人教版数学八年级上册 分式方程
人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。
人教版 八年级数学上册 第15章分式 分式方程及其应用专题(含答案)
人教版 八年级数学上册 第15章 分式方程及其应用（含答案） 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()x x +-11 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。
21688y y y =∴==5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）2111x x m x x x x +-++=+A. B. --12或-12或C. D. 12或12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
人教版八年级上册数学《 分式方程》(优质教案)
人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。
本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。
通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。
2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。
3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。
2.分式方程的解法及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。
2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。
3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。
同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
人教版八年级数学上册1分式方程
分式方程
课题引入
现在回到本章引言中的问题。
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
90
30+
=
60
.
30−
①
方程①的分母中含未知数，像这样分母中含未知数的方程叫做分式
方程。我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母
中。
思考
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
数学人教版八年级上册15.3分式方程(教案)
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节分式方程的课程后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解分式方程的概念上还存在一些困难。尽管我通过实际案例引入，但部分学生仍然难以将现实问题转化为数学模型。在今后的教学中，我需要更多地运用生活中的实例，帮助学生建立起数学与实际问题的联系。
数学人教版八年级上册15.3分式方程（教案）
一、教学内容
本节课选自数学人教版八年级上册第15章第3节“分式方程”。教学内容主要包括以下方面：
1.了解分式方程的定义，掌握分式方程的一般形式；
2.学会解分式方程的步骤和方法，特别是如何去分母、如何化简方程；
3.能够解决实际问题中涉及的分式方程，例如速度、浓度、比例分配等问题；
在实践活动方面，我发现学生们对实验操作非常感兴趣，这有助于他们更好地理解分式方程在实际问题中的应用。但我也注意到，有些小组在操作过程中出现了混乱，没有明确分工。为了提高实践活动的效果，我将在下一次活动中提前给学生分配好任务，确保每个成员都能参与到活动中。
另外，课程总结环节，我意识到有些学生对所学知识点，导致学生遗忘。因此，我决定在今后的教学中，每节课结束后都进行一个小测验，帮助学生巩固所学知识。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示分式方程在解决实际问题时如何运用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教版数学八年级上册15.分式方程的定义及解法课件
理解分式方程的概念并会判断一个方程是否是分式 方程.
掌握解分式方程的基本思路和解法.
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90
千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速
为x千米/时，根据题意可列方程
90 30+x
60 30
我们再来观察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
① 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
90(30-x)=60(30+x)
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的 解相同.
1 10 x 5 x2 25
两边同乘(x+5)(x-5)
方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
“去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方 程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； 4.写出原方程的根.
②
当x=5时,
x+5=10 (x+5)(x-5)=0
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这 个整式方程的解就不是原分式方程的解.
分式方程解的检验------必不可少的步骤 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，
所以分式方程的解必须检验．
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式
“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
八年级数学上册 分式方程的解法 人教版
解得: x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2) ＝0 ,因此x＝1不 是原方程的解.
所以，原分式方程无解
备选练习
解下列方程：
(1) 5 7 x x2
解：方程两边乘x(x-2)，得: 5(x-2)=7x 解得: x=-5 检验：当x=-5时，x(x-2) ≠0
所以，原分式方程的解为 x＝-5
①
30v 30v
方程①有何特点？
方程①中含有分式，并且分母中含有未知 数，像这样的方程叫做分式方程.
你还能举出一个分式方程的例子吗？
练习
判断下列各式哪些是分式方程?
(1)xy5; (2)x22y-z; (3)1;
5
3
x
(4) y 0; (5)12x5
x5
x
（1）（2）是整式方程； （3）是分式；
约去分母，得： 90（30－v）＝60（30+ v）
解这个整式方程，得：v＝6
所以江水的流速为6 km/h.
解分式方程的过程，实质上是将方程的两边 乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整 式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分 式的最简公分母.
解方程：
1 10 x 5 x2 25
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
八年级-人教版-数学-上册-第1课时-分式方程及其解法
思考
上面两个分式方程中，为什么
90 30＋v
＝
60 30－v
整式方程的解就是①的解？
①去分母后所得
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 （最简公分母）．方程①两边乘 (30＋v)(30－v)，得到整式方程， 它的解是v＝6．当 v＝6 时， (30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去 分母时，①两边乘了同一个不为 0 的式子，因此所得整式方程的 解与①的解相同．
思考
为什么
x
1
5
＝
x
10 2 25
②的解呢？
②去分母后所得整式方程的解却不是
方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解是x＝5．当 x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一 个等于 0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象， 因此这样的解不是②的解．
由上可知，江水的流速为 6 km/h．
解分式方程的基本思路
解分式方程的基本思路是将分式方程 化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母．这也是解分式 方程的一般方法．
探究
解分式方程
x
1
5
＝
x
10 2 25
．
解：方程两边同乘(x－5)(x＋5)，得 x＋5＝10．
解得 x＝5．
归纳
解分式方程产生不适合原方程的解的原因 在将分式方程化为整式方程时，未知数
的取值范围被扩大了．对于整式方程来说， 求出的解成立；而对于原分式方程来说，当 分母为0时，分式无意义，所以这个解不是原 分式方程的解．
初中数学人教版八年级上册《15.分式方程》课件(1)
谢谢大家
解：方程两边同时乘以(x-m)(x-n),
可得(x+m)(x-m)+(x+n)(x-n)=2(x-m)(x-n),
即是 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2m,n 整理得：2(m n)x (m n)2 ，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得：x m n ，
5k
解得k≠-3.
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
3 k ≠，1 5k
含字母的 分式方程
含字母的分式方程的概念
解含字母的分式方程的 一般步骤
若关于x的分式方程 2 - 1- kx 1 无解，求k的值. x-2 2-x
解析：分式方程无解分为两种情况： ①分式方程化为整式方程后，求出整式方程的解使得最简公分母为0； ②分式方程化为的整式方程无解. 根据两种情况分类讨论，确定 k 的值即可.
分式方程
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
解析：原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，m、n表示已 知数，将字母m、n看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 注意：原分式方程含有常数项，在去分母的时候要将常数项也乘 以最简公分母.
解关于x的分式方程： x m x n 2(m n.) x-n x-m
x
2
3
.
解：方程两边同时乘以2x(x+3)，得x+3=4x， 解得：x=1. 检验：当x=1时，2x(x+3)=8≠0， 所以原分式方程的解是 x=1.
解分式方程： 2 x -1
4 x2 -1
.
解：方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得：x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解.
初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程
先把分式方程转化为整式方程，再把使得分式方程 中分母为零的未知数的值代入到转化后的整式方程 中，即可求得待定量的值.
列分式方程解应用题
一般步骤
列 (1)审：找出问题中已知与未知的数量关系；
分 (2)设：一般是直接设未知数，个别是间接设未知数；
式 方
(3)列：根据等量关系列出分式方程；
程 (4)解：解转化后的整式方程；
3
所以 2 m ≠2,解得m≠0.综上所述，m的取值范围为m＜6
3
且m≠0.故选C.
本题在求m的取值范围时，只注意到方程
2 x2
xm 2 x
2
的解为正数，而忽略了排除分式方程无解的情况.
题型一 解分式方程
角度a 可化为一元一次方程的分式方程
例8 解方程：
y
6y 2
12 4y
4
y2 4 y2 4y 4
角度b 解含有字母的分式方程
例9 解方程： x m x (m -2, m -1). x1 x1 x1
思路导图
方程两边同乘 （x-1）(x+1)，把 分式方程转化为 整式方程，解整 式方程
检验，将求得 的整式方程的 解代入分式方 程的最简公分 母中，检验是 否为零
写出 原分 式方 程的 解
解：方程两边同乘(x-1)(x+1)，得(m+2)x=-m.
续表
知识 解读
(1)问题中的数量关系可能不止一个，分析得出 与未知的等量关系，选择适当的未知数可以简 化方程； (2)列方程时要保持单位统一； (3)注意在分式方程应用题中检验意义的双重性， 既要检验得到的整式方程的解是否是列出的分 式方程的解，又要检验其是否符合实际意义
注意：列分式方程解应用题一定要检验，同时还要 保证其结果符合实际意义.
人教版数学八年级上册第一课时 分式方程及其解法课件
第十五章 分 式
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解：根据题意，得
x x＋1
＝2，解得x＝－2.经检验，x＝－2是分式方程的解，∴x
的值是－2.
第十五章 分 式
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数学·八年级 (上)·配人教
16
思维训练
15．(1)m为何值时，方程x3－x3＋5＝3－m x有增根？
解：方程两边同乘x－3，得3x＋5(x－3)＝－m.当原方程有增根时，x－3＝0， 解得x＝3.当x＝3时，m＝－9.故当m＝－9时，方程x3－x3＋5＝3－m x有增根．
(2)m为何值时，方程x3－x3＋5＝3－m x的根是－1? 解：方程两边同乘x－3，得3x＋5(x－3)＝－m.当原方程的根为x＝－1时，m＝ 23.故当m＝23时，方程x3－x3＋5＝3－m x的根是－1.
第十五章 分 式
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数学·八年级 (上)·配人教
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(3)任意写出三个m的值，使对应的方程x3－x3＋5＝3－m x的三个根中两个根之和等 于第三个根；
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(2)xx＋ －11－x2－4 1＝1； 解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝x2－1.去括号，得x2＋2x＋1－4 ＝x2－1，解得x＝1.检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，∴x＝1是原分式方程的增 根，∴原分式方程无解．
(3)【四川广安中考】x－x 2－1＝x2－44x＋4.
第十五章 分 式
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基础过关
数学·八年级 (上)·配人教
6
1．下列是关于x的分式方程的是 A．x＋4 2－3＝3＋6 x C．xa－xb＝1
B．xa－ ＋77＝3－x D．x22＋x 2＝5
人教版八年级数学上《分式方程》知识全解
《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以 原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义． （通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程． 例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+． （易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基． 例 解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。
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练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习 解分式方程：
【答案】x=3是增根，原分式方程无解
练习 解方程：
【答案】x=0
易错点 解分式方程时容易犯的错误： ①去分母时，原方程的整式部分漏乘． ②约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
分式方程
整式方程
整式方程
分式方程
分式方程
探究
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程： 转化 一元一次方程
方程两边同乘以（30+v）（30-v） ，得：
解得：
检验：将v=6代入分式方程，左边= =右边，所以
v=6是原分式方程的解．
解分式方程基本思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
练习 解下列方程：
解分式方程
解为正数？
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根 【解析】由方程有解，结合上题有
且x ≠2
由题意得 解得k＜5且k≠1
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
解为负数？
【解析】方程两边都乘以x-2，得k+3（x-2）=x-1. 解这个整个方程，得
解得k＞5.
已知解得范围求参数范围
关于 x 的分式方程 值范围是D （ ）
思考
刚才我们解了两个分式方程
为什么第一个去分母后所得整式方程的解是原分式 方程的解，第二个却不是呢？ 大家可以讨论一下．
要回答这个问题，还是要来回顾一下解方程的过程．
思考
两边同乘(30+v)(30-v) 100 (30-v)=60(30+v)
当v=6，(30+v)(30-v)≠0 左右两边的方程是可以等价转化的，这两个方程的解相等
两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5，(x+5)(x-5)=0
x+5=10
从右边的方程推不出左边的方程，整式方程的解不一定是分式 方程的解
怎样检验 怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？
将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解， 否则这个解就不是原分式方程的解．
2．已知方程有增根求参数的步骤： ①把参数当作已知数，解出分式方程 ②再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． ③解出参数．
A.m＞3 ＜3 C.m＞-3 ＜-3
的解是正数，则字母 m 的取 B.m D.m
已知解得范围求参数范围
若关于x的分式方程 范围是C （ ）
的解为非负数，则a的取值
A.≥1 C.a≥1且a≠4
B.a＞1 D.a＞1且a≠4
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根
解含参分式方程
1．怎么解含参分式方程？ 2．已知含参分式方程解的范围如何求参数的范围？ 3．需要注意什么细节？
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
增根 解得： x=5 检验：
从去分母后所得的 整式方程中解出的
将x=5代入x-5、x 2-25的值都为0，相应分式无意义．
所以x=5不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
增根
增根的定义
增根：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为 零的根． 增根满足的两个要求： ①是相应_整__式___方程的根． ②使分式方程的公___分__母__为0．
经检验x=-5是原方程的根. ∴ 原方程的根是x=-5.
总结
这节课我们学会了什么？
转化 1．解分式方程的思路： 分式方程
去分母 2．解分式方程一般步骤：
①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
整式方程
总结
这节课我们学会了什么？
1．含参分式方程的解法： 把参数当作已知数，正常求解即可．
也可以先把方程化为 整式方程，然后把可 能的增根代入方程
所以当k=1时，方程
产生增根.
增根问题
k为何值时，分式方程
根？ 解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），
得
x（x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0
把 x=1代入上式，则k=-1
把 x=-1代入上式，k 值不存在
∴当k =-1，原方程有增根.
增根问题
1.当m=0时，方程
？
x=6，不会
会产生增根吗
2.当m=1时，方程 ？
x=5，不会
会产生增根吗
3.当m为何值时，方程
会产生增根呢?
x=6-m，m=3时会产生增根
增根问题 k为何值时，方程
产生增根？
解：方程两边都乘以x-2，约去分母， 得k+3（x-2）=x-1 把x=2代入以上方程得：k=1
有增
增根问题 若关于x的分式方程 的值是A （ ）
A.m=-1 C.m=3
有增根，则m
B.m=0 D.m=0或m=3
增根问题
分式方程 （C ）
A.0
B.2
2
D.1
有增根，则增根可能是 C.0或
无解问题 k为何值时，方程
无解？
提示：分式方程无解意味着什么呢？ 【解析】方程两边都乘以x-2，约去分母，得
化简，得mx+m-nx=0.
移项、合并同类项，得（m-n）x=-m.
∵m≠n≠0， ∴m-n≠0，
检验：当
∴ x=
增根问题 m为何值时
有增根呢？
解：去分母，得 x-3=m
所以
x=m+3
方程有增根，即 x=m+3 时分母x-1为0
所以m+3-1=0
所以m=-2
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
k+3（x-2）=-（1-x）
解得
由题意可知 解得k=1.
是原分式方程的增根，即
无解问题 关于 x 的方程
A.-5
B.-8
无解，则m的值为A（ ）
C.-2
D.5
提示：分式方程无解意味着什么呢？
含参分式方程增根问题
1．方程有增根怎么求参数？ 2．方程无解怎么求参数？
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
x与x的倒数和 用换元法解方程： 么
原方程可化为________________.
时，如果设
，那
x与x的倒数和 1．已知 x 与 x 的倒数和，如何求 x 与 x 倒数的平方？
换元法 用换元法解分式方程
时，如果设
将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ A ）
一些特殊的分式方程 解方程： 【解析】方程两边分别通分，得
例题 解下列方程：
（1）解：方程两边乘x（x-3），得 2x=3x-9
解得 x=9 检验：当x=9时，x（x=3）≠0． 所以，原分式方程的解为x=9．
例题 解下列方程：
（2）解：方程两边乘（x-1）（x-2），得 x（x+2）-（x-1）（x+2）=3 解得 x=1
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
分式方程
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
①只含有一个未知数 2．一元一次方程有什么特点？ ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母 去括号
移项
合并同类项
系数化1
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速
顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时
间相等，江水的流速为多少？
解:设江水的流速为 v 千米/时，则
顺水速度为________千米/时；
逆水速度为________千米/ 时；
根据题意，得
说说两方程
有何异同
分式方程 像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程．
整式方程
分式方程
分式方程
③忘记检验．
解含参分式方程 解关于x的方程
解：方程两边同乘以x-a，得 a+b（x-a）=x-a 去括号，得a+bx-ba=x-a
点睛：把参数当作已知 数，正常求解即可．
移项、合并同类项，得（b-1）x=ab-2a
∵b ≠1 ∴b-1≠0
检验：当
解含参分式方程
解关于 x 的方程
解：方程两边同乘 x（x+1）,得m（x+1）-nx=0.
归纳 1．解分式方程的思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
2．解分式方程一般步骤： ①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
流程图 分式方程
解分式方程一般步骤：
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是 分式方程的解
最简公分母不为最0简公分母为x0=a不是 分式方程的解
解分式方程