零点值：
P = R(0) =
A2 2
2．8 设有一随机过程 X (t ) = m(t ) cos ωt ，其中 m(t ) 是一广义平稳随机过程，且其自相关
⎧1 + τ ⎪ 为： Rm (τ ) = ⎨ 1 − τ ⎪ 0 ⎩
−1 < τ < 0 ⎫ ⎪ 0 ≤τ <1 ⎬ ⎪ 其他 ⎭