2020届全国大联考高三第六次联考文科数学试题
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A． B． C． D．
7．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．下列四个图象可能是函数 图象的是（）
A． B． C． D．
9．已知将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 和 的图象都关于 对称，则 的值为（）
A．2B．3C．4ห้องสมุดไป่ตู้．
10．将一块边长为 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为 ，则 的值为（）
A．6B．8C．10D．12
11．已知函数 ，若 有2个零点，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
7．A
【分析】
首先利用二倍角正切公式由 ，求出 ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：∵ ，∴可解得 或 ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．
5．C
【分析】
首先根据对数函数的性质求出 的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
解：∵ ，∴当 时， 满足 ，∴实数 可以为8.
故选：C
【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
6．A
【分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
解： .
故选：A
【点睛】
6.635
7.879
10.828
18．已知在 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
19．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， .点 ， ， 分别为线段 ， ， 的中点，点 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 .
（2）判断 与平面 的位置关系，并证明.
100
30
不经常阅读
合计
200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附： ，其中 .
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．B
【分析】
设 ，根据复数的几何意义得到 、 的关系式，即可得解；
【详解】
解：设
∵ ，∴ ，解得 .
故选：B
【点睛】
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
3．A
【分析】
依题意可得 ，再根据离心率求出 ，即可求出 ，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线 的离心率为 ，
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.
23．已知 ，函数 有最小值7.
（1）求 的值；
（2）设 ， ，求证： .
参考答案
1．D
【分析】
首先求出集合 ，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵ ，解得
∴ ，∴ .
故选：D
【点睛】
所以 ，∴ ，∴ ，双曲线的焦距为 .
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．A
【分析】
因为 ，可得 ，根据等差数列前 项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列前 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14．已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ，则 的最小值为________.
15．已知边长为 的菱形 中， ，现沿对角线 折起，使得二面角 为 ，此时点 ， ， ， 在同一个球面上，则该球的表面积为________.
三、双空题
16．已知函数 ，则 ________；满足 的 的取值范围为________.
20．已知抛物线 ： （ ）的焦点 到点 的距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，点 、 分别在第一和第二象限内，求 的面积.
21．已知函数 ， .
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时，证明： 对任意 恒成立.
22．在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
2020届全国大联考高三第六次联考文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． 或 D．
2．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（）
A． B． C． D．
3．若双曲线 的离心率为 ，则双曲线的焦距为（）
8．C
【分析】
首先求出函数的定义域，其函数图象可由 的图象沿 轴向左平移1个单位而得到，因为 为奇函数，即可得到函数图象关于 对称，即可排除A、D，再根据 时函数值，排除B，即可得解.
四、解答题
17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
12．设过定点 的直线 与椭圆 ： 交于不同的两点 ， ，若原点 在以 为直径的圆的外部，则直线 的斜率 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按 ， 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母 ， 的概率为________.
A． B． C．6D．8
4．在等差数列 中，若 为前 项和， ，则 的值是（）
A．156B．124C．136D．180
5．已知 ， ， ，若 ，则正数 可以为（）
A．4B．23C．8D．17
6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以 、 、 、 、 为顶点的多边形为正五边形，且 ，则 （）
7．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．下列四个图象可能是函数 图象的是（）
A． B． C． D．
9．已知将函数 （ ， ）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 和 的图象都关于 对称，则 的值为（）
A．2B．3C．4ห้องสมุดไป่ตู้．
10．将一块边长为 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为 ，则 的值为（）
A．6B．8C．10D．12
11．已知函数 ，若 有2个零点，则实数 的取值范围为（）
A． B． C． D．
本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．
7．A
【分析】
首先利用二倍角正切公式由 ，求出 ，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：∵ ，∴可解得 或 ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题．
5．C
【分析】
首先根据对数函数的性质求出 的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
解：∵ ，∴当 时， 满足 ，∴实数 可以为8.
故选：C
【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
6．A
【分析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【详解】
解： .
故选：A
【点睛】
6.635
7.879
10.828
18．已知在 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
19．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， .点 ， ， 分别为线段 ， ， 的中点，点 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 .
（2）判断 与平面 的位置关系，并证明.
100
30
不经常阅读
合计
200
（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.
附： ，其中 .
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．B
【分析】
设 ，根据复数的几何意义得到 、 的关系式，即可得解；
【详解】
解：设
∵ ，∴ ，解得 .
故选：B
【点睛】
本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.
3．A
【分析】
依题意可得 ，再根据离心率求出 ，即可求出 ，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线 的离心率为 ，
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 与圆 的交点为 、 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长.
23．已知 ，函数 有最小值7.
（1）求 的值；
（2）设 ， ，求证： .
参考答案
1．D
【分析】
首先求出集合 ，再根据补集的定义计算可得；
【详解】
解：∵ ，解得
∴ ，∴ .
故选：D
【点睛】
所以 ，∴ ，∴ ，双曲线的焦距为 .
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
4．A
【分析】
因为 ，可得 ，根据等差数列前 项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了求等差数列前 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
14．已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ，则 的最小值为________.
15．已知边长为 的菱形 中， ，现沿对角线 折起，使得二面角 为 ，此时点 ， ， ， 在同一个球面上，则该球的表面积为________.
三、双空题
16．已知函数 ，则 ________；满足 的 的取值范围为________.
20．已知抛物线 ： （ ）的焦点 到点 的距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，点 、 分别在第一和第二象限内，求 的面积.
21．已知函数 ， .
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）当 时，证明： 对任意 恒成立.
22．在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
2020届全国大联考高三第六次联考文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． 或 D．
2．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（）
A． B． C． D．
3．若双曲线 的离心率为 ，则双曲线的焦距为（）
8．C
【分析】
首先求出函数的定义域，其函数图象可由 的图象沿 轴向左平移1个单位而得到，因为 为奇函数，即可得到函数图象关于 对称，即可排除A、D，再根据 时函数值，排除B，即可得解.
四、解答题
17．在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
城镇居民
农村居民
合计
经常阅读
12．设过定点 的直线 与椭圆 ： 交于不同的两点 ， ，若原点 在以 为直径的圆的外部，则直线 的斜率 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按 ， 编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母 ， 的概率为________.
A． B． C．6D．8
4．在等差数列 中，若 为前 项和， ，则 的值是（）
A．156B．124C．136D．180
5．已知 ， ， ，若 ，则正数 可以为（）
A．4B．23C．8D．17
6．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以 、 、 、 、 为顶点的多边形为正五边形，且 ，则 （）