数据分布特征的描述
数据分布特征描述
数据分布特征描述数据分布特征描述是数据分析中的重要内容，通过对数据的分布特征描述，可以更好地理解数据的规律和特点。
数据的分布特征描述通常包括数据频数分布、数据均值、数据方差、数据偏度和数据峰度等指标。
下面将从这几个方面对数据分布特征进行描述。
数据频数分布是描述数据在不同取值范围内出现的频数。
通过数据频数分布可以直观地看出数据的分布规律，包括集中趋势和离散程度等。
通常可以通过直方图或饼图来展示数据频数分布，以便更好地理解数据的集中程度和变异程度。
数据均值是描述数据的集中趋势的指标，代表数据的平均水平。
均值可以帮助理解数据的集中程度，如果数据均值较大，则说明数据整体较高；反之，数据均值较小则说明数据整体较低。
数据均值是数据分布特征描述中最基本的指标之一。
数据方差是描述数据的变异程度的指标，代表数据的离散程度。
方差越大，说明数据的分布越分散；方差越小，说明数据的分布越集中。
通过数据方差可以判断数据的变化幅度和波动情况，对数据分布的特征有着重要的参考价值。
数据偏度是描述数据分布偏斜程度的指标，用来衡量数据分布的不对称性。
正偏态表示数据分布呈右偏，负偏态表示数据分布呈左偏，而零偏态则表示数据分布对称。
数据偏度可以帮助理解数据的分布形态，了解数据的倾向性和集中程度。
数据峰度是描述数据分布峰态的指标，用来衡量数据分布的陡峭程度。
峰度较高表示数据分布较陡峭，峰度较低表示数据分布较平缓。
通过数据峰度可以了解数据的分布形状和尖峭程度，对数据分布特征的描述有很大的帮助。
综上所述，数据分布特征描述是数据分析中的重要内容，通过对数据的频数分布、均值、方差、偏度和峰度等指标的描述，可以更好地理解数据的规律和特点。
数据的分布特征描述对于数据分析和决策具有重要的意义，能够为数据挖掘和预测提供有力支持。
只有深入理解数据的分布特征，才能更好地利用数据资源，为实际应用提供有效的支持和指导。
数据分布特征的描述
K
x
xi fi
i 1 K
fi
3060 76.5 40
i 1
权数（fi ，也称权重）
权数——指在计算总体平均数或综合水平的过程中对各个 数据起着权衡轻重作用的变量。
可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频率）表示。
x x f f
事实上比重权数更能够直接表明权数权衡轻重作用的实质
当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术平均数就
1、结构相对指标 计算各组总量占总体或样本总量的比重，用以
反映总体或样本结构状况的综合指标。
结构相对数
各组总量 总体（样本）总量
100 %
1、结构相对指标
①可以反映总体内部结构的特征。 ②通过不同时期相对数的变动，可以看 出事物的变化过程及其发展趋势。 ③结构相对数一般用百分数表示。 ④各组结构相对数之和等于100%或1。
算术平均数
变量值总和 变量值个数
注：平均指标和强度相对数的区别 分子和分母在经济内容上有从属关系，即分子数值是各 分母单位特征的总和，两者在总体范围上是一致的。
（一）简单算术平均数
把每项数据直接加总后除以它们的项数 通常用于对未分组的数据计算算术平均数 计算公式：
n
x
x1 x2 ... xn
相对数。相对数由两个互相联系的数值对比 求得。常用的相对数包括：结构相对数、动 态相对数、比较相对数、强度相对数、利用 程度相对数、计划完成相对数等。
平均数。平均数反映现象总体的一般水平或 分布的集中趋势。
第一节 总量指标和相对指标
一、总量指标 （一）总量指标的概念和作用 总量指标是反映现象在具体时间、地点、 条件下的总规模或总水平的统计指标。 总量指标也称为绝对指标或绝对数。
数据分布特征的描述
该项活动中，每月都有数据统计及分析以用来进 行该项活动旳调整与实施。
如：有一组有关病人进入“救济”活动旳时间长 度旳数据：
67个样本：时间长度从1天到185天。
除了对该组数据进行频数方面旳描述和分析外， 下面旳统计措施在描述数据分布特征及分析方面也很 主要：
均值(mean)：35.7天; 中位数(median)：17天； 众数(Mode)：1天
X Me Mo 当分布右偏时（阐明存在极端大旳值）
X Me Mo
3、在偏斜度适度旳情况下，不论是左偏还是右偏，中位数
与算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差旳1/3，即有如
下经验公式：
Me
X
1 3 (M O
X)
众数、中位数和均值旳应用场合
• 众数、中位数和均值都是对数据集中趋势旳测度，
1、均值由全部数据计算，包括了全部数据旳信息，具有良 好旳数学性质，当数据接近对称分布时，具有很好旳代表性； 但对于偏态分布，其代表性较差。
Graduates Monthly Graduates Monthly Graduates Monthly
Salary($)
Salary($)
Salary($)
1
2350
5
2255
9
2440
2
2450
6
2210
10
2852
3
2550
7
2390
11
2428
4
2380
8
2630
12
2380
未分组时旳算术平均值为：2440
一、均值（Mean）
均值就是一组数据旳平均值(average value)，用来测 度中心位置(central location)。
数据分布特征的描述
数据分布特征的描述原⽂链接：知识点：数据分布特征的描述1、变量集中趋势的测定变量在不同个体或不同时间条件下具体表现出来的数据是不同的，不过众多个体的数据常常会呈现出在⼀定范围内围绕某个中⼼⽽波动的分布特征。
衡量数据集中趋势的指标有两类：⼀类是数值平均数，包括算数平均数、调和平均数、⼏何平均数；另⼀类是位置代表值，根据数据所处位置直接观察或根据与特定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中位数。
测定集中趋势指标的作⽤主要是：1）反映变量分布的集中趋势和⼀般⽔平；2）可⽤来⽐较同⼀现象在不同空间或不同阶段的发展⽔平；3）可⽤来分析现象之间的依存关系。
1）数值平均数a、算术平均数(arithmeticmean)，即均值(mean)：将⼀组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果。
2）位置平均数a、众数(mode)是⼀组数据中出现频数最多、频率最⾼的变量值。
众数代表的是最常见的、最普遍的状况，是对现象集中趋势的度量。
众数既可度量定量变量（数值型数据）的集中趋势，也可⽤来测度定性变量（⾮数值型数据）的集中趋势。
b、中位数(median)是将数据从⼩到⼤排序后位置居中的数值，奇数取中间，偶数取中间两个数值的平均数。
总结：算术平均数是数值平均数，和中位数⼀样在任何⼀组数据中都存在且是唯⼀的。
算术平均数受数据中极端值的影响，⽽众数和中位数则不受极端值的影响。
算术平均和众数、中位数三者之间的数量关系取决于数据分布的偏斜（⾮对称）程度：对于呈现单峰分布特征的数据，如果分布是对称，则三者相等；如分布是左偏（负偏），数据中的极⼩值会使算术平均数偏向较⼩的⼀⽅，极⼩值⼤⼩不影响中位数，但其所占项数会影响数据的中间位置从⽽略使中位数偏⼩，众数则完全不受极⼩值⼤⼩和位置的影响，所以是众数⼤于中位数⼤于算术平均数；如果分布式右偏（正偏），则反之。
2、变量离散程度的测定数据的集中趋势和离散程度是数据分布最基本的两⼤特征。
集中趋势反映了数据聚集的中⼼所在，数据的离散程度说明数据之间差异程度的⼤⼩。
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述概率与数理统计是一门关于随机现象的描述和分析的学科。
在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和描述，以便更好地理解数据的特征和规律。
第三章主要介绍了数据分布的特征描述，包括中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量。
首先是中心位置度量，它用来描述数据集的平均水平。
一般来说，我们关心的是数据集的平均值和中位数。
平均值是数据的加权平均，它能够反映数据集的集中趋势。
平均值的计算公式是：```平均值=总和/观测数```中位数是按照数据的大小顺序排列后，处于中间位置的观测值。
中位数的计算方法是：```如果数据集的观测数为奇数，中位数为第(n+1)/2个观测值如果数据集的观测数为偶数，中位数为第n/2和(n/2+1)个观测值的平均值```其次是离散程度度量，它用来描述数据集的变异程度。
我们常用的度量指标有极差、方差和标准差。
极差是数据集中最大观测值与最小观测值之间的差距，它反映了数据的全局离散程度。
方差是每个观测值与数据集平均值的差的平方的平均值，它度量了数据的局部离散程度。
标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的单位，能够更好地反映数据的离散程度。
最后是分布形状度量，它用来描述数据分布的偏度和峰度。
偏度是描述数据分布对称性的度量，正偏表示数据集的右尾较重，负偏表示数据集的左尾较重。
峰度是描述数据分布峰态的度量，正峰表示数据集的峰部较陡，负峰表示数据集的峰部较平。
偏度和峰度能够帮助我们了解数据分布的形态特征，从而判断数据集是否服从其中一种特定的分布。
在实际应用中，我们可以通过对数据集进行描述统计分析来了解数据的特征。
通过计算平均值、中位数、方差、标准差、偏度和峰度等指标，我们能够更好地理解数据的分布情况。
此外，我们还可以通过绘制直方图、箱线图、概率密度函数等图形来展示数据的分布特征，进一步加深对数据的认识。
总之，数据分布特征的描述是概率与数理统计中重要的内容之一、通过中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量，我们能够充分了解数据的平均水平、变异程度和形态特征，为进一步的数据分析和决策提供有力的支持。
第3章统计学数据分布特征的描述
第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。
常用的统计量有平均值、中位数和众数。
平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。
然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。
因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。
中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。
众数是数据中出现次数最多的观测值。
数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。
常用的统计量有方差、标准差和四分位差。
方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。
四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。
数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。
常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。
正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。
偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。
正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。
峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。
除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。
常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。
直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。
箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。
散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。
综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。
数据分布特征的描述讲义
数据分布特征的描述讲义数据分布特征的描述是统计学中的一个重要概念，它提供了对数据集的整体性质和模式的理解。
在进行数据分析和统计推断时，了解数据的分布特征可以帮助我们进行更准确的推断和预测。
本讲义将介绍数据分布特征的几个主要方面，包括中心趋势、离散程度、偏斜度和峰度。
一、中心趋势中心趋势是描述数据集中心位置的一个指标。
常用的中心趋势测量指标有平均值、中位数和众数。
1. 平均值（Mean）：平均值是将数据集中所有数值相加后再除以总数的结果。
平均值对异常值和偏斜数据比较敏感，因此不适用于非正态分布的数据。
2. 中位数（Median）：中位数是将数据集按顺序排列后，处于中间位置的数值。
中位数对异常值和偏态数据的影响较小，适用于非正态分布的数据。
3. 众数（Mode）：众数是数据集中出现次数最多的数值。
众数在描述离散数据和非正态分布数据的中心趋势时较为常用。
二、离散程度离散程度是描述数据集中数据分散程度的一个指标。
常用的离散程度测量指标有范围、方差和标准差。
1. 范围（Range）：范围是数据集中最大值和最小值之间的差异。
范围对异常值敏感，仅仅描述了数据的最大和最小值，没有考虑其他数值的分布情况。
因此，在实际应用中较少使用。
2. 方差（Variance）：方差是每个数据点与平均值之差的平方和的均值。
方差衡量了数据集中数据分散的程度，数值越大，数据越分散。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根。
标准差和方差的大小和正负方向相同，但标准差的量级更易于理解。
三、偏斜度偏斜度是描述数据分布形状对称性的一个指标。
正偏斜和负偏斜分别表示数据分布右偏和左偏。
常用的偏斜度测量指标有偏斜系数。
1. 偏斜系数（Skewness）：偏斜系数是数据分布的非对称性度量。
如果偏斜系数小于0，则分布为左偏；如果偏斜系数大于0，则分布为右偏；如果偏斜系数等于0，则分布为对称。
四、峰度峰度是描述数据分布形状尖峭程度的一个指标。
数据分布特征的描述讲解
数据分布特征的描述讲解数据分布特征描述是统计学中对一组数据进行概括和描述的过程。
我们通常使用中心趋势和离散程度来描述数据分布的特征。
中心趋势是指数据集中的一个值，代表数据的代表性，常用的中心趋势措施包括均值、中位数和众数。
离散程度则是指数据的变异程度，包括范围、方差、标准差和四分位距等。
首先，均值是一组数据的中心趋势的一个常用度量。
它是所有数据值的总和除以数据的个数。
均值具有很强的代表性，尤其对于正态分布的数据而言。
均值的计算公式为：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n。
其次，中位数是数据集中的一个特殊值，将数据按照大小排列后，处于中间位置的数即为中位数。
中位数不受极端值的影响，能够更好地反映数据的集中趋势。
对于偶数个数据，中位数为中间两个数的平均值；对于奇数个数据，中位数为中间一个数。
中位数的计算可以通过将数据按照大小排列，然后找到中间位置的数来得出。
此外，众数是数据集中出现频率最高的值，可以是一个或多个。
众数对于描述数据的集中趋势也具有一定的代表性。
众数的计算可以通过建立频数分布表，然后找到出现次数最多的数来得出。
除了中心趋势，离散程度也是描述数据分布特征的重要度量。
范围是测量数据分布范围的最简单方式，它是一组数据中的最大值减去最小值。
范围对于描述数据的离散程度有一定的指示作用，但它受极端值的影响较大，不能完全反映整体数据的变异程度。
方差是衡量数据分布离散程度的一种指标，它表示数据偏离均值的程度。
方差的计算公式为：variance = Σ(xi - mean)² / n，其中xi为每个数据值，mean为均值，n为数据个数。
方差越大，数据的离散程度也越大。
标准差是方差的正平方根，它具有和原始数据单位一致的度量标准，常用于度量数据的波动性。
标准差的计算公式为：standard deviation = √variance。
四分位距是一种度量数据分布离散程度的方法，它是数据按从小到大排列后，第25%分位数和第75%分位数之间的差值。
描述数据的分布特征
描述数据的分布特征
数据的分布特征是数据分析中的重要概念之一，它可以帮助我们更好
地了解数据的基本情况、趋势和规律。
在描述数据的分布特征时，我
们需要考虑下面几个方面：
1. 中心趋势：中心趋势是指数据分布的中心位置，通常用均值、中位
数和众数等指标来表示。
均值是所有数据的总和除以数据的数量，中
位数是所有数据按大小排序后处于中间位置的那个数，众数则是出现
次数最多的那个数。
2. 离散程度：离散程度是指数据分散程度的大小，通常用方差、标准
差和极差等指标来表示。
方差是每个数据与均值的差平方和除以数据
的数量，标准差是方差的平方根，极差则是最大值与最小值之间的差。
3. 偏态性：偏态性是指数据分布的偏斜程度，通常用偏度和峰度等指
标来表示。
偏度是一个数据分布的偏斜程度的大小，正偏态表示平均
值偏大，负偏态则表示平均值偏小，而零偏态则表示平均值与中位数
相等。
峰度则是数据分布的峰态程度的大小，正峰态表示分布中心比
较集中，而负峰态则表示分布中心比较分散。
总体来看，数据的分布特征可以用柱状图、折线图、散点图、箱线图
等多种图表来展示，从而更直观地了解数据分布的情况以及趋势变化。
在实际数据分析中，掌握数据的分布特征不仅有助于数据的初步了解，还能为后续挖掘数据的规律提供帮助。
数据分布特征的描述
数据分布特征的描述数据分布是指一组数据中各个数值的分布情况。
描述数据分布的特征可以帮助我们更好地理解数据集的结构和趋势，以便做出有针对性的分析和决策。
常见的数据分布特征包括中心趋势、离散程度和偏态。
中心趋势是用来描述数据集中数值的集中程度的特征。
常见的中心趋势指标有均值、中位数和众数。
均值是所有数据值之和除以数据个数，它反映了数据集的平均水平。
中位数是将数据按从小到大的顺序排列后中间的数值，它能够抵抗极值的影响，更能反映数据的中间位置。
众数是数据集中出现次数最多的数值，它反映了数据的峰值位置。
离散程度是用来描述数据集中各个数据之间差异的特征。
常见的离散程度指标有极差、方差和标准差。
极差是最大值与最小值之间的差异，它度量了数据集的全局差异。
方差是每个数据与均值之差的平方和的平均值，它度量了数据集的分散程度。
标准差是方差的平方根，它的单位和原始数据的单位相同，可以作为数据集离散程度的标准度量。
偏态是用来描述数据分布形态的特征，主要指数据集分布的对称性和偏斜性。
常见的偏态指标有偏态系数和峰度。
偏态系数是数据集分布的偏斜程度的度量，正偏态表示分布朝着右侧伸展，负偏态表示分布朝着左侧伸展。
峰度是数据集分布的尖峰程度的度量，正峰度表示峰形较为陡峭，负峰度表示峰形较为平坦。
此外，还有其他一些描述数据分布特征的方法，比如分位数、箱线图和直方图。
分位数是将数据按大小进行排序后分成若干部分，每部分的值称为一个分位数，主要用于描述数据集的整体分布情况。
箱线图是一种以中位数为中心，上边缘和下边缘为边界的盒子，通过盒子的位置、长度和异常值的分布等来描述数据的分布情况。
直方图是一种将数据按照数值范围进行划分并绘制成柱状图的方法，可以直观地展示数据集的分布形态。
第3章数据分布特征的描述
第3章数据分布特征的描述数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一，它用来描述随机变量的概率分布或样本数据的分布情况。
通过对数据分布特征的描述，我们可以更好地理解数据的性质，为后续的数据分析和决策提供支持。
一、数据分布特征的描述方法常用的数据分布特征描述方法有：位置参数、离散程度参数、偏态参数和峰态参数。
1.位置参数：用来描述数据集的中心位置，最常用的位置参数是平均值和中位数。
平均值是所有数据值的总和除以观测次数，它具有对异常值敏感的特点，所以在存在异常值的情况下，中位数更适合作为位置参数。
2.离散程度参数：用来描述数据集的离散程度或变异程度，最常用的离散程度参数是方差和标准差。
方差是数据偏离平均值的平均平方，标准差是方差的平方根。
方差和标准差越大，代表数据的离散程度越大。
3.偏态参数：用来描述数据分布的对称性或偏斜性。
正偏态表示数据分布向右偏斜，负偏态表示数据分布向左偏斜。
常用的偏态参数是偏态系数，其表示为偏态系数=3*（平均值-中位数）/标准差，偏态系数为0时表示对称分布，大于0表示正偏态，小于0表示负偏态。
4.峰态参数：用来描述数据分布的尖度或平顶性。
正常分布的峰态参数为3，表示正态分布的峰度，大于3表示尖峰分布，小于3表示平顶分布。
二、常见的数据分布特征1. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，也是自然界中许多现象的分布形式。
正态分布的特点是对称的钟形曲线，均值和中位数相等，偏态系数为0，峰态系数为32. 偏态分布（Skewed Distribution）：偏态分布是指数据分布不对称的情况，其中正偏态分布是右偏的，负偏态分布是左偏的。
正偏态分布的偏态系数大于0，负偏态分布的偏态系数小于0。
3. 峰态分布（Kurtosis Distribution）：峰态分布是指数据分布的尖度或平顶性，峰态系数大于3表示尖峰分布，峰态系数小于3表示平顶分布。
数据分布特征的描述
数据分布特征的描述1.中心趋势中心趋势主要是指数据分布的中心位置，通常使用均值、中位数和众数等统计量来描述。
-均值：均值是将所有数据相加后除以样本容量的结果，它代表了数据的平均水平。
均值对于不受异常值干扰的数据集是一个较好的描述。
-中位数：中位数是将数据按照大小排列后位于中间位置的值，它不受异常值的影响，更能反映数据的典型值。
-众数：众数是数据集中出现频率最高的值，它适用于描述具有明显峰值的分布。
2.离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用统计量有范围、标准差和方差等。
-范围：范围是最大值与最小值之间的差异，它简单直观地描述了数据的离散程度。
-标准差：标准差是数据离均值的平均距离，它度量了数据的分散程度，标准差越大，数据越分散；反之，标准差越小，数据越集中。
-方差：方差是数据与均值之间偏离的平方和的平均值，它也是衡量数据离散程度的重要统计量。
3.形状形状是指数据分布的外部轮廓或曲线形状，可以通过直方图、密度图和箱线图等工具来观察。
-直方图：直方图是一种将数据划分为若干等宽区间，并统计每个区间内数据频数的图表。
通过直方图可以初步判断数据的分布形态和峰度。
-密度图：密度图可以与直方图类似地展示数据分布，但是它将每个区间内频数除以区间宽度，得到频率密度，从而更清晰地反映了概率分布。
-箱线图：箱线图主要用于描述数据的分布形态和离群点情况。
箱线图包含了最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值等统计量。
除了上述常见的描述方法，还可以使用偏度和峰度来描述数据分布的形态特征。
-偏度：偏度度量了数据分布的不对称程度。
当偏度为0时，表示数据分布是对称的；当偏度为正值时，表示数据分布右偏；当偏度为负值时，表示数据分布左偏。
-峰度：峰度度量了数据分布的尖锐程度。
峰度为正值时，表示数据分布比正态分布要尖锐；峰度为负值时，表示数据分布比正态分布要平缓。
综上所述，数据分布特征的描述主要包括中心趋势、离散程度和形状等方面的统计描述，通过这些描述可以更好地理解数据的特征，为后续的数据分析提供基础。
第五章数据分布特征的描述
第五章数据分布特征的描述数据分布特征的描述是对数据集中不同数值的分布情况进行统计和描述的过程。
通过对数据的分布特征进行分析，可以更加深入地了解数据的结构和性质，从而为后续的数据处理和分析提供基础。
数据分布特征的描述可以从以下几个方面展开：1.中心位置中心位置是描述数据集中心趋势的统计指标，常用的方法有均值、中位数和众数。
均值是所有数据的总和除以数据的个数，可以反映数据的平均水平；中位数是将数据按顺序排列后的中间值，可以反映数据的中间水平；众数是数据集中出现次数最多的数值，可以反映数据的典型水平。
2.离散程度离散程度是描述数据集中数据分散程度的统计指标，常用的方法有标准差、方差和四分位距。
标准差是各个数据与均值之差的平方和的平均数的平方根，可以反映数据的离散程度；方差是各个数据与均值之差的平方和的平均数，可以反映数据的离散程度；四分位距是将数据按顺序排列后，第一四分位数和第三四分位数之差，可以反映数据的离散程度。
3.偏态和峰态偏态和峰态是描述数据分布形态的统计指标。
偏态是描述数据分布偏离对称分布的程度，可以分为正偏态、负偏态和无偏态；峰态是描述数据分布峰度的陡峭程度，可以分为高峰态、低峰态和正常峰态。
4.分布形状分布形状是描述数据集中数据分布方式的统计指标。
常见的分布形状有正态分布、均匀分布、指数分布、泊松分布等。
分布形状的了解可以帮助我们判断数据是否符合一些特定的概率分布模型。
除了上述指标，还可以通过绘制直方图、箱线图、散点图等图形来描绘数据分布情况，以便更加直观地了解数据的特征。
总结起来，数据分布特征的描述可以通过中心位置、离散程度、偏态和峰态、分布形状等多个统计指标来反映不同数值的分布情况，通过这些描述可以更加全面地了解数据的结构和性质，为后续的数据处理和分析提供基础。
第三章统计数据分布特征的描述
第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一、它是通过对数据进行整理、组织和分析来了解数据的分布情况，帮助我们更好地理解数据的特点和趋势。
一、数据分布特征的描述方法在统计学中，数据分布特征主要通过以下两种方法进行描述：1.图形描述法：通过绘制图表来展示数据的分布情况。
常见的图形描述方法有直方图、条形图、饼图、箱线图等。
直方图是一种用于展示数据分布的图形。
它将其中一范围内的数据分成若干个等宽的区间，并统计每个区间中数据的频数或频率，然后绘制柱状图来表示。
箱线图是一种用于展示数据分布和异常值的图形。
它将数据划分为四个部分：最大值、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值，并通过画出盒子和须来表示数据的分布情况。
2.数值描述法：通过使用统计指标和参数来描述数据的分布情况。
常见的数值描述方法有均值、中位数、众数、标准差、方差等。
均值是指将所有数据相加后再除以数据的总个数的得到的值，代表了数据的平均水平。
中位数是指将数据按大小排序后，处于中间位置的值，代表了数据的中心位置。
众数是指数据集中出现次数最多的值，代表了数据的集中趋势。
标准差是指数据在均值附近的波动程度，代表了数据的离散程度。
方差是指数据与均值之间的平均差的平方的平均值，代表了数据的离散程度。
二、数据分布特征的描述步骤要进行数据分布特征的描述，一般需要进行以下步骤：1.数据的整理和搜集：搜集所需的数据，并将其整理成适合进行分析的形式。
2.确定描述方法：根据数据的特点和目标，选择适当的图形描述法或数值描述法。
3.进行描述分析：根据所选的描述方法，对数据进行分析和计算，得出相应的描述结果。
4.解释和应用：根据描述结果，解释数据的分布特征，并根据需要进行相应的应用。
三、数据分布特征的描述应用数据分布特征的描述在实际应用中有很多用途，以下是几个常见的应用：1.判断数据是否符合其中一种分布：通过对数据的分布特征进行描述，可以判断数据是否符合正态分布或其他特定的分布形式。
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xi fi
i 1 n
fi
xf f
i 1
加权—为了体现各变量值轻重不同的影响作用， 对各个变量值赋予不尽相同的权数（fi ）.
3-8
权数（fi ，也称权重）
权数——指在计算总体平均数或综合水平的过 程中对各个数据起着权衡轻重作用的变量。
可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频
率）来表示。
x x f f
解：采用简单算术平均法计算，即全体
队员的平均年龄为（单位5 25 30 30 50 22 ... 30
20
538 26.9 20
表 3-2
分组数据不能简单 平均 ！因为各组变 量值的次数不等！
年龄 人数（人）
x
f
若采用简单平均：
集中趋势(Central tendency)
较大和较小的观测值出现的频率比较低，大多数 观测值密集分布在中心附近，使得全部数据呈现 出向中心聚集或靠拢的态势。
测度集中趋势的指标有两大类：
数值平均数——是根据全部数据计算得到的代表值，主要 有算术平均数、调和平均数及几何平均数；
位置代表值——根据数据所处位置直接观察、或根据与特 定位置有关的部分数据来确定的代表值，主要有众数和中 位数。
如表3-2中年龄的众数值MO＝25。
众数代表的是最常见、最普遍的状况，是对
现象集中趋势的度量。
可用来测度定性变量的集中趋势；
销售量最大的产品颜色是“白色”，则有M0＝“白色”
可以度量定量变量的集中趋势。
从分布曲线的角度看，众数就是变量分布曲线的最高 峰所对应的变量值。
3-15
从分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数 值，一组数据分布的最高峰点所对应的变量值即为 众数。当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势 或最高峰点，众数也可能不存在；如果有两个最高 峰点，也可以有两个众数，见P55图3-1。
解：本例中各工序的合格率具有环比的性质，企业 产品的总合格率等于各工序合格率之连乘积。所以， 所求的平均合格率应为：
xG 5 88％85%90%92％96% 90.31%
3-14
f(x)
三、众数与中位数
（一）众数（Mode）
MO
x
众数是一组数据中出现频数最多、频率最高
的变量值，常用 Mo 表示。
fi
i 1
n
(xi
fi
)
i1 xi
256 16％
475 10％
480 12％
10350
3-12
（三）几何平均数（Geometric mean）
几何平均数— n个变量值连乘积的n次方根。
简单几何平均数
n
xG n x1 x2 ... xn n xi
加权几何平均数
i 1
n
xG
( f1 f2 ... fk )
事实上比重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作
用的实质。
当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术 平均数就成了简单算术平均数。
3-9
（二）调和平均数（Harmonic mean）
调和平均数也称为倒数平均数。
各变量值的倒数（1/xi）的算术平均数的倒数. 其计算公式为：
n
xH
对一组数据分布的特征，可以从三个方面进行测度和描 述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢 和聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离 中心值的趋势；三是分布偏态和峰态，反映数据分布的 形状。这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面。
3-3
§1 统计变量集中趋势的测定
3-4
一、测定集中趋势的指标及其作用
22
4
25
10
22 25 30 50 31.75
30
5
4
50
1
合计
20
3-7
2．加权算术平均数
正确的计算是：
x 22 4 2510 305 501
538 26.9
4 10 5 1
20
加权算术平均数的计算公式：
n
x
x1 f1 x2 f2 ... xn fn f1 f2 ... fn
需要注意的是，当数据中出现“0”时不宜计算调和 平均数。
3-11
表 3-4
企业
甲 乙 丙 合计
流通费用率（％） 流通费用（万元）
16
256
10
475
12
480
11.70048
1211
n
n
xi fi (xi fi )
x i1
i1
256 475 480
1211 100％ 11.7％
n
x f! 1
x2 f2
...
xk
fk
fi i1
n
x fi i
i1
适用于各个变量值之间存在连乘积关系的场合。
主要用于计算现象的平均发展速度，
也适用于对某些具有环比性质的比率求平均.
3-13
【例3-5】
某企业产品的加工要顺次经过前后衔接的五道工序。 本月该企业各加工工序的合格率分别为88％、85％、 90％、92％、96％，试求这五道工序的平均合格率。
3-5
二、数值平均数
（一）算术平均数（均值）
一组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果;
最常用的数值平均数。
1．简单算术平均数
把每项数据直接加总后除以它们的项数。
通常用于对未分组的数据计算算术平均数。
计算公式：
n
x
x1
x2
... xn
xi
i 1
x
n
nn
3-6
例 3-1
表 3-1 男性 女性 22 22 22 22 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 30 30 30 30 50 30
18
35%
16
30%
14
12
25%
10
20%
8
`
15%
6
10%
4
2
5%
0
0%
50-60
70-80
90-100
数据分布特征的描述
第一节 统计变量集中趋势的测定 第二节 统计变量离散程度的测定 第三节 变量分布的偏度与峰度
3-2
统计数据经过整理和显示后，对数据分布的形状和特征 就可以有一个大致的了解。为进一步掌握数据分布的特 征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分 布特征的各个代表值。
1
1 x1
m1
1 x2
m2
...
1 xn
mn
m1 m2 ... mn
m1 m2 ... mn
x1 x2
xn
mi
i 1
n mi
x i1 i
m1 m2 ... mn
3-10
（续）
调和平均数是算术平均数的变形，在实际工作中， 由于所获得的数据的不同，有时不能直接采用均值 的计算公式来计算平均数，这就需要使用调和平均 数的形式进行计算，二者实质上是相同的，而仅有 形式上的区别。即当已知各组变量值 xi 和算术平均 数的分子数据（xi fi）而缺乏其分母数据（fi）时， 加权算术平均数通常可变形为调和平均数形式来计 算。