人教版数学八年级上册 分式方程

解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
增根 解得： x=5 检验：
从去分母后所得的 整式方程中解出的
将x=5代入x-5、x 2-25的值都为0，相应分式无意义．
所以x=5不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
增根
增根的定义
增根：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为 零的根． 增根满足的两个要求： ①是相应_整__式___方程的根． ②使分式方程的公___分__母__为0．
有增
增根问题 若关于x的分式方程 的值是A （ ）
A.m=-1 C.m=3
有增根，则m
B.m=0 D.m=0或m=3
增根问题
分式方程 （C ）
A.0
B.2
2
D.1
有增根，则增根可能是 C.0或
无解问题 k为何值时，方程
无解？
提示：分式方程无解意味着什么呢？ 【解析】方程两边都乘以x-2，约去分母，得
2．已知方程有增根求参数的步骤： ①把参数当作已知数，解出分式方程 ②再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． ③解出参数．
③忘记检验．
解含参分式方程 解关于x的方程
解：方程两边同乘以x-a，得 a+b（x-a）=x-a 去括号，得a+bx-ba=x-a
点睛：把参数当作已知 数，正常求解即可．
移项、合并同类项，得（b-1）x=ab-2a
∵b ≠1 ∴b-1≠0
检验：当
解含参分式方程
解关于 x 的方程
解：方程两边同乘 x（x+1）,得m（x+1）-nx=0.
1．怎么解分式方程？ 2．为什么解分式方程一定要检验？
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解分式方程：
【答案】x=3是增根，原分式方程无解
练习 解方程：
【答案】x=0
易错点 解分式方程时容易犯的错误： ①去分母时，原方程的整式部分漏乘． ②约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
A.m＞3 ＜3 C.m＞-3 ＜-3
的解是正数，则字母 m 的取 B.m D.m
已知解得范围求参数范围
若关于x的分式方程 范围是C （ ）
的解为非负数，则a的取值
A.≥1 C.a≥1且a≠4
B.a＞1 D.a＞1且a≠4
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根
解含参分式方程
1．怎么解含参分式方程？ 2．已知含参分式方程解的范围如何求参数的范围？ 3．需要注意什么细节？
解为正数？
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根 【解析】由方程有解，结合上题有
且x ≠2
由题意得 解得k＜5且k≠1
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
解为负数？
【解析】方程两边都乘以x-2，得k+3（x-2）=x-1. 解这个整个方程，得
解得k＞5.
已知解得范围求参数范围
关于 x 的分式方程 值范围是D （ ）
也可以先把方程化为 整式方程，然后把可 能的增根代入方程
所以当k=1时，方程
产生增根.
增根问题
k为何值时，分式方程
根？ 解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），
得
x（x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0
把 x=1代入上式，则k=-1
把 x=-1代入上式，k 值不存在
∴当k =-1，原方程有增根.
分式方程
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
①只含有一个未知数 2．一元一次方程有什么特点？ ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母 去括号
移项
合并同类项
系数化1
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速
顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时
x与x的倒数和 用换元法解方程： 么
原方程可化为________________.
时，如果设
，那
x与x的倒数和 1．已知 x 与 x 的倒数和，如何求 x 与 x 倒数的平方？
换元法 用换元法解分式方程
时，如果设
将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ A ）
一些特殊的分式方程 解方程： 【解析】方程两边分别通分，得
归纳 1．解分式方程的思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
2．解分式方程一般步骤： ①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
流程图 分式方程
解分式方程一般步骤：
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是 分式方程的解
最简公分母不为最0简公分母为x0=a不是 分式方程的解
解分式方程
增根问题
1.当m=0时，方程
？
x=6，不会
会产生增根吗
2.当m=1时，方程 ？
x=5，不会
会产生增根吗
3.当m为何值时，方程
会产生增根呢?
x=6-m，m=3时会产生增根
增根问题 k为何值时，方程
产生增根？
解：方程两边都乘以x-2，约去分母， 得k+3（x-2）=x-1 把x=2代入以上方程得：k=1
分式方程
整式方程
整式方程
分式方程
分式方程
探究
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程： 转化 一元一次方程
方程两边同乘以（30+v）（30-v） ，得：
解得：
检验：将v=6代入分式方程，左边= =右边，所以
v=6是原分式方程的解．
解分式方程基本思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
练习 解下列方程：
解分式方程
k+3（x-2）=-（1-x）
解得
由题意可知 解得k=1.
是原分式方程的增根，即
无解问题 关于 x 的方程
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A.-5
B.-8
无解，则m的值为A（ ）
C.-2
D.5
提示：分式方程无解意味着什么呢？
含参分式方程增根问题
1．方程有增根怎么求参数？ 2．方程无解怎么求参数？
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
经检验x=-5是原方程的根. ∴ 原方程的根是x=-5.
总结
这节课我们学会了什么？
转化 1．解分式方程的思路： 分式方程
去分母 2．解分式方程一般步骤：
①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
整式方程
总结
这节课我们学会了什么？
1．含参分式方程的解法： 把参数当作已知数，正常求解即可．
思考
刚才我们解了两个分式方程
为什么第一个去分母后所得整式方程的解是原分式 方程的解，第二个却不是呢？ 大家可以讨论一下．
要回答这个问题，还是要来回顾一下解方程的过程．
思考
两边同乘(30+v)(30-v) 100 (30-v)=60(30+v)
当v=6，(30+v)(30-v)≠0 左右两边的方程是可以等价转化的，这两个方程的解相等
间相等，江水的流速为多少？
解:设江水的流速为 v 千米/时，则
顺水速度为________千米/时；
逆水速度为________千米/ 时；
根据题意，得
说说两方程
有何异同
分式方程 像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程．
整式方程
分式方程
分式方程
化简，得mx+m-nx=0.
移项、合并同类项，得（m-n）x=-m.
∵m≠n≠0， ∴m-n≠0，
检验：当
∴ x=
增根问题 m为何值时
有增根呢？
解：去分母，得 x-3=m
所以
x=m+3
方程有增根，即 x=m+3 时分母x-1为0
所以m+3-1=0
所以m=-2
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
例题 解下列方程：
（1）解：方程两边乘x（x-3），得 2x=3x-9
解得 x=9 检验：当x=9时，x（x=3）≠0． 所以，原分式方程的解为x=9．
例题 解下列方程：
（2）解：方程两边乘（x-1）（x-2），得 x（x+2）-（x-1）（x+2）=3 解得 x=1
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5，(x+5)(x-5)=0
x+5=10
从右边的方程推不出左边的方程，整式方程的解不一定是分式 方程的解
怎样检验 怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？
将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解， 否则这个解就不是原分式方程的解．