2006年高考试题——数学文(全国卷2)

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2006年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修I ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷上的答案无效。

选择题
（选择题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P (A +B ) =P (A ) +P (B ) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B ) = P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 23
4R V π=
n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一、选择题
（1）已知向量a =（4，2），向量b =（x ，3），且a ∥b ，则x = （A ）9 （B ）6 （C ）5 （D ）3
（2）已知集合|1log |||,3||2>=<=x x N x x M ，则=N M
（A ）
（B ）|30||<<x x （C ）|31||<<x x
（D ）|32||<<x x
（3）函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是
（A ）2π （B ）4π
（C ）4
π
（D ）2
π
（4）如果函数)(x f y =的图像与函数x y 23-=的图像关于坐标原点对称，则)(x f y =的表 达式为 （A ）32-=x y
（B ）32+=x y
（C ）32+-=x y
（D ）32--=x y
（5）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13
22
=+y x ，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 （A ）32 （B ）6 （C ）34 （D ）12 （6）已知等差数列{}n a 中，72=a ，154=a ，则前10项和10S =
（A ）100
（B ）210
（C ）380
（D ）400
（7）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β
所成的角分别为4π和6
π
，过A 、B 分别作两平面交线的垂 线，垂足为‘
、B A '，则AB ：‘B A '=
（A ）4 （B ）6 （C ）8
（D ）9
（8）函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为
（A ）)(1R x e y x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=-
（C ）)1(1>=+x e y x
（D ）)1(1>=-x e y x
（9）已知双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为
（A ）
35 （B ）34 （C ）4
5
（D ）
2
3
（10）若=-=)(cos ,2cos 3)(sin x f x x f 则 （A ）x 2cos 3- （B ）3x 2sin -
（C ）x 2cos 3+ （D ）x 2sin 3+
（11）过点（－1，0）作抛物线12
++=x x y 的切线，则其中一条切线为 （A ）022=++y x （B ）033=+-y x
（C ）01=++y x
（D ）01=+-y x
（12）5名志原者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有
（A ）150种
（B ）180种
（C ）200种
（D ）280
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2006年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
非选择题
（非选择题共10小题，共90分）
注意事项：
本卷共2页，10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。

答在试卷上的答案无效 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡上。

（13）在10
4
)1(x
x +
的展开式中常数项是 。

（用数字作答） （14）已知圆O 1是半径为R 的球O 1的一个小圆，且圆O 的面积与球O 的表面积的比值为
9
2，则线段OO 1与R 的比值为 。

（15）过点（1，2）的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直
线l 的斜率k = 。

（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率
分布直方图（如下图）。

为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2 500，3 000）（元）月收入段应抽出 人。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 已知△ABC 中，∠B =45°，AC =10，cos C =.5
5
2 （Ⅰ）求BC 边的长；
（Ⅱ）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长.
（18）（本小题满分12分） 记等比数列}{n a 的前n 项和为n S . 已知17,184==S S ，}{n a 的通项公式.
（19）（本小题满分12分）
某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.
（Ⅰ）求恰有一件抽检的6件产品中二等品的概率；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.
（20）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点. （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1=AC =,2AB 求二面角A 1－AD －C 1的大小.
（21）（本小题满分12分）
已知∈a R ，二次函数.22)(2a x ax x f --= 设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合
}.31|{<<=x x B 若A ∩B ≠ ，求a 的取值范围.
（22）（本小题满分14分）
已知抛物线y x 42=的焦点为B A F ,,是抛物线上的两动点，且).0(>=λλ 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .
（Ⅰ）证明⋅为定值；
（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出)(λf S =的表达式，并求S 的最小值.
2006的普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题（必修+选修II）参考答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4．只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.
一．选择题
（1）B （2）D （3）D （4）D （5）C （6）B
（7）B （8）B （9）A （10）C （11）D （12）A
二．填空题
（13）45 （14）31 （5）2
2 （6）25 三、解答题 （17）解：
（I ）由55sinC 552cos ==
得C ，)sin (cos 2
2
)45180sin(sin C C C A +=-︒-︒=
=
.10
10
3……………………………………3分 由正弦定理知.231010
32
2
10sin sin =⋅=⋅=
A B AC BC ……………………6分 （II ）.12
1
.255
2
2
10sin sin ==
=⋅=⋅=
AB BD C B AC AB …………9分 由余弦定理知
132
2
2312181cos 222=⋅
⋅⋅-+=⋅⋅-+=B BC BD BC BD CD ……12分 （18）解：
设}{n a 的公比为q ，由S 4=1，S 8=17知1≠q ，所以得11
)
1(41=--q q a ， ①
171
)
1(81=--q q a . ②………………2分
由①、②式得171
148
=--q q ， 整理得,1714=+q 解得.164=q
所以2=q 或2-=q .………………8分
将2=q 代入①式得1511=a ，所以1521
-=n n a ；………………10分
将2-=q 代入①式得511-=a ，所以.5
2)1(1
-⨯-=
n n n a ………………12分
（19）解：设A i 表示事件“第二箱中取出i 件二等品”，i=0，1； B i 表示事件“第三箱中取出i 件二等品”，i=0，1，2.
（I ）依题意所求的概率为)()(10011B A P B A P p ⋅+⋅=
=.2512
)()()()(2
51213252
4252325141001=⋅⋅+⋅=⋅+⋅C C C C C C C C C B P A P B P A P …………6分 （II ）解法一：所求的概率为.501725121)(125
23252
4
1002=-⋅-=-⋅-=C C C C p B A P p ……12分
解法二：所求的概率为)()()(2120112B A P B A P B A P p ⋅+⋅+⋅=
)()()()()()(212011B P A P B P A P B P A P ++=
.50
17252
22514252225242512132514=⋅+⋅+⋅⋅=C C C C C C C C C C C C C ………………9分 （20）解法一：
（I ）设O 为AC 中点，连结EO ，BO ，则EO 21C 1C ，又C 1C 2
1
B 1B . 所以EO DB ，
EOBD 为平行四边形，ED ∥OB . …………2分 ∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，
又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，BO ⊂面ABD ，故BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴ED ⊥平面ACC 1A 1，ED 为异面直线AC 1与BB 1的公垂线.……6分 （II ）连结A 1E . 由AA 1=AG =2AB 可知，A 1ACC 1为正方形，
∴A 1E ⊥AC 1. 又由ED ⊥平面A 1ACC 1和ED ⊂平面ADC 1知平面ADC 1⊥平面A 1ACC 1， ∴A 1E ⊥平面ADC 1. 作EF ⊥AD ，垂足为F ，连结A 1F ，则A 1F ⊥AD ， ∠A 1FE 为二面角A 1—AD —C 1的平面角. 不妨设AA 1=2，
则AC =2，AB =2. ED =OB =1，EF =
3
2=⨯AD
ED
AE ，tan ∠A 1FE =
31=EF
E
A ， ∴∠A 1FE=60°.
所以二面角A 1—AD —C 1为60°.………………12分 解法二：
（I ）如图，建立直角坐标系O —xyz ，其中原点O 为AC 的中点. 设).2,,0(),0,,0(),0,0,(1c b B b B a A
∥= ∥ = ∥
=
则).,,0(),,0,0(),2,0,(),0,0,(1c b D c E c a C a C --………3分
,
,0).2,0,0(),0,,0(111BB ED BB c BB b ⊥∴=⋅==
又 .,0),2,0,2(111AC ED AC c a AC ⊥∴=⋅-= 所以ED 是异面直线BB 1与AC 1的公垂线. …………6分 （II ）不妨设A （1，0，0）， 则B （0，1，0），C （－1，0，0），A 1（1，0，2），
.
,,,,0,0,
20,0,0(),0,1,1(),0,1,1(11111AD A BC A AA AB AA BC AB BC AA BC AB BC AA 面又即⊥∴=⋂⊥⊥=⋅=⋅=-=--=
又),0,0,1(),1,1,0(),1,0,0(-C D E
E ED AE ED EC AE EC =⋂⊥⊥=⋅=⋅又即,,,0,0， AD C EC 1面⊥∴. ………………10分 2
1
|
|||,cos =
⋅>=
<BC EC ，即得和的夹角为60°. 所以二面角A 1—AD —C 1为60°. …………12分 （21）解：
由)(x f 为二次函数知.0≠a 令)(x f =0解得其两根为
.121,1212221a
a x a a x ++=+-=
由此可知0,021><x x .…………………………12分
（i ）当a >0时，}.|{}|{21x x x x x x A >⋃<=
A ∩
B ≠ 的充要条件是32<x ，即,31
212<++a
a 解得.7
6
>
a ……………………6分
（ii ）当0<a 时，}.|{21x x x x A <<=
A ∩
B ≠ 的充要条件是12>x ，即,11
212>++a
a 解得.2-<a ……………………10分
综上，使A ∩B ≠ 成立的a 的取值范围).,7
6
()2,(+∞⋃--∞…………12分
（22）解：
（I ）由已条件，得F （0，1），0>λ.
设,).,(),,(2211y x B y x A λ=由 即得),1,()1,(2211-=--y x y x λ ⎩
⎨⎧-=-=-∴).1(1212
1y y x x λλ
将①式两边平方并把22221141,41x y x y ==
代入得22
1y y λ=， ③ 解②、③式得λ
λ1,21==y y ，且有.4422
221-=-=-=y x x x λλ
抛物线方程为.4
12x y = 求导得.2
1x y =
' 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是
,)(21
)(21222111y x x y y x x x y +-=⋅+-=
即.4
121,41212
22211x x x y x x x y -=-=
解出两条切线的交点M 的坐标为).1,2
()4,2(
2
12121-+=+x x x x x x …………4分 所以 ),()2,2(121221y y x x x x AB FM --⋅-+=⋅
=
)4
141(2)(2121222122x x x x --- =0
所以⋅为定值，真值为0. ………………7分
① ②。